CÁLCULO. Ingeniería Industrial. Curso Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla.

Transcripción

1 CÁLCULO Ingenierí Industril. Curso 9-1. Deprtmento de Mtemátic Aplicd II. Universidd de Sevill. Lección. Métodos numéricos en un vrible. Resumen de l lección..1. Método de Newton pr l resolución de ecuciones. Método itertivo. Se denomin sucesión recurrente quell sucesión ( n ) n N que se construe sbiendo un término inicil medinte un fórmul recurrente que relcion un término culquier con su predecesor (tmbién puede depender de vrios predecesores), n = f ( n 1 ).Unmétodo itertivo pr resolver un problem P cu solución es un número rel sol R consiste en elborr un sucesión recurrente ( n ) n N con término inicil de form que lím n = sol. n + A cd término de l sucesión se le llm iterción, k es l k-ésim iterción, l término inicil vlor inicil de l iterción. Cd iterción se puede considerr un proimción de l solución. Resolución de ecuciones: método de Newton. Selecucióng () = con soluciones en l rect rel. Si r es un solución de dich ecución g es de clse C 1 en un entorno de r entonces eiste un suficientemente cerc de r de form que el método itertivo con vlor inicil eiterciones n = n 1 g ( n 1) g ( n 1 ) converge r. A l sucesión recurrente nterior se le denomin iterción de Newton pr g con vlor inicil.si es un vlor inicil culquier de form que l iterción de Newton pr g es convergente entonces converge un solución r de l ecución g () =. = f ( ) r 1 Método de Newton

2 Teorem de Newton-Fourier. Se g () un función de clse C en un intervlo [, b] verificndo ls condiciones: 1. g () g (b) <,. g () 6= pr todo [, b], 3. g () pr todo [, b] obieng () pr todo [, b]. Se stisfce entonces que l ecución g () =tiene un únic solución en el intervlo [, b], que l iterción de Newton pr g que tiene como vlor inicil el etremo del intervlo ( o b) de form que g ( ) tiene el mismo signo que g en el intervlo es convergente dich solución. Búsqued del punto inicil: bisección. El teorem nterior permite determinr un vlor inicil pr l ecución g () =de mner que l iterción de Newtonconverj.Siseconoceunintervlo[, b] donde g () es de clse C demás g () g (b) <, peronoseverificn ls demás condiciones del teorem puede recortrse el intervlo dividiendo por l mitd eligiendo el subintervlo donde l función vuelve cmbir de signo. Este procedimiento puede repetirse hst que se verifiquen ls condiciones del teorem de Newton-Fourier, se denomin método de bisección... Métodos de proimción de integrles. Método de l sum de Riemnn. Dd un función f continu en un intervlo [, b] un prtición P n = {, 1,..., n } equidistnte de [, b] l sum de Riemnn de f pr P n, nx SR h (f) =S (P n,f)=h f ( k ), es un proimción de l integrl h = b n ). f () d con n esclones (o bien con pso = f ( ) 1 3 b Método de l sum de Riemnn

3 Método de los trpecios. Dd un función f continu en un intervlo [, b] un prtición P n = {, 1,..., n } equidistnte de [, b] l fórmul del trpecio de f pr P n, " # T h (f) = h Xn 1 f ()+ f ( k )+f (b) es un proimción de l integrl f () d con n trpecios (o bien con pso h = b n ). Si f es de clse C en [, b] entonces eiste c (, b) tl que f () d T h (f) = b 1 h f (b )3 (c) = f (c). 1n = f ( ) = f ( ) 1 3 b Método de los trpecios 1 3 b Método de Simpson Método de Simpson. Dd un función f continu en un intervlo [, b] un prtición P m = {, 1,..., m } equidistnte de [, b] con un número pr de subintervlos l fórmul del Simpson de f pr P m, " # S h (f) = h m 1 X mx f ()+ f ( k )+ f ( k 1 )+f (b) 3 es un proimción de l integrl f () d con m prábols (o bien con pso h = b m ). Si f es de clse C en [, b] entonces eiste c (, b) tl que f () d S h (f) = b 18 h f () (b )5 (c) = 88m f () (c). 3

4 Ejercicios de l lección. Ejercicio 1. Determin un solución de ls siguientes ecuciones en el intervlo indicdo usndo el método de Newton. Prte de un vlor inicil decudo obtén l solución con un tolernci de =en [, 1]. h. cos =.6 en, π i. h 3. sen =1en, π i.. e =+ en [, 1]. 5. log ()+ =5en [3, ]. 6. e =1en [, 1]. Ejercicio. Encuentr pr ls siguientes funciones los siguientes dtos: el número de ríces que tiene, un intervlo pr cd ríz donde se verifiquen ls condiciones del teorem de Newton-Fourier un proimción por el método de Newton de cd ríz ect pr l máquin trbjndo con tres cifrs decimles = = =5.. e = =. (Junio -5) =. (Primer Prcil 5-6) Ejercicio 3. (Primer Prcil 6-7) Encuentr un proimción un solución de l ecución e = medinte el método de Newton, determinndo previmente un intervlo donde se verifiquen ls condiciones del teorem de Newton-Fourier (reliz los cálculos con dos cifrs decimles) Es ést l únic solución de l ecución en tod l rect rel? Ejercicio h. (Junio 5-6) Se C l curv en polres r (θ) = cos θ +senθ con θ, π i >.

5 1. Clcul el áre A encerrd por C.. Hll l longitud L de l curv C. 3. Encuentr proimdmente, usndo el método de Newton con dos cifrs decimles ects pr l máquin, el vlor de pr el cul se verific l iguldd L =πa.. Pr = 3, clcul ls tngentes horizontles verticles de C. Ejercicio 5. Aproim ls siguientes integrles medinte el método de los trpecios con l condición indicd e 1+ d con un error menor que 1. sen d con cutro trpecios. e 1 3. π 6 log (sen ) d conunerrormenorque1.. si (π) con ocho trpecios, siendo si () l función seno integrl definid en el ejercicio 7 de l lección. 5. tn d con pso h = π/1. Ejercicio 6. Aproim ls siguientes integrles medinte el método de Simpson con l condición indicd e 1+ d con un error menor que 1 3. sen d con dos prábols. e 1 3. π 6 log (sen ) d conunerrormenorque1 3.. si (π) con dos prábols. 5. tn d con pso h = π/8. 5

6 Ejercicio 7. Clcul de form proimd ls longitudes de ls siguientes curvs usndo el método indicdo con l condición estblecid. Estim el error cometido cundo éste no veng determindo. 1. El rco de l curv = 3 con [, 1], medinteelmétododesimpson con dos prábols.. El rco del primer cudrnte de l curv r =+cos(θ), medinteel método de Simpson con pso h = π/8. (Junio 3-) 3. El rco del primer cudrnte de l curv r =1+cosθ, medinte el método de los trpecios con un error menor que 1. (Primer Prcil 5-6) Ejercicio 8. (Junio 5-6) Aproim l integrl 1+ d medinte el método de los trpecios hciendo uso de tres trpecios estim el error cometido. 6