Integral doble 1.- Calcular el área representada en el gráfico mediante una integral doble.

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1 Integral doble 1.- Calcular el área representada en el gráfico mediante una integral doble..- Colocar los límites de integración en uno y otro orden, en la integral doble: f(x,y)dxdy para los recintos: a) es un paralelogramo cuyos vértices son A(1,), B(,4), C(,7) y D(1,5). b) es un sector circular, con centro en (,) y cuyo arco tiene sus extremos en los puntos (1,1) y (-1,1). 3.- Demostrar Γ(p) Γ(q) β (p,q) = siendo p, q>. Γ (p + q) 1 x Probar que I = e dx = 1. π 1 x 1 Nota: f(x) = e dx es la función de densidad de la distribución N(,1). π 5.- Hallar el área de la superficie de un cilindro interceptada por otra superficie cilíndrica igual de eje perpendicular. 6.- Calcular (4 x y )dxdy siendo el recinto limitado por las rectas x=, x=1, y=, y=3/. 7.- Dada la integral (x + y + 1)dxdy siendo el cuadrado de vértices (1,), (,1), (1,) y (,1). a) Calcular dicha integral. b) Efectuar el cambio de variable u=y-x, v=y+x y evaluar la nueva integral. 8.- Invertir el orden de integración en: 3 I dy f(x,y)dx =. 1 y 9.- Calcular el volumen del cilindroide limitado por el plano XY, la superficie z=x +y, y los cilindros parabólicos x=y, y=x. x 1.- Hallar el volumen del cuerpo limitado por el plano XY, la superficie z =, y y el cilindro cuya sección recta es una elipse del plano XY de semiejes a y b paralelos a los OX, y OY y centro (a,b). U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 1

2 Integral doble 11.- Hallar r cos αdrdα en el interior de la cardioide r = 1 + cos α. 1.- Volumen del cilindroide limitado por el plano XY, el parabóloide el cilindro x + y = a. x y + = z y p q 13.- Hallar + y )dxdy en el recinto x + y a (x Calcular (x y)dxdy en el recinto limitado por x, y, la circunferencia x + y = a y la elipse x 4a y + = 1. a 15.- Hallar xy(x y)dxdy en el rectángulo x a, y b En el supuesto de que la integral doble de una función positiva f, sobre una región, se reduzca a la integral iterada: a) 1 1 x f(x,y)dy dx 1 1 x, 1 x x b) ( f(x,y)dy ) dx + 1 ( ) f(x,y)dy dx, π senx c) x f(x,y)dy dx sen epresentar la región e invertir el orden de integración 17.- Hallar + y )dxdy en el recinto (x xy k,a y b. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC

3 Integral doble 1.- Calcular el área representada en el gráfico mediante una integral doble. Solución: Puede ser: A = dy dx = 4 4y 1/ , o bien, x /4 A = dx dy = 7 4 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 3

4 Integral doble.- Colocar los límites de integración en uno y otro orden, en la integral doble: f(x,y)dxdy para los recintos: a) es un paralelogramo cuyos vértices son A(1,), B(,4), C(,7) y D(1,5). b) es un sector circular, con centro en (,) y cuyo arco tiene sus extremos en los puntos (1,1) y (-1,1). Solución: a) Obtenemos las rectas AB que es y=x y la recta CD que es y=x+3 3+ x 4 y/ 5 f (x, y)dxdy = dx f (x, y)dy = 1 dy f (x, y)dx + dy f (x, y)dx x b) Sector circular de la circunferencia x +y = f (x, y)dxdy x 1 x = dx f (x, y)dy + dx f (x, y)dy = 1 x x 1 y y dy f (x, y)dx + dy f (x, y)dx y 1 y U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 4

5 Γ(p) Γ(q) (p q) Integral doble 3.- Demostrar β (p,q) = siendo p, q>. Γ + Solución: p 1 x q 1 x p 1 q 1 x y (p) (q) x e dx y e dy dx x y e dy Γ Γ = = = ealizamos el cambio de variable: x x x = r cos α r α r cos α r cos αsenα 3 J 4r s en cos = = = α α y = r s en α y y r s en α r s enαcos α r α / p 1 q 1 x y π p 1 q 1 p+ q 1 r Γ(p) Γ (q) = dx x y e dx = dα 4 cos αsen α r e dr = 1 1/ Haciendo el cambio r = t dr = t dt π/ / p 1 q 1 1 π p+ q 1 t p 1 q 1 p+ q 1 t Γ(p) Γ (q) = 4 cos αsen αdα t e dt = cos αsen αdα t e dt = β(p,q) Γ (p+ q) Y haciendo el cambio s en α= x senα cos αdα= dx π/ 1 p 1 q 1 p 1 q 1 Γ(p) Γ (q) =Γ (p + q) cos αsen αd α =Γ (p + q) x (1 x) dx =Γ (p + q) β(p,q) Γ(p) Γ(q) Luego, β (p,q) = c.q.d. Γ (p + q) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 5

6 4.- Probar que 1 x 1 I = e dx = 1. π Integral doble 1 x 1 Nota: f(x) = e dx es la función de densidad de la distribución N(,1). π Solución: Por la simetría respecto el eje de ordenadas: 1 x 1 x 1 x 1 I e dx e dx π = = e dx I = π π Efectuando el producto x y (x y ) = + e dx e dy e dydx ealizamos el cambio a polares: x x x = r cos α r α cos α rsenα J = = = r y = r s enα y y s enα r cos α r α π x y (x y ) r r π + e π e dx e dy = e dydx = e rdr dα= dα= 1 x π π Luego, e dx = = I I = 1 c.q.d. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 6

7 Integral doble 5.- Hallar el área de la superficie de un cilindro interceptada por otra superficie cilíndrica igual de eje perpendicular. Solución: Sea r el radio de los cilindros. La superficie es: x + z = r z x = x r x z = y Para calcular el área calculamos la parte en rojo que es 1/16 por simetría. z z x r = 1+ + dxdy = dxdy = 16 dxdy = D x y r x r x Área ( ) 1 r x dy r x = 16r dxdy = 16r dx = 16r dx = r x r x r x 16r U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 7

8 Integral doble 6.- Calcular (4 x y )dxdy siendo el recinto limitado por las rectas x=, x=1, y=, y=3/. Solución: ( ) 3 3/ 1 3/ 1 1 y 3 9 (4 x y )dxdy = (4 x y )dy dx = 4y x y dx = 6 x dx = = x dx x x = = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 8

9 Integral doble 7.- Dada la integral (x + y + 1)dxdy siendo el cuadrado de vértices (1,), (,1), (1,) y (,1). a) Calcular dicha integral. b) Efectuar el cambio de variable u=y-x, v=y+x y evaluar la nueva integral. Solución: a) (x + y + 1)dxdy = + ( ) ( ) 3 1+ x 3 3 x 1 1 x 3 x 1 y y = (x + y + 1)dy dx + (x + y + 1)dy dx = x y + + y dx + x y + + y dx = 3 3 b) 1 x 1 x x x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x = x ( 1+ x) + + ( 1+ x) x ( 1 x) + + ( 1 x) dx ( ) x x 1 ( ) + x 3 x x x x x 1 dx = ( ) ( ) = 14x + 1x dx + 14x + 36x 36x + 4 dx = 1 v u y = x+ 1 u = 1 x = u = y x y = 1 x v = 1 v = y+ x v+ u y = 3 x+ 1 v = 3 y = y = x 1 u = = x + 6x + x + 1x 18x + 4x = y el jacobiano 9 x x 1 1 u v 1 J = = = y y 1 1 u v + + = + + = = (3v vu 3u 4)dv du = = 6u - 8u + 34 du = 1 3 v u v+ u (x y 1)dxdy ( 1)dv J du ( ) 9 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 9

10 8.- Invertir el orden de integración en: Integral doble 3 = 1. y I dy f(x,y)dx Solución: Dibujamos el recinto con los límites de integración: y=1; y=3; x= y; x= 3 3 x 3 1 y I = dy f (x, y)dx = dx f (x, y)dy + dx f (x, y)dy U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 1

11 Integral doble 9.- Calcular el volumen del cilindroide limitado por el plano XY, la superficie z=x +y, y los cilindros parabólicos x=y, y=x. Solución: x 1 x 1 x / 1 3/ ( ) V = zdxdy = dx zdy = dx x + y dy = x y + y dx = x + x x x dx = x x x 1 7/ 5/ = x + x x x = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 11

12 Integral doble 1.- Hallar el volumen del cuerpo limitado por el plano XY, la superficie z x =, y el cilindro cuya sección recta es una elipse del plano XY de semiejes a y b paralelos a los OX, y OY y centro (a,b). Solución: y ( ) ( ) x a x b a + = = ± a b b ( ) 1 x a b y b a a a a+ b ( y b ) b a+ b ( y b) x b 1 a+ b ( y b) b b b b 1 a a a b ( y b) a b ( y b) a b y y b a b ( y b) b V = zdxdy = dy dx = dy xdx = x dy = b 1 a 1 a = 4 b y b dy = b ydy = * b b y ealizamos el cambio: b ( ) ( ) b y t dy tdt = = y = t = b y = b t = b a b a 4a 1 3 4a 1 (*) b ydy t( t)dt t ( b ) = = = = = b b b b 3 b a b 3 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 1

13 Integral doble 11.- Hallar r cos αdrdα en el interior de la cardioide r = 1 + cos α. Solución: 3 1+ cos α π 1+ cos α π r 1 π 3 4 ( ) r cos αdrdα= cos αdα r dr = cos αdα = cos α+ 3cos α+ 3cos α+ cos α dα= = α α+ α α+ α α+ α α = 3 3 π π π π 3 4 ( cos ) d ( cos ) d ( cos ) d ( cos ) d (*) = 5 4 π Calculando las cuatro integrales por separado: [ ] π π cos αdα= senα = ( ) 1+ cos α 1 1 senα cos αdα= dα= dα+ cos αdα = α+ =π π π π π ( ) π 3 π π cos αdα= cos αcos αdα= cos α 1 sen α dα= 3 π π π sen α = cos αdα cos αsen αdα= = cos α 1 4( ) π π π [ sen ] d ( d cos 4 d ) π π π π π cos αdα= dα= dα+ cos αdα+ cos αdα = 1 π 1 1+ cos 4α π 1 π 1 sen4α 3π = α+ α + α= + α+ α α = + α+ = π π sustituyendo en la igualdad 13π (*) = +π+ + = π U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 13

14 Integral doble 1.- Volumen del cilindroide limitado por el plano XY, el parabóloide y el cilindro x + y = a. Solución: Por simetría calculamos la cuarta parte: a a x a a x x y x y x y V = zdxdy = + dxdy = 4 dx dy dx dy p q + = + = p q p q ( a x ) 3 a x 3 a a x 1y x 1 = dx y + = a x + dx = (*) p 3q p 3 q x y + = z p q ealizamos el cambio: x = asent dx = a cos tdt x = t = π x = a t = ( ) 3 a (asent) 3 3 π/ (asent) / 1 π a a 3 (*) = a (asent) + a cos tdt = sen t cos t + cos t a cos tdt = p 3 q p 3q π/ / π = a sen t cos t + cos t dt = a ( 1 cos t) cos t cos t dt p 3q + = p 3q π/ / / / 4 1 π π π 4 = a cos tdt + cos tdt a cos tdt a cos tdt (**) p + = + + = p 3q p p 3q Calculando las integrales por separado: π ( ) / π / 1+ cos t 1 π / π cos tdt dt dt / π = cos tdt = + = 4 π/ π/ / / / 4 1+ cos t 1 π π π cos tdt = dt = ( dt + cos dt + cos tdt 4 ) = π/ 1 π / 1 π/ 1+ cos 4t π 1 π/ π/ π 1 sen4t 3π = [ t + sent] + dt ( dt cos 4tdt ) t 4 4 = = + + = sustituyendo en la igualdad 1 π 1 1 3π (**) a a p 4 p 3q = + + = 4 π 1 1 a + 4 p q U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 14

15 Integral doble 13.- Hallar (x + y )dxdy en el recinto x y a Solución: 1 p = x y I = (x + y )dxdy = dxdy + p q 1 q = 4 π π I= a + = a + = a π 4 p q 4 1/ 1/ +. según el ejercicio 1 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 15

16 Integral doble Calcular (x y)dxdy en el recinto limitado por x, y, la circunferencia x y x + y = a y la elipse + = 1. 4a a Solución: x y 1 + = 1 y = 4a x 4a a x + y = a y = a x I = 3 (x y)dxdy 1 1 a 4a x a 4a x 3 3 a x a = x dx ydy + x dx ydy = I + I 1 Por separado: a 4a x a 4a x a a a I1 = x dx ydy = x y dx x ( 4a x ) ( a x ) dx x dx a x = = = a x a 4a x a a a a a x a I = x dx ydy = x y dx x ( 4a x ) dx x dx x dx a a = = = a 4 a 8 a a 1 4 a a 15a 63a 9a = x x 4 a 8 6 = = a Y ahora, 6 6 a 9a I= I1+ I = + = a 8 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 16

17 15.- Hallar Solución: Integral doble xy(x y)dxdy en el rectángulo x a, y b. a b a b xy(x y)dxdy = x ydxdy xy dxdy = x dx ydy xdx y dy = a a = x b dx x b dx = a b a b = 1 a b ab ( ) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 17

18 Integral doble 16.- En el supuesto de que la integral doble de una función positiva f, sobre una región, se reduzca a la integral iterada: 1 1 x a) f(x,y)dy dx 1 1 x 1 x x b) ( f(x,y)dy ) dx + 1 ( ) c) π senx x f(x,y)dy dx sen f(x,y)dy dx epresentar la región e invertir el orden de integración. Solución: a) x = 1 y = 1 x x 1 y 1 x y = ± 1 x x + y = 1 x = ± 1 y = = I 1 1 x f (x, y)dy dx dy 1 y f (x, y)dx 1 dy 1 y f (x, y)dx 1 dy 1 y = f (x, y)dx 1 1 x = + = 1 1 y 1 y 1 1 y b) x = 1 y = x y = x; x = y = x y = x x = y x = y = x = 1 y = c) ( ) ( ) 1 x x 1 y I = f (x, y)dy dx + f (x, y)dy dx = dy f (x, y)dx 1 y y = senx x = π x = arcseny x x = y = sen x = arcseny π senx π 1 π arcseny I = x f (x, y)dy dx dy f (x, y)dy dy f (x, y)dx sen = + 1 arceny arcseny U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 18

19 Integral doble 17.- Hallar (x + y )dxdy en el recinto xy k,a y b. Solución: xy k x = k / y k /y 6 b k /y b b 1 3 k k a a a 3 3 3y y (x + y )dxdy == dy (x + y )dx = dy x + y x = + y dy = 6 6 b b 6 b b dy k ydy k b a a 3 a y y b a a a k 1 k 1 y k 1 1 k = + = + = + ( ) = k 6a b 6 = + ( b a ) k U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 19

20 Definición: Integral doble Si f(x,y) es una función de dos variables definida en una región D que tenga área, se descompone D en n partes que no se solapen, D1, D,..., Dn y se forma la suma n f(x,y)area(d ) donde (xi,yj) es un punto de la región Di. Llamando C al área del i1 i cuadrado más pequeño que contenga a todos los Di, el límite de aquella suma al tender C a cero es, si existe, la integral doble de la función en el recinto D y se denota f (x, y)dd f (x, y)dxdy D D. Si la región D se puede escribir D=[a,b]x[c,d] y f(x,y) es una función continua sobre el rectángulo, entonces Volumen= b d d b D a c c a f(x,y)dxdy f(x,y)dy dx f(x,y)dx dy U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 1

21 Área del paralelogramo. Paralelogramo es un cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos entre sí. Área b h Área ABAD El área del paralelogramo cuyos vértices son A ( a1, a, a3 ), B ( b1, b, b3 ), C ( c1, c, c3 ) y D ( d1, d, d3 ), puede calcularse mediante la fórmula: 3 3 b a b a d a d a b a b a d a d a b a b a d a d a 1 1 U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 1

22 Área del sector circular Sector: porción de círculo comprendida entre un arco y los dos radios que pasan por sus extremidades. 1 Área r Longitud del Arco (s) r U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 11

23 Función beta de Euler 1 p1 q1 Sea p,q, p,q>. Sea (p,q) x (1 x) dx la función beta de Euler. Esta integral es convergente y recibe el nombre de Integral Euleriana de ª especie. Función gamma de Euler x p 1 (p) e x dx Sea p, p>. Sea la función gamma de Euler. Esta integral es convergente y recibe el nombre de Integral Euleriana de 1ª especie. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

24 Función de densidad Una variable aleatoria con función de distribución F(x), se dice que es una variable aleatoria continua si F(x) es una función absolutamente continua (o simplemente continua) de x cuya derivada F (x) = f(x) existe y es continua salvo, como mucho, en un número finito de puntos. La función f(x) definida, se denomina función de densidad de. Verifica: f(x) para todo x, y además f(x)dx1 U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 88

25 Distribución Normal. Una variable aleatoria continua se dice que tiene una distribución normal o de Laplace- 1(x ) 1 Gauss de media y desviación típica : f(x) e es su función de densidad. es la llamada campana de Gauss. 1(x ) x 1 La función de distribución es: F(x) P( x) e.dx La esperanza matemática o media es y la varianza es. Se denota N(, ). Distribución normal típificada La media y la desviación típica son los dos parámetros de la distribución N(, ). Si queremos calcular una probabilidad determinada: 1 x 1 b Pa ( b) e. dx a debemos hacer uso de las tablas, pero sólo existen tablas de la N(,1), es decir, de la distribución normal de media y desviación típica 1. Por lo que, tendremos que realizar una transformación de la variable N(, ) a la variable N( 1, ) que recibe el nombre de distribución normal tipificada. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 57

26 Volumen del cilindro Cilindro: cuerpo limitado por una superficie cilíndrica cerrada y dos planos que la cortan. Volumen r h Área lateral r h U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 178

27 Área de una superficie de revolución Sea la curva y=f(x) siendo f(x)> para todo x[a, b] y f continua en [a, b], el área de la superficie de revolución engendrada al girar la curva y=f(x) alrededor del eje OX entre los valores de abscisa a y b es: b a S f x 1 f x dx x x t Sea la curva donde las funciones x e y tienen derivada continua en el intervalo y y t [t,t1]. El área de la superficie de revolución engendrada al girar, alrededor del eje OX, el arco de dicha curva entre los valores del parámetro t y t1 es: t1 t S y t x t y t dt Si la curva esta expresada en coordenadas polares r f, y gira alrededor de su eje polar la superficie de revolución del arco de la curva entre los argumentos y 1 con 1 es: 1. S f sen f f d U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 9

28 Volúmenes de cuerpos de revolución Se llama sólido de revolución al generado por la rotación de una región del plano alrededor de un eje situado en él. Si la región está definida por y=f(x), x=a, x=b y f(x) es continua en ab, el volumen es: b a) V f ( x) dx alrededor del eje OX. a d c b) V x dy alrededor del eje OY. c) Si la generatriz es una curva cerrada, V ( f ( x) f ( x)) dx. a b d) Si la curva viene dada en paramétricas x x(t) t1, V y t x t dt y y(t) () '() t e) Si la curva viene dada en coordenadas polares r f( ), al girar alrededor del eje polar se 3 obtiene: V r sen d U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 18

29 Elipse La suma de las distancias de un punto cualquiera de la elipse a los focos es igual al doble de su semieje mayor. x y Sea la elipse de ecuación reducida 1, entonces: a b c Excentricidad: e 1 a Vértices: A(a,); A (-a,); B(,b); B (,-b). Semieje mayor: a; semieje menor: b. Focos: F(c,); F (-c,). a Directrices: x c Ejes de simetría: x=; y=; eje focal o eje mayor: y=. Centro: O(,) punto de intersección de los ejes de simetría. Distancia focal: d(f,f )=c. Parámetro focal: p b /a U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 69

30 Semiejes En una elipse son las distancias entre los vértices dividas por dos: Semieje mayor: a Semieje menor: b U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 155

31 Es el lugar descrito por un punto fijo P de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre otra circunferencia que tiene el mismo radio. Las ecuaciones paramétricas, en coordenadas cartesianas, son: x r (sen t - sent) y r ( cos t - cos t) En coordenadas polares: ρ=a(1+cosα)=acos (α/) Cardioide U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 1

32 Cilindroide Conoide de Plücker es un conoide recto cuya directriz es una elipse contenida en un cilindro de revolución, la arista es la generatriz rectilínea del cilindro que pasa por un extremo del eje mayor de la elipse, y el plano director es perpendicular a la arista. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 3

33 Paraboloide Cuádrica cuyas intersecciones con planos secantes son siempre o bien parábolas o bien elipses o bien hipérbolas. Si el eje del paraboloide es el eje z, entonces la ecuación del paraboloide elíptico es: x a y cz b y la ecuación del paraboloide hiperbólico es: x a y cz b Silla de montar U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 13

34 ectángulo Paralelogramo que tiene los cuatro ángulos rectos y los lados contiguos desiguales. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 149