CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DOBLE.
|
|
- Marta Sevilla Navarro
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 CAMBIO E VAIABLES EN LA INEGAL OBLE. 7. Se = [, ] [, ] se define : como (, ) = ( +, ). Encontrr = ( ). Es inecti? Cd n de ls componentes = +, =, es fnción de n sol rible. Pr er qe es inecti, bst comprobr qe lo son cd n de ls componentes. Ahor bien, l fnción = es l identidd, qe es eidentemente inecti. Además, si, entonces. Por otr prte, l fnción = + = ( ) corresponde n prábol de értice el pnto (, ) qe cort l eje en los pntos (, ) (, ). Como el dominio está restringido l interlo [, ], l fnción es inecti l imgen del interlo [, ] es el interlo [, 3]. En l figr sigiente se ilstr el comportmiento de l fnción. * 3 8. Se el prlelogrmo limitdo por ls rects = 3, = 3, = /, = /+. Se = [, ] [, ]. Encontrr : tl qe ( ) =. En l figr se mestrn los prlelogrmos (donde A = (/5, /5), B = (/5, 6/5), C = (8/5, /5)): B A * C
2 Como l plicción bscd trnsform n prlelogrmo en otro, debe ser n trnsformción linel, del tipo = + b + m = c + d + n. ebido qe mbos prlelogrmos psn por el origen, podemos hcer (, ) = (, ), de modo qe m = n =. eniendo en cent qe los értices de n prlelogrmo se plicn en los értices del otro, podemos estblecer ls relciones: { 8/5 + b/5 = (8/5, /5) = (, ) = 8c/5 + d/5 = { /5 + 6b/5 = (/5, 6/5) = (, ) = c/5 + 6d/5 = esoliendo el sistem resltnte, se obtienen los lores = 3/, b = /, c = / d = /. L trnsformción bscd tiene por ecciones = 3, = Un región del plno XY está limitd por ls rects + = 6, = e =. ) eterminr l región del plno UV en qe se plic por l trnsformción = +, =. b) Clclr el jcobino de l trnsformción (, ) (, ). c) Comprr el resltdo de b) con l relción entre ls áres de. L gráfic sigiente mestr ls regiones : 3 * 3 = + = 6 ) L región sombred en l prte derech de l figr es n triánglo limitdo por ls rects dds. Medinte l trnsformción dd, l rect + = 6 se trnsform en ( + ) + ( ) = 6, es decir l rect = 3. Análogmente, l rect = se trnsform en ( + ) ( ) = o bien l rect =. e l mism mner el eje = se conierte en l rect =. L región trnsformd es el triánglo de l izqierd en el plno UV.
3 b) Clclndo ls derids prciles obtenemos directmente (, ) (, ) = = =. c) El áre de l región tringlr es, en tnto qe l de l región es. Lego l relción entre mbs es / = qe coincide con el lor bsolto del jcobino. Como el jcobino es constnte (lo qe ocrre con ls trnsformciones lineles), ls áres de clesqier regiones del plno XY son el doble de ls áres de ls regiones correspondientes trnsformds del plno UV.. Un región del plno XY está limitd por ls crs con < < b, en el primer cdrnte. + =, + = b, =, =, ) eterminr l región en l cl se trnsform por l trnsformción = cos, = r sen. b) Estdir lo qe ocrre si =. c) Clclr (, ) (, ). ' b = cos = sen b ) L región es l indicd en l figr. Por l trnsformción dd, ls circnferencis + =, + = b se conierten en ls rects =, = b, respectimente. Asimismo, el segmento = comprendido entre b se conierte en = π/, con b el segmento =, b se trnsform en =, b. En definiti, l región bscd es el rectánglo mostrdo en l figr. Se podí hber rzondo tmbién diciendo qe, por ser l distnci desde el origen del plno XY el ánglo medido prtir del eje positio de bsciss, es clro qe l región qe se bsc estrá dd por b, π/, como se indic en l figr. b) Si =, l región se conierte en n cdrnte de n región circlr de rdio b sige siendo n rectánglo. L rzón pr esto es qe el pnto =, = se plic en =, = indetermind l trnsformción no es biníoc en este pnto, llmdo por est rzón pnto singlr. 3
4 c) Sstitendo ls derids prciles en l mtriz obtenemos: (, ) (, ) = cos sen sen cos = (cos + sen ) =.. Se (, ) = (, ( + ) ) = [, ] [, ]. Encontrr = ( ) clclr dd. Bsqemos ls imágenes de los segmentos qe formn l fronter de : = = = = } } } } = = = = = = + = = = = ( + ) = = = + = = = = } } = + = = } } Con est informción, l trnsformción corresponde l figr sigiente: * = = ( + ) Pr clclr l integrl propest, podemos plicr dos métodos: ) irectmente: dd = d + + d = ( + ) ) ( + ) d = 7 8.
5 b) Con l fórml ( ) del cmbio de ribles:, Como J =, + = +, entonces I = d ( + ) d = ( ) d d = Epresr d d como n integrl sobre el triánglo = {(, ) :, } clclr l integrl de ls dos forms. Podemos clclr l integrl directmente, plicndo el teorem de Fbini: d d = 6 d = =. Otro método consiste en hcer el cmbio de ribles (, ) = (, ) qe trnsform el triánglo en l región, indicd en l figr. * = = Como el jcobino de l trnsformción es J fórml del cmbio de rible, tenemos: I = d d = ( ),, = / =, por l = d d =. 3. Cmbir coordends polres l integrl i) es el círclo: +, >. f(, ) dd en los sigientes csos: ii) es el recinto del primer cdrnte limitdo por ls crs: + = + =. iii) es el cdrdo [, ] [, ]. 5
6 i) es el recinto del primer cdrnte limitdo por l cr ( + ) = ( ). ) = {(, ) :, }. i) Si escribimos l ección de l circnferenci en coordends polres (hciendo el cmbio = cos, = sen ), obtenemos = cos, es decir = ó = cos. e l gráfic djnt dedcimos qe, en coordends polres, l región erific ls condiciones π/ π/, cos. Así pes, l integrl se escribe (teniendo en cent el jcobino de l trnsformción) como: I = π/ π/ d cos f( cos, sen ) d. ii) L circnferenci + = se escribe en coordends polres como =, mientrs qe l rect + = tiene por ección =. En el primer cdrnte, el cos + sen ánglo está comprendido entre π/. Con estos dtos, l integrl se escribe como: I = π/ d cos +sen f( cos, sen ) d. iii) En este cso debemos diidir l región en dos triánglos: el primero de ellos limitdo por ls rects =, = e =, lo qe en coordends polres corresponde π/, / cos ; el segndo triánglo está limitdo por ls rects =, = =, s epresión en coordends polres está dd por π/ π/, / sen. 6
7 = = L integrl doble se escribe entonces como: I = π/ cos d f( cos, sen ) d + π/ π/ sen d f( cos, sen ) d. i) L cr dd es l lemnisct de l figr qe, en coordends polres, se epres por l ección = cos. En el primer cdrnte, l región está comprendid entre los lores π/, sí qe l integrl se epres como: I = π/ d cos f( cos, sen ) d. ) L ección de l prábol = se epres en coordends polres por sen = cos, o bien = sen / cos. L región de integrción está comprendid entre los lores = = π/ (correspondiente l rect = ). Así pes, l integrl se epres sí: I = π/ d sen / cos f( cos, sen ) d. 7
8 . Se el círclo nidd. Epresr el rectánglo [, ] [, π] clclrl. ( + + ) 3/ dd como n integrl sobre Si plicmos el cmbio coordends polres, ddo por ls ecciones = cos (, ) =, sen (er figr), teniendo en cent qe el jcobino de l trnsformción es J =,, l integrl se pede clclr del modo sigiente: ( + + ) 3/ dd = ( + ) 3/ dd = π d = π ( + ) 5/ 5/ ( + ) 3/ d = 8π. 5 p * = cos = sen - 5. Si S es l región del primer cdrnte limitd por ls crs =, =, =, =, probr qe f( ) dd = ln f() d. S L fronter de l región S sgiere relizr el cmbio = /, =, c iners es l trnsformción (, ) = ( /, ), l cl tiene como dominio l región S de l figr djnt. 8
9 S * = / = S El jcobino de est trnsformción es ( ), J =, 3/ / / / / / / / =. Por l fórml del cmbio de rible, l integrl dd se pede escribir como: S f( ) dd = d f() d = ln f() d = ln f() d. 6. Clclr + dd siendo l región del plno XY limitd por + = + = 9. L presenci de + sgiere el empleo de coordends polres (r, ϑ), con = r cos ϑ, = r sen ϑ. Medinte est trnsformción l coron circlr se trnsform en el rectánglo como se indic en l figr. p = cos = sen 3 3 ebido qe (, ) = r, se tiene: (r, ϑ) A = = π + dd = r r dr = r 3 /3 3 = 38π 3. 9 π 3 r dr
10 mbién se podín hber obtenido los límites de integrción pr obserndo l región pes, pr ϑ fijo, r rí desde r = hst r = 3 dentro del sector destcdo en l figr. Integrndo entonces con respecto ϑ desde ϑ = hst ϑ = π se obtiene l sm de todos los sectores citdos. 7. Clclr + = 9. 3 dd sobre l región del primer cdrnte limitd por + Psndo l integrl coordends polres qed: dd = ρ 3 dρ { = ρ cos ϑ = ρ sen ϑ π/ cos 3 ϑ = 3, como (, ) (ρ, ϑ) 3 ρ 3 dρ = 7. = ρ, l integrl 8. Clclr ls sigientes integrles: i) sen + dd. π + π ii) dd, donde es n círclo de rdio con centro en el origen de coordends. i) Si escribimos l integrl en coordends polres, qed de l form: I = π d π π sen d = 6π. [Medinte integrción por prtes se obtiene qe sen d = sen cos.] ii) Escribimos tmbién l integrl en coordends polres, reslt: I = π d sen cos d = π sen d 3 d =. 9. rnsformr l sigiente integrl doble coordends polres resolerl: d 3 d.
11 Clclemos en primer lgr l imgen de cd no de los ldos del triánglo ddo medinte l trnsformción = cos, = sen : =, = sen = cos, cos = = π/, ; = 3, = sen = 3 cos, cos = = π/3, ; =, 3 = cos =, sen 3 = = sec, π/ π/3. L representción gráfic de l trnsformción nterior es l sigiente: * L integrl propest se resele entonces como sige: I = π/3 π/ d sec cos d = π/3 π/ cos 3 8 sec 3 d = 8 3 tg π/3 π/ = 8 3 ( 3 ). Se dej como ejercicio comprobr qe el mismo resltdo se obtiene clclndo directmente l integrl propest. 3. Hllr ( + ) dd, donde es l región del plno XY limitd por ls hipérbols =, = 9, =, = en el primer cdrnte. 8 * 9
12 Aplicndo l trnsformción =, =, l región del plno XY de l derech de l figr se trnsform en l región del plno UV representd en l izqierd de l figr. Vmos comprobr qe dich trnsformción es reglr. ebido qe ( + ) = ( ) + (), es decir + = +, como =, reslt qe = Al ser >, tenemos qe = +. Análogmente, tenemos tmbién qe = +, lo qe preb qe l trnsformción es inecti. riilmente, l trnsformción es de clse C demás J (, ) = = = ( + ) si (, ) (, ). Hech est comprobción l integrl le entonces ( + ) dd = ((, ) + (, ) ) (, ) (, ) dd = + dd + = 9 d 8 d = 8. Not. Ls coordends crilínes (, ) definids de l form nterior son ls llmds coordends hiperbólics. 3. Clclr I = + b =. ) ( b dd etendid l dominio interior l elipse Hremos el cmbio de rible (, ) (ρ, ϑ) = { / = ρ cos ϑ /b = ρ sen ϑ cos ϑ b sen ϑ, con lo qe ρ sen ϑ bρ cos ϑ = bρ. En ls nes coordends, l elipse se escribe como ρ =. Así pes, I = ( ρ )bρ dρ = b (ρ ρ 3 ) dρ π = πb.
13 3. Hllr N = e d. Como e d = N = e d, entonces e d e d = e ( + ) dd. Psndo coordends polres, + = ρ, dd = ρ dρ, el primer cdrnte (, ) (, ) (, ) se trnsform en l región (ρ, ϑ) (, ) (, π/). L integrl qed entonces: N = π/ En definiti, N = π/. e ρ ρ dρ = π/ [ ] lím e ρ = π/ = π. 33. Hllr el áre de l región limitd por: ) Ls crs = p, = q, = r, = s, < p < q, < r < s. b) L cr ( + ) ( = 3 3 ), >. c) Ls crs / + /b =, / + /b =, / = /b, / = /b,, b >. ) L form de ls ecciones qe limitn l región sgiere relizr el cmbio de ribles =, =. e este modo, l región de integrción es hor = {(, ) : p q, r s}. Como entonces J (,, (, ) J =, / / / / = 3, ) =. El áre bscd iene dd por l fórml 3 A = q p s d r 3 d = (s r) (q p). 3 b) ebido l simetrí de l región (er figr), bstrá mltiplicr por 6 el áre de l prte comprendid en el primer cdrnte. 3
14 En coordends polres, l cr dd tiene por ección = cos (cos 3 sen ), de modo qe el áre bscd se clcl por l integrl doble A = 6 π/6 d = 3 π/6 cos (cos 3 sen ) d cos (cos 3 sen ) d = π. c) elizremos l trnsformción de coordends sigiente: = /b /, = / + /b (dich trnsformción es biecti porqe l región está contenid en el primer cdrnte). Con est trnsformción los neos límites de l región son,. Como l iners de l trnsformción es = ( + ), = b ( + ), entonces el áre se clcl medinte l integrl doble A = J (, ) = b3, ( + ), b 3 65b d d = ( + ) Hllr el áre de l región del plno XY encerrd por l lemnisct r = cos ϑ. L cr está dd directmente en coordends polres (r, ϑ). ndo diferentes lores ϑ hllndo los correspondientes lores de r se obtiene l gráfic de l figr.
15 El áre bscd (teniendo en cent l simetrí) se pede clclr sí: A = = π/ π/ cos ϑ π/ r dr = cos ϑ = sen ϑ π/ r cos ϑ =. 35. Clclr el áre del recinto sitdo en el primer cdrnte limitdo por ls crs 3 =, 3 = b ( > b > ), = c, = d (c > d > ). Vmos efectr n cmbio de rible qe trnsforme l región dd en n rectánglo. Pr ello hcemos = 3 / =. c d * b e este modo, A = (, ) (, ) dd. Ahor bien, de ls ecciones = 3 /, =, reslt: = 3 /, = / = 3 / = /, = / = = /7 /7, = / = /7 3/7. Por lo tnto, (, ) (, ) = El áre pedid se clcl entonces como 7 9/7 3/7 3 7 /7 /7 7 6/7 /7 7 /7 5/7 = 7 8/7 /7. 5
16 A = b c 8/7 d d 7 /7 d = 7 = 7 5 ( /7 b /7 ) (c 5/7 d 5/7 ). ( /7 /7 b ) ( 5/7 ) c 5/7 d 36. Hllr el áre de l región eterior l circnferenci ρ = e interior l circnferenci ρ = cos ϑ. Los pntos de intersección de mbs circnferencis son qellos en qe cos ϑ = /, es decir ϑ = ±π/3. eniendo en cent l simetrí de l región, el áre iene dd por A = π/3 cos ϑ ρ dρ = π/3 [( cos ϑ) () ] = π Hllr el áre eterior l circnferenci ρ = e interior l crdioide ρ = ( + cos ϑ). d l simetrí, el áre pedid es igl l doble del áre brrid l rir ϑ desde ϑ = hst ϑ = π/. Así pes, π/ (+cos ϑ) π/ ρ (+cos ϑ) A = ρ dρ = π/ π/ = ( cos ϑ + cos ϑ) = ( sen ϑ + ϑ/ + sen(ϑ)/) = π
17 38. Hllr el áre interior l circnferenci ρ = sen ϑ eterior l lemnisct ρ = 8 cos ϑ. El áre pedid es igl l doble de l correspondiente en el primer cdrnte limitd por ls dos crs l rect ϑ = π/. Los pntos de intersección de mbs crs se encentrn en l rect ϑ = π/6, qe se obtiene l resoler l ección 6 sen ϑ = 8 cos ϑ. Obsermos qe el rco AO de l lemnisct se gener l rir ϑ desde ϑ = π/6 hst ϑ = π/, mientrs qe el rco AB de l circnferenci lo hce l rir ϑ desde ϑ = π/6 hst ϑ = π/. Si descomponemos l figr en dos prtes, n por debjo otr por encim de l rect ϑ = π/, el áre qed de l form: A = = π/ π/6 π/ π/6 sen ϑ ρ dρ + cos ϑ (6 sen ϑ 8 cos ϑ) + π/ π/ π/ sen ϑ Otro método de resolción consiste en efectr l diferenci A = π/ π/6 sen ϑ ρ dρ π/ π/ π/6 ρ dρ 6 sen ϑ = 8π cos ϑ ρ dρ. 39. Hllr el olmen de l región común los cilindros + =, + z =. En l figr djnt se mestrn los dos cilindros l prte de l región correspondiente l primer octnte. 7
18 z z e modo qe el olmen será V = 8 d d = 8 ( ) d = Hllr el olmen del sólido limitdo por el cilindro + = los plnos +z =, z =. L proección del cilindro sobre el plno z = es l circnferenci + =, de modo qe el olmen iene ddo por l fórml V = d ( ) d. z Nemente escribimos l integrl en coordends polres. eslt: V = = π π d ( sen ) d ( 3 3 sen ) d = π (8 8 3 sen ) d = 6π. 8
19 . Clclr el olmen de l sección sitd en el primer octnte del sólido limitdo por los plnos z = z = + + el cilindro + = 6. L bse del sólido es l región del plno comprendid en el primer cdrnte limitdo por l circnferenci de ección + = 6. El plno z = + + limit dicho sólido en s prte sperior. z Así pes, el olmen endrá ddo por: V = = z(, ) dd = d 6 ( + + ) d ( ) d. Pr eitr resoler l integrl de l fnción irrcionl 6, podemos escribir l integrl doble en coordends polres. Así, V = = π π d ( cos + sen + ) d 3 3 (cos + sen ) + d = 6 3 (sen cos ) + 6 π = π.. Clclr el olmen del sólido limitdo speriormente por l esfer + + z = 5 e inferiormente por el prboloide + = z. Clclmos en primer lgr los pntos de intersección de l esfer con el prboloide. enemos: 9
20 + + z = 5 + = z } = { z + z 5 = + = z enemos pes l sitción de l figr djnt. } = z = + = z El olmen pedido se hll medinte l fórml ( V = 5 + ) dd, donde es el círclo + <, qe se obtiene como proección del sólido en el plno XY. Pr resoler l integrl, l trnsformmos coordends polres; en este cso, = {(ρ, ϑ) : < ρ <, ϑ < π}. Entonces: V = π ( ) 5 ρ ρ ρ dρ = π (ρ ) 5 ρ ρ3 dρ = π(5 5 ) Hllr el olmen limitdo por el prboloide + = z, el cilindro + = 8 el plno z =. El olmen pedido se obtiene integrndo l fnción z = ( + )/ en el interior del círclo + = 8. z
21 En coordends cilíndrics, = ρ cos ϑ, = ρ sen ϑ, z = z, el olmen se obtiene l integrr z = ρ / en el círclo ρ = 8 sen ϑ. Por tnto, V = z da = π 8 sen ϑ z(ρ, ϑ)ρ dρ = π 8 sen ϑ ρ 3 dρ = 96π.. Hllr el olmen qe se elimin cndo n esfer de rdio se le prctic n orificio circlr de rdio de form qe el eje del orificio se n diámetro de l esfer. En l primer figr se mestr, desplzd erticlmente, l región qe se etre de l esfer en l segnd figr l propi región sin l esfer. z z e l figr se dedce qe el olmen pedido es ocho eces el correspondiente l del primer octnte limitdo (en coordends cilíndrics) por el cilindro ρ =, l esfer ρ +z = el plno z =. Esto se obtiene integrndo z = ρ en n cdrnte del círclo ρ =, es decir: V = 8 π/ ρ ρ dρ = 3 (8 3 3) 3 π. 5. Clclr los olúmenes de los cerpos limitdos por ls sigientes sperficies: i) z =, z =, =, =, z = ( > ). ii) z = +, + =, + =, z =. i) El sólido consiste en l región del primer octnte limitd por el prboloide z = el plno z =. En l figr de l derech se mestr n ist lterl del sólido limitdo eclsimente l primer octnte.
22 z z Obseremos qe l región de integrción, el cdrnte del círclo con centro el origen rdio, debe diidirse en dos regiones, pes en el sólido está limitdo por el prboloide el plno z =, en el sólido está limitdo por el prboloide el plno z =. e este modo, el olmen se epres por l integrl: V = = [ ] ( ) dd + dd dd ( ) dd. Pr resoler l primer integrl hcemos el cmbio coordends polres mientrs qe l segnd integrl l resolemos directmente (como región de tipo I): V = π/ d d d ( ) d = π ii) El sólido es l figr comprendid entre el plno z = el prboloide z = + c bse es región eterior l circnferenci + = e interior l circnferenci + =. z
23 e este modo, V = ( + ) dd, qe escribimos en coordends polres pr simplificr l región de integrción, qe se ilstr en l figr. - Así pes, V = π/ π/ d cos cos 3 d = π/ π/ 5 cos d = 5π 3. 3
EJERCICIOS DE INTEGRAL DOBLE PROPUESTOS EN EXÁMENES
TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) e-mil: imozs@elx.ned.es º) Obtener el lor de l integrl doble I ( y)( x y) R x dxdy efectndo el sigiente cmbio de rible: x ; y, siendo R l región del plno limitd por
Más detallesINTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES.
INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. 6. En l integrl dole f(, ), colocr los límites de integrción en mos órdenes, pr los siguientes recintos: i) trpecio de vértices (, ), (, ), (, ) (, ). ii)
Más detallesINTEGRALES DOBLES Y MÚLTIPLES
Análisis Mtemático C T.P. Nº TABAJO PÁCTICO Nº INTEALES DOBLES Y MÚLTIPLES Áre pln = dd olumen = f (, )dd ' ddd Áre de superficies lbeds = f f dd, sobre el plno. Cmbio de coordends: cos sen cos sen f (,
Más detallesINTEGRAL DEFINIDA. ln ln ln dx 3. t t. 1 5 ln t t 5t 1 ln 1 7 ln 1. [7.1] Calcular: Solución. [7.2] Calcular: Solución INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA INTEGRAL DEFINIDA [7.] Clclr: d 5 dt t d t t dt 5 5t t / t 5t t 5t / / t d dt 5 t t t dt 5 5 5 5 ln t t 5t ln 7 ln 5 / 9 t 7 7 7 7 7 7 ln ln ln 5 5 7 9 6 [7.] Clclr: ln 5 e e e d e t
Más detalles1: El producto escalar de un vector consigo mismo coincide con el cuadrado de su módulo
UNIDAD : Geometrí eclíde. Prodcto esclr. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES LIBRES Definición: Se llm prodcto esclr de los ectores y y se not por l nº rel qe se obtiene de l sigiente form: = es decir el
Más detallesTEMA 11: PROBLEMAS MÉTRICOS
Alonso Fernánde Glián TEMA PROBLEMAS MÉTRICOS Finlmente vmos ocprnos de clclr ánglos distncis entre rects plnos de resolver problems relciondos con estos conceptos.. ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS Vemos
Más detalles55 EJERCICIOS DE VECTORES
55 EJERCICIOS DE VECTORES 1. ) Representr en el mismo plno los vectores: = (3,1) b = ( 1,5) c = (, 4) d = ( 3, 1) i = (1,0) j = (0,1) e = (3,0) f = (0, 5) b) Escribir ls coordends de los vectores fijos
Más detallesIntegración múltiple de Riemann 34 TEMA 5 - INTEGRACIÓN MÚLTIPLE DE RIEMANN
nterción múltiple de Riemnn 4 TEMA 5 - NTEGRACÓN MÚLTPLE E REMANN Rectánlos prticiones en rectánlos en R einición Siendo dos interlos clesqier de R se denomin rectánlo de ldos prlelos los ejes coordendos
Más detallesFundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso
Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de
Más detalles8 - Ecuación de Dirichlet.
Ecuciones Diferenciles de Orden Superior Prte V III Integrl de Dirichle t Ing. Rmón scl Prof esor Titulr de nálisi s de Señles Sistems Teorí de los Circuit os I I en l UTN, Fcultd Regionl vellned uenos
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición
Más detallesLlamaremos S a la superficie dada y D a su proyección sobre el plano XY (ver figura).
TEOREMA E GAU. 15. Hllr el flujo del cmpo i + j + z k trvés de l superficie z 1 +, z 1. ) irectmente. b) Aplicndo el teorem de Guss. olución Llmremos l superficie dd su proección sobre el plno XY (ver
Más detallesUnidad Nº 4: VECTORES en IR 2 y en IR 3
Unidd Nº 4: VECTORES en IR y en IR 3 Sistem de coordends crtesins ortogonles en el Plno y en el Espcio. Expresión de n ector en IR y en IR 3. Igldd de ectores. Sm de ectores. Mltiplicción de n esclr por
Más detallesVectores. Bases. Producto escalar, vectorial y mixto; y aplicaciones
Mtemátics II Geometí del espcio Vectoes. Bses. Podcto escl vectoil mixto; plicciones Obsevción: L moí de los poblems eseltos continción se hn popesto en los exámenes de Selectividd.. Ddos los vectoes (
Más detallesCurvas en el plano y en el espacio
Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS
Más detallesTema 11: Integrales denidas
Tem : Integrles denids My 9, 7 Denición y propieddes Denición. Si f ) es un función continu en un intervlo [, b] y denid positiv, f ), l integrl denid en ese intervlo l denimos como: f ). Si f ) > l integrl
Más detallesCambio de Variables en las Integrales Dobles
E.E.I. CÁLCULO II Y ECUACIONES DIFEENCIALES Curso 20-2 Clse 3 (7 fe. 202) Cmio de Vriles en ls Integrles Doles. Ejemplo: Áre de l elipse. 2. Cmio de Vriles I. Punto de ist de l trnsformción. 3. Cmio de
Más detallesPROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito
Más detalles1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre
Más detallesINSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,
Más detallesCálculo diferencial e integral 4
Cálculo diferencil e integrl 4 Guí 2. emuestr el cso del teorem de Fubini que no se demostró en clse. Concretmente: se R = A B R n un rectángulo compcto con A y B rectángulos de dimensión menor. Supongmos
Más detallesLección 3. Cálculo vectorial. 4. Integrales de superficie.
GRAO E INGENIERÍA AEROEPACIAL CURO 0 MATEMÁTICA II PTO E MATEMÁTICA APLICAA II 4 Integrales de sperficie Nestro último paso en la etensión del concepto de integral es el estdio de las integrales de sperficie,
Más detalles1.- El producto escalar de un vector consigo mismo coincide con el cuadrado de su módulo
UNIDAD.- Geometrí eclíde. Prodcto esclr (tem 6 del libro). PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES LIBRES Definición: Se llm prodcto esclr de los ectores se not por sigiente form: del ánglo qe formn dichos ectores.
Más detallesO(0, 0) verifican que. Por tanto,
Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O
Más detallesUniversidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales
Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles
Más detallesTema 5. Trigonometría y geometría del plano
1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene
Más detallesAplicaciones de la integral
5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle
Más detallesFUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:
FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De
Más detallesa (3, 1, 1), b(1, 7, 2), c (2, 1, 4) = 18,5 u 3
8 Clcul el volumen del prlelepípedo determindo por u(,, ), v (,, ) y w = u v. Justific por qué el resultdo es u v. w = u Ò v = (,, ) (,, ) = (, 6, 5) [u, v, w] = 6 5 u v = 9 + 6 + 5 = 7 = 7 Volumen = 7
Más detalles1. La integral doble.
UNIVESIA POLITÉCNICA E CATAGENA eprtmento de Mtemátic Aplicd y Estdístic Fundmentos Mtemáticos Curso 2008/09. Integrción Múltiples 1. L integrl doble. Supongmos que tenemos un rectángulo en 2 de l form
Más detallesPrimer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z )
Cpítulo III. Álgebr vectoril Objetivo: El lumno plicrá el álgebr vectoril en l resolución de problems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3. Cntiddes esclres
Más detalles7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades
Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,
Más detallesPRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE MADRID JUNIO Tiempo máximo: 1 hora y 30 minutos OPCIÓN A
IES STELR BDJOZ PRUEB DE ESO (LOGSE) UNIVERSIDD DE MDRID JUNIO MTEMÁTIS II Tiempo máimo: hor minutos El lumno contestrá los cutro ejercicios de un de ls dos opciones ( o B) que se le ofrecen Nunc deberá
Más detallesGrado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.
Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con
Más detallesMOVIMIENTO DE RODADURA
E.T.S.. Agrónomos. U.P.. OVENTO DE ODADUA Cuerpos rodntes. Considermos el moimiento de cuerpos que, debido su geometrí, tienen l cpcidd de rodr: eser, ro, disco, supericie eséric, cilindro poydo sobre
Más detallesIntegrales impropias
Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección
Más detallesJunio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A
Junio 00 (Prueb Generl) JUNIO 00 OPCIÓN A.- ) Dds ls funciones f () = ln () y g() =, hllr el áre del recinto plno limitdo por ls rects =, = y ls gráfics de f () y g (). b) Dr un ejemplo de función continu
Más detalles0 x+2y=1. x+(a+4)y+(a+1)z=0 -(a+2)y +(a 2 +3a+2)z=a+4. a+1 a 2 +3a ± ±2
JUNIO DE 8. PROBLEMA A. Estudi el siguiente sistem de ecuciones lineles dependiente del prámetro rel resuélvelo en los csos en que es comptible: x+ x+(+4)+(+)z (+) +( +3+)z+4 (3 PUNTOS) Aplicmos el método
Más detallesTeorema de Green. 6.1 Introducción
SESIÓN 6 6.1 Introducción En est sesión se revis el primero de los 3 teorem clves del cálculo vectoril: el. Este teorem estblece que un integrl doble sobre un región del plno es igul un integrl de líne
Más detallesMATRICES DE NÚMEROS REALES
MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m
Más detalles2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR
1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid
Más detallesel blog de mate de aida: MATE I. Cónicas pág. 1
el blog de mte de id: MATE I. Cónics pág. 1 SECCIONES CÓNICAS Un superficie cónic se obtiene l girr un rect g (llmd genertriz), lrededor de otr rect e, llmd eje de giro, l que cort en un punto V (vértice).
Más detallesINSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA I. LA RECTA. Ejercicios pr resolver. 1. Demuestr que los puntos A(-,8); B(-6,1) C(0,4) son los vértices de un tringulo
Más detallesAplicaciones de la integral.
Cpítulo 6 Aplicciones de l integrl. 6.. Cálculo del áre de un figur pln. En generl, pr clculr el áre de un región pln:. L dividimos en frnjs, infinitmente estrechs, de mner horizontl o verticl,. Suponemos
Más detallesPROBLEMAS DE RODADURA EJEMPLOS SELECCIONADOS
POBLEMAS DE ODADUA EJEMPLOS SELECCONADOS UNDAMENTOS ÍSCOS DE LA NGENEÍA Antonio J. Brbero / Alfonso Cler Belmonte / Mrino Hernández Puche Dpt. ísic Aplicd. ETS ng. Agrónomos (Albcete) EJEMPLO Considere
Más detalles2.3.1 Cálculo de primitivas
Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3. Cálculo de primitivs 75. Encontrr l epresión de ls siguientes integrles indefinids: ) p) tg b) e sen cos
Más detallesdx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx
Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible
Más detallesHéctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Definición e interpretación geométrica
Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. L Integrl.-. Definición e interpretción geométric Dd un función continu f :[, b] R ynonegtiv (f (), [, b]), vmos considerr l región del plno bjo l gráfic de
Más detalles7.10. Calcular el desarrollo de Taylor de grado 2 en x = 0 de la función. Cálculo integral: funciones reales de variable real.
7.. Clculr el desrrollo de Tylor de grdo en = de l función f () = te t dt, y utilizrlo pr clculr proimdmente, te t dt. Dr un estimción del error cometido. ( 997). 7.. Clculr el siguiente ite funcionl cos
Más detallesf(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) una antiderivada de f(x), es decir, siendo F (x) tal que F (x) = f(x)
Cálculo de primitivs: f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) un ntiderivd de f(x), es decir, siendo F (x) tl que F (x) = f(x) L constnte C se denomin constnte de integrción; es un constnte rbitrri porque se
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 06 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio, Opción A Reserv, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 6 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio, Opción A Reserv, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio,
Más detallesIntegrales de funciones de una variable.
Tem Integrles de funciones de un vrible... L integrl definid como áre. L integrl definid de un función cotd y positiv corresponde l áre encerrd entre l curv y f (x) y el eje OX desde un punto y fx fx hst
Más detalles1. Función primitiva. Integral de una función.
. Función primitiv. Integrl de un función. Considermos l función f() =. Nos preguntmos si eiste otr función F() tl que l derivrl nos de l función f(). F() = verific que F () = f(). Pero tmién nos vldrí
Más detallesPRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA
TEMA CÁLCULO DE PRIMITIVAS. - PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN f(): F() es un primitiv de f() si F () = f() Ejemplos: función: f() Primitiv: F() sen - cos Not: Un función tiene
Más detalles, y el plano Π forma un ángulo β con el eje del cono, se pueden presentar los siguientes casos:
Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 9 Cónics 9. Cónics Se llm cónic culquier de ls secciones plns que se producen l cortr en el espcio un doble cono recto por un plno. Si el doble cono
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grdo en Químic Bloque Funciones de un vrible Sección.6: Integrción y plicciones. L integrl sirve pr clculr áres de figurs plns limitds por curvs. Pr definir l integrl de un función f : [, b] R se utilizn
Más detallesTema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas
Tem : Integrl definid. Aplicciones l cálculo de áres. Introducción Ls integrles no vn permitir clculr áres de figurs no geométrics. En nuestro cso, nos limitremos clculr el áre jo un curv y el áre encerrd
Más detallesAplicaciones de la Integral.
Seminrio 2 Aplicciones de l Integrl. 2.1. Áre de figurs plns. Definición 2.1.1. Se f : [, b] R continu y f(x) 0 x [, b]. El áre del recinto {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} viene dd por l integrl: A = f(x)
Más detalles51 EJERCICIOS DE VECTORES
51 EJERCICIOS DE VECTORES 1. ) Representr en el mismo plno los vectores: = (3,1) b = ( 1,5) c = (, 4) = ( 3, 1) i = (1,0) j = (0,1) e = (3,0) f = (0, 5) b) Escribir ls coorens e los vectores fijos e l
Más detallesRepartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz
Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr
Más detallesGUÍA DE MATEMÁTICAS V. Ciclo escolar B determina:
Elbor: Preprtori Págin 1 de 14 Ciclo escolr 014-015 Docente: Fernndo Vivr Mrtínez I) Producto Crtesino, Relciones y Funciones B determin: 1) Ddos los conjuntos A 0,1,,3 y 4,5,6,7 ) El Producto Crtesino
Más detallesTEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.
TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l
Más detallesTema 10: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas
Tem : Integrl definid. Aplicciones l cálculo de áres. Introducción Ls integrles nos vn permitir clculr áres de figurs no geométrics. En nuestro cso, nos limitremos clculr el áre jo un curv y el áre encerrd
Más detallesIntegral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida
Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de
Más detalles5. Aplicación de la Integral de Riemann
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 8-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 9: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5. Aplicción
Más detallesResolución de triángulos
8 Resolución de triángulos rectángulos. Circunferenci goniométric P I E N S A Y C A L C U L A Escribe l fórmul de l longitud de un rco de circunferenci de rdio m, y clcul, en función de π, l longitud del
Más detallesTEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS
TEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS. ÁREA BAJO UNA CURVA. El prolem que pretendemos resolver es el cálculo del áre limitd por l gráfic de un función f() continu y positiv, el eje X y ls sciss = y =. Si
Más detallesIntegrales de funciones de una variable.
Tem Integrles de funciones de un vrible... L integrl definid como áre. L integrl definid de un función cotd y positiv corresponde l áre encerrd entre l curv y fx) y el eje OX desde y f x f x un punto hst
Más detallesElectromagnetismo. es nula. Encuentre el campo eléctrico en todo el espacio.
Electromgnetismo olución Prueb 1 de Cátedr Profesor: José ogn C. 17 de Abril del 24 Ayudntes: Pmel Men. Felipe Asenjo Z. 1. Un distribución de crg esféricmente simétric de rdio tiene un densidd interior
Más detallesy ) = 0; que resulta ser la
º BT Mt I CNS CÓNICAS Lugr geométrico.- Es el conjunto de los puntos que verificn un determind propiedd p. Considermos un determindo sistem de referenci crtesino del plno. Diremos que l ecución f(x,)=0
Más detallesAplicaciones del cálculo integral
Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:
Más detallesPara demostrar la primera igualdad, se supondrá que la región D puede ser definida de la siguiente manera
.7. Teorem de Green en el Plno. Se un curv cerrd, simple, suve trozos positivmente orientd en el plno, se l región limitd por l curv, e incluendo. Si F ( ) F ( ),, son continus tiene primers derivds prciles
Más detalles3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus
Más detalles5.2 Integral Definida
80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos
Más detallesFunciones trascendentes
Cálculo 1 _Comisión -3 Año 017 Funciones trscendentes I) Funciones trigonométrics Son quells unciones cuys regls de deinición corresponden relciones trigonométrics (seno, coseno, tngente, cotngente, secnte
Más detallesTema 4: Integrales Impropias
Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem
Más detallesRELACIÓN DE PROBLEMAS DEL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO.
RELACIÓN DE PROBLEMAS DEL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO. 1- Ddo el triángulo de vértices A=(1,-3,), B=(3,-1,0) y C(-1,5,4). ) Determinr ls coordends del bricentro. b) Si ABCD es un prlelogrmo, determinr ls coordends
Más detallesTercera Parte: Producto Vectorial y Producto Mixto entre vectores
Tercera Parte: Prodcto Vectorial Prodcto Mito entre ectores Introdcción Retomemos el caso los dos pintores: Carlos Jan. Finaliada la tarea de moer el escritorio, el arqitecto qe coordina la obra, indica
Más detalles7 Integral triple de Riemann
Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 1 7 Integrl triple de iemnn 7.1 efinición Llmremos rectángulo cerrdo de 3 (prlelepípedo) l producto de tres intervlos cerrdos y cotdos de, es decir = [, b]
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS
MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS Aplicciones de Trigonometrí de Triángulos Rectángulos Un triángulo tiene seis
Más detallesTema 9: Cálculo de primitivas. Integrales definidas e impropias.
Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Tem 9: Cálculo de primitivs. Integrles definids e impropis. José M. Slzr Noviembre de 206 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Tem
Más detalleslím 1 si x=0 3) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la siguiente función en el punto de abscisa π/2: sen x y = arc tg 1+cos x
CURSO 4-5. de myo de 5. ) Clcul los siguientes ites: (+e ) / sen(/) ) Estudi l continuidd de l siguiente función: +e/ f() -e / si si ) Hll l ecución de l rect tngente l gráfic de l siguiente función en
Más detallesINFORME DE LA PRÁCTICA nº 2: LA RUEDA DE MAXWELL. Fernando Hueso González. Carlos Huertas Barra. (1º Fís.), L1, 21-XI-07 - 0 -
INFORME DE LA PRÁCTICA nº : LA RUEDA DE MAXWELL Fernndo Hueso González. Crlos Huerts Brr. (1º Fís.), L1, 1-XI-7 - - RESUMEN L práctic de l rued de Mxwell consiste en medir el tiempo que trd en descender
Más detalles5. Integral y Aplicaciones
Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción
Más detallesSELECTIVIDAD ANDALUCÍA. a) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
SELECTIVIDAD. Est es un selección de cuestiones propuests en ls otrs comuniddes utónoms en l convoctori de Junio del.. En quells comuniddes en ls que no se indic nd, el formto de emen es similr l que se
Más detallesTEMAS DE MATEMÁTICAS (OPOSICIONES DE SECUNDARIA) TEMA 42
TEMAS DE MATEMÁTIAS (OPOSIIONES DE SEUNDARIA) TEMA 42 HOMOTEIA Y SEMEJANZA EN EL PLANO. 1. Introducción. 2. Homotecis en el plno. 2.1. Propieddes de l homoteci en el plno. 2.2. Producto de homotecis. 2.2.1.
Más detallesEJERCICIOS DE INTEGRACIÓN DEFINIDA
EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN DEFINIDA. Definición de función integrble. Primers propieddes. Clculr ls integrles de ls siguientes funciones en los intervlos que se indicn: ) f(x) = [x] en [, n], con n N. b)
Más detallesBLOQUE III Geometría
LOQUE III Geometrí 7. Semejnz y trigonometrí 8. Resolución de triángulos rectángulos 9. Geometrí nlític 7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Thles Si un person que mide 1,70 m proyect un sombr de 3,40
Más detallesgeometria proyectiva primer cuatrimestre 2003 Práctica 5
geometri proyectiv primer cutrimestre 2003 Práctic 5 1. Encontrr un curv prmetrizd α cuy trz se el círculo x 2 + y 2 = 1, que lo recorr en el sentido de ls gujs del reloj y tl que α(0) = (0, 1). 2. Se
Más detallesa y Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial: i j k / x / y / z
TEOREMA E TOKE. 1. Usar el teorema de tokes para calcular la integral de línea ( ) d + ( ) d + ( ) d, donde es la curva intersección de la superficie del cubo a, a, a el plano + + 3a/, recorrida en sentido
Más detallesAplicaciones de la integral.
Tem 10 Aplicciones de l integrl. 10.1. Áre de figurs plns. 10.1.1. Áre encerrd entre un curv y el eje de bsciss. Se f : [, b] R un función integrble, tl que f(x 0 x [, b]. El áre del recinto C = {(x, y
Más detallesCONCEPTOS CLAVE DE LA UNIDAD 2., entonces se dice que F es antiderivada de f. Siempre que f(x) esté definida.
CONCEPTOS CLAVE DE LA UNIDAD. Si f y F son funciones de, tles que F '( ) f ( ), entonces se dice que F es ntiderivd de f. Siempre que f() esté definid. Alguns veces l ntiderivd, se le llm función primitiv..
Más detallesA modo de repaso. Preliminares
UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
8 Pág. Págin 88 PRACTICA Vectores y puntos Ddos los puntos A 0 B0 C y D hll ls coordends de los vectores AB BC CD DA AC y BD. AB = 0 0 = DA = 0 = BC = 0 = AC = 0 = 7 CD = = 6 BD = 0 = 8 Ls coordends del
Más detalles