Aplicaciones de la integral
|
|
- Ignacio Sevilla del Río
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle l siguiente definición: Definición 89.- Se f: [, ] I un función continu y positiv, y consideremos l región del plno cuy fronter viene dd por ls rects x =, x =, el eje de ciss y l gráfic de f (ver figur dejo). Entonces el áre de l región está definid por f(x) dx. En efecto, en su momento hemos comentdo como ls sums inferiores y sums superiores nos ofrecen proximciones por defecto y por exceso del áre encerrdo por l curv y = f(x), es decir, el vlor de ese áre está siempre entre el áre clculdo por defectoo y el clculdo por exceso. Entonces, cundo l función es integrle, el inferior de ls cots superiores y el superior de ls cots inferiores coinciden, y como el vlor del áre indicdo por l función está entre mos vlores, necesrimente dee conincidir con el vlor de l integrl. Ejemplo Clculr el áre de l región limitd por l curv f(x) = x 3 x = 3. Solución: L función es positiv en todo I. En prticulr, lo es en el dominio de integrción y, por tnto, el vlor del áre que uscmos vendrá ddo por 3 f(x) dx. En nuestro cso, como F (x) = x3 9 + x es un primitiv de f en [, 3], st plicr l regl de Brrow pr otener que 3 nos ofrece el áre del recinto de l figur. ( ) ( )] x x dx = 9 + x = (3 + 3) ( + ) = 6, y = f(x) +, los ejes coordendos y l rect f(x) = x 3 + x = Funciones negtivs y = f(x) y = f(x) Cundo l función f: [, ] I que limit, es continu y negtiv, es decir, f(x) pr todo x [, ], el vlor de l integrl será f(x) dx, por lo que no puede representr el vlor del áre de como mgnitud de medid positiv. Sin emrgo, es clro que el áre de l región coincide con el áre de l región determind por l función f (ver figur l izquierd), por lo que, teniendo en cuent ls propieddes de l integrl, puede drse l siguiente definición. Prof: José Antonio Ai Vin I.T.I. en Electricidd
2 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I 4. Áres de superficies plns Definición 9.- Se f: [, ] I un función continu y negtiv. Consideremos l región del plno cuy fronter viene dd por ls rects x =, x =, el eje de ciss y l gráfic de f. Entonces el áre de l región está definid por f(x) dx = f(x) dx. Oservción 9.- Es clro entonces, que pr clculr el áre de regiones plns dee nlizrse el signo de l función en el intervlo de integrción. De no hcerlo sí, l prte negtiv de l función restrá el áre que encierr del áre encerrdo por l prte positiv. Contrejemplo.- Hllr el áre encerrdo por l función f(x) = sen x, en el intervlo [, π]. El vlor π encerrd por l curv. sen x dx = cos x ] π = ( cos(π)) ( cos ) =, es clro que no represent el áre π π Ahor ien, teniendo en cuent que l función sen x es positiv en [, π] y negtiv en [π, π], el vlor rel del áre encerrdo será por tnto A( ) + A( ) = π sen x dx + π π ] π ] π sen x dx = cos x + cos x = + = 4. π Ejemplo Hllr el áre determind por l curv f(x) = (x )(x ), ls rects x =, x = 5 y el eje de ciss. Como l función f(x) es menor o igul cero en [, ] y positiv en el resto, se tendrá que 5 f(x) dx + f(x) dx. Como G(x) = x3 3 3x + x es un primitiv de f(x) en [, 5 ], ( G() G() ) ( G() G() ) ( + = G ( 5 ) G() ) = 7 6. f(x) = (x )(x ) Áre entre dos funciones En ls definiciones nteriores puede considerrse, que el áre clculdo est encerrdo por l función y = f(x) y l función y =, cundo l f es positiv, y por l función y = y l función y = f(x), cundo l f es negtiv. En mos csos, se tiene que dx = (f(x) ) dx y dx f(x) dx = ( f(x)) dx, es decir, que el áre encerrdo por ms funciones es l integrl de l función myor menos l integrl de l función menor. En generl, se tiene que: Proposición 9.- Si f, g: [, ] I son funciones continus, con f(x) g(x) pr todo x [, ]. Entonces, si es l región del plno cuy fronter viene dd por ls rects x =, x =, el eje de ciss y ls gráfics de f y g, el áre de se otiene como g(x) dx = ( ) f(x) g(x) dx. Prof: José Antonio Ai Vin I.T.I. en Electricidd
3 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I 4. Volúmenes de cuerpos sólidos En efecto, si ls funciones verificn que g(x) f(x), es clro que el áre encerrdo por f y g es el áre encerrdo por f menos el áre encerrdo por g (ver figur siguiente), es decir, A( f g ) = A( f ) A( g ) = g(x) dx. Si lgun de ells tom vlores negtivos, el áre entre ms,, es el mismo que si le summos cd función un constnte k que ls hg positivs y, por tnto, el áre es el áre encerrdo por f +k menos el áre encerrdo por g + k (ver figur), es decir, A( f g ) = A( f+k ) A( g+k ) = = = f(x) dx + k dx g(x) dx. (f(x) + k) dx g(x) dx k dx (g(x) + k) dx y = f(x)+k y = f(x) y = g(x)+k y = g(x) Oservción 93.- De form nálog, si l región está limitd por funciones x = f(y), x = g(y) y ls rects y = c e y = d, siendo g(y) f(y) pr todo y [c, d], el áre de l región puede encontrrse medinte l fórmul d ( ) f(y) g(y) dy. c Ejemplo Clculr el áre de l región cotd comprendid entre ls práols de ecuciones y + 8x = 6 e y 4x = 48. Ls práols pueden escriirse como funciones de y, de l form x = g(y) = 6 y 8 y x = f(y) = y 48 4 Los puntos de corte de ms práols son ls soluciones de l ecución 6 y 8 = y 48 4 = y = ± 4. x = f(y) 4 x = g(y) Como en el intervlo [ 4, 4] es f(y) g(y), se tiene que 4 6 y 4 8 = (4y y3 8 )] 4 4 y 48 dy = dy = 4 ) (4 y dy Volúmenes de cuerpos sólidos Trtremos hor de clculr el volumen de un sólido S. Pr ello supongmos que est colocdo en los ejes coordendos de I 3 y que los extremos del sólido en l dirección del eje de ciss se tomn en los vlores x = y x =. Consideremos pr cd x [, ] que A(x) represent el áre de l intersección del cuerpo con un plno perpendiculr l eje de ciss (ver figur). Entonces, pr cd prtición P = { = x, x,..., x n = } del intervlo [, ], consideremos A(x ) A(x ) A(x 3) S m i = inf{a(x) : x x x i } M i = sup{a(x) : x x x i } x=x x=x x=x 3 Prof: José Antonio Ai Vin I.T.I. en Electricidd
4 53 Mtemátics I : Cálculo integrl en I 4. Volúmenes de cuerpos sólidos el inferior y el superior de los vlores de ls áres A(x) de ls secciones del sólido entre x i y x i. Definimos sum superior e inferior socids l sólido S y l prtición P en l form n n U(A, P ) = M i x i y L(A, P ) = m i x i, donde cd término de ls sums represent el volumen de un cuerpo con áre de l se m i ó M i y ltur x i x i = x i. Fig. 4.. Volúmenes por exceso y por defecto. Por tnto, ms sums corresponden volumenes que proximn por exceso y por defecto, respectivmente, l verddero volumen de S (fig 4.). Considerndo tods ls prticiones de [, ] y rzonndo de form nálog como se hizo en el Tem 3, pr l construcción de l integrl de iemnn, estmos en condiciones de dr l siguiente definición: Definición 94.- Se S un sólido cotdo comprendido entre los plnos x = y x =. Pr cd x [, ], se A(x) el áre de l sección que produce sore S el plno perpendiculr l eje de ciss en el punto x. Si A(x) es continu en [, ] definimos el volumen de S como V(S) = A(x) dx. Not: Podemos dr definiciones nálogs si tommos secciones perpendiculres l eje y o l eje z. Ejemplo Hllr el volumen del sólido S = { (x, y, z) I 3 : x, y, z ; x + y + z }. El sólido S es l prte del primer octnte limitd por el plno x+y +z =, es decir, el tetredro (pirámide de se triángulr) cuys crs son los plnos coordendos y el plno x + y + z =. Ls secciones formds por plnos perpendiculres l eje x son triángulos y su áre, pr cd x, es A(x) = se(x) ltur(x). Pr cd x de [, ], l se del{ triángulo es l coordend y de x + y + z = l rect intersección de los plnos, luego se(x) = z = y = x. { L ltur es l coordend z de l rect intersección de x + y + z = los plnos, luego ltur(x) = z = x. Por tnto, y = A(x) = ( x)( x) y V (S) = A(x) dx = ( x) )] ( x)3 dx = ( = 6 6 z = x A(x) y = x 4.. Volúmenes de revolución Un cso prticulr de grn importnci de l definición nterior es el de los sólidos de revolución, es decir, sólidos generdos l girr respecto un eje. Supongmos dd un función f: [, ] I y consideremos l región limitd por l curv y = f(x) el eje de ciss y ls rects x = y x = (como e l figur inicl del tem). Un rotción complet de ést lrededor del eje de ciss produce un sólido S pr el cul, cd sección es un círculo de rdio f(x) (o f(x) si l función es negtiv, ver l figur nex l ejemplo siguiente de l esfer) y por tnto, su áre será A(x) = πf (x). Prof: José Antonio Ai Vin I.T.I. en Electricidd
5 54 Mtemátics I : Cálculo integrl en I 4.3 Otrs plicciones En consecuenci, el volumen se otendrá de V (S) = πf (x) dx = π Ejemplo Hllr el volumen de l esfer x + y + z 4. L esfer es clrmente un sólido de revolución, pues si girmos el círculo máximo se gener un esfer. De hecho, st girr el círculo máximo medi vuelt pr conseguirl, o dr un vuelt complet uno de los semicírculos. Como el circulo máximo, intersección de l esfer con el plno y =, tiene por ecución (en el plno xz ) x + z = 4, otenemos l esfer l girr un rotción complet l superficie encerrd por l semicircunferenci superior, z = 4 x. Pr cd x [, ], el áre de l sección generd es A(x) = π( 4 x ) = π(4 x ), con lo que el volumen será )] V (S) = π (4 x ) dx = π (4x x3 = π = 4 3 π3, f (x) dx. como y símos. Oservciones 95.- Análogmente, si tenemos un función x = f(y) y hcemos rotr su gráfic lrededor del eje de ordends, el volumen del sólido será V (S) = π donde c y d son los extremos de vrición de y. d c f (y) dy. En el cso más generl, los volúmenes de los cuerpos engendrdos por l rotción de un figur limitd por ls curvs continus y = f(x), y = g(x) (donde g(x) f(x) ó f(x) g(x) ) y por ls rects x = e x = lrededor del eje de ciss es V (S) = π f (x) dx π g (x) dx = π ( ) f (x) g (x) dx. Not: Si sucede que g(x) f(x), l girr lrededor del eje de ciss l superficie comprendid entre ls gráfics, dee tenerse en cuent únicmente l superficie (por encim o por dejo del eje de giro) de myor rdio de giro, pues el volumen que engendr l girr l prte myor contiene l volumen engendrdo por l prte menor. Es decir, si g(x) f(x) se gir sólo l prte superior y si g(x) f(x) se gir únicmente l prte inferior. 4.3 Otrs plicciones 4.3. Longitudes de rcos L integrl definid se puede usr tmién pr encontrr l longitud de un curv dd por l gráfic de un función f(x) derivle y con derivd continu en [, ]. Definición 96.- Se f: [, ] I derivle y con derivd continu en [, ], entonces l longitud L de de l gráfic de f, está dd por L = + (f (x)) dx. Sin un justificción complet, est definición se otiene de lo siguiente: se P = { = x, x,..., x n = } un prtición del intervlo [, ] y denotemos por P xi = (x i, f(x i )) l punto correspondiente de l gráfic de f, entonces l longitud l líne poligonl, L(Q P ), formd por los n segmentos rectilineos, P xi P xi, que unen Prof: José Antonio Ai Vin I.T.I. en Electricidd
6 55 Mtemátics I : Cálculo integrl en I 4.3 Otrs plicciones P xi P xn P x P xi Fig. 4.. los puntos consecutivos de l gráfic es un proximción por defecto (l rect es más cort que el rco, ver figur nej) de l longitud de l curv, L(f). Es decir, n L(Q P ) = L ( ) n P xi P xi = (x i x i ) + ( f(x i ) f(x i ) ) L(f) Por el teorem del vlor medio de Lgrnge, en cd suintervlo [x i, x i ] existe un e i (x i, x i ) tl que f(x i ) f(x i ) = f (e i )(x i x i ), luego n L(Q P ) = (x i x i ) + ( f (e i )(x i x i ) ) n = + ( f (e i ) ) (xi x i ) 4. Pr prticiones más fins P P P se verific que L(Q p ) L(Q P ) L(Q P ) por lo que si tommos prticiones cd vez más fins se tendrá que L(Q P ) L(f). Por otr prte, l expresión finl de 4. es l sum de iemnn de l función g(x) = + (f (x)), en l prtición P y el conjunto E, es decir S(g, P, E) = n + (f (e i )) (x i x i ) = n + (f (e i )) x i. Y como f es continu en [, ], l función g es continu e integrle en [, ], de donde n S(g, P, E) = + (f (e i )) x i + (f (x)) dx. Ejemplo Determinr l longitud del rco de l gráfic de f(x) = x 3 sore el intervlo [, 4]. Solución: f es continu en [, 4] y f (x) = 3 x es tmién continu en [, 4], luego L = 4 + ( ) 4 3 x (4 + 9x) 3 dx = 4 + 9x dx = 7 ] 4 = Áre de un superficie de revolución Definición 97.- Se f: [, ] I con derivd continu en [, ], entonces el áre de l superficie engendrd por l rotción lrededor del eje de ciss del rco de curv f(x) entre x = y x =, se otiene de S = π f(x) + (f (x)) dx. Ejemplo Clculr el áre de l superficie esféric x + y + z = 4. Solución: L esfer es un superficie de revolución otenid l girr el rco de curv y = 4 x [, ]. Luego ( ) S = π 4 x x + dx = π dx = 6π. 4 x en el intervlo Prof: José Antonio Ai Vin I.T.I. en Electricidd
7 56 Mtemátics I : Cálculo integrl en I 4.4 Ejercicios 4.4 Ejercicios 4.84 Hllr el áre de l figur limitd por l curv y = x(x )(x ) y el eje de ciss Pror que el áre encerrdo por l curv f(x) = px n, con x [, ], p I y n IN es f() n Clculr el áre de l figur limitd por l curv y = x 3, l rect y = 8, y el eje OY Clculr el áre de l figur limitd por l curv y 3 y + = x, l rect x = 8, y el eje OX Hllr el áre encerrdo por l elipse x + y = Hllr el áre de l figur comprendid entre ls práols y = x, y = x, y l rect y = x. 4.9 Clculr el áre de ls dos prtes en que l práol y = x divide l círculo x + y = Clculr el áre de l figur limitd por l hipérol x y = y l rect x =. 4.9 Clculr el áre de cd un de ls prtes en que ls curvs y = x y x = y dividen l círculo x + y Clculr el áre limitd por ls curvs f(x) = ex +e x y g(x) = (x+) +) cundo x [, ] Clculr el áre encerrd por l curv y = x + rcsen x y el eje de ciss. (Not: Estudir el dominio y el signo de l función.) 4.95 L curv que prece en l figur de l derech, llmd stroide, viene dd por l ecución x 3 + y 3 = 3 Hllr el áre encerrd por l stroide. (Not: Se sugiere el cmio x = sen 3 t ó x = cos 3 t.) 4.96 Clculr el áre de l figur limitd por l curv y = x ( x ) Clculr el áre de l figur comprendid dentro de l curv ( x 5 ) + ( y 4 ) 3 =. x 3 + y 3 = Compror usndo l integrción, que el volumen de un esfer de rdio r es 4 3 πr Hllr el volumen del elipsoide x + y + z c =. 4. Considerr el sólido V formdo l cortr el cilindro x + y por los plnos z = e y +z = (ver l figur de l derech), que nlíticmente viene descrito por: V = { (x, y, z) : x + y ; z y } Descriir y clculr el áre de ls secciones de V perpendiculres cd uno de los ejes. Clculr el volumen de V medinte ls secciones correspondientes dos de los ejes. 4. Hllr el volumen encerrdo por el proloide elíptico y 4 + z 6 = x y limitdo por el plno x=5. 4. Hllr el volumen del elipsoide, engendrdo por l rotción de l elipse x + y = lrededor del eje OX. 4.3 Hllr el volumen del cuerpo engendrdo l girr lrededor del eje OY, l prte de l práol y = x, que intercept l rect x = 3. Prof: José Antonio Ai Vin I.T.I. en Electricidd
8 57 Mtemátics I : Cálculo integrl en I 4.4 Ejercicios 4.4 Hllr volumen del toro engendrdo por l rotción del círculo (x ) + y, con >, lrededor del eje OY. 4.5 L rect x = divide l círculo (x ) + y 4 en dos prtes. ) Clculr el volumen generdo l girr lrededor de l rect y = l prte de myor áre. ) Clculr el volumen generdo l girr lrededor de l rect x = l prte de myor áre. c) Clculr el volumen generdo l girr lrededor de l rect x = l prte de menor áre. 4.6 Considerr ls curvs y = sen(x) e y = sen(x) en el intervlo [, π]. ) Hllr el áre de l región encerrd entre ls dos curvs. ) Hllr el áre de cd uno de los trozos en que l rect y = divide l región encerrd entre ls dos curvs. c) Si girmos ms curvs lrededor de l rect y =, cuál de ls dos engendrrá myor volumen? 4.7 Hllr el volumen de l prte del hiperoloide de un hoj S = { x + y z c ; z h}. 4.8 Hllr el volumen del cono elíptico recto, de se un elipse de semiejes y y cuy ltur es h. 4.9 Hllr el volumen del cuerpo limitdo por l superficies de los cilindros prólicos z = x y z = y (ver figur de l derech) prtir de ls áres formds l seccionr el cuerpo por plnos prlelos l plno z =. 4. Hllr el volumen del cuerpo limitdo por los cilindros: x + z = e y + z =. 4. Clculr el volumen de cd un de ls prtes en que qued dividido un cilindro circulr recto de rdio y de ltur 8 por un plno que, conteniendo un diámetro de un de ls ses, es tngente l otr se. 4. Sore ls cuerds de l stroide x 3 +y 3 = 3, prlels l eje OX, se hn construido unos cudrdos, cuyos ldos son igules ls longitudes de ls cuerds y los plnos en que se encuentrn son perpendiculres l plno XY. Hllr el volumen del cuerpo que formn estos cudrdos. 4.3 El plno de un triángulo móvil permnece perpendiculr l diámetro fijo de un círculo de rdio. L se del triángulo es l cuerd correspondiente de dicho círculo, mientrs que su vértice resl por un rect prlel l diámetro fijo que se encuentr un distnci h del plno del círculo. Hllr el volumen del cuerpo (llmdo conoide, ver figur nej) engendrdo por el movimiento de este triángulo desde un extremo del diámetro hst el otro. 4.4 Un círculo deformle se desplz prlelmente l plno XZ de tl form, que uno de los puntos de su circunferenci descns sore el eje OY y el centro recorre l elipse x + y =. Hllr el volumen del cuerpo engendrdo por el desplzmiento de dicho círculo. 4.5 Se S el recinto del plno limitdo por l práol y = 4 x y el eje de sciss. Pr cd p > considermos los dos recintos en que l práol y = p x divide S, A(p) = {(x, y) S : y p x } y B(p) = {(x, y) S : y p x }. ) Hllr p pr que ls áres de A(p) y B(p) sen igules. ) Hllr p pr que l girr A(p) y B(p) lrededor del eje de ordends otengmos sólidos de igul volumen. 4.6 Hllr el perímetro de uno de los triángulos curvilíneos limitdo por el eje de sciss y ls curvs y = ln cos x e y = ln sen x. Prof: José Antonio Ai Vin I.T.I. en Electricidd
9 58 Mtemátics I : Cálculo integrl en I 4.4 Ejercicios 4.7 Hllr l longitud del rco y = rcsen(e x ) desde x = hst x =. 4.8 Clculr l longitud del rco de l curv x = ln(sec y), comprendido entre y = e y = π Hllr el áre de l superficie del toro engendrdo por l rotción de l circunferenci (x ) + y =, con >, lrededor del eje OY. Prof: José Antonio Ai Vin I.T.I. en Electricidd
2.3.1 Cálculo de primitivas
Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3. Cálculo de primitivs 75. Encontrr l epresión de ls siguientes integrles indefinids: ) p) tg b) e sen cos
Más detallesIntegral definida. Áreas MATEMÁTICAS II 1
Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II APROXIMACIÓN AL VALOR DEL ÁREA BAJO UNA CURVA L integrl definid está históricmente relciond con el prolem de definir y clculr el áre de figurs plns. En geometrí se
Más detallesAplicaciones de la Integral.
Seminrio 2 Aplicciones de l Integrl. 2.1. Áre de figurs plns. Definición 2.1.1. Se f : [, b] R continu y f(x) 0 x [, b]. El áre del recinto {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} viene dd por l integrl: A = f(x)
Más detallesINTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES.
INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. 6. En l integrl dole f(, ), colocr los límites de integrción en mos órdenes, pr los siguientes recintos: i) trpecio de vértices (, ), (, ), (, ) (, ). ii)
Más detallesAplicaciones del cálculo integral
Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:
Más detalles1. Función primitiva. Integral de una función.
. Función primitiv. Integrl de un función. Considermos l función f() =. Nos preguntmos si eiste otr función F() tl que l derivrl nos de l función f(). F() = verific que F () = f(). Pero tmién nos vldrí
Más detallesAREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA
GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo
Más detallesUniversidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales
Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles
Más detallesCurvas en el plano y en el espacio
Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que
Más detallesINTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración.
INTEGRAL DEFINIDA Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 6. Aproimción intuitiv l concepto de integrl definid. Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. 6. El teorem fundmentl del cálculo
Más detallesTema 9: Cálculo de primitivas. Integrales definidas e impropias.
Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Tem 9: Cálculo de primitivs. Integrles definids e impropis. José M. Slzr Noviembre de 206 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Tem
Más detallesAplicaciones de la integral.
Tem 10 Aplicciones de l integrl. 10.1. Áre de figurs plns. 10.1.1. Áre encerrd entre un curv y el eje de bsciss. Se f : [, b] R un función integrble, tl que f(x 0 x [, b]. El áre del recinto C = {(x, y
Más detallesTema 5. Trigonometría y geometría del plano
1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene
Más detallesZ ξ. g(t)dt y proceda como sigue:
Prolems Prolem.9. Sen f(x) y g(x) funciones continus en [,] y f (x) continu y de signo constnte en [,]. demuestre que (,) tl que f(x)g(x)dx = f() g(x)dx+ f() g(x)dx. R Pr esto considere l función G(x)
Más detalles3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus
Más detallesint(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica.
Práctic 3: Cálculo Integrl con MtLb Curso 2010-2011 1 1 Introducción Un de los pquetes más útiles pr el cálculo con MtLb lo constituye Symbolic Mth Toolbox, que permite relizr cálculo simbólico vnzdo,
Más detallesCÁLCULO INTEGRAL. Definición: Sean a y b dos números reales a < b. Una partición del intervalo [a,b] es un conjunto finito de puntos de,
Deprtmento de Mtemátics I.E.S. Vlle del Jerte (Plsenci) CÁLCULO INTEGRAL 2.- INTEGRAL DEFINIDA. Definición: Sen y dos números reles
Más detalles2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR
1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid
Más detallesIntegral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida
Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de
Más detallesY f. Para ello procederemos por aproximaciones sucesivas, de modo que cada una de ellas constituya un término de una sucesión G n cuyo límite
INTEGRALES LECCIÓN Índice: El prolem del áre. Ejemplos. Prolems..- El prolem del áre Se f un función continu y no negtiv en [,]. Queremos clculr el áre S de l región del plno limitd por l gráfic de f,
Más detallesINTEGRALES Curso , 2 tal que f(c) = k? ), para algún punto [a, b].
INTEGRALES Curso 9-.- ) Enuncir el Teorem del vlor medio integrl y dr un interpretción del mismo. Cundo f(), cómo puede interpretrse geométricmente? cos si [-, ] ) Se f () = 4 + sen si (, ] ) Hllr I =
Más detallesIntegrales impropias
Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición
Más detallesLa integral de Riemann
L integrl de Riemnn 1 Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cerrdo y cotdo, es decir [,] con < R, y l definición que dremos de integrl
Más detallesTEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS
TEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS. ÁREA BAJO UNA CURVA. El prolem que pretendemos resolver es el cálculo del áre limitd por l gráfic de un función f() continu y positiv, el eje X y ls sciss = y =. Si
Más detallesa x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA
UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo
Más detallesTema 8 Integral definida
Tem 8 Integrl definid ) Integrl definid Se y = f() un función ositiv y continu en el intervlo (, ). Consideremos el trecio mitilíneo, S, determindo or f(), f(), f() y el eje OX y dividmos el intervlo (,
Más detallesTema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas
Tem : Integrl definid. Aplicciones l cálculo de áres. Introducción Ls integrles no vn permitir clculr áres de figurs no geométrics. En nuestro cso, nos limitremos clculr el áre jo un curv y el áre encerrd
Más detallesCÁLCULO INTEGRAL SESIÓN 5: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL DEFINIDA
CÁLCULO INTEGRAL SESIÓN 5: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL. COMPETENCIA: resolver y plnter integrles que le yuden clculr el áre de un región cotd por dos o más funciones plicndo el teorem
Más detallesTema 4: Integrales Impropias
Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem
Más detallesTema 10: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas
Tem : Integrl definid. Aplicciones l cálculo de áres. Introducción Ls integrles nos vn permitir clculr áres de figurs no geométrics. En nuestro cso, nos limitremos clculr el áre jo un curv y el áre encerrd
Más detallesUNIDAD 6.- Integrales Definidas. Aplicaciones (tema 15 del libro)
UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones (tem 5 del liro). ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como
Más detalles5. Aplicación de la Integral de Riemann
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 8-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 9: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5. Aplicción
Más detallesLa integral de Riemann
L integrl de Riemnn Mrí Muñoz Guillermo mri.mg@upct.es U.P.C.T. Mtemátics I (1 o Ingenierí Electrónic Industril y Automátic) M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 1 / 33 Sums superior e inferior
Más detallesAplicaciones de la integral.
Tem 1 Aplicciones de l integrl. 1.1 Áres de superficies plns. 1.1.1 Funciones dds de form explícit. A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 1, prece rzonble l siguiente definición:
Más detallesLA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES
Integrl Definid y Aplicciones LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES Autores: Pco Mrtínez (jmrtinezos@uoc.edu), Ptrici Molinàs (pmolins@uoc.edu), Ángel A. Jun (junp@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS Aplicciones
Más detalles5.2 Integral Definida
80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos
Más detallesLa Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas
Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1(2003), pp. 71 82 L Geometrí de ls Norms del Espcio de ls Funciones Continus The Geometry of the Norms of the Spce of Continuous Functions Arístides Arellán (ristide@ciens.ul.ve)
Más detallesCálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Cálculo de áres de figurs plns. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de longitud de rco de curv. Cálculo de áres de superficies de revolución. Cálculo
Más detallesTeóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 10 - Área entre curvas. y = f (x) f (x)dx A =
Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs Práctic 0 - Prte Áre entre curvs Un de ls plicciones del cálculo de integrles definids es el cálculo de áres de regiones cotds del plno delimitds
Más detalles8 - Ecuación de Dirichlet.
Ecuciones Diferenciles de Orden Superior Prte V III Integrl de Dirichle t Ing. Rmón scl Prof esor Titulr de nálisi s de Señles Sistems Teorí de los Circuit os I I en l UTN, Fcultd Regionl vellned uenos
Más detallesFactorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica
Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel
Más detallesC alculo Octubre 2010
Cálculo Octubre 2010 c Dpto. de Mtemátics UDC c Dpto. de Mtemátics UDC L integrl indefinid Sen I R un intervlo bierto y f : I IR Definición Diremos que F es primitiv de f en I si F (x) = f (x), x I Teorem
Más detalles1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS
. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m
Más detalles1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre
Más detallesel blog de mate de aida: MATE I. Cónicas pág. 1
el blog de mte de id: MATE I. Cónics pág. 1 SECCIONES CÓNICAS Un superficie cónic se obtiene l girr un rect g (llmd genertriz), lrededor de otr rect e, llmd eje de giro, l que cort en un punto V (vértice).
Más detallesPROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito
Más detallesPrimitiva de una función.
Primitiv de un función. 1 / 29 Definición. Un función derivble F es primitiv de l función f en el intervlo I si F (x) = f(x), pr todo x I. Ejemplos 2 / 29 Ejemplo. Se f : R R tl que f(x) = 4x 3. i) F(x)
Más detalles7. Integrales Impropias
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge
Más detalles5.-CÁLCULO DE VOLÚMENES DE ROTACIÓN.
65 ) Clculr el áre interior de l stroide = cos t = sen t, t De l figur, el áre totl uscd A será cutro veces el áre curd: A = (sen t)(cos t)( sent) dt A = sen t cos t dt. Pero: cos sen = ; + cos cos =,
Más detallesAPLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. A1. Curvas expresadas en forma explícita (Coordenadas Cartesianas)
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES (De revolución) A. Cálculo
Más detallesUTalca - Versión Preliminar
1. Definición L hipérbol es el lugr geométrico de todos los puntos del plno cuyo vlor bsoluto de l diferenci de ls distncis dos puntos fijos es constnte. Más clrmente: Ddos (elementos bses de l hipérbol)
Más detallesO(0, 0) verifican que. Por tanto,
Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O
Más detallesINTEGRAL DEFINIDA APLICACIÓN al CÁLCULO de ÁREAS
INTEGRL DEFINID PLICCIÓN l CÁLCULO de ÁRES MTEMÁTICS II º Bchillerto lfonso González IES Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics I) CONCEPTO DE INTEGRL DEFINID (ver págs. 7 y 7 del liro de ed. ny) DEF: dx =
Más detallesTEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo
TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x
Más detallesIntegración. Capítulo 1. Problema 1.1 Sea f : [ 3, 6] IR denida por: e x 2 2 x 6. (i) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f.
Cpítulo Integrción Problem. Se f : [, 6] IR denid por: + +
Más detallesLa Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y
L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri.
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grdo en Químic Bloque Funciones de un vrible Sección.6: Integrción y plicciones. L integrl sirve pr clculr áres de figurs plns limitds por curvs. Pr definir l integrl de un función f : [, b] R se utilizn
Más detalles2. [ANDA] [JUN-B] Determinar b sabiendo que b > 0 y que el área de la región limitada por la curva y = x 2 y la recta y = bx es igual
MsMtes.com Integrles Selectividd CCNN. [ANDA] [JUN-A] De l función f:(-,+ ) se se que f (x ) = y que f() =. (x+) () Determinr f. () Hllr l primitiv de f cuy gráfic ps por el punto (,).. [ANDA] [JUN-B]
Más detallesAplicaciones de la integral.
Cpítulo 6 Aplicciones de l integrl. 6.. Cálculo del áre de un figur pln. En generl, pr clculr el áre de un región pln:. L dividimos en frnjs, infinitmente estrechs, de mner horizontl o verticl,. Suponemos
Más detallesMATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS INTEGRAL DEFINIDA
Profesor: Fernndo Ureñ Portero 1. APROXIMACIÓN DE ÁREAS BAJO UNA CURVA Hy infinidd de funciones extríds del mundo rel (científico, económico, físic )pr ls cules tiene especil relevnci clculr el áre jo
Más detalles7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades
Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,
Más detallesGrado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.
Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con
Más detallesLA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES
LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES L integrl definid Se y f un función definid en el intervlo,, se llm integrl definid de f en n el intervlo, y se denot por fd lim fc i i i. n i y se llmn límites
Más detallesEJERCICIOS DE CÁLCULO I. Para Grados en Ingeniería. Capítulo 4: Integración en una variable. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García
EJERCICIOS DE CÁLCULO I Pr Grdos en Ingenierí Cpítulo 4: Integrción en un vrible Domingo Pestn Glván José Mnuel Rodríguez Grcí Índice 4. Integrción en un vrible 4.. Cálculo de primitivs..................................
Más detallesTeoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva
Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí www.dniprtl.net Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin /0 Teorí Tem 7 Integrl definid.
Más detallesTema 4. Integración compleja
Not: Ls siguientes línes son un resuen de ls cuestiones que se hn trtdo en clse sore este te. El desrrollo de todos los tópicos trtdos está recogido en l iliogrfí recoendd en l Progrción de l signtur.
Más detallesINTEGRAL DEFINIDA APLICACIÓN al CÁLCULO de ÁREAS
INTEGRAL DEFINIDA APLICACIÓN l CÁLCULO de ÁREAS Isc Brrow (60-677), teólogo y mtemático inglés, mestro de Newton y precursor de l regl que llev su nomre. MATEMÁTICAS II º Bchillerto Alfonso González IES
Más detallesEn general, si una función f(x) tiene una función primitiva F(x), entonces tiene infinitas primitivas cuyas expresiones serán F k
º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INTEGRACIÓN.-INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES El Cálculo Integrl o integrción consiste en hllr l función f() cundo se conoce su derivd f
Más detallesLa integral indefinida Métodos de integración Integración de funciones de una variable real Integración impropia Aplicaciones de la integral
Febrero, 2005 Índice generl Se f : I IR. Definición Diremos que F es primitiv de f en I si F (x) = f (x), x I. Teorem Si F y G son dos primitivs de un mism función f en un intervlo I, entonces, / k IR
Más detallesAnexo 3: Demostraciones
170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes 264.- Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific
Más detallesTALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida
Integrl Indefinid Estmos costumrdos decir que el producto el cociente son operciones inverss. Lo mismo sucede con l potencición l rdicción. Vmos estudir hor l operción invers de l diferencición. Dd l función
Más detallesAplicaciones de la integral indefinida
Aplicciones_de_l_integrl.n Aplicciones de l integrl indefinid Práctic de Cálculo, E.U.A.T,Grupos ºA y ºB, 2005 Est práctic muestr cómo clculr lguns áres y volúmenes utilizndo integrles. En cd cso dremos
Más detallesIntegrales de funciones de una variable.
Tem Integrles de funciones de un vrible... L integrl definid como áre. L integrl definid de un función cotd y positiv corresponde l áre encerrd entre l curv y f (x) y el eje OX desde un punto y fx fx hst
Más detallesTema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja
Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores
Más detallesb) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 1 e y x = e.
MsMtescom Integrles Selectividd CCNN Murci [] [EXT-A] ) Clcule l integrl indefinid rctgd, donde rctg denot l función rco-tngente de ) De tods ls primitivs de l función f() = rctg, encuentre l que ps por
Más detallesCálculo de volúmenes II: Método de los casquetes cilíndricos
Sesión 6 II: Método de los csquetes cilíndricos Tems Método de los csquetes cilíndricos pr clculr volúmenes de sólidos de revolución. Cpciddes Conocer y plicr el método de los csquetes esféricos pr clculr
Más detallesJunio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A
Junio 00 (Prueb Generl) JUNIO 00 OPCIÓN A.- ) Dds ls funciones f () = ln () y g() =, hllr el áre del recinto plno limitdo por ls rects =, = y ls gráfics de f () y g (). b) Dr un ejemplo de función continu
Más detallesResolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff.
Resolución de circuitos complejos de corriente continu: Leyes de Kirchhoff. Jun P. Cmpillo Nicolás 4 de diciemre de 2013 1. Leyes de Kirchhoff. Algunos circuitos de corriente continu están formdos por
Más detallesdx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx
Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible
Más detallesRepartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz
Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr
Más detallesIntegral Definida. Aplicaciones
Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució
Más detallesAplicaciones de la integral definida
MB5_MAAL_Aplicciones Versión: Septiemre Aplicciones de l integrl definid Por: Sndr Elvi Pérez L integrl tiene vris plicciones en diferentes áres del conocimiento. En este curso se nlizrán sus funciones
Más detallesINTEGRACIÓN. CÁLCULO DE
Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid
Más detallesUnidad Temática Integral definida
Integrl definid Unidd Temátic 5 5.2 Integrl definid Análisis Mtemático (Ingenierí Informátic) Deprtmento de Mtemátic Aplicd Fcultd de Informátic Universidd Politécnic de Vlenci S. Cmp, J.A. Conejero y
Más detallesSELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES
Junio 009 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES PR-.- Un cmpo de tletismo de 00 metros de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos ldos opuestos, según
Más detallesTEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,
Más detalles1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)
Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv
Más detallesIntroducción a la integración numérica
Tem 7 Introducción l integrción numéric Versión: 13 de ril de 009 7.1 Motivción L integrl definid de un función continu f : [, ] R R en el intervlo [, ], If) = fx) dx 7.1) es el áre de l región del plno
Más detalles5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación)
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 7-2 SEMANA 1: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5.4. Longitud de un Arco de Curv (Rectificción)
Más detallesLa integral. En esta sección presentamos algunas propiedades básicas de la integral que facilitan su cálculo. c f.x/ dx C f.
CAPÍTULO L integrl.6 Propieddes fundmentles de l integrl En est sección presentmos lguns propieddes ásics de l integrl que fcilitn su cálculo. Aditividd respecto del intervlo. Si < < c, entonces: f./ d
Más detallesIntegrales de funciones de una variable.
Tem Integrles de funciones de un vrible... L integrl definid como áre. L integrl definid de un función cotd y positiv corresponde l áre encerrd entre l curv y fx) y el eje OX desde y f x f x un punto hst
Más detallesLa Elipse. Distancia Focal : F 1 F 2 = 2 c Eje mayor o focal : AB = 2 a Focos : F 1 y F 2 Eje menor : CD = 2 b. Además se cumple que a
L Elipse L elipse es el lugr geométrico de los puntos del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos es constnte. Estos dos puntos fijos se llmn focos de l elipse. Elementos de l Elipse Vértices : A, B,
Más detallesTema 11: Integrales denidas
Tem : Integrles denids My 9, 7 Denición y propieddes Denición. Si f ) es un función continu en un intervlo [, b] y denid positiv, f ), l integrl denid en ese intervlo l denimos como: f ). Si f ) > l integrl
Más detallesTEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde
Más detallesEscuela de Ciencias Exactas y Naturales (ECEN)Profesor: Allan Gen Palma EL CÁLCULO INTEGRAL EN LA OBTENCIÓN DEL VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm EL CÁLCULO INTEGRAL EN LA OBTENCIÓN DEL VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Un sólido de revolución es generdo l girr un
Más detallesTEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se
Más detalles