EJERCICIOS RESUELTOS
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- Blanca Bustamante Nieto
- hace 9 años
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1 FUNAMENTOS MATEMÁTICOS E LA INGENIEÍA Ingerierí Técnic Industril. Esecilidd en Mecánic. Boletin 7. Integrción Múltile EJECICIOS ESUELTOS Curso -. Clculr ls siguientes integrles iterds: Z Z Z y ( + y)dyd. ddy. y Z ( + y)dy q ( ) + Z Z y µ y ddy Z y + y ". # y y dy µ + Z y y dy Z dy.. ibujlregión cuy áre reresent l integrl iterd. Clculr dich áre, cmbindo revimente el orden de integrción. Z y ddy. y Z y Z Z y ddy dyd + Z Z Z Z Z dyd + dy dy Z Z Z Z y [y] y dyd. ddy Z [] y y dy Z. ( y) dy y y.. Usr un integrl iterd r clculr el áre de l región cotd or ls gráfics de y,+y 5, y. Z Z 5 y Z Z µ A ddy [] 5 y y dy 5 y y dy 5y 5y 5. y Tmbién uede hcerse integrndo rimero resecto de y y desués resecto de. En este cso hy que hcer dos integrles. A Z Z dyd + Z 5 Z 5 dy5.. Pr clculr ls siguientes integrles iterds es necesrio cmbir revimente el orden de integrción: Z Z Z Z Z +y dyd +y dy y +y dy Z Z y y q( + y 9 ) sen ddy. +y ddy 6 9. Z +y y dy
2 Boletín 7. Ejercicios esueltos. Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí Mecánic. Curso - Z sen ddy sen dy y sen sen cos y ( cos ). 5. elizr un esbozo de l región y clculr l integrl doble : da y : es el sector circulr en el rimer cudrnte cotdo or y 5, y, y. ( + y )da y : es el semicírculo cotdo or y,y. Z Z 5 y da ddy Z 5 y dy Z µ5 y 69 y y y dy 5 Z µ 9 y dy 5 µ y 7 y 5. Z Z Z ( + y )da ( + y )dy µ y + y d Z Ã! Z Ã! +... Por este cmino slen integrles comlicds. Ahor hbrí que hcer el cmbio sent. Es consejble hcerlo en coordends olres. Z Z h i ( + y )da r rdrdθ r r drdθ dθ dθ π. 6. Clculr el volumen del sólido cotdo or ls gráfics de ls ecuciones: z y, z,y,, rimer octnte. + z, y + z, rimer octnte. V V Z Z y ydy o dyz 8 8 y 7. Clculr ls siguientes integrles dobles, sndo revimente coordends olres. Z Z Z Z ydyd + y dyd + Z Z 8 + y dyd. q( ). Z Z ydy cos 5 θ sen θdθ Z cosθ cos6 θ r cos θ sen θdθ π µ. cos θ sen θ cosθ r dθ
3 Boletín 7. Ejercicios esueltos. Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí Mecánic. Curso - Z Z + y dyd + Z Z 8 + y dy Z π. 8. Clculr el volumen del sólido cotdo or ls gráfics de ls ecuciones r drdθ r dθ z + y,z, + y 5. z ln( + y ),z, + y, + y. Z 5 Z 5 V zda + y dyd. En crtesins es muy difícil. Lo clculmos utilizndo coordends olres. V zda + y dy rrdrdθ Z 5 Z 5 Z 5 5 r dθ 5 dθ 5π. Z Z V zda ln( + y )dyd. En crtesins es muy difícil. Lo clculmos utilizndo coordends olres. V zda Z Z Z π Z ln( +y )dy ln(r )rdrdθ Z ln(r)rdrdθ r µ r ln r dθ ln µ dθ π ln. 9. Clculr el volumen del sólido que es interior l hemisferio z 6 y y l cilíndro +y y. Puede hcerse utilizndo integrles dobles o triles. El resultdo será el mismo. Utilizndo integrles dobles. Z Z y y V zda 6 y ddy. Es comlicdo hcerlo en coordends crtesins. Psmos coordends olres. Z Z y y Z V zda 6 y senθ ddy r 6 r drdθ 6 r senθ dθ h 6 6 sen θ i 6 dθ cos θ dθ 8 π sen θ sen θ 8 π 6 (π ) 6 9 Utilizndo integrles triles. Z Z Z y y Z 6 y V dv dzddy. Es comlicdo en crtesins. Cmbindo coordends cilindrics tenemos: Z Z senθ Z 6 r V dv rdzdrdθ slen ls misms cuents que ntes. Z senθ r 6 r drdθ. rtir de quí
4 Boletín 7. Ejercicios esueltos. Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí Mecánic. Curso -. eterminr, de modo que el volumen interior l hemisferio z 6 y y eterior l cilindro + y se l mitd del volumen de hemisferio. Llmmos V H l volumen del hemisferio y Vel volumen eterior. V H π 8π (Puede clculrse con integrles ero no es necesrio) Z Ve dv Z Z 6 r Como Ve V H, obtenemos que h 6 i π 8π 6 6 () 6 q 6 8() 6 8().. Clculr ls siguientes integrles triles: Z rdzdrdθ r 6 r drdθ h 6 i π. Z Z y dzdyd Z 9 Z y/ Z y 9 zdzddy. Z Z y Z 9 Z y/ Z 9 dzdyd y Z y 9 Z zdzddy y y/ dy Z 9 [z] y dy 5. Z 9 Z y/ Z z y 9 ydyd ddy y y dy y Z 9 Z y/ y 9 ddy. Esbozr l región sólid cuyo volumen reresent l integrl trile reescribirl en el orden que se indic dz d dy. Z Z 6 Z y Z Z 6 y Z y dz dy dz d dy. Clculr el volumen del sólido cotdo or ls gráfics de ls ecuciones: z 9 y,z z,y, rimer octnte. Z V Z Z 6 Z y dz dy d y Z Z 9 Z 9 y dv dzdyd. L integrl en coordends crtesins es difícil. 9 Z Z 9 r Z 9r L hcemos en coordends cilíndrics. Z V dv rdzdrdθ 8 dθ 8π. Z V dv Z Z Z Z [y] Z dzdy Z Z 9r r drdθ [z] dy Z Z Z r dyd dθ 56 5.
5 Boletín 7. Ejercicios esueltos. Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí Mecánic. Curso - 5. Psr l integrl coordends cilíndrics y coordends esférics. Evlur l que resulte más sencill: Z Z 6 Z 6 y + y dz dy d Z Z Z + y dzdyd...) Coordends cilíndrics Z Z 6 Z 6 y + y dz dy..) Coordends esférics Z Z 6 Z 6 y + y dz dy Z 6 ρ sen φdρdφdθ φ sen φ π dθ 6π dθ 8π b..) Coordends cilíndrics Z Z Z + y dzdyd Z Z r r cos θdzdrdθ b..) Coordends esférics Z Z Z + y dzdyd k Z cos φ cos φ Z cos φ cos φ ρ sen φ cos θdρdφdθ Z Z 6 r Z sen φ ρ dφdθ 6 Z Z r ρ sen φdρdφ, que no deende de θ. Z cos φ cos φ rrdzdrdθ ρ sen φρ sen φdρdφdθ r cos θrdzdrdθ Z Z 6 r sen φdφdθ ρ sen φ cos θρ sen φdρdφdθ r dzdrdθ. k cos θdθ k [ sen θ] π. onde hemos uesto 5. Hllr el volumen del sólido interior l esfer + y + z y or encim del cono + y z. Z Coordends cilíndrics V Z Z r Z Z Z y dv +y dzdy Z rdzdrdθ r r r drdθ r q( r à r ) dθ 8! Z à π dθ 6π! Z Z Coordends esférics V dv ρ sen φdρdφdθ 8 Z à 8 π [ cos φ] π dθ 6π!. sen φdφdθ 6. Clculr el volumen del sólido comrendido entre ls esfers + y + z y + y + z 9einterior l cono + y z. Z V dv Z ρ sen φdρdφdθ 8 sen φdφdθ
6 Boletín 7. Ejercicios esueltos. Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí Mecánic. Curso [ cos φ] π dθ 76π Ã!. 7. Clculr el volumen del sólido comrendido entre ls gráfics de z + y, z,y, y. Z Z Z Z +y Z Z Z V dv dzdy ( + y) dy y + y Z Clculr el volumen del sólido cotdo or l gráfics z y z, eterior l cilindro + y e interior l hierboloide + y z. Z Z Z Z V dv rdzdrdθ r r r drdθ r q r + (r ) dθ 5. dθ 5π.
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