O(0, 0) verifican que. Por tanto,
|
|
- Adolfo Duarte Camacho
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O en l mism gráic. cundo todo punto de l gráic de tiene P, Si P, es un punto de l gráic, su simétrico P' ', ' pertenece tmbién l mism gráic: Si considermos l siguiente igur, los puntos P y P ' son simétricos respecto del origen y sus coordends ' veriicn que ' P' ', ' Por tnto, Un unción es simétric respecto del origen O, cundo pr todo punto del dominio D se tiene que pertenece D y. Ls unciones simétrics respecto del origen reciben el nombre de FUNCIONES IMPARES. Este nombre proviene de que en el cso de que se trte de unciones polinómics simétrics respecto del origen, ésts tienen todos sus eponentes impres. Ejemplos de unciones simétrics respecto del origen: L unción y que Su gráic como sbemos es hipérbol equiláter : L unción y que L unción y que FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 5
2 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL EJE DE ORDENADAS OY. FUNCIONES PARES: Se : D. Se dice que es simétric respecto del eje de ordends OY cundo todo punto de l gráic de tiene su simétrico respecto de OY en l mism gráic. Si P, es un punto de l gráic, su simétrico P' ', ' pertenece tmbién l mism gráic: Si considermos l siguiente igur, los puntos P y P ' son simétricos respecto del eje OY y sus coordends veriicn que P' ', ' P, ' ' Un unción es simétric respecto del eje de ordends OY cundo pr todo punto del dominio D se tiene que pertenece D y. Geométricmente signiic que si doblmos el ppel por el eje OY, ls dos prtes de l gráic coinciden. Ests unciones reciben tmbién el nombre de FUNCIONES PARES. Este nombre proviene de que en el cso de que se trte de unciones polinómics simétrics respecto del eje OY, ésts tienen todos sus eponentes pres. Ejemplos de unciones simétrics respecto del eje de ordends: L unción cudrátic y que. L unción vlor bsoluto y que L unción y que Sus respectivs gráics serín: FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 5
3 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd FUNCIÓN PERIÓDICA: Se : D. Se dice que es periódic si eiste un número rel, no nulo, T, llmdo PERIODO, tl que pr todo D, T D y se veriic que T. De l propi deinición se deduce que si T es un periodo de l unción, tmbién lo es T, T,..., es decir sus periodos son múltiplos enteros del menor periodo positivo T, que recibe el nombre de periodo principl o propio. El conocimiento de l gráic de un unción en un periodo nos permite construir por periodicidd tod l gráic. Ejemplos de unciones periódics: Tods ls unciones circulres: Ls unciones seno y coseno tienen por periodo T π, mientrs que l unción tngente y l cotngente tienen por periodo T π. L unción deciml o mntis: su periodo principl es. FUNCIONES ACOTADAS. Funciones cotds superiormente. Un unción se dice que está cotd superiormente si eiste un número rel M tl que M ' M Dom Este número rel M recibe el nombre de COTA SUPERIOR de l unción. Geométricmente signiic que ningun imgen es superior l vlor M y, por tnto, l gráic de l unción estrá por debjo de l rect y M. M NOTA: Si M es un cot superior de l unción, culquier otro número rel M myor que M, tmbién es cot superior de. En consecuenci, si un unción está cotd superiormente siempre tendrá un conjunto de cots superiores. FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 5
4 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Funciones cotds ineriormente. Un unción se dice que está cotd ineriormente si eiste un número rel m tl que m Dom Este número rel m recibe el nombre de COTA INFERIOR de l unción. Geométricmente signiic que ningun imgen es inerior l vlor m y, por tnto, l gráic de l unción estrá por encim de l rect y m. NOTA: Si m es un cot superior de l unción, culquier otro número rel m menor que m, tmbién es cot inerior de. En consecuenci, si un unción está cotd ineriormente siempre tendrá un conjunto de cots ineriores. Funciones cotds. Un unción se dice que está cotd si lo está inerior y superiormente. m ' m Por estr cotd superiormente, eistirá un número rel M que es myor o igul que tods ls imágenes de l unción y por estr cotd ineriormente, eistirá otro número rel m que es menor o igul que tods ls imágenes de l unción. En consecuenci, m, M / m M Dom lo cul signiic que tods ls imágenes de nuestr unción estrín comprendids entre m y M y, por tnto, geométricmente, l gráic de l unción estrí en l bnd comprendid entre ls rects y m e y M. Ejemplo: L unción sen es un unción cotd y que está cotd superiormente por M e ineriormente por m. y sen y Un deinición equivlente de unción cotd serí l siguiente: k R k Dom * está cotd / FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 54
5 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Podrímos demostrr que l sum y el producto de unciones cotds es otr unción cotd y, en consecuenci, el conjunto de unciones cotds tendrí l mism estructur que el conjunto de unciones reles de vrible rel. Funciones cotds en un punto. Se un unción deinid de D en y se un punto perteneciente D D. Se dice que está cotd superiormente en el punto D si eiste un entorno V, r, en el cul l unción está cotd superiormente. Se dice que está cotd ineriormente en el punto D si eiste un entorno V, r, en el cul l unción está cotd ineriormente. Se dice que está cotd en el punto D si está cotd superior e ineriormente en el punto D Result evidente que si un unción está cotd en su dominio D estrá cotd en cd uno de los puntos de D, pero el recíproco no tiene por qué veriicrse: un unción puede estr cotd en cd uno de los puntos de su dominio y, sin embrgo, no estr cotd en su dominio. Es lo que le ocurre, por ejemplo, l unción cudrátic : está cotd en todos sus puntos y no está cotd en su dominio. Etremo superior. Máimo bsoluto. Se llm etremo superior de un unción l menor de ls cots superiores de dich unción. Se represent por sup. Si este vlor lo lcnz l unción en lgún punto de su dominio, recibe el nombre de máimo bsoluto. Por tnto, se dice que un unción tiene un máimo bsoluto o globl en un punto D si se veriic que D. Etremo inerior. Mínimo bsoluto. Se llm etremo inerior de un unción l myor de ls cots ineriores de dich unción. Se represent por in. Si este vlor lo lcnz l unción en lgún punto de su dominio, recibe el nombre de mínimo bsoluto. Por tnto, se dice que un unción tiene un mínimo bsoluto o globl en un punto D si se veriic que D. FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 55
6 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Ejemplos: L unción está cotd ineriormente por el cero y culquier vlor negtivo. L myor de ls cots ineriores serí el cero, por lo que nuestr unción tiene etremo inerior y como eiste un punto en el dominio en el que se lcnz este etremo inerior, diremos que nuestr unción tiene un mínimo bsoluto en el punto. L unción tmbién tiene como cot inerior máim el vlor k ; sin embrgo, est unción no lcnz el vlor cero en ningún punto de su dominio, por lo que tiene etremo inerior y no tiene máimo bsoluto. Máimos y mínimos reltivos de un unción. Se un unción deinid de D en y se un punto perteneciente D. Se dice que un unción tiene un máimo reltivo en un punto D entorno de, V, r, en el cul se veriic que V, r D. Se dice que un unción tiene un mínimo reltivo en un punto D entorno de, V, r, en el cul se veriic que V, r D. si eiste un si eiste un L plbr reltivo nos indic que estmos comprndo l imgen de en el punto con l imgen de puntos próimos l punto. En consecuenci, no debemos conundir los máimos y mínimos bsolutos de un unción con los máimos y mínimos reltivos de l mism: mientrs que los primeros son únicos, los segundos no tienen por qué serlos puede hber más de uno. FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 56
7 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Tmbién debemos tener en cuent que los máimos y mínimos bsolutos son l mismo tiempo reltivos, pero l recíproc no siempre es ciert: un máimo o mínimo reltivo no tiene por qué ser bsoluto. En el ejemplo cuy gráic se djunt vemos que l unción tiene un máimo y un mínimo reltivos, pero no tiene etremos bsolutos. FUNCIONES MONÓTONAS. Un unción se dice que es monóton en un punto cundo se creciente, estrictmente creciente, decreciente o estrictmente decreciente en ese punto. Funciones crecientes en un punto. Un unción es creciente en un punto si pr culquier vlor perteneciente un entorno de, se veriic que: si V, r: si > Est relción tmbién puede epresrse en unción de l ts de vrición de l siguiente orm: psndo todo l primer miembro de ls desigulddes obtenemos si si > Por tnto, si dividimos l vrición de l imgen entre l vrición del originl, tnto si el punto está l izquierd como si está l derech del punto, el cociente ts de vrición medi será myor o igul que cero: Funciones estrictmente crecientes en un punto. Un unción es estrictmente creciente en un punto si pr culquier vlor perteneciente un entorno de, se veriic que: si V, r : si > > Est relción tmbién puede epresrse en unción de l ts de vrición de l siguiente orm: psndo todo l primer miembro de ls desigulddes obtenemos si si > > Por tnto, si dividimos l vrición de l imgen entre l vrición del originl, tnto si el punto está l izquierd como si está l derech del punto, el cociente ts de vrición medi será myor o igul que cero: > FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 57
8 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Funciones decrecientes en un punto. Un unción es decreciente en un punto si pr culquier vlor perteneciente un entorno de, se veriic que: si V, r : si > Podemos observr como medid que v umentndo el originl, ls imágenes vn disminuyendo. Est relción tmbién puede epresrse en unción de l ts de vrición de l siguiente orm: psndo todo l primer miembro de ls desigulddes obtenemos si si > Por tnto, si dividimos l vrición de l imgen entre l vrición del originl, tnto si el punto está l izquierd como si está l derech del punto, el cociente ts de vrición medi será myor o igul que cero: Funciones estrictmente decrecientes en un punto. Un unción es decreciente en un punto si pr culquier vlor perteneciente un entorno de, se veriic que: si V, r : si > > Podemos observr como medid que v umentndo el originl, ls imágenes vn disminuyendo. Est relción tmbién puede epresrse en unción de l ts de vrición de l siguiente orm: psndo todo l primer miembro de ls desigulddes obtenemos si si > > Por tnto, si dividimos l vrición de l imgen entre l vrición del originl, tnto si el punto está l izquierd como si está l derech del punto, el cociente ts de vrición medi será myor o igul que cero: FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 58
9 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd En resumen: Se un unción deinid de D en y se un punto perteneciente D. > :, en es r V D estrictmente decreciente decreciente estrictmente creciente creciente Ejemplos: Estudir l monotoní de l unción en el punto de bscis. Pr ello clculmos l ts de vrición medi de l unción en el punto de bscis cero:, r V > En consecuenci, l ser l ts de vrición medi estrictmente positiv en culquier entorno de cero, l unción cúbic es estrictmente creciente en el punto de bscis. Estudir l monotoní de l unción en el punto de bscis. Pr ello clculmos l ts de vrición medi de l unción en el punto de bscis uno:,. r V En consecuenci, l ser l ts de vrición medi estrictmente negtiv en culquier entorno de uno, l unción dd es estrictmente decreciente en el punto de bscis. Demostrr que l unción es estrictmente decreciente en todo punto., r V que no conteng l punto cero. Funciones monótons en un intervlo. Se un unción deinid de D en. Se dice que es en un intervlo decreciente estrictmente decreciente creciente estrictmente creciente I D I ', si, se veriic l siguiente relción > ' ' ' ' ' ' ' ' FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 59
10 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Es evidente que si un unción es monóton en D, lo es en cd uno de sus puntos. Sin embrgo, el recíproco es lso: un unción puede ser monóton en todos sus puntos y no serlo en su dominio. En l práctic, el método más cómodo pr estudir l monotoní de un unción es medinte l ts de vrición medi. Operndo igul que en l monotoní de un unción en un punto llegmos l siguiente deinición de unción monóton en un intervlo equivlente l nterior: Se un unción deinid de D en. creciente estrictmente creciente es en decreciente estrictmente decreciente I D, ' I : ' > ' Ejemplos: Estudir l monotoní de l unción linel b según los distintos vlores de Clculmos el cociente incrementl: ' b ' b ' ' ' ' ' ' Al ser el cociente incrementl igul, tendremos: Si >, entonces l unción será estrictmente creciente. Si, entonces l unción será estrictmente decreciente. Demostrr que l unción Clculmos el cociente incrementl: ' ' ' ' es estrictmente creciente en R. ' ' ' ' Por tnto, l unción cúbic es estrictmente creciente en R. ' ' >, ' R EJERCICIOS.. Clculr el dominio, ceros y simetrís de ls siguientes unciones: Al ser un unción rcionl su dominio será el conjunto de números reles slvo los puntos que nuln el denomindor. Por tnto: Dom R {, } Pr clculr los ceros de l unción igulmos cero: FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 6
11 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 6 {} C Simetrí: clculmos pr comprrlo con Por tnto, no tiene simetrí respecto del eje OY ni respecto del origen. 8 6 Dominio: Vemos cules son estos puntos: } 8 6 / { R Dom Por tnto, ] ] [ [ ] [, 4,, 4 Dom Ceros: L Dominio: el dominio de l unción logrítmic es el conjunto de puntos que hcen el rgumento estrictmente positivo. Entonces: { / } Dom > puesto que siempre es estrictmente myor que cero. Ceros: L Simetrí: L L Por tnto, es un unción pr y es simétric respecto del eje OY.. Dd l unción deciml rzon si: dec. Es periódic o no. L prte deciml de un número rel es un unción que tom siempre vlores comprendidos entre y : cd vez que incrementmos un número rel en un unidd, se repite l mism imgen sólo vrí su prte enter. Es, por tnto, un unción periódic de período T. b. Está cotd superiormente e ineriormente. Al tomr siempre vlores comprendidos entre y, l unción estrá cotd superior e ineriormente; luego, estrá cotd: dec
12 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Cots superiores {vlores myores o igules que } Cots ineriores {vlores menores o igules que } c. Tiene etremo superior y etremo inerior. d. Tiene máimo y mínimo. sup {menor cot superior} in {myor cot inerior} No tiene máimo puesto que el vlor no lo lcnz en ningún punto mientrs que si tiene mínimo y que el vlor cero se lcnz en culquier punto de bscis enter. EJERCICIOS PROPUESTOS.. Clculr dominio, ceros y simetrís de ls siguientes unciones: sen L. Hllr rzondmente el máimo o el mínimo de ls siguientes unciones:. Demuestr l vercidd o no de ls siguientes proposiciones:. L sum de dos unciones pres es un unción pr. b. El producto de dos unciones pres es un unción pr. c. L sum de dos unciones impres es un unción impr. d. El producto de dos unciones impres es un unción impr. 4. Clculr l epresión nlític de ls siguientes unciones: Sen ls unciones dds por y Clculr: g, g,, g Sus dominios máimos. g, g,, g g g, 6. Un unción es tl que el máimo y el mínimo coinciden, qué se puede decir de ell? Si eiste lgun representrl. 7. Demuestr que l sum y el producto de unciones cotds en un dominio D es otr unción cotd. 8. Qué dierenci eiste entre etremo superior inerior y máimo mínimo de un unción? Pueden coincidir? Poner un ejemplo que clre l respuest. 9. Demuestr que si es creciente, tmbién lo es k, siendo k un constnte.. Demostrr que si y g son crecientes en un dominio D, tmbién lo es g.. Estudir el sentido de vrición de y / FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 6
TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se
OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA
. DOMINIO inio de o cmpo de eistenci de es el conjunto de vlores pr los que está deinid l unción, es decir, el conjunto de vlores que tom l vrible independiente. Se denot por. { R / y R con y } OBTENCIÓN
APUNTES DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS
A modo de repaso. Preliminares
UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos
Diremos que lim f(x) b si podemos lograr que los valores de f( x) como queramos, con tal de tomar valores de x tan próximos a a como sea preciso.
Límite de un unción en un punto Diremos que () b si podemos logrr que los vlores de ( ) sen tn próimos b como quermos, con tl de tomr vlores de tn próimos como se preciso. Podemos dr un deinición más orml
FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:
FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De
TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES
TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES 4.. CONCEPTO DE FUNCIÓN Ls funciones que hbitulmente utilizmos son funciones reles de vrible rel. f es un función de R en R si cd número rel Dom, le hce corresponder otro número
Curvas en el plano y en el espacio
Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que
CÁLCULO DIFERENCIAL. Lím h. Definición: Se dice que f(x) es derivable en A cuando es derivable en todo punto de A.
CÁLCULO DIFERENCIAL MATEMÁTICAS II Deprtmento de Mtemátics I.E.S. Vlle del Jerte Plsenci 1.- CONCEPTO DE DERIVADA. Se un unción rel deinid en un entorno del punto. Deinición: Se dice que es derivle en
MATRICES DE NÚMEROS REALES
MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m
LÍMITES DE FUNCIONES
LÍMITES DE FUNCIONES IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Ejemplo : Consideremos l gráic de l unción: si < si > Si tom vlores próimos, distintos de y menores que ej.: 9, 99, 999,, se not
UNIDAD 6: DERIVADAS. 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se define la tasa de variación media de una función f ( x) y = en un intervalo [ b] a, como: = siendo
IES Pdre Poved (Gudi UNIDAD 6: DERIVADAS.. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se deine l ts de vrición medi de un unción y en un intervlo [ b] T. M. [, b] ( b (, como: b (,, B,, Si considero l rect que une A ( b
SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES
Junio 009 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES PR-.- Un cmpo de tletismo de 00 metros de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos ldos opuestos, según
Integrales impropias
Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección
FUNCIONES ELEMENTALES
Unidd didáctic 7. Funciones reles de vrible rel Autors: Glori Jrne, Espernz Minguillón, Trinidd Zbl CONCEPTOS BÁSICOS Se llm función rel de vrible rel culquier plicción f : D R con D Œ R, es decir, culquier
7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades
Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,
Funciones trascendentes
Cálculo 1 _Comisión -3 Año 017 Funciones trscendentes I) Funciones trigonométrics Son quells unciones cuys regls de deinición corresponden relciones trigonométrics (seno, coseno, tngente, cotngente, secnte
Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales
Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles
TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,
7. Integrales Impropias
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito
2. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL 2.2. LÍMITES
Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM. 2. FUNCINES REALES DE UNA VARIABLE REAL 2.2.. Límite de un unción en un punto 2.2. LÍMITES Se = () un unción deinid en un entorno del punto R (unque
Concepto de funcio n y funciones elementales
Concepto de uncio n unciones elementles Ls unciones describen enómenos cotidinos, económicos, psicológicos, cientíicos Tles unciones se obtienen eperimentlmente, medinte observción. Después, se idelizn
2. [ANDA] [JUN-B] Considera la función f: definida por f(x) = e
Selectividd CCNN 5. [ANDA] [JUN-A] Se sbe que ls dos gráfics del dibujo corresponden l función f: definid por f() = e y su función derivd f'. ) Indic, rzonndo l respuest, cuál es l gráfic de f y cuál l
FUNCIONES MONÓTONAS EN UN INTERVALO Siempre aumenta en I Conserva las desigualdades en I Siempre disminuye en I Invierte las desigualdades en I
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS FUNCIONES MONÓTONAS es estrictmente creciente p, q D, p < q ( p < ( q es estrictmente decreciente p, q D, p < q ( p > ( q Siempre ument Conserv ls desigulddes Siempre disminuye
Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz
Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr
Autoevaluación. Bloque II. Análisis. BACHILLERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Página Calcula los siguientes límites: lm í
Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II Autoevlución Págin Clcul los siguientes lmites: ) b) e log( ) 6 5 c) ) ` j 6 5 ( ) ( ) 6 ( 5 ) 6 5 6 6 ( 5 )( 5 ) 6 5 b) e log( ) ( ) ( ) 6 5 6 5 c) k ( ) ( ) ( )(
Matemáticas Bachillerato
Mtemátics Bchillerto Continuidd CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Definición de continuidd en un punto Definición: Un función f se dice continu en un punto de bscis (o se, en = ) si lím f ( ) f ( ). Esto es equivlente
Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada
FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones
Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009
Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................
Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada
FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida
FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro
1. Cuales son los números naturales?
Guí de mtemátics. Héctor. de bril de 015 1. Cules son los números nturles? Los números nturles son usdos pr contr (por ejemplo, hy cinco moneds en l mes ) o pr imponer un orden (por ejemplo,. Es t es l
Inecuaciones con valor absoluto
Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor
BLOQUE II Análisis. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto. sea continua en x = 1.
Pág. de 7 x si x Ì Hll el vlor de k pr que l función fx = x + k si x > se continu en x =. b Represent l función pr ese vlor de k. c Es derivble en x =? Pr que f se continu en x =, h de ser fx = f. x 8
CURSOSO. MóduloIV: Continuidadyderivabilidad MATEMÁTICASESPECIALES(CAD) M.TeresaUleciaGarcía RobertoCanogarMcKenzie
CURSOSO CURSOSO MATEMÁTICASESPECIALESCAD MóduloIV: Continuiddyderivbilidd MTeresUleciGrcí RobertoCnogrMcKenzie DeprtmentodeMtemáticsFundmentles FcultddeCiencis Curso de Mtemátics Especiles Introducción
BLOQUE II ANÁLISIS. Página 234. a) Halla el valor de k para que la función f(x) = continua en x = 1. x 2 + k si x > 1
II BLOQUE II ANÁLISIS Págin 3 3x si x Ì Hll el vlor de k pr que l función fx = continu en x =. x + k si x > se b Represent l función pr ese vlor de k. c Es derivble en x =? Pr que f se continu en x =,
Para estudiar la traslación horizontal, se debe fijar primero el valor del parámetro a y después variar el valor del parámetro b.
TRASLACIÓN HORIZONTAL (DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL) Pr estudir l trslción horizontl, se debe fijr primero el vlor del prámetro y después vrir el vlor del prámetro b. Veremos que l función b es el resultdo
LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE
Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, LÍMITES El concepto de ite, es uno de los pilres en que se bs el Análisis Mtemático, se encontrb en 8 en estdo potencil, ern más principios intuitivos
Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función.
LA DERIVADA Tem 6: LA DERIVADA Índice:. Derivd de un unción... Derivd de un unción en un punto... Interpretción geométric.3. Derivds lterles..4. Función derivd. Derivds sucesivs.. Derivbilidd y continuidd.
FUNCIONES. f(x)=y. Notación: f(2)=4, si x=2, entonces y=4 Ejemplos: f(x)=x+2 g(x)=x 2-3 h(x)=-3x a) f(-2) = -2+2=0
FUNCIONES FUNCIÓN: RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES X E Y TAL QUE A CADA VALOR DE X LE CORRESPONDE UN ÚNICO VALOR DE Y X: vrible independiente Y: vrible dependiente f()= Notción: f(2)=4, si =2, entonces =4
Tema 5. Trigonometría y geometría del plano
1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene
Tasa de variació n media. Cónceptó de derivada
Unidd 0 Derivds lsmtemticseu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Mtemátics I - º Bchillerto Ts de vrició n medi Cónceptó de derivd y L ts de vrición medi de un unción L TVM de TVM, b, b en un intervlo
dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx
Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible
OLCOMA II Eliminatoria 2012 Nivel C XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA- UNED- UCR- ITCR- MEP-MICIT SEGUNDA ELIMINATORIA NACIONAL
OLCOMA II Elimintori 0 Nivel C XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA- UNED- UCR- ITCR- MEP-MICIT SEGUNDA ELIMINATORIA NACIONAL FECHA: 7 de gosto, 0 SOLUCIONARIO NIVEL C ( - ) OLCOMA II Elimintori
Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
odelo. Proble B.- (Clificción ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse en función de los vlores del práetro R. b) Resuélvse pr.. l siste se clsific en función
Límite - Continuidad
Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP Límite Definición (informl) Límite - Continuidd L función f tiende hci el ite L cerc de, si se puede hcer que f() esté tn cerc como quermos de L hciendo que esté suficientemente
Presentación Axiomática de los Números Reales
Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos
24. Estudia la continuidad de la siguiente función: Dominio : . 3. lim f(x) lim. 3x 1. x 2. x x
. Estudi l continuidd de l guiente unción: () Dominio : Dom () : ( ),, Present discontinuiddes en, y () () Presentun discontinuidd ntótic de primer especie de slto ininito.., : ( ) () () No está deinid.
CONSIDERACIONES SOBRE LAS COMPUERTAS
Abril de 006 CONSDERACONES SOBRE LAS COMPUERTAS Cátedr de Mecánic de los Fluidos Escuel de ngenierí Mecánic Autores: ngeniero Edgr Blbstro ngeniero Gstón Bourges e-mil: gbourges@fcei.unr.edu.r 1 Abril
TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
.. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de
Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff.
Resolución de circuitos complejos de corriente continu: Leyes de Kirchhoff. Jun P. Cmpillo Nicolás 4 de diciemre de 2013 1. Leyes de Kirchhoff. Algunos circuitos de corriente continu están formdos por
Fíjate en el comportamiento de la función ( x ) = x toma valores cercanos a 2. ( ) 5
UNIDAD 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD. 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Fíjte en el comportmiento de l unción ( x ) x 1 tom vlores cercnos. cundo x Si x se proxim, l unción tom vlores cercnos 5. Se escribe:
MATRICES Y DETERMINANTES
MTRICES Y DETERMINNTES. Definición de mtriz.. Tipos de mtrices.. Sum de mtrices.. Producto de un número rel por un mtriz.. Producto de mtrices.. Ejercicios. Determinnte de un mtriz. 8. Menor complementrio
TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.
TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones
EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc
Estudio Gráfico de Funciones
Esquema 1 2 Esquema 1 2 Definición es una correspondencia entre dos conjuntos A B tal que a cada elemento del conjunto A le corresponde un único valor solo uno del conjunto B. La gráfica de la función
el blog de mate de aida: MATE I. Cónicas pág. 1
el blog de mte de id: MATE I. Cónics pág. 1 SECCIONES CÓNICAS Un superficie cónic se obtiene l girr un rect g (llmd genertriz), lrededor de otr rect e, llmd eje de giro, l que cort en un punto V (vértice).
1. Definición 2. Operaciones con funciones
1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de
Matemáticas II TEMA 7 Repaso del conjunto de los números reales y de funciones reales
Mtemátics II TEMA 7 Repso del conjunto de los números reles y de funciones reles El conjunto de los números reles El conjunto de los números reles, R, es el más mplio de los números usules Puede considerrse
I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.
I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,
Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z )
Cpítulo III. Álgebr vectoril Objetivo: El lumno plicrá el álgebr vectoril en l resolución de problems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3. Cntiddes esclres
CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias
CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl
Junio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A
Junio 00 (Prueb Generl) JUNIO 00 OPCIÓN A.- ) Dds ls funciones f () = ln () y g() =, hllr el áre del recinto plno limitdo por ls rects =, = y ls gráfics de f () y g (). b) Dr un ejemplo de función continu
EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES
EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa
LÍMITES DE FUNCIONES
LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes
La Hipérbola. César Román Martínez García Conalep Aztahuacan. 20 de noviembre de 2005
L Hipérbol Césr Román Mrtínez Grcí cesrom@esfm.ipn.mx, mcrosss666@hotmil.com Conlep Azthucn 20 de noviembre de 2005 Resumen Estudiremos l ecución de l hipérbol 1. Hipérbol Definición 0.1 Un hipébol es
Concepto de función y funciones elementales
Concepto de unción unciones elementales Matemáticas I - º Bachillerato Las unciones describen enómenos cotidianos, económicos, psicológicos, cientíicos Tales unciones se obtienen eperimentalmente, mediante
1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad
Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele
Halla dominio e imagen de las funciones
Tema 1 Las Funciones y sus Gráficas Ejercicios Resueltos Ejercicio 1 Halla dominio e imagen de las funciones y Como no está definido si, es decir, si El recorrido o imagen será el conjunto de todos los
1 LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 1 1 LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Cómo determinr el límite de un función cundo l vrible se proim un vlor? En generl, pr tener un ide de l respuest
MOVIMIENTO DE RODADURA
E.T.S.. Agrónomos. U.P.. OVENTO DE ODADUA Cuerpos rodntes. Considermos el moimiento de cuerpos que, debido su geometrí, tienen l cpcidd de rodr: eser, ro, disco, supericie eséric, cilindro poydo sobre
Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO
Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y
FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD
FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC. SS. II Alfonso González I.E.S. Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics I) CONCEPTO DE FUNCIÓN: Un función es un plicción que hce corresponder
Tema 4: Integrales Impropias
Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem
NÚMEROS REALES 1. RECTA NUMÉRICA REAL. Indicadores 2. RELACIÓN DE ORDEN. Contenido. Números Reales
Indicdores NÚMEROS REALES Identific ls propieddes de los números reles, determinndo el vlor de verdd de proposiciones. Clcul el vlor de epresiones lgebrics usndo ls propieddes del vlor bsoluto. Evlú y
Los números racionales:
El número rel MATEMÁTICAS I 1 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL 1.1. El conjunto de los números reles. Como y sbes los números nturles surgen de l necesidd de contr, expresr medids, pr
CÁLCULO INTEGRAL. Definición: Sean a y b dos números reales a < b. Una partición del intervalo [a,b] es un conjunto finito de puntos de,
Deprtmento de Mtemátics I.E.S. Vlle del Jerte (Plsenci) CÁLCULO INTEGRAL 2.- INTEGRAL DEFINIDA. Definición: Sen y dos números reles
TEMA 8. DERIVADAS. Derivadas laterales: Derivada por la derecha: Derivada por la izquierda:
I.E.S. Tierr de Ciudd Rodrio TEMA 8. DERIVADAS Deinición de derivd de un unción en un punto. Consideremos un unción, se un punto de su dominio. Se llm derivd de l unción en el punto se desin por l siuiente
Límite y Continuidad de Funciones
CAPÍTULO 6 Límite Continuidd de Funciones 6.1. Límite de un función L noción de ite es l bse del cálculo. Decir que f) = L signific que es posible hcer que los vlores de f) sen tn cercnos l número L como
1. Función primitiva. Integral de una función.
. Función primitiv. Integrl de un función. Considermos l función f() =. Nos preguntmos si eiste otr función F() tl que l derivrl nos de l función f(). F() = verific que F () = f(). Pero tmién nos vldrí
EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES
EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(
Concepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.
Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función
TEMA8: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS
TEMA8: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Ejercicio: º) Resuelve ls siguientes ecuciones plicndo ls propieddes de ls potencis:. = 8 + 6 9. 5. = = 0. + = 6 8
CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS
CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9
Ejercicios para el tema de Continuidad. 1. En cada uno de los siguientes casos, encontrar un tal que, f ( x) iv)
Ejercicios pr el tem de Continuidd. En cd uno de los siguientes csos, encontrr un tl que, f ( ) l pr todo que stisfce 0 i) ii) f ( ) ; l f( ) ;, l iv) f( ) Sen ; 0, l 0 v) f ( ) ; 0, l 0 iii) f ( ) ;,
UNIDAD 7: FUNCIONES ELEMENTALES
I.E.S. Rmón Girldo. FUNCIONES AFINES UNIDAD 7: FUNCIONES ELEMENTALES Ls funciones fines son funciones de l form f : donde y b son números reles no nulos. f b Si b0 y 0, entonces l función recibe el nombre
TEMA 5 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS
Tem 5 Límites de funciones, continuidd y síntots Mtemátics CCSSII º Bch 1 TEMA 5 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 5.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 5.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de
REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS
TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen
TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
.0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems
MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA
MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA Se quiere hllr l rect tngente l curv en el punto ( ; f()) = f() 8 Se tom un punto rbitrrio ( ; f()) se trz l rect secnte que ps por esos dos puntos (; f()) (; f()) 8 Cuál
Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)
MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en
1.5 Funciones trigonométricas
.5 Funciones trigonométricas Haciendo uso de las razones trigonométricas vistas anteriormente, se puede definir un nuevo tipo de función, que llamaremos f unciones trigonométricas. Notemos que para cada
FUNCIONES ELEMENTALES
FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos
, o más abreviadamente: f ( x)
TEMA 5: 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad del mismo. La factura
Aplicaciones de la derivada (II)
UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre