Capítulo 3: Cálculo integral

Transcripción

1 (Fundamentos Matemáticos de la Biotecnología) Departamento de Matemáticas Universidad de Murcia

2 Contenidos La integral indefinida Propiedades básicas de la integral indefinida Métodos de integración: por cambio de variable Métodos de integración: por partes Métodos de integración: funciones racionales Métodos de integración: funciones trigonométricas Área de una región Longitud de una curva Volumen y área de un sólido de revolución Integración de funciones de dos variables El teorema de Fubini Integrales dobles sobre dominios del plano

3 La integral indefinida La integral indefinida La integración es el proceso inverso de la derivación y consiste en determinar una función a partir de su derivada. Primitiva de una función Una primitiva de una función f (x) es otra función F (x) tal que F (x) = f (x). Dos primitivas de una función sólo difieren en una constante C: Si F (x) = f (x) = ( F (x) + C ) = f (x). Notación Cualquier primitiva de una función f (x) se representa por lee integral indefinida de f (x). f (x) dx, y se

4 La integral indefinida Propiedades básicas de la integral indefinida Propiedades básicas e integrales inmediatas c dx = cx + C, siendo c una constante. c f (x) dx = c f (x) dx. [f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx ± g(x) dx. Pero [f (x)g(x)] dx f (x) dx g(x) dx! x n dx = x n+1 n C. 1 dx = ln x + C. x e x dx = e x + C...

5 La integral indefinida Métodos de integración: por cambio de variable Integración por cambio de variable Si F es una primitiva de f entonces f ( g(x) ) g (x)dx = F ( g(x) ) + C. Estrategia de resolución Escoger una sustitución u = g(x) adecuada. Hallar du = g (x)dx. Reescribir la integral en términos de u. Calcular la integral en términos de u. Deshacer el cambio de variable u = g(x).

6 La integral indefinida Métodos de integración: por partes Integración por partes Si u y v son funciones de x, entonces u dv = uv v du. Estrategia de resolución Elegir dv para que se ajuste a una fórmula de integración conocida. El resto del integrando será u. O bien, elegir u para que su derivada sea una función más simple. El resto de integrando será dv.

7 La integral indefinida Métodos de integración: funciones racionales Integración de funciones racionales Para resolver la integral de una función racional (cociente de dos polinomios) R(x) = P(x) Q(x), debe ser gr(p) < gr(q). Si gr(p) gr(q), dividimos los polinomios y escribimos P(x) S(x) = C(x) + Q(x) Q(x), donde gr(s) < gr(q). Luego P(x) Q(x) dx = C(x)dx }{{} Inmediata + S(x) Q(x) dx. }{{} La podemos resolver

8 La integral indefinida Métodos de integración: funciones racionales Integración de funciones racionales 1 Factorizar el denominador: Se hallan las raíces de Q(x), reales o complejas. 2 Descomponer en fracciones simples. Por cada factor (ax + b) k, la descomposición debe incluir A 1 ax + b + A 2 (ax + b) A k (ax + b) k. Raíces reales simples, raíces reales múltiples, raíces complejas simples... 3 Integración. La integral de la función racional es la suma de las integrales de todas sumas anteriores.

9 La integral indefinida Métodos de integración: funciones trigonométricas Integración de funciones trigonométricas Se trata de calcular la integral de una integral que sólo involucra senos y cosenos. Se resuelven por cambio de variable. Algunos casos particulares: Si cos x está elevado a una potencia impar, se hace t = sen x. sen 2 x cos x dx = 1 3 sen3 x. Si sen x está elevado a una potencia impar, se hace t = cos x. sen 3 x cos 2 x dx = 1 15 (3 cos5 x 5 cos 3 x). Si ambos cos x y sen x están elevados a una potencia par, se hace t = tg x. sen 2 x cos 2 x dx = x sen(4x). En general, todas pueden resolverse con el cambio t = tg(x/2).

10 Supongamos que queremos calcular el área de la región delimitada por la gráfica de una función f (x), el eje X y las rectas x = a y x = b. Área = b a f (x) dx

11 Si F (x) es una primitiva de f (x), la integral definida de f en [a, b] es F (b) F (a), se escribe b a f (x) dx = F (b) F (a), y mide el área de la región delimitada por la gráfica de f, el eje X, y las rectas x = a y x = b. b a a a f (x) dx = f (x) dx = 0. a b f (x) dx.

12 Área de una región Cálculo de áreas de regiones 1 Podemos calcular el área encerrada por una curva en un cierto intervalo. El área encerrada por la gráfica de la función y = x 2, entre x = 0 y x = 2 es 8/3.

13 Área de una región Cálculo de áreas de regiones 1 Podemos calcular el área encerrada por una curva en un cierto intervalo. 2 Pero también podemos calcular el área encerrada por dos curvas: para ello hay que calcular sus puntos de corte y saber cuál está por encima. El área encerrada por las curvas y = (x 1) 2 e y = x + 1 es 9/2.

14 Área de una región Cálculo de áreas de regiones 1 Podemos calcular el área encerrada por una curva en un cierto intervalo. 2 Pero también podemos calcular el área encerrada por dos curvas: para ello hay que calcular sus puntos de corte y saber cuál está por encima. 3 Pero cuidado!, pues la curva podría cortar al eje X. En tal caso, el área de la región que queda por debajo es negativa!. El área encerrada por la curva y = sen(2x) entre x = 0 y x = π es 2.

15 Longitud de una curva Aplicación de la integral al cálculo de longitudes... también permite calcular longitudes: la longitud de la curva dada por la gráfica de una función y = f (x) entre los valores x = a y x = b es b L b a(f ) = 1 + f (x) 2 dx. a

16 Volumen y área de un sólido de revolución...y de volúmenes y áreas de sólidos de revolución Si rotamos la curva alrededor del eje Y : V = π d c g(y) 2 dy, d A = 2π g(y) 1 + g (y) 2 dy. c

17 Volumen y área de un sólido de revolución...y de volúmenes y áreas de sólidos de revolución Si rotamos la curva alrededor del eje X : V = π A = 2π b a b a f (x) 2 dx, f (x) 1 + f (x) 2 dx.

18 Integración de funciones de dos variables El teorema de Fubini Integrales dobles sobre rectángulos Sea f (x, y) una función continua definida en el rectángulo R = { (x, y) R 2 : a x b, c y d }. Integral doble Se define la integral doble de la función f (x, y) sobre el rectángulo R como ( d ) b f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy. R c a Un resultado fundamental: EL teorema de Fubini ( d ) b ( b ) d f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx. R c a a c

19 Integración de funciones de dos variables Integrales dobles sobre dominios del plano Integrales sobre dominios limitados por curvas Calculamos la integral de una función F (x, y) en un recinto D, que está limitado por dos curvas f (x) y g(x): Para cada x (a, b) consideramos los correspondientes puntos de las curvas ( x, g(x) ) y ( x, f (x) ). Entonces, si f está por encima de g: F (x, y) dx dy = b D a g(x) ( ) f (x) F (x, y) dy dx.