Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±
|
|
- Esperanza Ana Belén Cuenca Ponce
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes reles y 0. Tod ecución de segundo grdo tiene lo más dos soluciones, llmds tmbién ríces o ceros de l ecución, representds generlmente como x y x, lo que signific que ésts, x y x, stisfcen dich ecución MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE º GRADO. POR FACTORIZACIÓN Este método fue visto en le cpítulo de Álgebr. Aquí lo volveremos nlizr medinte un ejemplo. Se l ecución x 7x + 7 = 0 El objetivo es encontrr el producto de dos binomios del tipo ( x + p)( x+ q) = 0, en el cul p y q son números Reles, tles que p i q= 7 y p+ q= 7. Los vlores que stisfcen lo nterior son p= 8 y q= 9, por lo cul l ecución nos qued ( x 8)( x 9) = 0 luego se tom cd uno de los términos por seprdo y se iguln cero. Como obtendremos dos resultdos, los llmremos x yx. x 8= 0 x 9= 0 x = 8 x = 9 Cómo sber fácilmente el signo de p y q? Si l ecución es como l nterior, de tipo x ( signo ) αx ( signo ) β Signo (+) ( ) p y q tienen igul signo p y q tienen distinto signo Signo (+) El número de myor vlor bsoluto es positivo ( ) El número de myor vlor bsoluto es negtivo Anliz el ejemplo nterior.. POR COMPLETACIÓN DEL CUADRADO DEL BINOMIO Por ejemplo si se quiere resolver l ecución 9x 6x 8 = 0, se rregl l ecución sí: 9x 6x = 8, y se complet un cudrdo del binomio con el miembro izquierdo 9x 6x+ b = 8+ b (). Con el miembro izquierdo, rmremos el cudrdo de binomio y lo desrrollremos ( ) x b = 9x 6bx + b (). L ecución () es igul l miembro izquierdo de l ecución (), por lo tnto 6x = 6bx b = b = teniendo esto completmos en l ecución (): 9x 6x + = 8+ ( x ) = 9 / x =± 9 x = ± + 4 x = = x = = 4 El conjunto solución de est ecución serí S =, Entonces, el conjunto solución de est ecución serí S= { 8,9}
2 . UTILIZANDO LA FÓRMULA CUADRÁTICA Se desprende de l resolución lgebric de un ecución de segundo grdo tipo x + bx + c = 0 / : bx c x = (), teniendo esto se complet un cudrdo de binomio b c x + x m m + = + () x + m ( ) b b b x = xm m= m =, teniendo esto reemplzmos 4 en l ecución () x + b x+ b = c + b, se fctoriz l izquierd y se sum l 4 4 derech b b 4c x + = 4 / b b 4c x + =± y despejndo x se obtiene x FÓRMULA CUADRÁTICA = ESTA FÓRMULA SE UTILIZA ASÍ b± b 4c suponiendo que se quier resolver l siguiente ecución: 4x 7x+ = 0. En est ecución = 4, b = 7 y c=, entonces, se reemplzn estos vlores en l fórmul ( ) 7± 7 4 i 4 i 7± ± 7± x = = = = i x = = = x = = = El conjunto solución de est ecución serí: S =, NATURALEZA DE LAS SOLUCIONES O RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE º GRADO Pr determinrl se nliz l cntidd subrdicl o DISCRIMINANTE de l fórmul cudrátic, es decir, Si Si Si b 4c = 0 b 4c> 0 b 4c< 0 b± b 4c x = b 4c Ls ríces pertenecen los Reles y tienen el mismo vlor. Ls ríces pertenecen los Reles y son distints Ls ríces pertenecen l conjunto de los números Complejos. OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA MEDIANTE SUS RAÍCES Si se tienen ls dos ríces de un ecución cudrátic, es posible bx c formr l ecución originl de form x =, medinte el producto de dos binomios, de mner invers l método de resolución por fctorizción y visto. Por lo tnto, si ls ríces son x yx, el binomio qued ( x x)( x x) = 0 Recuerd que cundo se despejron ls ríces por fctorizción, ests cmbiron de signo, por eso quí SE RESTAN.
3 Ahor, desrrollndo el binomio e igulándolo l ecución que se quiere obtener b c x ( x+ x) x+ xi x = x + x+ De donde se deduce que b c x+ x = x i x = Buscr l ecución cudrátic cuys ríces son y 9. Formmos el binomio y lo desrrollmos x x+ 9 = 0 ( )( ) x + 9x x 4 = 0 x + 4x 4 = FUNCIÓN CUADRÁTICA f x = x + bx+ c donde, b, y c son vlores Reles y 0. L función cudrátic está definid pr todo vlor rel y su gráfico corresponde un PARÁBOLA. Se llm función cudrátic l función ( ) CARACTERÍSTICAS DEL GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA y = x + bx + c. INTERSECCIÓN CON EL EJE X L intersección con el eje x se obtiene hciendo f( x) = 0, es decir, resolviendo l ecución cudrátic x + bx + c = 0, tl como se explicó nteriormente. Por tnto, los puntos de intersección con el eje X son ls ríces de l ecución cudrátic!!. Son posibles tres csos. Que corte l eje X en dos puntos distintos. Que corte l eje X en un solo punto. Que no corte l eje X. Pr determinr cuál es el cso, es necesrio nlizr el DISCRIMINANTE, l cul denotremos con l letr delt myúscul del lfbeto griego Δ= b 4c ) Si Δ > 0, l prábol cort l eje X en dos puntos distintos: b + Δ b Δ x = x = b) Si Δ = 0, l prábol cort l eje X en un sólo punto (es tngente l eje x), el cuál coincide con su vértice. b± 0 b x = x = c) Si Δ < 0, signific que l ecución no tiene solución en los reles, por lo tnto, l prábol no cort l eje X.. ORIENTACIÓN Si > 0 l prábol se bre hci rrib, es cóncv. ( Si es positiv l prábol está content!!!) Si < 0 l prábol se bre hci bjo, es convex. ( Si es negtiv l prábol está triste!!!) Compr ests propieddes del Discriminnte con ls vists nteriormente!!. EJE DE SIMETRÍA b L prábol es simétric respecto l rect x = 4
4 4. VÉRTICE Es el punto de intersección entre l prábol y su eje de simetrí, teniendo por coordends x+ x x+ x b b b Δ V =, f =, f =, 4 L bscis de este punto corresponde l vlor del eje de simetrí, y l ordend corresponde l máximo o mínimo de l función según se l orientción de l prábol.. INTERSECCIÓN CON EL EJE Y L intersección con el eje Y se obtiene igulndo x cero en l ecución cudrátic. Entonces, l prábol intercept l eje y en el punto ( 0, c ) Se l función cudrátic ( ) f x = x + 4x. Orientción: = > 0, por lo tnto l prábol es cóncv (biert hci rrib). Intersección con el Eje X: Δ= b 4c= 4 4 ii ( ) = 6+ 48= 64> 0, por lo tnto l prábol cort l eje x en dos puntos que son: b+ Δ x = = = = = i b Δ x = = = = = 6 i Ahor que se tiene el vértice, se tiene tmbién el vlor del mínimo de est función, ddo que es cóncv. Con esto se puede determinr el Recorrido de l función que serí: 6, + Rec f = [ [. Intersección con el Eje Y: f(x) = i 0 =, por lo tnto el punto de intersección de l prábol con el eje y es ( 0, ) Al utilizr todos los dtos obtenidos pr grficr l función result lo siguiente: y = x + 4x - Entonces, según el gráfico qué vlores son importntes pr ubicr un prábol en el plno crtesino? Eje de Simetrí: b 4 4 x = = = = i 4. Vértice: b Δ V =, =, =, =, 6 4 i 4 i 4 ( )
5 EJERCICIOS NOTA: Luego de resolver un ecución es consejble verificr en l ecución originl cd un de ls potenciles soluciones. En cso de resolver un problem plicdo, se debe verificr que ls soluciones sen pertinentes.. Cuál(es) de ls siguientes ecuciones es(son) de do grdo? I. x = 0 II. (x + ) = x III. (x + ) = (x ) Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II I, II y III. Si l ecución x x + 6 = 0 tiene un solución igul, cuál es el vlor de? Al escribir l ecución cuál es el vlor de b? 7 9 (x + ) = 7x en l form x + bx + c = 0, 4. El conjunto definido por {x R / x - 7x + = 0} es el conjunto: {, } [, ] {, 4} [, 4]. L ecución cudrátic que tiene por ríces es: x + x - = 0 x + x - = 0 x x + = 0 x 6 x + = 0 x x + = 0 6. Cuál es el discriminnte de l ecución 7 7. Si x x + = 0, con 0, entonces x = + ± ± ± + ± x x + = 0? Es necesrio que seps l fórmul de l solución de l ecución de segundo grdo. 0 = x b ± + bx + c. L fórmul es b 4c 6
6 8. Cuál es el discriminnte de l ecución x 7 = (x + ) (x )? Pr qué vlor de l ecución 4x x + + = 0, tiene ríces reles e igules? Qué vlor debe tener en l ecución x + x = 0, pr que un de sus ríces vlg 6? Si el discriminnte de l ecución x x + = 0 es 64, entonces cuál es el vlor de? 7. Hllr el vlor de, si l sum de ls ríces de l ecución x x + = 0 es Cuáles son ls soluciones (o ríces) de l ecución x x = 0? 0 y y y 0 y y 4. Pr que ls ríces de l ecución x px + = 0 sen inverss multiplictivs, debe ser igul : p p p En l 0 = x + bx + c, ls soluciones x y x, cumplen con: b = ( x + x ) ; c = x x 7
7 . L sum de dos números es y l sum de sus cudrdos es 4. Si llmmos x uno de ellos, l ecución que permite clculrlo es: x + ( + x) = 4 x ( + x) = 4 x + ( x) = 4 x ( x) = 4 x (x ) = 4 6. L sum de ls ríces de l ecución x + 8x + = 0 es: Pr qué vlor de l ecución x 4 x + (4 ) = 0, tiene soluciones igules? 0 8. Cuál es l ecución de segundo grdo cuys ríces son x = 8 y x =? x + x 4 = 0 x x + 4 = 0 x x 4 = 0 4 x + x = 0 x x 4 = 0 9. Un niño tení dos cudrditos de plsticin, uno er de ldo x, el otro de ldo (x + ). Los juntó, los msó y volvió construir un cudrdito similr los nteriores. Si este nuevo cudrdito quedó de ldo (x + ), qué vlores pudo tener x? Sólo Sólo Sólo y y 0. Cuáles son ls soluciones (o ríces) de l ecución x = 0 + x? 4 y 4 y + y y + 4 y. Cuál es l ecución de do grdo cuys ríces son y? x 6 x + = 0 x 6 x - = 0 x + 6 x - = 0 x + 6 x + = 0 x 6 x - = 0. Cuáles son ls soluciones (o ríces) de l ecución (x ) = x + (9x 7)? y y y y No se puede resolver (no es ecución de do grdo) En l función cudrátic, Si el determinnte ( b 4c ) es negtivo, l prábol no cort l eje X 8
8 . Cuál es el producto de ls soluciones (o ríces) de l ecución (x ) = 4( x)? 4. Si α y β son ls soluciones (o ríces) de l ecución x p x + q = 0, entonces l expresión (α + ) (β + ) = q + 4 q p q + p q + p + 4 q p Cuál(es) de ls siguientes prábols tienen el mismo eje de simetrí? I. II. III. y = x 7x + 6 y = 4x 4x + y = x 7x+ 6 Sólo I y II Sólo II y III Sólo I y III I, II y III Ningun de ls tres. b 7. Si 0 y = 4c, entonces cuál de los siguientes gráficos represent mejor l función f(x) = x + bx + c? A B C. Un prábol tiene por ecución y = x x. Entonces, cuál(es) de ls siguientes firmciones es(son) verdder(s)? I. Ell cort mbos eje coordendos II. Ell cort l eje x en dos puntos III. Ell cort sólo uno de los ejes coordendos Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II Sólo II y III 8. L prábol y = x + x + es tngente l eje x en el punto (, 0). El vlor de es: 8 8 ± 8 Ayud pr el ejercicio. Se define el número i, como el que cumple con: i = 9
9 y = x + px+ q cort l eje X en el punto ( ) en el punto ( 0, ). Entonces los vlores de p y q son, respectivmente: 9. L prábol y y y y -- y, 0 y l eje Y 0. L figur muestr el gráfico de un función cudrátic cuyo eje de simetrí es el eje de ls ordends y que ps por los puntos indicdos. Entonces l función se escribe: y = x y = x + x y = x x+ y = x y = (x ). Con respecto l función f(x) = x + 6x + 9, cuál(es) de ls siguientes firmciones es(son) verdder(s)? I. Toc l eje x en un punto II. No cort l eje y III. Sus rms se extienden hci bjo Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III Ningun de ells. Pr que l prábol y = x pse por el punto de intersección de ls dos rects x + y = 0 x + y 4 = 0, el vlor de tiene que ser: 0, L tryectori de un proyectil está dd por l ecución y(t) = 00t t, donde el tiempo t se mide en segundos y l distnci y( t) se mide en metros. A cuántos segundos estrá el proyectil 40 metros sobre el nivel del suelo? I. 6 segundos II. 0 segundos III. 4 segundos Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II Sólo I y III 4. Si l prábol y = x + 0x 0 se pone en l form entonces los vlores de y h son, respectivmente: y y y y y y = (x h), En f( x) = x + bx + c. c es l ltur en l que l función cort l eje Y. El signo de determin si l prábol es hci bjo o rrib. Si el determinnte ( b 4c ) es negtivo, l prábol no cort l eje X 0
10 . Si < 0 y b 4c< 0, entonces l función f(x) = x + bx + c está mejor representd por: A B C 8. El gráfico de l figur corresponde l función cudrátic: f(x) = x + x + f(x) = + x x f(x) = x x + f(x) = x + x f(x) = x x D 6. En el gráfico son: (, - 4) (, - ) (4, - ) (, - 4) (, - 8) f(x) = x 8x + ls coordends del vértice P 7. Cuáles deben ser los vlores de y c pr que l prábol de ecución y = x 4x + c teng su vértice en el punto de coordends (, )? E 9. Respecto l prábol f(x) = x 9x + 4, cuál(es) de ls siguientes proposiciones es(son) verdder(s)? I. Sus ceros son 7 y II. Intercept l eje y en (0, 4) III. Su eje de simetrí es x = 4 Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III 40. L prábol punto: (0, - ) (0, - ) (0, - ) (0, - 4) (0, -) y = x + bx+ cde l figur intercept l eje y en el c Pr obtener el punto vértice de l prábol y = x + bx + c, l coordend b x =. Pr l otr coordend, evlú este x en l función.
11 PAUTA GUÍA EC. DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA SODOKU. D. A. C 4. D. D 6. E 7. C 8. B 9. C 0. D. C. C. E 4. C. C 6. B 7. A 8. D 9. B 0. C. C. A. B 4. D. D 6. A 7. D 8. A 9. B 0. A. A. B. E 4. A. E 6. C 7. A 8. D 9. C 40. C Solución
Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática
12345678901234567890 M te m átic Tutoril MT-m3 Mtemátic 2006 Tutoril Nivel Medio Función cudrátic Mtemátic 2006 Tutoril Función Cudrátic Mrco Teórico 1. Función cudrátic: Está representd por: y = x 2 +
Ecuaciones de Segundo Grado II
Alumno: Fech:. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II Ecuciones de Segundo Grdo II Nturlez de Ríces depende = b - 4c Discriminnte si Propieddes de ls Ríces sum b x x producto c x. x Formción de l Ecución se debe
Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz
Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr
Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.
Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con
Aplicaciones de la derivada (II)
UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,
CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias
CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS
2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.
. Ecuciones de l rect en. Posiciones reltivs. R Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de rects Determine si dos rects son coincidentes, prlels o si son intersecntes Encuentre punto
Funciones cuadráticas
Funciones cudrátics A l función polinómic de segundo grdo f() + b + c siendo, b, c números reles y 0, se l denomin función cudrátic. Los términos de l función reciben los siguientes nombres: y + b + c
Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica
Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel
TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,
CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Evelyn Dávil Tbl de contenido TEMA A. CONJUNTOS NUMÉRICOS... REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES...
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid
Aplicaciones del cálculo integral
Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:
C u r s o : Matemática. Material N 25 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 20 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES. Sean a, b lr {0} y m, n.
C u r s o : Mtemátic Mteril N 5 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 0 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES POTENCIAS ECUACIÓN EXPONENCIAL FUNCIÓN EXPONENCIAL PROPIEDADES DE POTENCIAS Sen, b lr {0} y m, n PRODUCTO DE POTENCIAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición
1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito
O(0, 0) verifican que. Por tanto,
Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA
VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3
1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de
Sistems de ecuciones lineles SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD º (junio 994) i) Estudir, pr los diferentes vlores del prámetro, l eistenci de soluciones del sistem resolverlo cundo
TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1
TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz
REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS
TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen
2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.
. Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )
Tema 5. Trigonometría y geometría del plano
1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene
EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc
Ejercicios de optimización
Ejercicios de optimizción 1. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 0, cuál es el de áre máxim? Función mximizr: A yh Relcionr vribles: Estudimos l función: h h y x h x y x y 0 x 0y 0 y 0 0y
FUNCIONES CUADRÁTICAS
FUNCIONES CUADRÁTICAS A la función polinómica de segundo grado f(x) = ax 2 + bx + c, siendo a, b, c, números reales y a 0 se la denomina función cuadrática. Dominio de una función cuadrática es el conjunto
Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales
Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA I. LA RECTA. Ejercicios pr resolver. 1. Demuestr que los puntos A(-,8); B(-6,1) C(0,4) son los vértices de un tringulo
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA. Capítulo SISTEMA DE COORDENADAS. Demostrar que los puntos A = ( 0,1) son los vértices de un cuadrado.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Cpítulo SISTEMA DE COORDENADAS Demostrr que los puntos A ( 0,) B (,5) ; C ( 7,) D (, ) son los vértices de un cudrdo. Solución AB 9 6 5 5 BC 6 9 5 5 AD 9 6 5 5 CD
Hl = {P = (x, y) 1 d(p, Fl) - d(p, 4) = -2a} 4.2 NOTACION Y PROPIEDADES
4.1 DEFINICION. Un hipérol es el conjunto de todos los puntos del plno euclideno R~ tles que que l diferenci de sus distncis dos puntos fijos es en vlor soluto un constnte. Así, si F, y F, son dos puntos
La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.
Guía Práctica N 13: Función Exponencial
Fuente: Pre Universitrio Pedro de Vldivi Guí Práctic N : Función Eponencil POTENCIAS ECUACIÓN EXPONENCIAL FUNCIÓN EXPONENCIAL PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS Sen, b lr {0} m, n. Entonces: PRODUCTO DE POTENCIAS
PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO
PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este
Estudio de funciones exponenciales y logarítmicas
FUNCIÓN EXPONENCIAL Recomendciones l Docente: L ctividd proponer debe puntr que los lumnos puedn nlizr los siguientes spectos: 1. Cómo vrí el gráfico de l función eponencil y de qué depende su monotoní.
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.
Función Cuadrática A la función polinómica de segundo grado +bx+c, siendo a, b, c números reales y, se la denomina función cuadrática. Los términos de la función reciben los siguientes nombres: La representación
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Definición El siste de coordends crtesins en el plno está constituido por dos rects perpendiculres que se intersecn en un punto O l que se le ll el origen. Un de ls rects
PROGRESIONES ARITMETICAS
PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00
TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes
Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z )
Cpítulo III. Álgebr vectoril Objetivo: El lumno plicrá el álgebr vectoril en l resolución de problems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3. Cntiddes esclres
Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.
UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN
MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS
MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS Aplicciones de Trigonometrí de Triángulos Rectángulos Un triángulo tiene seis
Integrales impropias
Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección
3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus
Presentación Axiomática de los Números Reales
Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos
Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso
Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n
TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.
TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones
2. Cálculo de primitivas
5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv
MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES
Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión
X obtener las relaciones que deben
odelo. Ejercicio. Clificción áxi puntos ) ( punto) Dd l triz y l triz t z y x X otener ls relciones que deen cuplir x, y, z, t pr que l triz X verifique X X. ) (, puntos) Dr un ejeplo de l triz X distint
MATEMÁTICA. Unidad 4. Geometría analítica. Objetivos de la unidad:
MATEMÁTICA Unidd Geometrí nlític Objetivos de l unidd: Aplicrás correctmente l geometrí nlític: prábol, elipse e hipérbol l encontrr soluciones diverss problemátics del entorno. 55 Figurs cónics ests son
Z := Z {0} a partir de este nuevo conjunto construimos el producto cartesiano
Cpítulo 4 Números Rcionles. Luego de construir los Números Nturles, se presentron ciertos problems como Cuál es el resultdo de 3 menos 5?, pr poder encontrr un solución se creó prtir de N el conjunto de
1.- Obtener, sin calculadora, el valor de x en las siguientes expresiones: (5 ) = = = 5, por tanto 2x=-3/2 y x=-3/4 = ;
RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS BÁSICOS DEFINICIÓN DE LOGARITMO.- Obtener, sin clculdor, el vlor de en ls siguientes epresiones: ) (/) = 7/; 7/= / =(/) =(/) -, por tnto =- b) = ; ( ) = = =, por tnto =-/ y
MATRICES. 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes; , B= , C= 2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A
MTRICES. Determinr l mtriz trnspuest de cd un de ls siguientes;,, C 8. Efectú l siguiente operción con mtrices y clcul. Sen 8, y C determinr: ) t C ) (-C) t t c) -C( t -) d) - t -(C). Dds ls siguientes
NÚMEROS COMPLEJOS. Números reales Intervalos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorema fundamental del Álgebra
NÚMEROS COMPLEJOS Números reles Intervlos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorem fundmentl del Álgebr NÚMEROS REALES Números nturles, enteros rcionles e irrcionles En mtemátics son importntes
Curvas en el plano y en el espacio
Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que
Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida
Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de
Para estudiar la traslación horizontal, se debe fijar primero el valor del parámetro a y después variar el valor del parámetro b.
TRASLACIÓN HORIZONTAL (DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL) Pr estudir l trslción horizontl, se debe fijr primero el vlor del prámetro y después vrir el vlor del prámetro b. Veremos que l función b es el resultdo
Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff.
Resolución de circuitos complejos de corriente continu: Leyes de Kirchhoff. Jun P. Cmpillo Nicolás 4 de diciemre de 2013 1. Leyes de Kirchhoff. Algunos circuitos de corriente continu están formdos por
SOLUCIONARIO GUÍA ESTÁNDAR ANUAL Dinámica I: fuerza y leyes de Newton
SOLUCIORIO GUÍ ESTÁDR UL Dináic I: fuerz y leyes de ewton SGUICES016C3-16V1 Solucionrio guí Dináic I: fuerz y leyes de ewton Íte lterntiv Hbilidd 1 D Coprensión Coprensión 3 E plicción 4 D plicción 5 plicción
Integral de una función real. Tema 08: Integrales Múltiples. Integral definida. Aproximación de una integral simple
Integrl de un función rel Tem 08: Integrles Múltiples Jun Igncio Del Vlle Gmbo Sede de Guncste Universidd de Cost ic Ciclo I - 2014 Ls integrles definids clculn el áre bjo un curv y = f (x) pr un región
Modelo 5 de sobrantes de Opción A
Ejercicio. [ puntos] Se f : R l función dd por Modelo de sobrntes de 6 - Opción. Ln f siendo Ln l función logrito neperino. Estudi l eistenci de síntot horiontl pr l gráfic de est función. En cso de que
UNIDAD 6: DERIVADAS. 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se define la tasa de variación media de una función f ( x) y = en un intervalo [ b] a, como: = siendo
IES Pdre Poved (Gudi UNIDAD 6: DERIVADAS.. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se deine l ts de vrición medi de un unción y en un intervlo [ b] T. M. [, b] ( b (, como: b (,, B,, Si considero l rect que une A ( b
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112
FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio
MATEMÁTICAS III (Carrera de Economía) OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES ( )
MATEMÁTICAS III (Crrer de Economí) OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES ( http://www.geocities.com/jls ) El propósito centrl de l economí como cienci es el estudio de l signción óptim de los recursos escsos.
Función cuadrática. Ecuación de segundo grado completa
Función cuadrática Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto
CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte
CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicción Exmen, 7 de Septiembre de 24 Primer prte Ejercicio. Clculr ls coordends de los puntos P y Q de l prábol y x 2, tles que el triángulo formdo por el eje
Los números reales. 1.4 Orden de los números reales CAPÍTULO
1 CAPÍTULO 1 Los números reles 1 1.4 Orden de los números reles Un número que pertenezc los reles. 2 R / es positivo si está l derech del cero; esto se denot sí: > 0 o bien 0 < : 0 Un número que pertenezc
LOGARITMO 4º AÑO DEF. Y PROPIEDADES
LOGARITMO º AÑO DEF. Y PROPIEDADES En l epresión n c, puede clculrse un de ests tres cntiddes si se conocen dos de ells resultndo de este odo, tres operciones diferentes: º Potenci º Rdicción º Logrito
2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR
1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid
INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE
Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo
TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se
7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades
Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,
x 2 + ( x + 1 ) 2 + ( x + 2 ) 2 = 365 x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 365 3 x 2 + 6x 360 = 0
Ecuciones cudrátics con un incógnit Sen, 1 y los tres números nturles consecutivos uscdos. El prolem nos indic que ( 1 ) ( ) 365 Un número con misterio! El número 365 tiene l crcterístic de ser l sum de
M A T E M Á T I C A S. Números Reales. Fraccionarios Positivos Negativos MIXTOS: 3 ¼ 1
M A T E M Á T I C A S Números Reles Enteros Rcionles Positivos Negtivos Nturles (,,,4,5,6... α) Primos (,,5,7,,,7) Pres (... 4,-,0,,4,6,..., ) Impres ( -...,-,-,0,,,5,..., ) Dígitos ( 0,,,,4,5,6,7,8,9
El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características
CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que
5. Integral y Aplicaciones
Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción
Estabilidad de los sistemas en tiempo discreto
Estbilidd de los sistems en tiempo discreto En tiempo discreto tmbién se puede hblr de estbilidd de estdo y de estbilidd de entrd slid de form similr l empled pr los sistems en tiempo continuo. Podemos
(1) Representar gráficamente las siguientes funciones lineales o afínes (forma general ). Su gráfica es una línea recta. *( c )
Lcdo E. Monto & P.Perz Funciones Reles de Vrible Rel Repúblic Bolivrin de Venezuel Ministerio del Poder Populr pr l Educción Escuel Técnic Robinsonin P.S. S. S. Venezuel Brins Edo Brins Hoj de trbjo *III
Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja
Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores
Llamaremos S a la superficie dada y D a su proyección sobre el plano XY (ver figura).
TEOREMA E GAU. 15. Hllr el flujo del cmpo i + j + z k trvés de l superficie z 1 +, z 1. ) irectmente. b) Aplicndo el teorem de Guss. olución Llmremos l superficie dd su proección sobre el plno XY (ver
Formalización de los Números Reales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas
Formlizción de los Números Reles M. en I. Gerrdo Avilés Ross Agosto de 016 Tem Formlizción de los Números Reles Objetivo: El lumno plicrá ls propieddes de los números reles y sus subconjuntos, pr demostrr
Aplicaciones de la integral
5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle
TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde
CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0.
CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES Vlor bsoluto Definición 1. El vlor bsoluto del número rel, que se design por, se define por { si 0, = si < 0. Definición 2. L distnci entre los números x 1 y x 2 de l rect rel
Vectores en el espacio. Producto escalar
Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr Vectores en el espcio Producto esclr Espcios vectoriles Definición de espcio vectoril Un conjunto E es un espcio vectoril si en él se definen dos operciones,
UNIDAD: GEOMETRÍA POLÍGONOS CUADRILÁTEROS
u r s o : Mtemátic Mteril N 13 GUÍ TÓRIO PRÁTI Nº 11 UNI: GOMTRÍ POLÍGONOS URILÁTROS POLÍGONOS FINIIÓN: Un polígono es un figur pln, cerrd, limitd por trzos llmdos ldos y que se intersectn sólo en sus
Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores
Semn 2 2 Repso de vectores Repso de vectores Empecemos! Estimdo prticipnte, en est sesión tendrás l oportunidd de refrescr tus seres en cunto l tem de vectores, los cules tienen como principl plicción
Aproximación e interpolación mediante polinomios
LA GACETA DE LA RSME, Vol. 5.3 (2002), Págs. 621 627 621 Aproximción e interpolción medinte polinomios por Miguel Mrno y Mrt Mrcolini En este trbjo se muestr un relción entre los conceptos de interpolción
GUIA Nº: 7 PRODUCTOS NOTABLES
CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS Y CIENCIAS BÁSICAS FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION GUIA Nº: 7 PRODUCTOS NOTABLES Productos
MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.
DP. - AS - 59 7 Mteátics ISSN: 988-79X 5 6 MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. () Define rngo de un triz. () Un triz de tres fils y tres coluns tiene rngo tres, cóo vrí el rngo si quitos un colun?
Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g).
64 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción Actividd 3 Resuelven inecuciones y sistems de inecuciones con un incógnit; expresn ls soluciones en form gráfic y en notción de desigulddes; nlizn ls
TEMA 1 EL NÚMERO REAL
Tem El número rel Ejercicios resueltos Mtemátics B º ESO TEMA EL NÚMERO REAL CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES EJERCICIO : Clsific los siguientes números como 0 ; ;,...; 7; ; ; ; 7, = 0,8
TEMA 1. NÚMEROS REALES
TEMA. NÚMEROS REALES. El número que indic los dís del ño es un número muy curioso. Es el único número que es sum de los cudrdos de tres números nturles consecutivos y que demás es sum de los cudrdos de
3.- Matrices y determinantes.
3.- Mtrices y determinntes. 3.. Definición de mtriz, notción y orden. Se define un mtriz de orden m x n, un reunión de m x n elementos colocdos en m fils y n columns. Cd elemento que form l mtriz se denot
COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES Prof. Cecilia Galimberti
COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES - 0 - Prof. Cecili Glimerti MATEMÁTICA AÑO B GUÍA N - NÚMEROS IRRACIONALES NUMEROS IRRACIONALES Conocemos hst hor distintos Conjuntos Numéricos: - Los n nturles: (, 8,.8),
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Ls ecuciones 0 de primer grdo en dos vribles pueden tener un o más ríces comunes pr encontrrls, conformmos lo que se denomin un SISTEMA
Razones trigonométricas
LECCIÓ CODESADA 12.1 Rzones trigonométrics En est lección Conocerás ls rzones trigonométrics seno, coseno y tngente Usrás ls rzones trigonométrics pr encontrr ls longitudes lterles desconocids en triángulos