1 Funciones de Varias Variables

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1 EJECICIOS DE FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (DISEO) Funciones de Varias Variables. Dada f(x, y) ln ( x + ln(y) ). a) Calcular la derivada direccional en el punto (x, y) (, e 2 ) en la dirección del vector v (3, 4). b) Calcular el Hessiano de f. a) Calculamos el vector unitario en la dirección de v. Como v 5 entonces u v/ v ( 3, 4 ). El gradiente de f vale: 5 5 ( ) f (f x, f y ) x + ln(y), y x + ln(y) y la derivada direccional en la dirección de u vale D u f f u 3 5 x + ln(y) x + ln(y). Su valor en el punto (x, y) (, e 2 ) es D u f(, e 2 ) ln(e 2 ) x + ln(e 2 ) 3e e 2 e 2 y b) Hf (x + ln(y)) 2 ( y y ( + x + ln(y)) y 2 ) 2. Hallar la divergencia y el Jacobiano de f(x, y, z) (sin(xy), e x+z, y 2 + z). Si denotamos f (f, f 2, f 3 ) entonces luego J f f x + f 2 y + f 3 y cos(xy) y cos(xy) z y cos(xy) x cos(xy) Jf e x+z e x+z 2y ( ) f, f 2, f 3 x, y, z f x f 2 x f 3 x f y f 2 y f 3 y f z f 2 z f 3 z Jf e x+z cos(xy) y x 2y ex+z cos(xy) ( 2y 2 x).

2 3. Calcula los extremos relativos de: a) f(x, y) y 3 x 3 + y 2 x 2 b) f(x, y) x 3 + y 2 6xy 39x + 8y + 2. a) Los puntos críticos son, (x, y ) (, ), punto de silla (x 2, y 2 ) (, 2 ), máximo relativo 3 (x 3, y 3 ) ( 2, ), mínimo relativo 3 (x 4, y 4 ) ( 2, 2 ), punto de silla. 3 3 b) Los puntos críticos son, (x, y ) (3, ), el Hessiano vale y no se puede saber por esta técnica. Habría que analizar el desarrollo de Taylor alrededor del punto (3,). (x 2, y 2 ) ( 2, 3), punto de silla. 4. Hallar el punto de la circunferencia x 2 + y 2 más cercano al punto (3, 2). (Ayuda: f(x, y) (x 3) 2 + (y 2) 2, F (x, y) x 2 + y 2 ). La distancia de un punto genérico del plano (x, y) al punto (3, 2) viene dado por la función f(x, y) (x 3) 2 + (y 2) 2. Esta es la función que tenemos que minimizar ya que queremos obtener la distancia mínima. Los puntos (x, y) no son cualesquiera, sino aquellos que pertenecen a la circunferencia de radio unidad, dada por la restricción: F (x, y) x 2 + y 2 (que es la circunferencia) como nos daban en la ayuda. Con estas funciones nos construimos la función lagrangiana: L (x 3) 2 + (y 2) 2 + λ(x 2 + y 2 ). Calculamos las derivadas parciales e igualamos a. L x L y x 3 (x 3) + λ2x 2 +(y 2) 2 y 2 (x 3) 2 +(y 2) 2 + λ2y L λ x 2 + y 2 que es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Si despejamos λ de las dos primeras ecuaciones e igualamos (simplificando la raíz) obtenemos x 3 y 2 x y y si sustituimos el la tercera ecuación y(x 3) x(y 2) y 2 3 x, x x2 x ± 3 3 y ± 2 3 De aquí obtenemos dos soluciones (x, y ) ( 3, 3 ) y (x 3 3 2, y 2 ) ( 3, 3). 3 3 Estos puntos se corresponden con las distancias mínima y máxima, por lo que claramente podemos comprobar que la solución que se pide es (x, y ) ( 3 3, 3 3 ). 2

3 NOTA: Se obtendría exactamente lo mismo si en vez de la distancia al punto, f(x, y) (x 3) 2 + (y 2) 2, tomamos el cuadrado de la distancia, f(x, y) (x 3) 2 + (y 2) (a) Calcular la altura, h, y el radio, de un cilindro de superficie, S, para que su volumen, V cil, sea máximo. Obtén el volumen en función de S. (b) Calcular los lados, x, y, z de un paralelepípedo de superficie, S, para que su volumen, V cub, sea máximo. Obtén el volumen en función de S. (c) Una esfera de radio tiene de volumen, V esf 4 3 π3 y superficie S 4π 2, esto es, V esf 6 π S/3. Comprueba que V esf > V cil > V cub. a) Tenemos que V cil π 2 h y S 2π 2 + 2πh. Si denotamos (x, y) (, h) tenemos que la función a maximizar es f(x, y) πx 2 y y la restricción es F (x, y) 2πx 2 + 2πxy S. Por tanto, la función lagrangiana será: L(x, y, λ) πx 2 y + λ(2πx 2 + 2πxy S). La solución del sistema correspondiente es y 2x, esto es h 2. Sustituyendo y despejando de las expresiones de V cil y S obtenemos: V cil 3 6π S/3 b) La función lagrangiana es ahora L(x, y, λ) xyz + λ(2(xy + xz + yz) S). La solución es x y z y V cub 6 6 S/3. c) Claramente vemos que V cil V cub 2 π >, luego V esf > V cil > V cub. V esf 6 V cub π >, V esf 3 V cil 2 >, 6. (a) Calcular la altura, h, y el radio,, de un cilindro de volumen, V, para que su superficie, S cil, sea mínima. (b) Calcular los lados, x, y, z de un paralelepípedo de volumen, V, para que su superficie, S cub, sea mínima. a) La función lagrangiana es: L(x, y, λ) 2πx 2 + 2πxy + λ(πx 2 y V ), pero la solución es exactamente la misma. b) La función lagrangiana es ahora La solución es la misma. L(x, y, λ) 2(xy + xz + yz) + λ(xyz V ). 3

4 P M L 2. 2 Integrales Curvilíneas. Calcula el promedio de f(x, y, z) e y a lo largo de la curva C {(3, t 2, ), t [, ]}. L M dl f dl 2 2. Dada la hélice de curva l(t) (cos(t), sin(t), t), t [, 6π]: a) Calcular su longitud ( dl). b) Si la densidad lineal es δ(x, y, z) x 2 + y 2 + z, calcular la masa total del cable y la densidad promedio. c) Calcular el centro de gravedad y el centro geométrico (suponiendo densidad constante). a) L dl (x ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2 dt ( sin(t))2 + (cos(t)) 2 + dt 2dt 2 6π b) La masa total es M δ dl 2 (x 2 + y 2 + z) (x ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2 dt (cos 2 (t) + sin 2 (t) + t) 2 dt ( ) t + t2 6π 2(8π 2 + 6π) 2 y la densidad promedio será: δ M 3π +. L c) Z c.grav zδ dl t( + t) 2dt M M Z c.geom L z dl L t 2dt 3π. ( + t) 2dt 3π( + 4π) 2( + 3π) 4

5 3. Calcula la masa de la espiral dada por la curva en coordenadas polares ρ α, α [, 4π] y densidad lineal f(α, ρ) ρ. M f dl 3 ( ( + 6π 2 ) 3/2 ) 4. Calcula el área de la superficie cilíndrica x 2 +y 2 6 contenida en el primer cuadrante, limitada inferiormente por el plano XOY y superiormente por la superficie de ecuación, z xy. Como el dominio de definición (en el plano XY es una circunferencia, utilizaremos polares. La curva es ρ 4, α [, π/2]. El área es: π/2 A f dl (ρ cos(α))(ρ sin(α)) (ρ ) 2 + ρ 2 d α π/2 (4 cos(α))(4 sin(α)) d α 32 π/2 sin(2α)d α Siendo C la curva cerrada que delimita la región del plano comprendida entre y x 2, y 2 x, calcula el área y el perímetro de la figura Las curvas y x 2, y 2 x se cortan en (x, y) (, ) y (x, y) (, ), luego, la superficie se obtiene calculando la integral doble ( ) x A dx dy dy dx ( ( ) x x x 2 3/2 )dx D x 2 3/2 x3 3 3 El perímetro lo obtenemos considerando que la curva C se divide en dos partes (son dos parábolas abiertas hacia arriba y hacia la derecha y que intersectan en el primer cuadrante) C C C 2 C : y x 2 x [, ]} C 2 : y x x [, ]} Tenemos que C C + C 2 donde dl + (y ) 2 dx + 4x2 dx C 4 (2 5 + arcsin(2)) dl + (y ) 2 dx + C 2 4x dx 4 (2 5 + arcsin(2)). 5

6 3 Integración Múltiple. Cambiar el orden de integración de las siguientes integrales dobles (es conveniente dibujar las regiones en cuestión). a) 4 dy 2 f(x, y)dx (Sol.:) 2 dx f(x, y)dy b) a dx a 2 x 2 f(x, y)dy (Sol.:) a dy a 2 y 2 f(x, y)dx c) 3 dx 2x x/3 f(x, y)dy (Sol.:) dy 3y y/2 f(x, y)dx+ 9 dy 3 x+ y/2 f(x, y)dx d) 2 dy 2 y f(x, y)dx (Sol.:) dx 2 6 y f(x, y)dy+ 8 dx 2 x x+ 2 x+ e) dy 3 f(x, y)dx (Sol.:) dx 4+x f(x, y)dy+ 3 dx f(x, y)dy 2 y Dibuja la región de integración y calcula la integral I x cos(x + y)dxdy siendo S un triángulo de vértices (, ), (π, ), (π, π). I π dx x S x cos(x + y)dy 3 2 π. f(x, y)dy 3. Calcular I D a e (x2 +y 2) dx dy donde D a es el disco x 2 + y 2 a 2 Por la forma del dominio y el integrando, claramente se ve que la integral hay que realizarla utilizando coordenadas polares (x r cos(α), y r sin(α)) donde el Jacobiano sabemos que es r, luego 2π a [ I dα e r2 r dr2 π ] a 2 e r2 π ( e a2) 4. Calcular la masa del cubo D {(x, y, z) : x, y, z 2} de densidad δ(x, y, z) ( + x)e z y M 5 4 e(e ). 5. Calcular el centro de gravedad, (X CM, Y CM ), del cuadrado D {(x, y) : x, y } si la densidad superficial es δ(x, y) e x+y. Por la simetría del problema vemos que X CM Y CM, por lo que sólo calculamos el primero. Calculamos primero la masa total del cuadrado M e x+y dx dy dx e x+y dy (e ) e x dx (e ) 2. D 6

7 y el valor de X CM viene dado por X CM x e x+y dx dy dx x e x+y dy M D (e ) 2 x e x dx (e ) (e ). 6. Calcular I (z2 x 2 + z 2 y 2 ) dx dy dz donde es la región cilíndrica x 2 + y 2, z. Lo resolveremos utilizando coordenadas cilíndricas x r cos(α) 2π I z 2 (x 2 + y 2 ) dx dy dz y r sin(α) z z 2π dα r 3 dr z 2 dz π 3 z 2 r 2 r dα dr dz 7. Calcula el volumen de la esfera x 2 + y 2 + z 2 a 2. Si la densidad de la misma viene dada por δ(x, y, z) (x 2 + y 2 + z 2 ) /3, calcula su masa y la densidad media. Para este problema, lo más apropiado es utilizar coordenadas esféricas x r sin(θ) cos(ϑ) ( ) y r sin(θ) sin(ϑ) x, y, z z r cos(θ) J r 2 sin(θ) r, θ, ϕ y los límites de integración pasan a ser: r [, a], θ [, π], ϕ [, 2π], luego 2π π a V dx dy dz r 2 sin(θ)dr dθ dϕ 2π dϕ π sin(θ)dθ a r 2 dr 4 3 πa3. La masa total será, teniendo en cuenta que δ r 2/3 2π π a M δ(x, y, z)dx dy dz r 2/3 r 2 sin(θ)dr dθ dϕ 2 πa/3. y el promedio será P M V 9 a2/3 7

8 8. Calcular el volumen limitado por la región encerrada en (a < b): x 2 + y 2 + z 2 a 2 x 2 + y 2 + z 2 b 2 x 2 + y 2 z 2 Si utilizamos coordenadas esféricas, el recinto de integración es: r [a, b], θ [, π/4], ϕ [, 2π] (se puede considerar como una porción de la esfera de radio interior a y exterior b), luego 2π π/4 b V dϕ sin(θ)dθ a ( 2π ) 2 3 (b3 a 3 ). 2 r 2 dr 2π 3 (b3 a 3 ) [ cos(θ)] π/4 9. Considera la intersección de una esfera de radio con un cono cuyo vértice esta en el centro de la esfera y tiene una abertura de ángulo α. Calcula a) El centro de gravedad de la figura (densidad constante). b) La superficie total de la pieza. a) Por la simetría del problema, las coordenadas más apropiadas para resolver el problema son las coordenadas esféricas. x r sin(θ) cos(ϑ) y r sin(θ) sin(ϑ) z r cos(θ) ( ) x, y, z J r 2 sin(θ) r, θ, ϕ Si suponemos que la pieza esta situada con simetría de revolución respecto al eje z, y los límites de integración pasan a ser: r [, ], θ [, α], ϕ [, 2π]. En primer lugar calculamos el volumen de la pieza 2π α V zdx dy dz r 2 sin(θ)dr dθ dϕ 2π dϕ D α sin(θ)dθ r 2 dr 3 2 π3 ( cos(α)). Obsérvese que si α π tenemos la esfera total y el volumen es V 4 3 π3, y si α π/2 tenemos el volumen de media esfera. Para calcular el centro de gravedad, por la simetría del problema tiene que estar en el eje z, por lo que sólo tenemos que calcular Z c.g. zdx dy dz 2π α r cos(θ)r 2 sin(θ)dr dθ dϕ M M M 2π dϕ D α cos(θ) sin(θ)dθ 8 r 3 dr 3( cos(2α)) 6( cos(α)).

9 Obsérvese que si α π tenemos la esfera total y el centro de gravedad esta en el origen, Z c.g., y si α π/2 tenemos media esfera, y su centro de gravedad es Z c.g b) El área se puede obtener también fácilmente utilizando coordenadas cartesianas utilizando. Para la ecuación de la parte esférica utilizaríamos z 2 x 2 y 2 y para la ecuación del cono z m x 2 + y 2, con x 2 + y 2 2 sin(α). Las integrales dobles las resolveríamos utilizando coordenadas polares. Para calcular la superficie de la pieza, primero calculamos la superficie de la parte esférica, S e, y después la del cono, S c. S e (z x ) 2 + (z y ) 2 + dx dy dx dy S S 2 x 2 y2 2π sin(α) 2 r 2 r dr dα2π 2 ( cos(α)) S c S m2 + dx dy m 2 + π( sin(α)) 2 π 2 sin(α) 9