Integración en una variable (repaso)

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1 Análisis I Matemática I Análisis II (C) Primer Cuatrimestre - 2 Práctica 8: Integración Integración en una variable (repaso). Calcular: sen x. 2π sen x. El área entre las curvas y = sen x, y =, x =, x = 2π. 2. Calcular: xsen x. sen 2 x cos x. xe x2. e x sen x. 3x 2 x 2 + x 2. ln x. 3. Hallar el área encerrada por las curvas: y = x 3 e y = x. y = x 3 x y la recta tangente a esta curva en x =. y = 2x 3 9x 2 + 2x + y la recta y = 2 entre x = y x = Calcular e x. Hallar el área encerrada por las curvas: y =, y =, y = log x y x =. Sugerencia: ibujar la región y usar a). 5. Calcular: 3 3 x 2. x x 2 +. x x. 4 π π x 3. sen ( x ).

2 Integrales impropias 6. Para todos los valores reales de p >, estudiar la convergencia o divergencia de las integrales: i. x p ii. x p iii. x p Observación: ividir los valores de p de la siguiente manera: < p <, p = y p >. elacionar los resultados obtenidos con el hecho de que para x >, x p y x p son funciones inversas y, por lo tanto, el gráco de una es el de la otra reejado respecto de la recta y = x. 7. Analizar la convergencia de las siguientes integrales impropias: 2 x ln 2 x. x 2. e kx. arctan x + x 2. (g) (h) + x 2. x 2 + 4x x 3. x + x 5. (i) (j) (k) (l) 3 ( x). 3 x 2 4 x 2 sen x + cos x. sen (2x). x 4. En los ítems i), k) y l) estudiar, además, el valor principal. 8. Sea f : una función. ecidir si son verdaderas o falsas las siguientes armaciones: Si f es continua y positiva tal que lim f(x) = a >, entonces f(x) = + Si f es continua y positiva tal que lim f(x) = a >, entonces f(x) = x Si f es continua y decreciente con Si f es una continua y positiva con. 4 4 f(x) = 3, entonces el f(x) = 8, entonces el lim f(x) =. lim f(x) = Si f es continua y positiva con lim f(x) =, entonces f(x) < +. 2

3 9. Para los distintos valores de p analizar la convergencia de x p ( + x 2 ).. Analizar la convergencia de la siguiente integral ln(x) + (x ) 2. Sugerencia: x =. Calcular los primeros términos del polinomio de Taylor de ln(x) en. Analizar la existencia de la siguiente integral impropia 2 e x x3 + 3x 2 2x. Integrales dobles 2. Evaluar cada una de las integrales siguientes si = [, ] [, ]: (x 3 + y 2 ) dy. (x m y n ) dy, donde m, n >. ye xy dy. (ax + by + c) dy. (xy) 2 cos x 3 dy. (g) sen (x + y) dy. ln[(x + )(y + )] dy. (h) (x 2 + 2xy + yx /2 ) dy. 3. Calcular el volumen del sólido acotado por el plano xz, el plano yz, el plano xy, los planos x = y y =, y la supercie z = x 2 + y Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] y [c, d], respectivamente. Mostrar que si consideramos el rectángulo = [a, b] [c, d] entonces [f(x)g(y)] dy = b a f(x) d c g(y) dy. 5. Calcular el volumen del sólido acotado por la supercie z = sen y, los planos x =, x =, y =, y = π/2 y el plano xy. 6. Calcular el volumen del sólido acotado por la gráca z = x 2 + y, el rectángulo = [, ] [, 2] y los lados verticales de. 3

4 7. Sean F C 2 y f(x, y) = 2 F (x, y). Calcular x y F. b d a c f(x, y) dy en términos de 8. Gracar las regiones determinadas por los límites de integración de las siguientes integrales y calcular las integrales iteradas. x 2 2 3x+ 2x e x x 2 x 3 2 y 2 3 x x dy. dy. (x + y) dy. y dy. (x 2 + y) dy e x+y dy. (g) (h) (i) (j) (k) (l) ( x 2 ) /2 π/2 cos x y 2( x 2 ) /2 π sen y x+ x 3 dy. ysen x dy. y 2 (x n + y m ) dy (m, n > ). y dy. x dy. (y 2 + ) dy. 9. Sea f : [, ] [, ] denida por: {, si x es racional f(x, y) = 2y, si x no es racional Mostrar que la integral iterada ¾Existe la otra integral iterada? [ ] f(x, y) dy existe pero f no es integrable. 2. Usar integrales dobles para calcular el área de un círculo de radio r y el área de una elipse con semiejes de longitud a y b. 2. Calcular el área de: la región limitada por la recta y = x y por la curva y = x 2. la región formada por todos los puntos (x, y) tales que x + y a, a. la región formada por todos los puntos (x, y) tales que x, x 2 + y 2 2, x 2 + y Calcular (xsen x + ysen (x + y)) dy T siendo T el triángulo de vértices (, ), (, ) y (3, 3). 4

5 23. Sea la región acotada por los semiejes positivos de x e y y la recta 3x + 4y =. Calcular (x 2 + y 2 ) dy. 24. Sea la región acotada por el eje y y la parábola x = 4y Calcular x 3 y dy. 25. Calcular el volumen de un cono de base de radio r y altura h. 26. Calcular el volumen de las siguientes regiones: : encerrada por la supercie z = x 2 + y 2 y el plano z =. : encerrada por el cono de altura 4 dado por z 2 = x 2 + y 2. : encerrada por las supercies x 2 + y 2 = z y x 2 + y 2 + z 2 = 2. : elipsoide con semiejes a,b y c. : determinada por x 2 + y 2 + z 2 y z En las integrales siguientes, cambiar el orden de integración, gracar las regiones correspondientes y evaluar la integral por los dos caminos. x 2 y 3x 2x xy dy. (x + y) 2 dy. x 2 y dy. 28. Calcular y 2 x /2 dy donde y 3 (9 y 2 ) /2 3 (x + y) 2 dy. (9 y 2 ) /2 x 2 dy. = {(x, y) 2 : x >, y > x 2, y < x 2 } 29. Sea la región limitada por las rectas y = 2, y = x, y = 2x e y =. Calcular la 2 siguiente integral x 2 y da 3. Sea = {(x, y) 2 : x ; x y } Calcular la siguiente integral 3. Calcular T cos ( ) x y e x y dy donde T es el triángulo con vértices (, ), (, 3), y (2, 2). 5 da

6 32. Sea T la región "triangular" limitada por las rectas y = x, y = 2 y la curva y = x. Calcular e x y da. Integrales triples 33. Calcular: (xyz + x 2 y 2 z 2 ) dv, donde C = [, ] [ 3, 2] [, ]. C (x cos z + y cos x + z cos y) dv, donde C = [, π] [, π] [, π]. C 34. Calcular el volumen de una esfera de radio r. 35. Calcular: x dv, donde es la región limitada por, x =, y =, z = 2, z = x 2 +y 2. x 2 cos z dv, donde es la región limitada por, z =, z = π, y =, x =, x + y =. dv, donde es la región limitada por, z = x 2 + 3y 2 y z = 9 x 2. (x + y + z) dv, donde = {(x, y, z) 3 : (x, y, z) }. (x 3 + y + z) dv, donde = {(x, y, z) 3 : z [, ], x 2 + y 2 }. 36. Calcular 2x x 2 +y 2 x+y dzdy y gracar la región de integración. 37. Cambiar el orden de integración en x y f(x, y, z) dzdy para obtener otras cinco formas de realizar la misma integración. Gracar la región de integración. 38. Sea B = {(x, y, z) 3 : (x, y, z) }. emostrar que si f es una función continua en B, impar respecto de z (es decir f(x, y, z) = f(x, y, z)), entonces f(x, y, z) dv =. ¾Para que otras regiones vale este resultado? (dar ejemplos). B 39. Sea la región determinada por las condiciones x, y y z xy. 6

7 Hallar el volumen de. Calcular x dydz. Calcular y dydz. Calcular Calcular z dydz. xy dydz. 7