INTEGRALES MÚLTIPLES

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1 INTEGALES MÚLTIPLES Introducción: Si f es una función definida sobre una región, la integral doble se puede interpretar como el volumen del sólido limitado superiormente por la superficie z = f(,, inferiormente por el plano XY lateralmente por la el borde de la región, el cual se obtiene sumando los paralelepípedos de áreas k A alturas f( k, k ). Si la región se subdivide en n subregiones de pequeñas áreas k A, entonces se tiene que n Lím f ( k, k ) k A = L = f (, da. n k = efinición: Una función f(, es integrable en una región, si eiste un número L, tal que Lím n n = k f (, ) A L. La condición para que f sea integrable en la región es que sea k k k = continua en dicha región. Propiedades: Si c, f g son integrables en una región, =, =, entonces: a) cf (, da = c f (, da ± b) ( f (, ± g(, ) da = f (, da g(, da c) Si f(, g(, en, entonces f (, da g(, da. d) Si f(, es acotada en, (es decir, m f(, M para todo (, ) A es el área de la región, entonces + ma f (, da MA. e) f (, da = f (, da f (, da. Teorema de Fubini: Este teorema consta de tres partes: la primera nos permite evaluar integrales dobles sobre regiones rectangulares cambiar el orden de integración; la segunda la tercera nos permiten evaluar integrales dobles sobre cualquier región.

2 a) Si f es una función continua en la región = [a,b][c,d], entonces se tiene que b d a c d b f (, dd = f (, dd. Estas integrales se llaman integrales iteradas. c a b) Si f es una función continua en, es la región definida por a b, g () g (), g () g () son continuas en el intervalo [a,b], entonces: g b f, da = ( f (, dd. a g c) Si f es una función continua en, es la región definida por c d, h ( h (, h ( h ( son continuas en el intervalo [c,d], entonces: h d f, da = ( f (, dd. c h Áreas: el área de la región limitada por las curvas = g (), = g (), con g () g () en [a,b] está dada por A = b g a g dd. Volumen: El volumen del sólido limitado por el plano XY, la superficie z = f(, la región ( limitada por las curvas = g (), = g () con g () > g () en [a,b] ) está dado por V = g b a g f (, dd. ) Considere la integral I = A(,), B(,), C(,) (,). e da, donde es la región rectangular con vértices a) etermine un intervalo cerrado que contenga el valor de la integral I en la región. b) Encuentre números p q tales que l I p l > q. ) Considere la integral I = + A(,), B(,), C(,) (,). ( ) da, donde es la región rectangular con vértices a) Encuentre un intervalo cerrado que contenga el valor de la integral I en la región. b) Encuentre números p q tales que l I p l > q.

3 ) Considere la integral I = + ( Sen Sen da, donde es la región rectangular con vértices A(,), B(π,), C(,π) (π,π). a) Encuentre un intervalo cerrado que contenga el valor de la integral I en la región. b) Encuentre números p q tales que l I p l > q. 4) ibuje la región de integración evalúe la integral: ππ Sen + dd b) a) ( Cos π ln 8 ln e + dd π Sen c) dd dd d) + 4 e) 4 e dd f) 9+ dd g) + i) + dd dd 5) Integre f(, = h) e dd + + dd j) 4 sobre el sector más pequeño cortado del disco + 4 por los raos θ = π/6 θ = π/. 6) Calcular la integral iterada, cambie el orden de integración si es necesario: a) e dd 4 b) Sen( π ) c) d) e e dd dd Sen e) dd f) dd dd 4 g) 4 4 h) i) 6dd e dd 4 e / π + Cos j) 8 dd dd k) 4 + Sendd

4 l) Sen ( ) 4 dd m) Sen( ) n) + ln o) dd ln( e dd dd + + 7) Justifique la igualdad e dd = + + p) ( dd + )( ) q) e + + r) e + 4 e d. ( + 8) etermine el valor de la integral doble en la región indicada: a) + dd ( + ) Cos ( da, es la región limitada por =, = π, eje X. b) c) d) e) dd 9 da, es la región limitada por la circunferencia + = 9. da, es la región limitada por =, =, =. da f) + g) h), es la región del primer cuadrante del plano XY limitada por = 4. da, es el rectángulo [,][,]. ( ) da, es el triángulo de vértices A(,), B(,) C(,). Cos ( da, es el rectángulo [,π][,]. ( da, es la región del primer cuadrante del plano XY limitada por la recta + =. e ln da, es la región del primer cuadrante del plano XY, que está arriba de i) ( ) j) = ln(, entre las rectas =, =. ln da, es la región limitada por el rectángulo [,][,]. e k) da, es la región limitada en el primer cuadrante por las líneas =, =. 9) Calcule el área de la región limitada por las líneas = 9, = 9.

5 ) Calcule el área de la región limitada por las líneas = 4, 4 =. ) El volumen de cierto sólido cilíndrico recto (no circular) que tiene su base sobre el plano XY está dado por V = ( + ) dd + ( + ) dd. a) Bosqueja la región de integración. b) Eprese V como una sola integral. ) Calcule el volumen del sólido limitado por la superficie planos XY, XZ, YZ, =, =. f (, = 4 los 9 6 ) Calcule el volumen del sólido limitado por f(, = + 4, + 4 = 4, está por encima del plano XY. 4) Calcule el volumen del sólido que está limitado superiormente por el plano z 4 =, inferiormente por el plano XY, lateralmente por el cilindro + = 6. z 5) Calcule el volumen del poliedro limitado por los planos + + =, XY, XZ YZ. a b c a>, b>, c>. 6) Calcule el volumen del sólido limitado en el primer octante del sistema XYZ por los cilindros + = a, + z = a. 7) etermine el volumen del sólido limitado en el primer octante del sistema XYZ por + z =, =, =. z 8) Calcule el volumen del sólido limitado por el elipsoide + + =. a b c 9) Calcule el volumen del sólido limitado superiormente por z = a, inferiormente por z = a. ) Hallar el volumen en el primer octante del sólido limitado por los planos + + = z, z =, al interior del cilindro + = 6. ) Hallar el volumen del sólido limitado por el cilindro + = 4 los planos + z = 4, z =. ) Hallar el volumen del sólido limitado por z =, z = + 4, los cilindros =, =. ) Hallar el volumen de la porción de cilindro 4 + = a comprendida entre los planos z =, z = m. 4) Encuentre el volumen del sólido limitado por el paraboloide + = 4z, el cilindro 8 = + el plano z =.

6 5) Qué cantidad de volumen se remueve cuando se aplica un taladro de radio a sobre una esfera de radio a, si el eje del orificio es un diámetro de la esfera? 6) Encuentre el volumen del sólido limitado superiormente por z = 6 limitado inferiormente por el plano z =. 7) Encuentre el volumen del sólido limitado por + z = 4 + z + = 6, delante de =. 8) Un sólido está limitado superiormente por el paraboloide z = +, inferiormente por el plano z =, lateralmente por los planos =, + =, =. Cuál es su volumen? 9) Encuentre el volumen del sólido cortado de la columna cuadrada ll + ll por los planos z =, z =. ) Encuentre el volumen de un sólido cua base se encuentra en el plano XY limitada por las líneas = 4 = ; la parte superior es el plano z = 4 +. ) Encuentre el volumen de la cuña cortada del primer octante por el cilindro z = el plano + =. ) Encuentre el volumen de un sólido limitado al frente atrás por los planos =, = ; a los lados por los cilindros = /, = -/ ; arriba abajo por los planos z =, z = +. ) Encuentre el volumen del sólido limitado por la superficie z = ( + ) ( + ) el plano z =, para,. 4) Encuentre el volumen del sólido limitado por la superficie z = e -(+/ el plano z =, para,. 5) El valor medio de f(, sobre la región está dado por f = f (, da, donde A es A el área de la región. Encuentre el valor medio de la siguientes funciones en la región dada: a) f(, = ; es el polígono con vértices (,), (4,), (4,) (,). b) f(, = + ; es el polígono con vértices (,), (,), (,) (,). c) f(, = e + ; es el triángulo con vértices (,), (,) (,).

7 d) f(, = Cos( ; es el rectángulo [,π][,]. e) f(, = f) f(, = + ; es el triángulo con vértives (-,), (,-) (,) ; es la región limitada por la elipse = 6) Calcular el área de la porción del plano z = a -, que está encima del círculo + = a en el primer cuadrante. 7) Calcular el área de la porción de superficie f(, = +, que está encima de la región triangular de vértices (,,), (,-,) (,,). 8) Calcular el área de la superficie dada por z = + sobre la región definida por el triángulo de vértices (,,), (,,) (,,). 9) Encuentre el área de la superficie z = + sobre la región cuos vértices son (,,), (,,), (,,) (,,). 4) Encuentre el área de la superficie z = sobre la región definida como {(, + 4}. 4) Encuentre el área de la superficie f(, = 9 sobre la región cuos vértices son (,,), (,,), (,,) (,,). 4) Encuentre el área de la superficie f(, = + / sobre la región cuos vértices son (,,), (,4,), (,4,) (,,). 4) Encuentre el área de la superficie f(, = + sobre la región cuos vértices son (,,), (,,) (,,). 44) Encuentre el área de la superficie f (, = + sobre la región definida como (,,. { } 45) Encuentre el área de la superficie f(, = lnlsecl sobre la región definida como {, / 4, Tan} ( π.

8 46) Calcule el área de la porción del cono + = z situada por encima del plano XY, interior al cilindro + = 4. 47) Calcule el área de la superficie del sólido limitado por los cilindros + z = 6 + = 6. 48) Hallar el área de la porción de la esfera + + z = 6 eterior al paraboloide + + z = 6. 49) Hallar el área de la porción del cilindro + = 6 situada dentro de la esfera + + z = 6. 5) Hallar el área de la porción del cono z = + interior al prisma vertical cua base es el triángulo limitado por las rectas =, =, = en el plano XY. 5) Calcule las siguientes integrales cartesianas pasando a una integral polar equivalente: a) ( + ) dd b) dd a a a a c) dd + + ln (ln ) d) e + dd e) + + g) e e ( + ) ( + ) dd dd f) i) + dd ( + ) dd ( + + ) 5) Calcule la integral Senθ da, donde es la región del primer cuadrante que se encuentra dentro de la circunferencia r = 4Cosθ, por fuera de la circunferencia r =. 5) Calcule la integral e por la circunferencia + = a. dd, donde es la región del primer cuadrante encerrada da 54) Calcule la integral a + +, donde es la región encerrada por la circunferencia + = a.

9 55) Calcule la integral ln ( + + a) encerrada por la circunferencia + = a. 56) Calcule la integral a + circunferencia + = a. 57) Calcule la integral ( + ) + = a. da + da, donde es la región del primer cuadrante, donde es la región encerrada por la d, donde es la región limitada por la circunferencia 58) Calcule la integral a dd, donde es la región encerrada por la hoja de la lemniscata ( + ) = a ( ), para. 59) Integre la función ln( + ) f (, = sobre la región + e. + 6) Calcular el área de la región limitada por la curva cerrada r = Cos(θ). 6) Encuentre el área de la región que se encuentra por fuera de la circunferencia r = a, por dentro del cardioide r = a + acosθ. 6) Encuentre el área de la región encerrada por la curva ( + ) = a ( ). 6) Use coordenadas polares para hallar el área de la región limitada por las líneas + =, + = 4, =, =. 64) Encuentre el área de la región cortada del primer cuadrante por la curva r = ( Senθ) /. 65) Encuentre el área de la región que se encuentra dentro del cardioide r = a + acosθ por fuera de la circunferencia r = a. 66) Encuentre el área de la región que se encuentra dentro del lazo grande por fuera del lazo pequeño del caracol r = 4Senθ. 67) Encuentre el área de la región que se encuentra dentro del caracol r = Cosθ por fuera de la circunferencia r = 5Cosθ. 68) Encuentre el área de la región del primer cuadrante interior al cardioide r = a + asenθ. 69) Encuentre el área de la región común a los cardioides r = a + acosθ r = a acosθ.

10 7) Encuentre la altura promedio del hemisferio z = + a. a sobre el disco 7) La base de un cilindro sólido recto se encuentra sobre el plano z = limitada por el cardioide r = a + acosθ por fuera de la circunferencia r = a; el techo del cilindro es la proección de la base sobre el plano z =. Encuentre el volumen del cilindro. 7) La base de un cilindro recto sólido es la región encerrada por la lemniscata ( + ) = ( ) en el plano z =, en la parte superior el cilindro está limitado por la esfera + + z =. Encuentre el volumen del cilindro. 7) Encuentre el volumen del sólido que se obtiene al cortar la esfera + + z = 4 por el cilindro + = 4. 74) Calcule el volumen del sólido cilíndrico limitado superiormente por la superficie z = +, si la base está es la región común encerrada por los cilindros + (-) = (-) + =. 75) Encuentre el volumen del sólido que se obtiene al cortar la esfera + + z = 4 por el cilindro + = 4. 76) Encuentre el volumen del sólido limitado por el paraboloide z = 4, el plano z =, el cilindro + =. 77) Calcule el volumen del sólido limitado por el plano XY, la superficie el cilindro + = r. ae ( + ) z = 78) Calcule el área de la superficie de la mitad superior de la esfera + + = a. 79) Hallar el área de la parte del cono z = + cortada por el cilindro ( + ) = a ( ). 8) Calcular el área de la superficie halicoidal z = Arctan( / ), situada en el primer octante que está comprendida entre los cilindros + = a + = b. ( b>a ).

11 Introducción: Si f es una función definida sobre una región del espacio, la integral triple n se define como Lím f ( k, k, zk ) kv = L = f (,, dv. Si f(,,= entonces n = k la integral triple representa el volumen de la región. Cambio de coordenadas: Si = (u,v,w), = (u,v,w), z = z(u,v,w) (,, entonces f (,, dv = f ( u, v, w) J ( u, v, w) dudvdw donde J(u,v,w) =. ( u, v, w) (eterminante Jacobiano Coordenadas cilíndricas: Si = rcosθ, = rsenθ, z = z, r = +, entonces J(r,θ, = r. La integral triple se convierte en f,, dv ( = f ( r, θ, rdzdrdθ. Coordenadas esféricas: Si = ρ Senφ Cosθ, = ρ Senφ Senθ, z = ρ Cosφ, + + z = ρ, entonces J(ρ,φ,θ) = ρ Senφ la integral triple se convierte en f ( ρ, φ, θ ) ρ Senφ dρ dφ dθ. f (,, dv = Cálculo de masa: Si es una región sólida, cua densidad en cada punto (,, está dada por d = f(,,, entonces la masa del sólido es M = f (,, dv. Cálculo de momentos: Si es una región sólida, cua densidad en cada punto (,, está dada por d = f(,,, entonces los momentos con respecto a los planos coordenados = (plano, = (plano, z= (plano están dados por: Mz f (,, dv, momento con respecto al plano =. a) = Mz f (,, dv, momento con respecto al plano =. b) = M zf (,, dv, momento con respecto al plano z =. c) = Cálculo del centro de masa: Si es una región sólida, cua densidad en cada punto (,, está dada por d = f(,,, entonces el centro de masa del sólido es el punto Mz Mz M (,, =,,. Si d = f(,, es constante entonces el centro de masa recibe M M M el nombre de centroide.

12 Cálculo de momentos de inercia: Si es una región sólida, cua densidad en cada punto (,, está dada por d = f(,,, entonces los momentos estáticos con respecto a los ejes están dados por: a) = + I z f (,, dv, momento de inercia con respecto al eje X. b) = + I z f (,, dv, momento de inercia con respecto al eje Y. c) = + Iz f (,, dv, momento de inercia con respecto al eje Z. d) = ( (,, ) I f (,, dv, momento de inercia con respecto a la recta L, donde L (,, es la distancia de cada punto del sólido a la recta L. ) Calcule las siguientes integrales triples: eπ / a) e ln( Tan( ) ddzd z b) + zddzd z π / π / c) Sen ( ) dzdd d) 4 ze dddz 4 z e) + e e e g) dddz z dddz π π π f) Cos + + e e e h) ( dddz ln( ) ln( ln( dzdd i) dzdd ( z ) 4 j) 4Cos( z ) dddz k) ln() z ze dddz l) z π e Sen( π ) dddz a a a m) a dzdd z n) dzdd ( + )( + )( + z )

13 ) Qué valor debe tomar a para que 4 a 4 a 4 dzdd =? 5 ) Calcule las siguientes integrales triples en la región dada: a) Sen ( dv ; donde es el paralelepípedo limitado por los planos coordenados los planos = π, = π/, z = π/. b) zdv ; donde es la región limitada por los cilindros + = a, + z = a. c) + + ( dddz ; donde es la parte común del paraboloide az + la esfera + + z a. + z + d) a b c z dddz ; donde es el interior del elipsoide + + =. a b c dddz e) ; donde es la región limitada por los planos coordenados el ( + + z + ) plano + + z =. 4) Calcule el volumen del sólido limitado por el paraboloide + = z por el cilindro + z = 4. z 5) Calcule el volumen del sólido limitado por el elipsoide + + =. a b c 6) Encuentre el volumen del sólido limitado por las superficies z = +, z = 8. 7) Calcule el volumen del tetraedro cuos vértices son los puntos (,,), (,,), (,,) (,,). 8) Encuentre el volumen del tetraedro cuos vértices son los puntos (-,-,-), (,,), (4,,) (,,4). 9) Eprese las 6 integrales iteradas para calcular el volumen del tetraedro limitado en el primer octante por el plano z = 6. Calcule el volumen. ) Eprese las 6 integrales iteradas para calcular el volumen del sólido limitado en el primer octante por el cilindro + z = 4 el plano =. ) Calcule el volumen del sólido limitado por el paraboloide z = + el plano z =. ) Calcule el volumen del sólido limitado arriba abajo por el clindro z = el plano ; lateralmente por los planos =, =, = -, =.

14 ) Encuentre el volumen de la región limitada por los planos coordenados los planos + z =, + z =. 4) Encuentre el volumen del tetraedro limitado en el primer octante por el plano z + + =. a>, b>, c>. a b c 5) Encuentre el volumen de la región común a los interiores de los cilindros + = a, + z = a. 6) Calcule el volumen del sólido del primer octante limitado por el plano + = 4 el cilindro + 4z = 6. 7) Calcule el volumen de la sección cortada del cilindro + = 4 por el plano z = el plano + z =. 8) Encuentre el volumen de la región del primer octante que se encuentra entre los planos + + z =, + + z = 4. 9) Calcule el momento respecto al plano z = de la región cortada del cilindro elíptico + 4 = 4 por el plano el plano z = +. ) Calcule la masa del sólido limitado superiormente por z = +, inferiormente por z =, lateralmente por + ( ) =, teniendo en cuenta que la densidad en cualquier punto es proporcional al cuadrado de su distancia al origen. Use coordenadas cilíndricas para resolver los problemas del al 44: ) Convierta la integral coordenadas cilíndricas. ( + ) dzdd en una integral equivalente en ) Calcule el volumen el primer octante del sólido limitado por el paraboloide + = el cono z = +. ) Un sólido se encuentra limitado por z = +, z =, lateralmente por + = a (a>). Encuentre el centro de gravedad de este sólido, si es de densidad igual a. 4) Un sólido homogéneo en forma de cilindro circular recto tiene radio a, altura h. Obtenga el momento de inercia del cilindro con respecto a su eje. 5) Calcule la masa de una semiesfera sólida de radio a, si la densidad del volumen en cualquier punto (,, es proporcional a la distancia del punto al eje del sólido. 6) etermine el volumen del sólido encerrado por la esfera + + z = a. 7) Calcule el volumen del sólido en el primer octante limitado por el cilindro + = el plano z =. 8) Calcule el volumen del sólido acotado por el paraboloide + + z = el plano z = 8.

15 9) Calcule el volumen del sólido limitado superiormente por la esfera + + z = 4a, inferiormente por el plano z =, lateralmente por el cilindro + = a. ) Calcule el volumen del sólido limitado superiormente por el plano z = 4, inferiormente por el plano z =, lateralmente por el paraboloide + =. ) La base de un cilindro recto sólido está en el plano z =, esta base está por fuera de la circunferencia + = por dentro del cardioide + = + superior se encuentra en el plano z = La parte ) Calcule el centro de masa de un sólido recto homogeneo cua base es la región del plano que se encuentra entre las circunferencias + =, + =, la parte superior se encuentra en el plano z =. ) Halle el volumen del prisma cua base es el triángulo del plano limitado por las líneas =, =, =. La parte superior está en el plano z =. 4) Hallar la masa del sólido limitado por el semielipsoide superior z = 6, si la densidad en un punto es proporcional a la distancia entre el punto el plano. 5) Calcule el momento de inercia respecto al eje de simetría (eje Z) del sólido limitado por la superficie z = + el plano z = 4; si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia entre el punto el eje Z. 6) Calcule el volumen el centro de masa del sólido limitado por las superficies + = 4, z = +, z =, si la densidad en cualquier punto es igual a. 7) Encuentre el volumen de la sección de la esfera sólida + + z = 4 que se encuentra al interior del cilindro + =. 8) Encuentre el volumen del sólido limitado superiormente por z = e inferiormente por z = +. 9) Un cilindro circular recto con pared + es cortado por el cono z = +. Cuál es el volumen del sólido resultante? 4) Encuentre el volumen de la región que se encuentra dentro del cilindro + = 4, entre los planos + z = 4, z =. 4) Encuentre el volumen de la región limitada por los paraboloides z = 5 - -, z = 4( + ). 4) Encuentre el volumen de la sección cortada del cilindro + por la esfera + + z = 4. 4) Encuentre el volumen de la región limitada abajo arriba por los paraboloides z = +, z = + +, al interior del cilindro + =.

16 44) Encuentre el volumen del sólido cilíndrico que se encuentra dentro de la esfera + + z = 9a, por fuera del cilindro + = a por dentro del cilindro + = 4a. 45) Encuentre el volumen del sólido cilíndrico que se encuentra limitado arriba abajo por el cono z = +, lateralmente por fuera del cilindro + = a por dentro del cilindro + = 4a. Use coordenadas esféricas para resolver los problemas del 46 al 6. 46) Considere el sólido que se encuentra al interior del cono z = + dentro del hemisferio superior de + + z = a. a) Encuentre el volumen del sólido. b) Si la densidad volumínica es, Cuál es el momento de inercia con respecto al eje X, eje Y eje Z? 47) Encuentre la masa de la porción de la esfera + + z = a que se encuentra en el primer octante, si la densidad volumínica en cualquier punto de la esfera es proporcional a la distancia del punto al centro de la base. 48) Obtenga la masa del cascarón esférico limitado por las esferas + + z = 4, + + z = 9; si la densidad volumínica en cualquier punto es k + + z. 49) Encuentre el volumen de la porción de la esfera + + z = a que se encuentra por fuera del cono z = +. 5) Encuentre el volumen del sólido limitado por la esfera + + z az =, que se encuentra en el interior del cono z = +. 5) Calcule el centro de gravedad de un cono circular recto sólido homogeneo de altura h radio r. 5) Encuentre el volumen del sólido limitado superiormente por el hemisferio + + z = 4, ( z > ), e inferiormente por la esfera + + z z =. 5) Encuentre el volumen del sólido limitado por el cardioide de revolución ( + + z ) = + + z - z. 54) Calcule el volumen del sólido limitado inferiormente por la esfera + + z = z, superiormente por el cono z = +. 55) Encuentre el volumen del casquete más pequeño cortado de la esfera + + z = 4 por el plano z =.

17 56) Encuentre el volumen de sólido que se encuentra por dentro de la esfera + + z = a por fuera del cono z = +. 57) Encuentre el volumen del sólido encerrado por el cono z = z = z =. +, entre los planos 58) Encuentre el volumen del sólido limitado abajo por el plano XY, lateralmente por la esfera + + z = 4, arriba por el cono z = +. 59) Encuentre el volumen de la región limitada superiormente por la esfera + + z =, inferiormente por el paraboloide z = +. 6) Encuentre el volumen del sólido que se encuentra por dentro de la esfera + + z = por fuera del cilindro + =. 6) Encuentre el volumen del sólido limitado superiormente por el cono z = inferiormente por el cono z = +, lateralmente por el cilindro + = a. +, 6) Encuentre el volumen del sólido limitado superiormente por el cono z = inferiormente por el cono z = +, al interior de la esfera + + z = az. +, 6) Calcule el volumen del sólido que se encuentra dentro del cilindro + =, limitado superiormente por z = +, inferiormente por el plano XY. esuelvas los siguientes problemas, haciendo el cambio de variables recomendado: 64) esuelva cada sistema encuentre el valor del jacobiano a) u = ; v = + (, ( u, v) o (,, ( u, v, w) : b) u = + ; v = c) u = +, v = + 4 d) u = ; v = - + e) = ucos(v) ; = usen(v) f) = e u Sen(v) ; = e u Cos(v) g) = ucosθ vsenθ ; = usenθ + vcosθ. h) = u ; = v 4 ; z = ( w 4 )/ i) /a = u ; /b = v ; z/c = w 65) Considere la región en el sistema rectangular XY limitada por el paralelogramo con vértices en A(,), B(,), C(,) (,). Encuentre la imagen de la región dibújela en el plano UV, bajo cada una de las siguientes transformaciones: a) u = ; v = +

18 b) u = + ; v = c) u = +, v = + 4 d) u = ; v = - + e) u = + ; v = 66) Use la transformación ( u = ; v = + ), para evaluar la integral ( ) dd para la región en el primer cuadrante del plano XY limitada por las rectas = -+4, = -+7, = -, = +. 67) Use la transformación ( u = +, v = + 4 ), para evaluar la integral ( ) dd para la región en el primer cuadrante del plano XY limitada + por las rectas = +, = +, =, = ) Use la transformación ( u = ; v = - + ), para evaluar la integral ( dd para la región limitada por el paralelogramo del plano XY con fronteras = -, =, =, = +. 69) Use la transformación ( = u/v ; = uv ), para evaluar la integral ( + dd para la región en el primer cuadrante del plano XY limitada por las hipérbolas =, = 9 las rectas =, = 4. 7) Una placa delgada de densidad constante cubre la región limitada por la elipse /a + /b = en el plano XY. Use la transformación ( = arcosθ, = brsenθ ) para calcular el primer momento de la placa respecto al origen. 7) Use la transformación ( = au ; = bv ) para calcular el área limitada por la elipse /a + /b =. 7) Use la transformación ( u = + ; v = ) para evaluar la integral / ( + e dd. 7) Use la transformación ( = u +.5v ; = v ) para evaluar la integral ( + 4) / / ( ) ( e dd. 74) Use la transformación ( = au ; = bv ; z = cw ) para calcular el volumen del elipsoide /a + /b + z /c =.

19 75) Sea la región en el espacio XYZ definida por las desigualdades,, z. Evalúe la integral ( + dddz, aplicando la transformación ( u = ; v = ; w = z ). + 76) Use la transformación ( u = + ; v = ), para calcular e dd en la región = { (, : -, ll ll }. 77) Use la transformación ( u = + ; v = ), para calcular ( + Sen ( en la región cuadrada con vértices A(,), B(,), C(,) (,) da 78) Use la transformación ( u = ( + ; v = ( ) para calcular la integral 5 5 ( + Arctan( dd, donde es la región del plano XY limitada por el paralelogramo con vértices A(,), B(,), C(,) (,). 79) Use la transformación ( = u ; = v/u ) para calcular + región acotada por las líneas =, = 4, =, = 4 da, donde es la 8) Use un cambio de variables para calcular ( + ( 4 da, donde es la región limitada por el paralelogramo con vértices A(,), B(,), C(5,) (4,-). 8) Use un cambio de variables para calcular ( + Sen ( da, donde es la región cuadrada con vértices A(π,), B(π/,π/), C(π,π) (π/,π/). 8) Use un cambio de variables para calcular ( + da, donde es la región limitada por el paralelogramo con vértices A(,), B(-,), C(,5) (4,). 8) Use un cambio de variables para calcular + de vértices A(,), B(a,) C(,a). ( a > ) 84) Use un cambio de variables para calcular + triangular de vértices A(,), B(4,-) C(4,). 85) Use un cambio de variables adecuado para calcular da, donde es la región triangular ln dd, donde es la región S e ( + + z ) / dv, donde S es la región limitada por las superficies z = 4, z = 9, z = +, z = +.