EJERCICIOS DE CA LCULO II PARA GRADOS DE INGENIERI A Elaborados por Domingo Pestana y Jose Manuel Rodrı guez, con Arturo de Pablo y Elena Romera

Transcripción

1 EJECICIOS E CA LCULO II PAA GAOS E INGENIEI A Elaborados por omingo Pestana y Jose Manuel odrı guez, con Arturo de Pablo y Elena omera 3 3. Integracio n en n Integral mu ltiple. f en los siguientes casos: Problema 3.. Calcula Q i) f (x, y) = xy(x + y), Q = [, ] [, ], ii) f (x, y) = x3 + 3x y + y 3, Q = [, ] [, ], iii) f (x, y) = sen x sen y, Q = [, π] [, π], iv) f (x, y) = sen(x + y), Q = [, π/] [, π/], v) f (x, y) = x sen y yex, Q = [, ] [, π/], Problema 3.. ibuja la regio n de integracio n Q y calcula f en los siguientes casos: Q i) f (x, y) = x y, Q = {(x, y), x [, ], x y x }, ii) f (x, y) = xy x3, Q = {(x, y), x [, ], y x}, iii) f (x, y) = x sen(x y), Q = {(x, y), x [, ], y x }, iv) f (x, y) = y sen x, Q = {(x, y), x + y }. Problema 3.3. i) Prueba, sin resolver la integral, que 4π (x + y + ) dx dy π, donde es el disco de radio centrado en el origen. ii) Sea A el cuadrado [, ] [, 3] y sea f (x, y) = x y. Prueba, sin hacer la integral, que f (x, y) dx dy 48. A iii) Utilizando una particio n de A en cuatro cuadrados iguales mejora esta u ltima estimacio n y prueba que 3 f (x, y) dx dy 5. A f (x, y) dx dy, donde f (x, y) = max( x, y ). Problema 3.4. Calcula

2 Problema 3.5. integrales: etermina el recinto de integración y cambia el orden de integración en las siguientes i) 3 5 x 4x/3 f(x, y)dy dx ii) y f(x, y)dx dy iii) π/ sen(x/) sen(x/) f(x, y)dy dx iv) e log x f(x, y)dy dx. Problema 3.6. Sobre el recinto = {(x, y) / x + (y ), x }, se consideran las funciones f(x, y) = y g(x, y) = sen(y ). Aplica el teorema de Fubini a f e g en las dos x ordenaciones posibles. Calcula las integrales en el orden más adecuado. Problema 3.7. Halla el valor de la integral Problema 3.8. Calcula i) ii) (x + y + z ) dxdydz, (x + y + z) dxdydz. π π x sen y y dy dx. Problema 3.9. Calcula las siguientes integrales en los recintos que se indican: i) x 3 dv, donde = [, ] [, ] [, ]. ii) e xy y dv, donde = [, ] [, ] [, ]. iii) (x + 3y + z) dv, donde = [, ] [, ] [, ]. iv) ze x+y dv, donde = [, ] [, ] [, ]. Problema 3.. Calcula la integral z = π, y =, x = y x + y =. Esboza la región de integración. x cos x dv, donde es la región limitada por los planos z =, 3. Cambios de variables en la integral múltiple. Problema 3.. Usa una transformación lineal para calcular (x y) sen (x + y) dxdy, siendo S el paralelogramo de vértices (π, ), (π, π), (π, π) y (, π). Problema 3.. Calcula (y x) dxdy, siendo la región del plano limitada por las rectas y = x +, y = x 3, y = (7 x)/3 e y = 5 x/3. S Problema 3.3. Sea la aplicación definida por { x = u + v y = v u. Calcula: i) el jacobiano J(u, v); ii) la imagen S en el plano XY del triángulo T en el plano UV de vértices (,), (,) y (,); iii) el área de S; iv) la integral (x y + ) dxdy. S

3 3 Problema 3.4. Calcula la integral doble log(x + y ) dx dy cuadrante del plano comprendido entre las curvas x + y =, x + y = 4. Problema 3.5. Halla la integral de la función f(x, y) = y 4 b 4 ( x b )( + x b ) + xy { x sobre el recinto = } b, donde a y b son constantes positivas. Problema 3.6. Halla la integral de la función f(x, y) = x x + y e x +y donde es el recinto del primer sobre los recintos E = { x + (y ) } y H = { x + (y ), x }. Problema 3.7. Sobre el recinto = {(x, y) / x + (y ), x }, halla la integral de la y función h(x, y) = + x. y x dx dy Problema 3.8. Calcula la integral S 4x, donde S es la región del primer cuadrante limitada + y por los ejes coordenados y las elipses 4x + y = 6, 4x + y =. Problema 3.9. Si es la región limitada por el plano z = 3 y el cono z = x + y, calcula i) x + y + z dxdydz, ii) 9 x y dxdydz, iii) z e x +y +z dxdydz. Problema 3.. Calcula f(x, y, z) dxdydz, donde f(x, y, z) = e (x +y +z ) 3/, y es la región que queda bajo la esfera x + y + z = 9 y sobre el cono z = x + y. 3.3 Aplicaciones. Problema 3.. Calcula las siguientes áreas: i) área limitada por las curvas y = x e y = x ; ii) área de la región A = {(x, y) : x, y >, a y x 3 b y, p x y 3 q x, }, donde < a < b y < p < q. iii) área encerrada por las curvas xy = 4, xy = 8, xy 3 = 5 y xy 3 = 5. Problema 3.. Calcula los siguientes volúmenes: i) volumen de la intersección del cilindro x + y 4 y la bola x + y + z 6; ii) volumen del sólido limitado por los conos z = x + y y z = + x + y ; iii) volumen de la región limitada por el paraboloide z = x + y y el cilindro x + y = 4 en z ; iv) volumen de la región limitada por x + y + z, x + y z y z 6/5; Problema 3.3. Halla los volúmenes de las regiones limitadas por: i) z = x + 3y, z = 9 x.

4 4 ii) x + y =, z =, x + y + z =. Problema 3.4. Calcula el volumen del sólido limitado por el elipsoide x b + z c =. Estudia el caso particular de la bola a = b = c =. Problema 3.5. Calcula el volumen comprendido entre el cilindro r = 4 cos θ, la esfera r + z = 6 y el plano z =. (Las ecuaciones están expresadas en coordenadas cilíndricas.) Problema 3.6. Halla la masa de la lámina correspondiente a la porción del primer cuadrante del círculo x + y 4, si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia al centro del círculo. Problema 3.7. Sea S una región del plano limitada por las curvas que se indican. Calcula la masa y el centro de gravedad de S suponiendo que la densidad es constante ρ: i) y = x, x + y =, ii) y + 3 = x, x = 5 y, iii) y = sen x, y =, x [, π], iv) y = sen x, y = cos x, x [, π/4]. Problema 3.8. Calcula el momento de inercia respecto del eje vertical del sólido V = { x + y + z 4, z x + y } (suponiendo la densidad constante α). Problema 3.9. Sea A el cuadrado [, ] [, ]. Calcula su masa total suponiendo que la densidad en el punto (x, y) A es x y. Problema 3.3. etermina las coordenadas del centro de gravedad de la placa B = {(x, y), x, y 3} cuya densidad viene dada por la función f(x, y) = xy. Problema 3.3. Una placa metálica viene representada por el conjunto del plano: P = {(x, y), y x } y su densidad en P es f(x, y) = y. Calcula el centro de gravedad y los momentos de inercia con respecto a los ejes. Problema 3.3. Se considera la placa plana Q = { (x, y) : (x + y) x y x + y, x + y } con una densidad de masa dada por la función ρ(x, y) = x y. Calcula la masa total de la placa. Problema i) Calcula el área del conjunto = { x = r cos 3 t, y = r sen 3 t, r, t π/} = { x /3 + y /3, x, y }. ii) Calcula las coordenadas del centro de masas de si tiene densidad constante. Problema El cuadrado Q de vértices (, ), (, ), (, ), (, ) representa una lámina de densidad constante ρ. Calcula el momento de inercia respecto de la recta x = y. Problema El primer octante de la esfera x + y + z = c se corta con el plano x a + y b =, < a, b c. Halla la masa de los dos sólidos resultantes sabiendo que la densidad en cada punto es ρ(x, y, z) = z.

5 5 Problema distancia al origen. La temperatura en los puntos del cubo [, ] 3 es proporcional al cuadrado de la i) Calcula la temperatura media del cubo. ii) Encuentra en qué puntos del cubo la temperatura coincide con la media. Problema Calcula el centro de masas de un sólido semiesférico de radio si su densidad en cada punto es el cuadrado de la distancia del punto al centro. Problema Un helado de cucurucho está formado por un cono de barquillo de ángulo α y una semiesfera de helado de radio. El cucurucho y el helado tienen densidades constantes ρ c y ρ h respectivamente. etermina el cociente ρ c /ρ h para que el centro de masas del helado esté situado en el plano que separa el helado del barquillo. Problema Se considera un sólido V 3 limitado por las superficies z = x + y, (z ) = 9 (x + y ). i) epresenta gráficamente V en coordenadas cilíndricas. ii) Calcula las coordenadas del centro de masa si la densidad de V es constante.