PRÁCTICA COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS CURSO CÁLCULO II. Práctica 3 (23/02/2016)
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- Germán Molina Olivares
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1 PRÁCTICA COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS CURSO CÁLCULO II Prácticas Matlab Práctica 3 (3/0/016) Objetivos o Estudiar los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas. 3 o Definir regiones de en coordenadas cilíndricas y esféricas, para el planteamiento de integrales triples. o Calcular integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. Coordenadas cilíndricas Las coordenadas cilíndricas se obtienen utiliando coordenadas polares en uno de los planos coordenados y manteniendo la tercera variable. Paso de cilíndricas a cartesianas: = rcos y = rsen = Paso de cartesianas a cilíndricas: r y ; arctg y ; (, signo signo y) Las superficies de ecuación más sencilla en coordenadas cilíndricas son: r = a. Es el cilindro de eje 0Z y radio a ; = b. Es el semiplano que contiene al eje 0Z y forma ángulo b con el plano XZ ( >0); = c. Es un plano perpendicular al eje 0Z.
2 PÁGINA MATLAB: COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS Coordenadas esféricas Paso de esféricas a cartesianas: = sencos y = sensen = cos Paso de cartesianas a esféricas: y ; arctg y ; arctg y Las superficies de ecuación más sencilla en coordenadas esféricas son: = a. Es la esfera de centro el origen y radio a ; = b. Es el semiplano que contiene al eje 0Z y forma ángulo b con el plano XZ, ( >0); = c. Es un semicono de eje 0Z. Ejercicios 1 a) Dibuja, utiliando Matlab o Dpgraph la porción del cilindro y = entre = 3 y =3 y sobre la misma figura una porción del cilindro parabólico =. b) Calcula, utiliando el paquete simbólico de Matlab, el volumen del sólido H limitado entre las dos hojas de = (una hoja se produce con negativo y la otra con positivo) y el cilindro y =. Indicaciones a) La representación del sólido se muestra en la figura de la derecha
3 MATLAB: PRÁCTICA 3 PÁGINA 3 b) Epresa el sólido H utiliando coordenadas cartesianas H y,, / 0, y, Teniendo en cuenta las simetrías respecto a y=0 y =0, se tendrá que el volumen de H es 4 veces el volumen del primer octante volumen H 4 ddyd dyd Escribe el código Matlab para calcular el volumen del sólido en coordenadas cartesianas >>syms y >>volumen=4*int(int(int(1,,0,sqrt(*)),y,0,sqrt(*^)),,0,) Escribe el volumen del sólido en coordenadas polares y las órdenes Matlab para obtener su valor /cos r cos /cos volumenh4 rddrd4 rcos drd >>syms r theta >>volumen=4*int(int(int(r,,0,sqrt(*r*cos(theta))),r,0,*cos (theta)),theta,0,pi/)
4 PÁGINA 4 MATLAB: COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS Intentar calcular con Matlab, utiliando coordenadas polares, el volumen del sólido limitado por y = entre las dos hojas de y =1. Nota: Este es el ejercicio propuesto número / d 3 3 Solución: 1 cos 0 La representación del sólido se muestra en la figura de la derecha 3 Se considera el sólido H que ocupa la región limitada inferiormente por = y y superiormente por = y. Cada punto de H está a una temperatura dada por T(, y, )= y ( 1) Prepara un fichero con el código en Matlab necesario para: a) Dibujar las porciones de paraboloides que delimitan H. b) Calcular el volumen del sólido H. c) Calcular la temperatura media del sólido. d) Dibujar el lugar geométrico de los puntos donde se alcana esa temperatura media. Nota: Este es el ejercicio propuesto número 19 Solución: Volumen = Temperatura media=1/ 4 a) Halla mediante una integral triple en coordenadas esféricas el volumen del sólido del primer octante limitado por los planos coordenados, por el
5 MATLAB: PRÁCTICA 3 PÁGINA 5 cono = y y por la esfera con Matlab o con DpGraph. y =8. Representa el sólido b) Calcula la densidad media de dicho sólido, sabiendo que su densidad de masa viene dada por la función, y, = y Indicaciones (a) La representación del sólido se muestra en la figura de la derecha Escribe en coordenadas esféricas: Ecuaciones del cono.,0 4 Ecuaciones de la esfera. El sólido H en coordenadas esféricas se epresa H,, /0, 0, 0 4 Escribe la epresión que permitiría obtener el volumen del sólido utiliando coordenadas esféricas y el código Matlab para obtenerlo / /4 volumen H sen d d d 0 0 0
6 PÁGINA 6 MATLAB: COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS >>syms rho theta phi >>volumen=int(int(int(rho^*sin(phi),phi,0,pi/4),rho,0,*sqrt( )),theta,0,pi/) Nota: También podría calcularse utiliando coordenadas cilíndricas volumen H / 8r 0 0 r r d dr d c) Escribe la epresión que permitiría calcular la densidad media densidad media Epresar la función densidad en coordenadas esféricas y,, H, y, dv volumen H cos sen Escribir el código Matlab para calcular la densidad media >>densidad=int(int(int(cos(phi)*rho^,phi,0,pi/4),rho,0,* sqrt()),theta,0,pi/) >>densidadmedia=densidad/volumen Sea el sólido H que está limitado superiormente por una esfera e inferiormente por la hoja del cono cuyas ecuaciones son respectivamente: 5 y y Utiliar coordenadas esféricas para hallar la masa de dicho sólido sabiendo que su densidad de masa viene dada por la función, f, y, y Nota: Este ejercicio es el propuesto número 15
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