INTEGRALES TRIPLES. 46. Dada la integral la integral de todas las formas posibles. f(x, y, z) dzdydx, dibujar la región de integración y escribir

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1 INTEGALES TIPLES. 46. Dada la integral la integral de todas las formas posibles. f(,, ) ddd, dibujar la región de integración escribir Teniendo en cuenta la gráfica adjunta, si D 1, D 2 D 3 son las proecciones sobre los tres planos coordenados, las diferentes formas de escribir la integral son las siguientes: dd D 1 dd D 2 dd D 3 f d = f d = f d = d d d d d d f d = f d = f d = d d d d d d f d, f d, f d. 47. Calcular las siguientes integrales triples: i) ( ) ddd, donde V está limitado por las superficies = 2, V = 2. ii) (1+ 2 ) ddd, siendo W la región limitada por 2a = 2 + 2, = W a 2, =. 1

2 i) La región de integración es el interior del paraboloide limitado por el plano = 2. Como la proección de dicha región sobre el plano = es el círculo C : , la integral triple se puede descomponer entonces como C 2 dd ( ) d. ( )/2 Al escribir la integral en coordenadas cilíndricas, se obtiene: 2 2 u du u 2 d = 2π u 2 /2 2 u 3 (2 u 2 /2) du = 16π 3. ii) La intersección del paraboloide 2a = con el hiperboloide = a 2 da la circunferencia = 2a 2 situada en el plano = a. Esto indica que ambas superficies son tangentes a lo largo de dicha circunferencia; por ello deducimos que la región de integración está limitada superiormente por el paraboloide, inferiormente por el plano = lateralmente por el hiperboloide (en la figura se muestran dos vistas de la región de integración). Debemos descomponer la integral en dos sumandos pues, si (, ) está en el círculo de centro el origen radio a, entonces está comprendido entre el plano = el paraboloide 2a = 2 + 2, si (, ) está entre el círculo anterior el círculo de radio a 2, entonces está comprendido entre el hiperboloide = a 2 el paraboloide anterior. La fórmula que se obtiene es pues a dd a 2 (1 + 2 ) d dd a a 2 2a (1 + 2 ) d a 2 2

3 Para resolver las integrales, las escribimos en coordenadas cilíndricas. Así, a u du u 2 /2a = = (1 + a 2 )πa 3 /3. (1 + 2 ) d + [Todas las integrales a resolver son casi inmediatas.] a 2 a u 2 /2a u du (1 + 2 ) d u 2 a Calcular ( ) 3 ddd, donde S es el tetraedro limitado por los tres S planos coordenados el plano de ecuación + + = 1. Si llamamos D a la proección de la región de integración sobre el plano XY, podemos escribir la integral como D ( ) ( ) 3 d dd. Como, a su ve, D es el triángulo de vértices (, ), (1, ) (, 1), la integral se descompone en las siguientes integrales iteradas: = = d d [ 1 8 d ( ) 3 d [ (1 + + ) (1 + ) ] d ] d = 1 2 ln Calcular los volúmenes de los cuerpos limitados por las siguientes superficies: i) a 2 = 2 + 2, + = ±a, = ±a. ii) = 2 + 2, = a 2, = 2a 2, = /2, = 2, =. iii) a + b + = 1,,,. c iv) 2 a b = 1, c2 a b 2 = 2, ( > ). c2 i) La región a considerar es el interior del cilindro a 2 = cortado por los cuatro planos + = a, + = a, = a, = a. 3

4 Como la proección del sólido sobre el plano XY es el cuadrado limitado por las rectas + = a, + = a, = a, = a, el volumen se calcula por la fórmula V = = 2 a 2 2 dd d = 2 a2 2 dd a 2 2 +a a d a2 2 d + 2 d a a +a a a2 2 d = 2a 3 π 8a 3 /3. [Para calcular las integrales se puede hacer alguna sustitución trigonométrica.] ii) El sólido consiste en la región limitada entre el plano XY el paraboloide = cua proección sobre el plano XY es la región limitada por las curvas = a 2, = 2a 2, = /2, = 2 (en realidad la región es unión de dos regiones, una de ellas en el primer cuadrante otra en el tercer cuadrante; como las regiones tienen la misma área la función = es simétrica, bastará multiplicar por dos el resultado obtenido al considerar únicamente la parte del primer cuadrante). 4

5 Podemos pues escribir el volumen como: V = 2 dd d = ( ) dd. Para calcular la integral doble sobre la región, realiamos el cambio de variables dado por las ecuaciones = u, / = v. (, ) 1 Este cambio hace que J = u, v 2v que la nueva región de integración sea = {(u, v) : a 2 u 2a 2, 1/2 v 2}. El volumen se calcula entonces como 2a 2 2 V = 2 du a 2 1/2 ( u) uv + v 1 9a4 = 2v 2. iii) El sólido está ahora comprendido entre la función dada los planos coordenados. Su proección sobre el plano XY es la región del primer cuadrante limitada por los ejes coordenados la astroide de ecuación a + = 1, de modo que el volumen es b sencillamente c(1 /a /b) 2 V = d = a b((1 /a) 2 d [Todas las integrales son inmediatas.] c(1 /a /b) 2 d = abc 9. iv) Ahora el sólido es la región limitada superiormente por el elipsoide 2 a b c 2 = 1 e inferiormente por el cono 2 a b 2 = 2, por encima del plano XY. Como la intersección c2 de ambas superficies es la elipse 2 a b 2 = 1/2, situada en el plano = c/ 2, el volumen se epresa mediante la integral V = c 1 2 /a 2 2 /b 2 dd c 2 /a /b 2 d, donde es la región limitada por la citada elipse 2 a b 2 = 1/2. 5

6 Para calcular dicha integral hacemos el cambio de variables = (a/ 2)u cos v, = (a/ 2)u sen v, cuo jacobiano vale J = abu/2. Con estos datos, V = (c 1 u 2 /2 c/2) abu ( 5 2 du = 12 1 ) 3 πab Encontrar el volumen de la región acotada por las superficies = 2 + 2, = En la figura del lado iquierdo se muestran los dos paraboloides que limitan la región, en el lado derecho se ilustra la curva intersección su proección sobre el plano XY. Como la proección de dicha curva intersección es la elipse de ecuación = = 1, para calcular el volumen utiliamos coordenadas polares modificadas, es decir hacemos la transformación 2/1 = u cos v, 3/1 = u sen v, cos v u sen v cuo jacobiano es J = 2/1 2/1 sen v u cos v 3/1 3/1 = 1u. El volumen se calcula entonces por la 6 fórmula V = [ ( )] dd = du 1u (1 1u 2 ) = 2π (u u 3 ) du = 5π 6.

7 51. Calcular el volumen del casquete esférico limitado por = a = b = 2, con, siendo < a < b. Si escribimos el volumen en coordenadas esféricas, de acuerdo a la figura tenemos: = r cos ϑ sen ϕ = r sen ϑ sen ϕ = r cos ϕ donde a r b ϕ π/4 ϑ 2π. ecordando que el jacobiano de la transformación es J = r 2 sen ϕ, el volumen se escribe ahora de la siguiente forma: b π/4 ( r V = dr dπ r 2 3 ) ( sen ϕdϑ = b ) cos ϕ π/4 2π a 3 a ( ) = b3 a π = π (2 2)(b 3 a 3 ). 52. (a) Describir las superficies r = constante, ϑ = constante, = constante, en el sistema de coordenadas cilíndricas. (b) Idem para las superficies r = constante, ϑ = constante, φ = constante, en coordenadas esféricas. a) De las ecuaciones que definen las coordenadas cilíndricas: = r cos ϑ, = r sen ϑ, =, al hacer r = k, obtenemos = k 2, 7

8 lo que corresponde a un cilindro con eje de simetría el eje Z radio k. Si hacemos ϑ = k, basta dividir las dos primeras coordenadas para obtener = tg k, lo que corresponde a un plano vertical que pasa por el origen (los distintos valores de k dan los diferentes ángulos con respecto al plano = ). Si hacemos = k, esta misma ecuación representa un plano horiontal de altura k. b) Las coordenadas esféricas de un punto se obtienen mediante las ecuaciones Si hacemos ρ = k, obtenemos = ρ cos ϑ sen φ, = ρ sen ϑ sen φ, = ρ cos φ = k 2, es decir la esfera centrada en el origen con radio k. Si hacemos ϑ = k, al igual que con las coordenadas cilíndricas, que representa también un plano vertical. Si, por último, escribimos φ = k, resulta: = tg ϑ, = ρ 2 sen 2 φ 2 = ρ 2 cos 2 φ } = = tg 2 φ, que representa un cono de vértice el origen. 53. Calcular el momento de inercia de un sólido en forma de cono circular recto con densidad constante respecto a su eje. Supongamos que el cono de altura h radio en la base r tiene vértice en el origen eje vertical. Entonces su ecuación es 2 = h2 r 2 (2 + 2 ). Si la densidad en cada punto del sólido es k, el momento de inercia respecto al eje Z viene dada por la fórmula: I = k( ) dv. S Para resolver la integral, escribimos el sólido en coordenadas cilíndricas, = u cos v, = u sen v. La ecuación del cono se escribe entonces como = hu/r la integral pedida I = r h du k u 3 d = 2πk hu/r 8 r u 3( h uh )du = πkhr4 r 1.

9 Otra forma de resolver la integral consiste en realiar la transformación a coordenadas esféricas, = ϕ cos ϑ sen φ, = ϕ sen ϑ sen φ, = ϕ cos φ. De este modo la ecuación del plano = h se escribe como ϕ = h/ cos φ, la integral es ahora I = = 2πk dϑ = 2πkh5 5 arc tg(r/h) arc tg(r/h) arc tg(r/h) dφ sen 3 φ h/ cos φ h 5 5 cos 5 φ dφ tg 3 φ sec 2 φ dφ = 2πkh5 5 k ϕ 2 sen 2 φ ϕ 2 sen φ dϕ r 4 4h Hallar ddd. 3 [1 + ( ) 3/2 ] 3/2 Si realiamos la transformación a coordenadas esféricas, = ϕ cos ϑ sen φ, = ϕ sen ϑ sen φ, = ϕ cos φ, como el valor absoluto del jacobiano de la transformación es J = ρ 2 sen φ, la integral se escribe como: dρ π dϑ ρ 2 sen φ dφ. (1 + ρ 3 ) 3/2 Para resolver la integral, como las variables están separadas, basta multiplicar las tres integrales simples. Tenemos así: = 4π 3 ρ 2 (1 + ρ 3 ) dρ 3/2 dϑ π 3ρ 2 (1 + ρ 3 ) 3/2 dρ = 4π 3 sen φ dφ lím 2(1 + b ρ3 ) 1/2 b = 8π Calcular ( ) ddd, siendo un cono recto de revolución de altura h, base situada en el plano XY de radio a eje en el eje Z. h a a 9

10 La figura adjunta muestra el cono descrito, el cual tiene por ecuación a 2 (h ) 2 = h 2 ( ). Pasando la integral a coordenadas cilíndricas, = u cos v, = u sen v, =, tenemos: a du h(a u)/a u(u 2 sen 2 v + 2 )d = = a4 hπ 2 + h3 a 2 π 3. 1