LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE

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1 Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, LÍMITES El concepto de ite, es uno de los pilres en que se bs el Análisis Mtemático, se encontrb en 8 en estdo potencil, ern más principios intuitivos que otr cos,en los que bsbn ls propieddes. Es el mtemático Agustín Luis Cuch, que vivió entre los ños 78-87, quien estudi con rigor los fundmentos lógicos del Análisis Mtemático e impone con clridd el concepto de ite. Cbe decir que Agustín Luis Cuch, tuvo pr sus convicciones polítics religioss l mism firmez clridd, que pr sus conceptos rzonmientos mtemáticos, por esos siempre fue respetdo. CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE Intuitivmente, l hblr de ite de un sucesión indicmos un número l cul se vn proimndo cd vez más los términos de es sucesión cundo vnzmos ell. Cundo no se proim ningún número, decimos que es sucesión no tiene ite. Por ejemplo se l función n = /n cuos términos pueden ser, /, /, /,.../, /n vemos que estos términos se proimn cd vez más cero, o tnto como quermos cero. Si es un vrible cuo cmpo de vrición es l sucesión, /, /, /,...,/n se dice que se proim l ite cero, o bien que tiene cero. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Si considermos un función f definid pr l ecución, f() = + trtmos de clculr el ite de l función, en el punto = pr ello debemos clculr los vlores de l función que corresponden vlores de, que se proimn por l derech, es decir vlores mores que, por l izquierd o se vlores menores que. Vlores de que se proimn por l izquierd, vlores menores que Vlores de que se proimn por L derech, vlores mores que + F() +,, +,,, +,,7,7 +,7,, +,,, +,,, +,,, +,,. +,,, +,,, +,

2 Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, Se ve en l tbl, que cundo se proim cd vez más, f() se proim cd vez más, esto quiere decir que cundo más próimo el vlor, de estuviese de, f() estrá más próimo. Viendo l situción de otro modo, si se consider primero los vlores de f() tn próimo como quermos, tomndo suficientemente próimo. Por otr prte se puede considerr el vlor bsoluto de l diferenci entre f() tn pequeño como se quier, tomndo el vlor bsoluto de l diferenci entre suficientemente pequeño. Esto es f() puede ser tn pequeño cunto quisiésemos hciendo suficientemente pequeño. Otr mner más precis de escribir lo dicho nteriormente es usndo símbolos pr ess pequeñs diferencis. Así podemos firmr que ( ) que fuese menor que : f ( ), siempre que -, f será menor que siempre Teniendo en cuent el cudro de vlores l función f() = + qued representd de l siguiente mner.

3 Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, DEFINICIÓN DE LÍMITE Se l función f() definid en determind vecindd del punto. L función f() tiende l ite L cundo tiende, si pr cd número positivo, por pequeño que este se, es posible indicr un número positivo tl que todos los vlores de, sen diferentes de que stisfgn l desiguldd, se verific l desiguldd f ) L (. Su notción es f () L que se lee f() tiende L cundo tiende TEOREMAS SORE LÍMITES LÍMITE DE UNA CONSTANTE: Si f() = C Constnte, tendremos f() c Si f () A g() LÍMITE DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN K A siendo K un constnte f () LÍMITE DE UNA SUMA O RESTA f g f g f g A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) LÍMITE DE UN PRODUCTO f g f g A ( ) ( ) ( ) ( ) LÍMITE DE UN COCIENTE f (X) f ( X ) A, siempre que g (X) g( ) LÍMITE DE UN RADICAL n ( ) n ( ) n f f A, siempre que A se un número rel.

4 Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, LIMITE DE UNA POTENCIA ( ) f g A () REGLA PARA DETERMINAR EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Debemos sustituir l vrible de l función por l constnte l cul tiende, entonces se resuelve l epresión. L constnte que resulte de ell es el ite de l función. Ejemplo: ) 8 8 ) () () () 8 Límites rcionles f g (X) (X) g f ( X ) ( ) A, ) Si A =, f(x) g (X) f( X ) g ( ) A ) Si = f( X ) f(x) A A, Aritméticmente el cociente A/ no tiene g (X) g ( ) sentido, no eiste.

5 Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, Límites infinitos Consider l función: Complet l siguiente tbl de vlores pr cundo se cerc cero por l derech: X... f ( ) Qué ocurre con los vlores de f cundo se proim cero por l derech? Se cercn los vlores de f un vlor en prticulr? Complet l siguiente tbl de vlores pr cundo se cerc cero por l izquierd: X f ( ) Qué ocurre con los vlores de f cundo se proim cero por l izquierd? Se cercn los vlores de f un vlor en prticulr? Se observ que cundo tiende cero por l derech, los vlores de l función que son positivos, se convierten rbitrrimente grndes. Es decir, los vlores de l función umentn. Mientrs que, cundo tiende cero por l izquierd, los vlores de l función son negtivos, se convierten rbitrrimente menores. Es decir, los vlores de l función disminuen. Gráficmente en mbos csos, f crece o decrece sin tope, sin fronters.

6 Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, Esto es, lim lim Not: El símbolo de infinito no signific que el ite eiste, no represent un número rel. Por el contrrio, nos dice que el ite no eiste. Simboliz el comportmiento no cotdo (sin fronters) de f() cundo tiende c. De mner que, l decir que "el ite de f() cundo tiende c es infinito" estmos diciendo que el ite no eiste. f f( X ) (X) A ) Si A = = in det er min do g (X) g ( ) Aritméticmente el cociente es indetermindo. EXPRESIONES INDETERMINADAS Si considermos l función f definid por l ecución f ( ), f está definid pr todos los vlores de, ecepto pr =, en el cul crece de significdo, pues en ritmétic no tiene sentido el cociente /. Se represent gráficmente l función f : -? Se ve que l gráfic corresponde un líne rect, ecepto el punto en que cort l eje. En este cso se tiene en cuent que: l sustituir l vrible de l función por l constnte puede resultr un de ests epresiones,,, -,,, de vlor ritmético son llmds indeterminciones. que crecen

7 Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, Mrí Teres Szostk 7 Ests indeterminciones se pueden slvr con ciertos rtificios, como ser; descomposición en fctores, rcionlizción de rdicles, etc. Luego de simplificr se efectún ls sustituciones correspondientes, luego se clcul el ite. Ejemplo - si reemplzmos l vrible se tiene como est epresión es un indeterminción debemos buscr un rtificio mtemático pr slvr dich indeterminción, en este cso podemos recurrir l fctoreo: - Ejemplo - - ; es un indeterminción L L =

8 Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, Mrí Teres Szostk 8 Ejemplo EJERCICIOS ) lim ) h h h 8 ) ) ) - -/ -/

9 Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, Mrí Teres Szostk ) 7 7) 8) c c b b ) ) LÍMITE DEL COCIENTE CUANDO EL NUMERADOR Y EL DENOMINADOR TIENDEN A INFINITO ) Si el denomindor numerdor son del mismo grdo, se divide cd uno de los por elevd l potenci que indic el grdo de los mismos. 7 7 ) Si el denomindor es de mor grdo que el numerdor, se divide tnto el numerdor denomindor por l vrible de mor eponente. 8 8 / -/ /8

10 Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, ) Si el numerdor es de mor grdo que el denomindor, se divide tnto el numerdor denomindor por l vrible de mor eponente CASO DE INDETERMINACIÓN Cundo se tiene este tipo de indeterminción se rcionliz l epresión irrcionl. Teniendo en cuent est regl, hll el ite de: 7 = De est form se convierte en un indeterminción del tipo, se procede como en el cso nterior Entonces: 7 7 L Hll los ites siguientes ) ) lim lim 7 ) lim 7

11 Mrí Teres Szostk ) ) lim Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, lim 7 ) lim 7) lim 8) lim ( ) ( ) ) lim( ) ) lim