Aplicaciones de la integral.

Transcripción

1 Cpítulo 6 Aplicciones de l integrl. 6.. Cálculo del áre de un figur pln. En generl, pr clculr el áre de un región pln:. L dividimos en frnjs, infinitmente estrechs, de mner horizontl o verticl,. Suponemos que ls frnjs son rectángulos, con lo cul su áre se obtendrá como el producto de l bse por l ltur (l bse será el diferencil correspondiente d o d), es decir, d hd, obien,d hd.. Clculmos el áre totl como l sum de ls áres de los infinitos rectángulos: A Los límites de integrción se determinn estudindo el recorrido del diferencil correspondiente. Silscurvssecortndentro delintervlodeintegrción, entonces hbráque descomponer l integrl en dichos puntos clculr ls áres por seprdo. En prticulr, Proposición 6. (Áre bjo un curv). El áre del trpecio curvilíneo limitdo por l curv f(), siendof(), por ls rects verticles b por el segmento [, b] del eje O viene definido por l integrl, A 77 d f() d

2 78 CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL. Proposición 6. (Áre entre dos curvs). El áre de l región limitd por ls curvs f () e f (), siendof () f (), por ls rects b viene definid por l integrl, f () f () d Ejemplo 6.. Hllr el áre de l región comprendid entre l prábol + lrect Solución. En primer lugr loclizmos el recinto. Podemos utilizr l función tl como viene definid o bien trsldrl girrl con objeto de hcer coincidir l rect con uno de los ejes de coordends. En este ejemplo, utilizremos l función tl como viene definid dividiremos el recinto en frnjs horizontles o verticles. () Frnjs horizontles: A Z d Z (b) Frnjs verticles: Los puntos de corte de mbs curvs son: + ± (, ± ) el diferencil de áre viene definido por: d hd ( )d [ ( +)]d ( )d Con lo cul el áre totl será: ( )d» 8 En este cso los límites de integrción son: el diferencil de áre viene definido por: d hd()d d ( ) / d Con lo cul el áre totl será: A Z d Z ( ) / d ( )/ 8 Ejemplo 6.. Clculr el áre de l región comprendid entre ls prábols +.

3 6.. CÁLCULO DEL ÁREA DE UNA FIGURA PLANA. 79 Solución. En primer lugr loclizmos el recinto. Podemos utilizr ls funciones tl como vienen definids o bien intercmbir l por l con objeto de que sen funciones respecto de. En este ejemplo utilizremos ls funciones tl como vienen definids dividiremos el recinto en frnjs horizontles. Los puntos de corte de mbs curvs los obtenemos por igulción: + ± Es decir, P (, ) Q(, ) el diferencil de áre viene definido por: d hd( d i )d ( ) ( +) d ( )d Con lo cul el áre totl será: Z Z Z A d d ( )d 4 4( )8 Tmbién podemos dividir l región en frnjs verticles, pero en este cso el cálculo del áre result un poco más complicdo, que tenemos que descomponer l región en dos regiones. En efecto, A Z Z Z Z Z d + d d + d Z» d + ( ) / d» ( ) / Ejemplo 6.. Clculr el áre de l región limitd por ls gráfics de ( ) e. Solución. Pr fcilitr los cálculos podemos desplzr el recinto uniddes l izquierd, con objeto de centrrlo en el eje de ordends, con lo cul l región estrá limitd por ls gráfics de ls funciones,e. ( ) 4 4 4

4 8 CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL. Dividiendo el recinto en frnjs verticles, tenemos: loslímites de integrción: de donde, A Z d d hd( ) d ( )d Z ± ( )d» 4 Tmbién podemos dividir el recinto en frnjs horizontles, tenemos: d hd ()d ( ) d / d de donde, A Z d Z / / d Cálculo del volumen de un cuerpo 6... Volumen de un cuerpo culquier: Método de secciones En generl, pr clculr el volumen de un cuerpo:. Lo dividimos en secciones, rebnds o lonchs, infinitmente estrechs, medinte cortes con plnos perpendiculres un dirección determind (normlmente uno de los ejes de coordends o un rect prlel uno de ellos),. Suponemos que ls secciones son cilíndrics, con lo cul su volumen se obtendrá como el producto del áre de l bse por l ltur (l ltur será el diferencil correspondiente d o d), es decir, dv S() d, o bien dv S() d.. Clculmos el volumen totl como l sum de los volúmenes de ls infinits secciones: V dv Los límites de integrción se determinn estudindo el recorrido del diferencil correspondiente. En prticulr,

5 6.. CÁLCULO DEL VOLUMEN DE UN CUERPO 8 Proposición 6. (Método de ls secciones). Si el áre de l sección de un cuerpo por un plno perpendiculr l eje O puede epresrse en función de, esdecir,s S(), siendo b, entonces el volumen de l prte del cuerpo comprendid entre los plnos b, perpendiculres l eje O, viene definido por l fórmul: V S() d 6... Volumen de un sólido de revolución: Método de discos Al cortr un sólido medinte plnos perpendiculres l eje de giro ls secciones que se obtienen son discos, con lo cul su volumen viene determindo por dv πr d, obien,dv πr d, si el eje de giro es fronter l región quegir;pordv π(r r ) d, obien,dv π(r r ) d, sielejede giro es eterior l región que gir. En consecuenci, Proposición 6.4 (Giro de trpecio curvilíneo). Si un trpecio curvilíneo limitdo por l curv f(), elejeo ls verticles por los puntos b gir lrededor del eje O, entonces el volumen del cuerpo de revolución que se engendr viene definido por l fórmul: V π d Proposición 6. (Giro de región entre dos curvs). Si l región limitd por ls curvs f (), e f (), siendo f () f (), ls verticles por los puntos b gir lrededor del eje O, entonces el volumen del cuerpo de revolución que se engendr viene definido por l fórmul: V π ( ) d 6... Volumen de un sólido de revolución: Método de los cilindros Si dividimos un sólido de revolución medinte cilindros concéntricos con el eje de giro, cd cilindro con un espesor infinitesiml. El volumen de cd uno de estos cilindros vendrá determindo por: dv πrh d, o bien dv πrh d. L región genertriz deberá estr un solo ldo del eje de giro, en cso contrrio hbrá que descomponer l integrl hcer los volúmenes por seprdo. Tmbién hbrá que descomponer l integrl si l región viene determind por dos curvs que se cortn dentro del intervlo de integrción. Este método tmbién se llm de cps.

6 8 CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL. Ejemplo 6.4. Hllr por el método de discos por el de cps el volumen del sólido generdo l girr l región comprendid entre l prábol + lrect lrededor de l rect. Solución. En primer lugr loclizmos el recinto. Podemos utilizr l región tl como viene dd o bien trsldrl girrl con objeto de que el giro de l región de hg sobre uno de los ejes de coordends. Así, pueden utilizrse, por ejemplo, ls funciones +,obien,, girrls sobre el eje O. En este ejemplo utilizremos l función tl como viene definid.. Método de discos: Hllmos el volumen de un disco elementl dv, (, ) (, ) 4 Figur 6.: Método de discos dv πr d π( ) d π( ) d π( ) d Hllmos los límites de integrción pr l vrible : + ± con lo cul, el volumen totl, l ser simétrico, será: V Z π dv π Z Z dv π Z d d π Método de ls cps. + π π

7 6.. CÁLCULO DEL VOLUMEN DE UN CUERPO 8 (, ) (, ) 4 Figur 6.: Método de cps Hllmos el volumen de un cilindro elementl dv, dv πrh d π( )()d 4π( ) d con lo cul el volumen totl será. Z Z V dv 4π ( ) d t Z t + d tdt t ; t 4π ( t )ttdt Z Z 8π ( t )t t dt 8π (t t 4 )dt 8π t ψ! 4 8π 8π 4 8π 64π Ejemplo 6.. Clculr el volumen generdo l girr l región comprendid entre ls prábols +, lrededor del eje OY, plicndo el método de discos el de cps. Solución. En primer lugr loclizmos el recinto. Podemos utilizr l región tl como viene dd o bien intercmbir l por l con objeto de que sen funciones respecto de. En este ejemplo utilizremos l función tl como viene definid. Los puntos de corte de mbs curvs los obtenemos por igulción: + ± Es decir, P (, ) Q(, ). Método de discos:

8 84 CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL. ( i,) ( d,) Figur 6.: Método de discos Hllmos el volumen de un disco elementl dv, dv πr d πr d π( d i )d π ( ) ( +) d π(8 8 )d Los límites de integrción pr l vrible son ±. Con lo cul, el volumen, l ser simétrico, será: V Z dv Z dv π Z. Método de ls cps (cilindros). (8 8 )d π 8 8 π 8 8 π (, ) Figur 6.4: Método de cilindros Hllmos el volumen de un cilindro elementl dv, dv πrh d π()d 4π d Ahor bien, el vlor de cmbi prtir de, por tnto tendremos que descomponer l integrl en este punto. Los límites de integrción pr l vrible son,. Con lo cul el volumen totl será: V Z dv + Z dv 4π Z d +4π Z d

9 6.. CÁLCULO DEL VOLUMEN DE UN CUERPO 8 Ambs integrles se resuelven por cmbio de vrible, Z I t Z d t (t +)ttdt + d tdt Z t (t 4 +t )dt + t + 6 Z I t Z d t ( t )t( t) dt d tdt Z 6t ( 6t +t 4 )dt + t Con lo cul, el volumen es, 6 V 4π(I + I )4π π 6π π Ejemplo 6.6. Dd l región limitd por ls gráfics de, 4, obtener, plicndo el método de discos el de cps, el volumen del sólido formdo hciendo girr dich región en torno l eje OX lejeoy. Solución.. Giro en torno l eje OX () Método de los discos: (, ) 4 Figur 6.: Método de discos cilindros Por el método de discos, el diferencil de volumen es: dv πr d π d π d de donde, el volumen totl será: V Z 4 dv Z 4 π d π 4 8π (b) Método de cilindros. El diferencil de volumen es, dv πrh d π(4 ) d π(4 ) d π(4 ) d

10 86 CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL. de donde, el volumen totl es, V Z dv Z. Giro en torno l eje OY. π(4 ) d π 4 π(8 4) 8π 4 (, ) 4 Figur 6.6: Método de discos cilindros () Método de discos. El diferencil de volumen es, dv π(r r ) d π(6 ) d π(6 4 ) d de donde, el volumen totl es: Z Z V dv π(6 4 ) d π 6 π( )8 π (b) Método de los cilindros. El diferencil de volumen es, dv πrh d π d π dπ / d de donde, el volumen totl es Z 4 Z 4 V dv π / / d π 4 π 8 π Ejemplo 6.7. Obtener el volumen del sólido formdo l girr l región limitd por ls gráfics de ( ) e,entornolrect, plicndo el método de discos el de cps. Solución. Pr fcilitr los cálculos podemos desplzr el recinto uniddes l izquierd, con objeto de centrrlo en el eje de ordends. Con lo cul el volumen se generrá l girr l región limitd por ls gráfics de e, en torno l rect. Tmbién se podrí volter l región con objeto de hcerl girr en torno l eje O, sin embrgo, l integrl resultnte en est cso es un poco más difícil.. Método de discos. Hllmos el volumen de un disco elementl dv : dv πr d π( ) d π( ) d π( ) d

11 6.. LÍMITE DE SUMAS 87 ( ) ( i,) ( d,) Figur 6.7: Método de discos cilindros Los límites de integrción pr l vrible son ±, l ser l región simétric result: V Z π dv Z dv π 9 + Z ( ) d π π π. Método de los cilindros. Hllmos el volumen de un disco elementl dv : dv πrh d π( ) d4π( ) d Los límites de integrción de l vrible son, con lo cul el volumen totl será: Z Z Z V dv 4π ( ) d4π / / d 4π / / 4π 6.. Límite de sums 9 4π Los siguientes límites pueden clculrse medinte integrles: 8 48π Proposición 6.6. lím n n nx i f i n Z f() d Ejemplo 6.8. Clculr el siguiente límite, lím n 4n n + n n /.