7. Cambio de variables en integrales triples.

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1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO Lección. Integrales múltiples. 7. Cambio de variables en integrales triples. El teorema del cambio de variables para integrales triples es análogo al de integrales dobles. El resultado correspondiente es TEOREMA (CAMBIO DE VARIABLES PARA INTEGRALES TRIPLES). Sea Φ:( uvw,, ) U Φ( uvw,, ) una función inectiva, con derivadas parciales continuas en U tal que det DΦ( u, v, w) 0, para todo ( uvw,, ) U. Sea f :( x,, z) Φ( U) f( x,, z) una función continua. Entonces Φ ( U) U ( ) f ( x,, z) dxddz = f Φ( u, v, w) det DΦ( u, v, w) dudvdw. La conclusión de este teorema también es válida si det DΦ ( u, v, w) se anula sólo en los puntos de una superficie S U. OBSERVACIÓN. 1) Recuerda que decimos que ( x, z, ) = Φ ( uvw,, ) es un cambio de variables denotamos por : = det DΦ ( u, v, w ) al determinante jacobiano de dicho cambio de variables. ( xz,, ) ( uvw,, ) La igualdad del teorema anterior se conoce como fórmula del cambio de variables para integrales triples. ) En el caso particular que f( x,, z ) = 1 obtenemos Φ ( U) U ( xz,, ) volumen ( Φ ( U )): = 1 dxddz = dudvdw. ( uvw,, ) Esto indica que el determinante jacobiano actúa como factor de dilatación o de compresión del área al pasar de U a Φ ( U ) mediante el cambio de variables ( x, z, ) = Φ ( uvw,, ). ) Como en el caso de integrales dobles, el teorema del cambio de variable para integrales triples permiten, en general, simplificar la función integrando o, lo que en otros casos es más importante: el recinto de integración. Ejemplos habituales de cambios de variables. Vamos a describir los cambios de variables más importantes en indicando a qué tipo de recintos de integración están asociados. x u (1) Cambios lineales. Dada una matriz invertible A de orden, el cambio de variables A v = z w tiene determinante jacobiano igual a det( A ). Los cambios lineales de variables son apropiados para pasar de integrar en un recinto limitado por seis planos paralelos dos a dos a integrar en un recinto limitado por planos paralelos a los planos coordenados. EJEMPLO. Consideremos el sólido V = { x z x+ + z x+ x } (,, ) :1, 0, 0 1. Va- 1

2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO Lección. Integrales múltiples. u = x+ + z, mos a calcular la integral ( x + + z) dxddz. Consideramos el cambio v x, = + En las V w = x. nuevas coordenadas ( uvw,, ), el sólido V se transforma en el prisma U : = [ 1,] [ 0,] [ 0,1 ]. En la notación del teorema tenemos que V =Φ ( U), donde hemos puesto Φ ( uvw,, ) = ( xz,, ). Además, ( xz,, ) 1 1 se tiene que = = = 1. De esta forma, la integral queda ( uvw,, ) ( uvw,, ) ( xz,, ) det V ( x + + z) dxddz = ududvdw =. [ 1,] [ 0,] [ 0,1] () Coordenadas cilíndricas. Recordemos que este cambio consiste simplemente en hacer el cambio a coordenadas polares en el plano OXY mantener la variable z como variable independiente, es decir, x= rcos θ, = rsen θ, z = z, donde r 0, θ [ 0, ] z. Su determinante jacobiano es igual a r es útil para integrar en sólidos que presentan simetría axial. EJEMPLO. Vamos a hallar el volumen del sólido V que está acotado por el paraboloide de ecuación z = ( x + ) el plano z = 4, es decir, V = {( x,, z) :( x + ) z 4 }. En coordenadas cilíndricas, las dos desigualdades que aparecen en la anterior descripción de V se transforman en r = ( x + ) z 4. La descripción del sólido en coordenadas cilíndricas es: 0 r, 0 θ r = ( x + ) z 4. En este caso tenemos que V = Φ ( U), donde Φ ( r, θ, z) = ( x,, z) Por consiguiente, el volumen es { θ θ } U : = ( r,, z):0 r,0,r z 4. V dxddz rdz drd r rdrdθ 4 volumen( ) = = (4 ) θ = V 0 0 r r r dθ = = EJEMPLO. Vamos a hallar el volumen del sólido situado en el primer octante que está limitado por el cilindro de ecuación x + =, el cono x + = z el plano OXY. Concretamente, el sólido es V = { x z } x x + x + z (,, ) : 0,, 0. En coordenadas cilíndricas las tres desigualdades que aparecen en la descripción anterior de V son: en primer lugar x 0 si, sólo si, θ, ; en segundo x + si, sólo si, r senθ (observemos que, en particular, esto implica que 0 θ ), por último, x + z si, sólo si, r z. De esta forma, en coor-

3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO Lección. Integrales múltiples. denadas cilíndricas, el sólido V es U : = ( r, θ, z) : θ 0,, 0 r sen θ, 0 z r, es decir, V =Φ ( U), donde Φ denota el cambio a coordenadas cilíndricas. En la práctica no se suele detallar tanto la relación entre U Φ ( U ) se pasa automáticamente de unas coordenadas a otras. El volumen que queremos calcular, tras aplicar el teorema del cambio de variables el teorema de Fubini, es senθ r senθ 8 volumen( V ) = rdzdrdθ = r drdθ = sen θdθ = (1 cos θ) senθdθ = cosθ + cos θ = () Coordenadas esféricas. Las coordenadas esféricas de un punto P= ( x,, z) son los tres valores ( ρ, ϕθ, ) definidos por las relaciones x = ρ cosϕsen θ, = ρ senϕsenθ z = ρ cos θ, donde ρ 0, ϕ [ 0, ] θ [ 0, ]. Su determinante jacobiano es igual a ρ senθ resulta apropiado cuando integramos en conjuntos que tienen simetría esférica. EJEMPLO. Sea B la bola de radio R centro (0,0,0) en. Vamos a hallar su volumen; es decir, volumen( B) = dxddz. Haremos un cambio de variables a coordenadas esféricas. El conjunto B { } B = ( xz,, ) : x + + z R, en coordenadas polares, se describe por 0 ρ R. Sobre las otras dos variables no tenemos nuevas restricciones. Por tanto, ϕ [ 0, ] θ [ ] 0,. Podemos a aplicar el teorema del cambio de variables: R R 4 R dxddz = ρ senθdρdϕdθ = sen θdϕ dθ = V EJEMPLO. Vamos a hallar el volumen del sólido V acotado por abajo por la hoja superior del cono x + = z, por arriba, por la esfera x + + z = 9. En coordenadas esféricas las dos desigualdades que aparecen en la descripción anterior de V son x + + z 9, que equivale a ρ también x + z, que es equivalente a senθ cos θ. Puesto que θ [ ] 0,, obtenemos que senθ = senθ senθ cosθ se verifica si, sólo si, θ 0,. 4 De esta forma, el volumen, tras aplicar el teorema del cambio de variables, es 4 4 volumen( V) = ρ senθdρ dθ dϕ = 9 senθdθ dϕ = 9( ) xz EJEMPLO. Calcula, pasando a coordenadas esféricas, dxddz, siendo V el recinto V x + + z

4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO Lección. Integrales múltiples. { } V = ( x,, z) : x 0, 0, z 0, x + + z 4. La restricción coordenadas esféricas a ρ. Además, puesto que 0 Por otro lado, x 0 e 0, junto con que θ 0,, tanto, ϕ 0,. xz = V x z z θ [ 0, ] Podemos a hacer el cambio a coordenadas esféricas: x + + z 4 equivale en obtenemos que θ 0,. implican que cosϕ 0 senϕ 0. Por ρ cosϕsen θsenϕcosθ dxddz ρ sen θ d θ d ϕ d ρ + + ρ x z + dx d dz 0 0 con un cambio de va- EJERCICIO 1. Calcula la integral triple riables lineal adecuado. Dibuja el recinto de integración. EJERCICIO. Calcula la integral triple cilíndricas. Dibuja el recinto de integración. 1 = ρ dρ cosϕsenϕdϕ sen θcos θdθ =. 1 1 x ( x + ) dzdx d cambiando a coordenadas EJERCICIO. Halla el volumen del sólido V formado por los puntos desigualdades x + x + + z 4. (,, ) xz que verifican las EJERCICIO 4. Calcula el volumen del sólido V limitado por la superficie de ecuación en coordenadas esféricas ρ = 6 + cos( ϕ)sen(5 θ) que mostramos a continuación. Eje OZ Eje OY Eje OX 4

5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO Lección. Integrales múltiples. EJERCICIO 5. Calcula el volumen de la pirámide formada por los planos coordenados el plano x+ + z = 4. EJERCICIO 6. Calcula el volumen del sólido limitado por los paraboloides x + z = 0 x + + z = 1. EJERCICIO 7. Calcula x + = z el plano z =. / ( x + + z ) dxddz, siendo V el sólido acotado por el cono V : (,, ) : 1,0, 0. Escribe la integral triple dxddz como tres integrales reiteradas sin calcularla. Calcula dicha integral triple U mediante un cambio adecuado a coordenadas cilíndricas. EJERCICIO 8. Considera el conjunto U = { x z x + z x z } : (,, ) :1,0,0 1. Calcula la EJERCICIO 9. Considera el conjunto U = { x z x x z } integral triple ( x + xz) dxddz con un cambio de variables adecuado. U EJERCICIO 10. Calcula la integral xz dxddz, donde U con a > 0, b > 0 c > 0. U x z a b c : = ( x,, z) : + + 1, 5