PARÁBOLA IX.

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Aarón Villanueva Rojo
hace 9 años
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1 IX. PARÁBOLA Lugar geométrico de todos los puntos tales que la distancia de éstos a un punto fijo (foco) es siempre la misma a una recta fija (directriz). p = distancia del vértice al foco o del vértice a la directriz Lado recto = LR = 4p 77

2 Una vez que ya observaste los elementos de una parábola (éstos también aparecen en tu formulario), para resolver problemas de parábola tenemos situaciones que estudiar: Dados los elementos de una parábola, encontrar su ecuación. Dada la ecuación de una parábola, encontrar todos sus elementos y graficarla. Prepara tu formulario de geometría analítica y comencemos. A. DADOS LOS ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA, ENCONTRAR SU ECUACIÓN Ejemplo 1.- Halla la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen y cuyo foco es F(0, ), también encuentra la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Solución: A partir de la parábola y cuando ya veamos elipse e hipérbola, lo primero que hacemos es graficar en el plano cartesiano los datos que se nos dan: Con estos datos y con tu formulario podemos decidir qué tipo de parábola es (vertical u horizontal), en tu formulario aparecen 4 parábolas con vértice en el origen que pueden ser: Sin muchos problemas identificamos que el caso que tenemos es de una parábola vertical que abre hacia abajo, es decir su ecuación es: x 4py Ahora recuerda que, al pedirnos una ecuación, lo que debemos dar como resultado es una expresión algebraica con x, y y números igualada a cero. Entonces en nuestro caso hay que encontrar el valor de p de nuestros datos puestos en el plano cartesiano y de tu figura de parábola. p es la distancia que hay del vértice al foco o del vértice a la directriz, o sea, en nuestro caso p=; si sustituimos en nuestra fórmula nos queda: x 4py x x x 4 8y y 8y0 pasando todo a la izquierda, pues la ecuación se da siempre empezando con las x s positivas Bueno, sólo nos falta la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto. Cómo p es la distancia del vértice a la directriz (o del vértice al foco), la directriz se encuentra en: 78

3 Recuerda: que la ecuación de una recta horizontal o vertical es muy fácil de encontrarla, pues sólo indica a qué eje corta y en dónde, y esa será su ecuación. En nuestro caso la ecuación de la directriz es x= ó x =0 Finalmente para el Lado Recto L.R. Observa tu formulario y la fórmula es LR 4p, para corta al eje y en 3 y = 3 ó y 3=0 nuestro caso: LR 4p corta al eje x en x = ó x+=0 Recuerda: el valor absoluto de un número positivo es el mismo número Y el valor absoluto de un número negativo sólo se le quita el signo negativo Además 0 0 y a si no se sabe cómo es a entonces su valor absoluto lo ponemos como a ó cómo a, es decir: a a a a 3 3 en caso de ser positiva ó en caso de ser negativa Si a 4, entonces a puede ser 4 ó a puede ser 4 Ahora sí, volvamos al plano inicial donde colocamos nuestros datos y colocamos lo encontrado se tiene: 79

4 La gráfica final es: Ejemplo.- Halla la ecuación de la parábola con vértice en V(,3) y foco F(5,3). Solución: Como ya se dijo anteriormente, primero representamos nuestros datos en el plano cartesiano: Como podrás observar, la parábola no tiene vértice en el origen, su vértice es V(,3) V(h,k), o sea, h= y k=3, y en tu formulario aparecen 4 tipos de parábolas con vértice V(h,k). En nuestro caso tenemos sin duda podemos ver que se trata de una parábola con vértice V(h,k) y eje focal paralelo al eje x y que abre a la derecha con ecuación: y k 4px h Lado recto igual a 8, se centra en el foco. Observa tu figura de parábola en el formulario, es decir, del foco 4 a la izquierda y 4 a la derecha. Ecuación: x 8 y 0 Directriz: x Lado Recto: LR 8 Bosquejo posible para nuestra parábola Ahora observa y verá que p (distancia del foco al vértice o del vértice a la directriz) toma el valor de 3, por tanto, si sustituimos nuestros valores en la ecuación tenemos: 80

5 y k 4p x h V(, 3) y3 43 x Desarrollando: y 6 y 9 1x 4 y x y y x y Finalmente, grafiquemos nuestra parábola: B. DADA LA ECUACIÓN DE UNA PARABOLA, ENCONTRAR TODOS SUS ELEMENTOS Como podrás ver en tu formulario, la parábola tiene una ecuación ordinaria 4 x h p y k para el caso de las verticales, y una general x Dx Ey F 0, D, E, F. Análogamente para las horizontales su ecuación ordinaria y k 4p x h y su ecuación general y Dx Ey F 0. Ejemplo 1.- Hallar todos los elementos de la parábola cuya ecuación es x 8x 5y 4 0 Como verás, es una parábola vertical pues es x la que está al cuadrado (para las horizontales y está al cuadrado) La ecuación está en forma general x 8x 5 y 4 0, hay que convertirla a la forma ordinaria 4 vértice, T.C.P. Recuerda que: al dar una ecuación se iguala a cero y se empieza, en este caso, con la variable de mayor exponente. D E x h p y k, pues de ésta forma es más fácil ver las coordenadas del V h k. Para convertir de la forma general a la ordinaria siempre se completa un F 81

x 8x 5y 4 0 se toma el término cuadrático y el término lineal x 8 x 5 y 4 se toma el término lineal, se divide por (siempre) y se 8 eleva al cuadrado (siempre) x 8x 16 5 y 4 16 x 4 5 y 0 como ves, la

6 x 8x 5y 4 0 se toma el término cuadrático y el término lineal x 8 x 5 y 4 se toma el término lineal, se divide por (siempre) y se 8 eleva al cuadrado (siempre) x 8x 16 5 y 4 16 x 4 5 y 0 como ves, la ecuación ya tomó la forma 4 por el signo menos. esto ya es un T.C.P. x h p y k, es decir, que abre hacia abajo x 4 5 y 0 x 4 5 y 4 h 4p k V(4, 4) 5 p 4 Ahora pongamos en el plano cartesiano los elementos que tenemos el lado recto es: 5 LR 4p se deja un espacio en blanco para completar el T.C.P. recuerda que en una ecuación lo que se realice de un lado se tiene que hacer también del otro factorizamos el número (coeficiente) sea cual sea de y, en éste caso p 5 p 4 4 Foco por debajo del vértice, pues ya sabemos que es vertical y abre hacia abajo. 8

7 como el lado recto debe estar centrado en el foco, entonces hay 5 a la izquierda y 5 a la 5 3 derecha, o sea 4 ; 4 Asíntota y

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