CBC. Matemática (51) universoexacto.com 1

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1 CBC Matemática (51) universoexacto.com 1

2 PROGRAMA ANALÍTICO 1 :: UNIDAD 1 Números Reales y Coordenadas Cartesianas Representación de los números reales en una recta. Intervalos de Distancia en la recta real. Representación de puntos en el plano. Distancia entre dos puntos del plano. :: UNIDAD 2 Funciones polinómicas Definición y ejemplos. Dominio e imagen. Representación gráfica. Ceros de una función. Conjuntos de positividad y de negatividad. Crecimiento y decrecimiento. Extremos locales. Función lineal. Gráfico de una función lineal. Rectas en el plano. Pendiente. Intersección de rectas. Funciones cuadráticas. Gráfico. Determinación de ceros. Imagen de una función cuadrática. Vértice y eje de simetría de una parábola. Intersección entre rectas y parábolas. Problemas de aplicación. Funciones polinómicas. Ceros. Factorización. Noción de continuidad. Teorema de Bolzano para funciones continuas. Determinación de intervalos de positividad y de negatividad de funciones polinómicas. :: UNIDAD 3 Funciones racionales Funciones homográficas. Noción de límite en el infinito y de límites infinitos. Asíntotas horizontales y verticales de funciones racionales. Composición de funciones. Funciones inversas. Dominio y gráfico. Ejemplos. :: UNIDAD 4 Funciones trigonométricas y exponenciales Definición de las funciones trigonométricas. Gráficos. Propiedades. Ceros, imagen, amplitud y período. Positividad y negatividad. Valores máximos y mínimos. Aplicaciones. Funciones exponenciales y logarítmicas. Estudio de ambas funciones a través de sus gráficos. Dominio e imagen. Asíntotas. Aplicaciones al crecimiento de poblaciones. :: UNIDAD 5 Derivadas Cociente incremental. Definición de derivada. Interpretación geométrica y cinética. Recta tangente. Reglas de derivación. Aplicaciones a la construcción de curvas. :: UNIDAD 6 Integración Primitivas. Métodos de integración: integración por partes y sustitución. Cálculo de integrales definidas. Teorema fundamental del cálculo. Regla de Barrow. Aplicación al cálculo de áreas y a problemas de mecánica. 1 universoexacto.com 2

3 Ejercicios de examen ordenados por tema según la unidad a la que corresponden. Como ocurre generalmente en matemática, para poder realizar ejercicios de la unidad 2 se necesita previamente conocer y dominar los temas de la unidad 1, para trabajar con la unidad 3, los temas de la unidad 1 y 2 y así sucesivamente. Primer parcial Unidad 1 1. Sean P = (9, -3) y Q = (1, ). Determinar todos los valores de para los cuales la distancia entre P y Q es Hallar analíticamente todos los valores de para que la distancia de A = (3, 0) a P = (, ) sea Escribir como un intervalo o una unión de intervalos el conjunto 4. Escribir el conjunto como un intervalo o una unión de intervalos. 5. Sea Q = (0,3). Hallar todos los puntos de la forma P = (, ), tales que la distancia entre P y Q sea. 6. Escribir como intervalo o unión de intervalos el conjunto 7. Hallar analíticamente todos los puntos del eje tales que su distancia al punto (-6, 1) es igual a Hallar analíticamente las coordenadas de todos los puntos de la recta que están a distancia 1 del punto (0; 0). 9. Dadas escribir como intervalo o unión de intervalos el conjunto. 10. Sean y el punto donde el gráfico de corta al eje. Determinar todos los puntos del gráfico de que están a distancia de. Unidad 2 1. Sean y el vértice del gráfico de. Hallar la distancia entre y el punto 2. Sea Hallar los intervalos de positividad y de negatividad de 3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P = (2,3) y por el vértice de la parábola que es el gráfico de 4. Sea y P el punto donde el gráfico de corta al eje x. Sea V el vértice del gráfico de la función cuadrática Calcular la distancia entre los puntos P y V. 5. Hallar los ceros e intervalos de positividad de la función 6. Sea la función cuadrática cuyo gráfico pasa por los puntos (-4, 0), (5, 0) y (0, -5), y sea Dar el conjunto de positividad de. universoexacto.com 3

4 7. Sean y la función lineal tal que y. Encontrar y todos los puntos del plano en que se cortan los gráficos de y Sean la función lineal tal que y, y Hallar el conjunto imagen de. 9. Dadas y hallar de modo que. Para el valor de hallado, encontrar todos los puntos de intersección de los gráficos de y. 10. Hallar la función cuadrática que tiene y conjunto de positividad. 11. Sea Determinar y sabiendo que la abscisa del vértice del gráfico de es y que la distancia entre los ceros de es Encontrar la función polinómica de grado 3 cuyo gráfico pasa por (-3, 0), (-2, 0), (-1, 5) y (3, 0) y escribir los conjuntos de positividad y de negatividad de. 13. Sea la función cuadrática Determinar el valor de para que tenga un solo cero. Para el valor de hallado determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de. 14. Sea V el punto de intersección de las rectas de ecuaciones: e. Encontrar la función cuadrática tal que su gráfico tiene vértice V y pasa por el punto (2, 0). 15. Sean la función lineal tal que y y. Hallar el conjunto imagen de. 16. Determina el conjunto de positividad y el conjunto de negatividad de Determina la función polinómica de grado 3 cuyo gráfico corta al eje en los puntos (-4,0), (1,0) y (2,0), y corta al eje en (0,-4). 18. Dada hallar el valor de sabiendo que tiene un cero en. Para el valor de encontrado, indicar conjuntos de ceros e intervalos de positividad y de negatividad de. 19. Sean y la función cuyo gráfico tiene vértice y pasa por el punto Encontrar todos los puntos de intersección de los gráficos de y. 20. Sea el punto (-2,5) y el vértice de la parábola Hallar la función lineal cuyo gráfico pasa por los puntos y. Unidad 3 1. Dada, calcular el valor de tal que la recta de ecuación sea asíntota horizontal de. Para el valor de encontrado, hallar todas las asíntotas de. 2. Sea Hallar y para que las rectas de ecuación y sean asíntotas de. 2 Tanto el ejercicio 8 como el ejercicio 15 están relacionados con composición de funciones, tema perteneciente a la unidad 3. universoexacto.com 4

5 3. Sean y Dar las ecuaciones de todas las asíntotas de la función. 4. Sea y Hallar para que sea un cero de Para el valor de encontrado dar las ecuaciones de las asíntotas de. 5. Calcular las ecuaciones de todas las asíntotas de.. 6. Sean con y. Hallar el valor de para que la función tenga por asíntota vertical a la recta de ecuación. Para el valor de encontrado, calcular 7. Sea f(x) la función lineal cuyo gráfico pasa por los puntos (1,3) y (0,5) y. Dar las ecuaciones de las asíntotas de 8. Calcular tal que tenga asíntota horizontal. Para el valor de encontrado, hallar todas las asíntotas de. 9. Sean y la función inversa de. Calcular y dar las ecuaciones de todas las asíntotas de. 10. Sean. Hallar las ecuaciones de todas las asíntotas de. Unidad 4 1. Calcular la función inversa de. Indicar el dominio de y el de. 2. Determinar los conjuntos de positividad y de negatividad de. 3. Sea. Hallar y dar su imagen. 4. Sea. Determinar sabiendo que, calcular y dar el dominio y la imagen de. 5. Sea. Calcular, la función inversa de. 6. Sea. Hallar y calcular el dominio de y el dominio de. 7. Sean ; y. Calcular 8. Hallar los ceros de en el intervalo. 9. Sea Determinar el valor máximo de y encontrar todos los en los que alcanza dicho valor máximo. 10. Se sabe que tiene un cero en. Determinar el valor de e indicar, para el valor de encontrado, la imagen de. 11. Sea. Calcular los ceros de que pertenecen al intervalo. universoexacto.com 5

6 12. Sean y. Dar la imagen de. 13. Sean y. Hallar los tales que. 14. Hallar todos los tales que. Segundo parcial Unidad 5 1. Sea. Determinar el valor de para el cual la recta tangente al gráfico de en el punto de abscisa 0 es paralela a la recta dada por. 2. Sea. Hallar el punto del gráfico de donde la recta tangente es horizontal. Dar la ecuación de dicha recta. 3. Sea. Hallar el punto del gráfico de en el cual la ecuación de la recta tangente es. 4. Sea Hallar el valor de para el cual la recta tangente al gráfico de en el punto de abscisa es paralela a la recta de ecuación. Para el valor de encontrado, dar la ecuación de dicha recta tangente. 5. Sea Hallar los tales que. 6. Hallar el punto P tal que la pendiente de la recta tangente al gráfico de en el punto P sea. Escribir la ecuación de la recta tangente en dicho punto. 7. Sea. Dar la pendiente de la recta tangente al gráfico de en el punto de abscisa. 8. Hallar el punto P tal que la ecuación de la recta tangente al gráfico de en el punto P es. 9. En la función existe un tal que la ecuación de la recta tangente al gráfico en dicho punto es. Hallar. 10. Sea Hallar para que la recta tangente al gráfico de en tenga pendiente Sea. Determinar el dominio, las asíntotas verticales, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los máximos y los mínimos relativos de. 12. Sea. Determinar dominio, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y extremos locales de. 13. Sea. Hallar el dominio, la ecuación de la asíntota vertical, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de. Graficar aproximadamente. 14. Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los máximos y mínimos relativos de. Graficar aproximadamente. universoexacto.com 6

7 15. Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y determinar los máximos y mínimos relativos de. 16. Sea. Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los máximos y los mínimos relativos de. 17. Sea. Hallar dominio, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y máximos y mínimos relativos de. 18. Sea. Hallar máximos y mínimos relativos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, ecuaciones de las asíntotas y hacer un gráfico aproximado de. Unidad 6 1. Calcular. 2. Calcular. 3. Calcular. 4. Calcular. 5. Calcular. 6. Calcular. 7. Calcular. 8. Calcular. 9. Calcular. 10. Calcular. 11. Hallar el área de la región del primer cuadrante encerrada por los gráficos de, y el eje. 12. Hallar el área de la región encerrada por los gráficos de y, para. 13. Calcular el área de la región limitada por los gráficos de y. 14. Calcular el área de la región encerrada entre los gráficos de y. 15. Hallar el área de la región encerrada por las curvas e. 16. Calcular el área de la región encerrada entre el eje, los gráficos de y la recta. 17. Hallar el área de la región encerrada por las curvas e. universoexacto.com 7

8 18. Hallar el área de la región determinada por y el eje. 19. Calcular el área de la región encerrada por las curvas y 20. Sea. Encontrar el área de la región encerrada entre el gráfico de y el eje. universoexacto.com 8

9 Soluciones Unidad 1 1. a = k = 0 ; k = 3 3. (-1/2; 0) 4. (- ; 2) (6; + ) 5. k = 0 ; k = 5 6. (0; 1/12] 7. P1 = (0; -7) ; P2 = (0; 9) 8. P1 = (0; -1) ; P2 = (4/5; 3/5) 9. (- ; 4] [6; + ) 10. P1 = (-11; -5) ; P2 = (-1; 5) Unidad 2 1. d = 2 2. I + = (- ; -3) (2; + ) ; I - = (-3; 0) (0; 2) 3. y = -3x d = 5. C 0 = {-5; 0; 2} ; I + = (- ; -5) (2; + ) 6. C + = (-4; 2) (5; + ) 7. g(x) = 4x 12; P1 = (1; -8) ; P2 = (3; 0) ; P3 = (-4; -28) 8. fog(x) = - x 2 + 4x 2 ; Im fog = (- ; 2] 9. m = 4; P1 = (1; 3) ; P2 = (1/2; 1) 10. y = -3/5 (x + 8)(x 2) 11. b = 3; c = f(x) = -5/8 (x + 3)(x + 2)(x 3); C + = (- ; -3) (-2; 3); C - = (-3; -2) (3; + ) 13. c = 18; IC = (-3; + ) ; ID = (- ; -3) 14. f(x) = 5(x 1) h(x) = - x 2 +3x + 3; Im h = (- ; 21/4] 16. C + = (- ; -3) (0; 3) (11/2; + ); C - = (-3; 0) (3; 11/2) 17. y = -1/2 (x + 4)(x 1)(x 2) 18. ] =a = 12; C 0 = {-4; 0; 1}; C + = (- ; -4) (0; 1); C - = (-4; 0) (1; + ) 19. P1 = (3; 21) ; P2 = (1/4; 29/4) 20. y = (2/5)x + 29/5 Unidad 3 1. a = - 3; A.V. en x = 3 ; x = a = 2; b = A.V. en x = 1; A.H. en y = 2 4. a = - 3; A.V. en x = ½ ; A.H. en y = A.V. en x = -3; A.H. en y = 1 6. k = 4; h(x) = + 4; h -1 (x) = ; Dom h -1 = IR {4}; Im h -1 = IR {-3/2} 7. h(x) = ; A.V. en x = 7/4 ; A.H. en y =0 8. a = 6; A.V. en x = 2; x = f -1 (x) = ; A.V. en x = - 2 ; A.H. en y = h(x) = ; A.V. en x = - 11/3 ; Unidad 4 A.H. en y = 2/3 1. f -1 (x) = ; Dom f = (1/5; + ) ; Dom f -1 = IR 2. C + = (- ; -3) (4; + ); C - = (-3; 4) 3. f -1 (x) = 3e 5x 4; Im f -1 = (-4; + ) 4. k = 3; f -1 (x) = 1 + ln ; Dom f -1 = (6; + ); Im f -1 = IR 5. f -1 (x) =. 6. f -1 (x) = 2 + ln ; Dom f = IR; Dom f -1 = (3; + ) 7. h -1 (5)= 2/3 8. C 0 = {π/2; 3π/2} 9. Máximo en 3 ; x = {3π/8; 7π/8} universoexacto.com 9

10 10. a = 6 ; Im f = [- 9; 3] 11. C 0 = {-13π/12; -5π/12; 11π/12; 19π/12; 35π/12} 12. h(x) = 4.sen(3x + π/4) + 3 ; Im h = [-1; 7] 13. h(x) = 3.sen(2x) 1 ; x [0; 2] = {π/4; 5π/4} 14. S = {x/x IR: x = kπ + π/12 ; x = kπ + 11π/12 ; k Z} 14. IC = (- 6; 6) ; ID = (- ; -6) (6; + ); máx. rel.: (6; 5184) ; mín. rel.: (-6; -5184) Unidad 5 1. b = 3/10 2. P = (-2; 7) 3. P = (-3; -7) 4. a = 3 ; y = 5x x = 1/3 ; x = 2/3 6. P = (6; ln(72)) ; y = x 1 + ln(72) 7. 41/5 8. P = (-5; -1) 9. x = a = - 7/2 11. Dom f = IR {3} ; A.V. en x = 3 ; IC = (- ; 1) (5; + ) ; ID = (1; 3) (3;5) ; máx. rel.: (1; -4) ; mín. rel.: (5; 4) 12. Dom f = IR; IC = (- ; -1) (0; + ) ; ID = (-1; 0); máx. rel.: (-1; 1/e) ; mín. rel.: (0; 0) 13. Dom f = IR {3}; A.V. en x = 3; IC = (- ; 0) (6; + ) ; ID = (0; 3) (3;6) ; máx. rel.: (0; 0) ; mín. rel.: (6; 12) 15. IC = (- ; -3 ) ( 3; + ); ID = (-3; 3); máx.rel.: (-3; 16/e 2 ) ; mín.rel.: (3; -8e 4 ). 16. IC = (3; + ) ; ID = (- ; 3); máx.rel.: ; mín.rel.: (3;0). 17. Dom f = (3; + ); IC = (3; e + 3); ID = (e + 3; + ) máx.rel.: (e + 3; 1/e); mín.rel.:. 18. IC = (-2; 2) ; ID = (- ; -2) (2; + ); máx.rel.: (2; 21/4) ; mín.rel.: (-2; 19/4). Unidad 6 1. ; 2. -2cos( + 3) + x 5 /5 + C 3. e 2x + (4x + 1) 4/3 + C universoexacto.com 10

11 4. 2 ln(x 2 x + 4) + C 5. 2/5(x 2) 3/2 (x + 3) + C 6. x 2 + (7x 2 + 9) 3/2 + C 7. x 6 10 cos(-4 + ) + C 8. 1/4 sen(x 4 ) cos (x) + C 9. 9(x 2 + 5) 2/3 + C 10. e x (5 3x) + C 11. A 11,73 u A 9,29 u /6 u /2 u /3 u A 6,33 u /6 u A 0,69 u /3 u u 2. universoexacto.com 11