PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

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1 PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

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5 Integración por partes. Mediante la integración por partes, hallar una primitiva de la función y = Ln (1 + x) Calcular una primitiva de una función, es hallar su integral indefinida. Por ello utilizaremos el método de integración por partes u dv = u v - v du haciendo el siguiente cambio Aplica el método de integración por partes a la determinación de una primitiva de la función f(x) = x Ln x Utilizar la integración por partes para hallar una primitiva de la función x.sen x

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11 Cambio de variable. (No entra en Selectividad) Hallar las primitivas de la función cos 2 x (utilizar la relación 1 + cos A = 2. cos 2 A/2)

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13 INTEGRACION FRACCIONES SIMPLES. x 3-1 x 2 + 2x - x 3-2x 2 x - 2-2x x 2 + 4x 4x 1

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15 PROBLEMAS DE INTEGRALES DEFINIDAS (PRIMITIVAS) Calcular la primitiva de la función f(x) = 1 + tg 2 x por el punto (,0) + tg x que pase

16 Para obtener la G(x) integraremos de nuevo la G'(x) Para calcular C y D tenemos en cuenta las dos condiciones G(0) = 1 y G(1) = 0

17 Las constantes C, D y E se determinan a partir de las condiciones.

18 Para ver si el extremo (1,0) es máximo o mínimo, calculamos la f (x)

19 PROBLEMAS DE AREAS Area comprendida entre las curvas e. Corte gráfica: ; ;

20 Área limitada por el eje de abscisas y la curva y = x 3-2x 2. Dibújala.

21 Calcular el área del recinto limitado por y el eje de abcisas. Dibuja la gráfica. ; y = 2x - 4; y = 0 => 2x 4 = 0; x = 2 posible máx. o mín. y = 2 ; y (2) > 0 Mín. (2, -4)

22 Calcular el área encerrada entre las graficas de las funciones y = x 2 + 2x - 1 e y = 2x + 3, representando esquemáticamente dichas graficas. Para dibujar y = x 2 + 2x - 1 Para dibujar y = 2x + 3 x y x y x 2 + 2x 1 = 2x + 3 x 2 4 = 0 x = 2 2-2

23 Calcular el área limitada por la grafica f(x) = Ln x, el eje OX y la recta tangente a dicha grafica en el punto de abscisa x = e Para calcular la recta tangente, esta será de la forma y y o = m (x x o ) y o = Ln e = 1 pasa por (e,1) m = y (x o ) Para calcular los limites de integración a y b se hallan los puntos de corte entre las dos funciones Sabiendo que la tangente corta al eje OX en (0, 0) y en (e, 1) y que la y = Ln x lo corta en n x = 0 x = e 0 x = 1 (1, 0) Dibujamos la curva y su tangente Sabiendo que Ln x dx = x Ln x x por integración por partes y aplicando la regla de e e Barrow nos queda que: ; 0 1

24 PAU Junio 1998 = 0 2π -π 0

25 Considérese la región acotada que determinan las curvas y = e x e y = e 2x y la recta x = a; a) Hallar el área de dicha región para a = 1 b) Hallar un valor de a > 0 para que el área de la región sea 2. a) Si a = 1 ==> la recta será x = 1 y este será el límite superior. e x = e 2x ==> 1 = e x ==> Ln 1 = Ln e x ==> 0 = x 1 0 a 0

26 Hallar el area comprendida entre las curvas. e Corte gráfica: ; ; 1-1 Hallar el área finita limitada por la curva de ecuación y = x 2-4x y el eje y = 0 La recta y = 0 corresponde al eje de abscisas OX Si calculamos : Estos dos valores de x, son los límites de integración

27 Hallar el área limitada por la grafica de la función y = cos x y el eje OX en el intervalo [0,2 ] Primero se calculan los posibles puntos de corte con el eje OX con lo que los intervalos [0, /2), ( /2, 3 /2), (3 /2, 2 ) serán los limites de integración en la que se divide el área π/2 0 Hallar el área limitada por la grafica de la función y = sen 2x y el eje OX en el intervalo [0,2 ] Primero se calculan los posibles puntos de corte con el eje OX Los intervalos [0, /2), ( /2, ), (, 3 /2), (3 /2, 2 ] serán los limites de integración en los que se divide el área = 2 [ ( - cos - ( - cos 0) ] = 2 ( 1 + 1) = 4 u 2 /2 0 =

28 Hallar el área limitada por la grafica de la función eje OX en el intervalo [-1, 1]. Dibujar la grafica. y el 1-1 Domínio R. No existen asíntotas verticales. No existen AH ni AO ya que el límite cuando x -> de f(x) y de m son 0 Corta al eje OY Para x = 0 (0, 1) Máximos y mínimos: Posibles Puntos de inflexión:

29 Por ultimo y(-1) = ½ e y(1) = ½

30 Hallar el valor de a para que el area limitada por las graficas Hallamos los cortes entre las dos funciones. a 0

31 La función y = x 3 - ax 2 + 4x + b corta al eje de abcisas en x = 3 y tiene un P.I en x = 2/3. Hallar a y b. Calcular el área que forma la curva entre x = 2/3 y x = 3. Dibujar la grafica Si corta al eje y = 0 en x = 3 es que pasa por (3,0) Si tiene un P.I en x = 2/3 es que y (2/3) = 0 y = 3x 2-2ax + 4; Si pasa por (3,0); y = 6x - 2a 0 = 3 3 a b Si hay P.I en x = 2/3 0= 6 2a 4 2a = 0; 2a = 4; a = 2 0 = 27 9a b; b = b = - 21 La curva tiene de ecuación y = x 3-2x 2 + 4x /3

32 Representar f(x) = x 2 1. Calcular el área entre x = 1 y x = 1.

33 Sabiendo que el área comprendida entre la curva y = x y la recta y = bx, es 1, a) Hallar b. b) Para b = 1, calcular el área que forma la curva con la recta. a) 1/b 2 0 b)

34 Se considera el recinto limitado por las curvas y = x 2, x = 1, x = 2, y = 5x. Hallar el área de dicho recinto, dibujándolo previamente Para dibujar la parábola y = x 2 Para dibujar la recta y = 5x x y x y

35 Sea la función y : a) Representarlo. b) Área de la figura encerrada entre la curva y el eje y = 0. Posibles máximos o mínimos: A

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