MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS

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1 MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS Aplicciones de Trigonometrí de Triángulos Rectángulos Un triángulo tiene seis elementos: tres ángulos y tres ldos. Resolver un triángulo signi c hllr l medid de todos sus elementos prtir de l informción que se teng cerc del triángulo. Resolver el triángulo ABC de l gur Solució n Semos que = 180 ; entonces = 22 : Además, sen 68 = De mner nálog, cos 68 = x 100 =) x = 100 cos 68 37:46: y 100 =) y = 100 sen 68 92:72. En muchs plicciones como nvegción, levntmiento de plnos, stronomí, se deen resolver triángulos Veremos, primero, lgo de terminologí y, luego, lgunos ejemplos. Si un oservdor está mirndo un ojeto, entonces, l líne del ojo del oservdor l ojeto se llm líne de visión. Si el ojeto que está siendo oservdo está rri de l horizontl, entonces el ángulo entre l líne de visión y l horizontl se llm ángulo de elevción. Si el ojeto está jo de l horizontl, entonces el ángulo entre l líne de visión y l horizontl se llm ángulo de depresión. (Altur de un edi cio) 1

2 Se encuentr que el ángulo de elevción hst l prte superior del Empire Stte en Nuev York es 11 o desde el suelo un distnci de 1 mill prtir de l se del edi cio. Usr est informción pr hllr l ltur del edi cio. Se h l ltur del edi cio. De l gur se oserv que tn (11 o ) = h 1 =) h = tn (11o ) 0:1944 mills = 1026 pies. (1 mill= 5280 pies). Luego, l ltur del edi cio es 1026 pies. (Altur de un cuiert de nues) Pr medir l ltur de un cuiert de nues en un eropuerto, un trjdor dirige un re ector hci rri un ángulo de 75 o desde l horizontl. Un oservdor 600 m mide el ángulo de elevción hst el punto de luz y encuentr que es de 45 o. Determinr l ltur h de l cuiert de nues. Pr hllr h, se x l distnci desde el re ector hst el punto P donde l líne de h cort el suelo. Oservemos que, por un ldo, h = (600 x) tn 45 o = 600 x (1) Del otro triángulo, x + h = 600: h = x tn 75 o () 3:7x h = 0: (2) (3:7) (600) De (1): x = 600 h y, reemplzndo en (2), 3:7 (600 h) h = 0 =) h = 472:34. 4:7 h 472:34 m. Luego, l ltur de l cuiert de nues es proximdmente 472:34 m: Así, Ley de Seno y Ley de Coseno Pr resolver lgunos prolems de plicción hllmos uno o más elementos de un triángulo rectángulo, y pr ello usmos l de nición de ls funciones trigonométrics de un ángulo gudo y el Teorem de Pitágors, que sólo es válido pr triángulos rectángulos. Se presentn demás prolems en los cules se deen hllr uno o más elementos de un triángulo cutángulo o otusángulo, en los que no se puede usr de mner direct el Teorem de Pitágors ni l de nición de ls funciones trigonométrics. 2

3 Vmos estudir dos nuevs herrmients, llmds Ley de Seno y Ley de coseno, que expresn cierts relciones entre ls medids de los ldos y los ángulos de un triángulo culquier. Ley de Seno En culquier triángulo ABC = sen C : c Es decir, en todo triángulo, l rzón entre el seno de un ángulo y l medid del ldo opuesto es constnte. Prue Se 4ABC un triángulo culquier. Se h l ltur sore el ldo BC y D el pie de dich ltur, es decir, el punto de intersección de l ltur con el ldo BC: Como el 4BDA es rectángulo, Además, como el 4ADC es rectángulo, y sí sen B = h ; o equivlentemente, h = c sen B: c sen C = h ; o h = sen C; Luego, c sen B = h = sen C: sen B = sen C : (1) c Trcemos l ltur H sore el ldo BA y se E el pie de dich ltur Como 4AEC es rectángulo 3

4 sen(180 A) = H () H = sen(180 A) = y que 180 A es el ángulo de referenci del ángulo A: Además, H = sen B y sí Entonces De (1) y (2) tenemos que: Oservciones = H = sen B: : (2) = sen C : c Si en un triángulo conocemos un ldo y dos ángulos o dos ldos y el ángulo opuesto uno de esos ldos, podemos usr l Ley de Seno pr resolver el triángulo. En el primer cso, conocidos un ldo y dos ángulos, el tercer ángulo se clcul usndo el hecho de que l sum de los ángulos interiores de un triángulo es 180 : Pr hllr cd uno de los otros dos ldos, plicmos l Ley de Seno usndo l proporción entre l rzón que involucr el ldo conocido y l que l que involucr el ldo que queremos hllr. En este cso existe un único triángulo que cumple ls condiciones dds. En el segundo, si se conocen dos ldos y el ángulo opuesto uno de ellos, se us l Ley de Seno pr hllr el ángulo opuesto uno de los ldos conocidos, luego se hll el tercer ángulo y nlmente el tercer ldo se clcul usndo nuevmente l Ley de Seno. En este cso puede ocurrir que dos triángulos, un triángulo o ningún triángulo cumpln ls condiciones dds, rzón por l cul se conoce como el cso miguo. Existen cutro posiiliddes, como se muestr en l gur: () () (c) (d) En el cso (), no existe un triángulo con ls condiciones dds, porque l longitud del ldo es menor que l requerid pr formr un triángulo que ls cumpl. En (), se otiene un triángulo rectángulo que se resuelve más fcilmente usndo el Teorem de Pitágors y l de nición de ls funciones trigonométrics. En (c), existen dos triángulos que cumplen ls condiciones y por tnto hy dos soluciones posiles y, en (d), l solución es únic. El cmpnrio de l Torre de Pis en Itli, form un ángulo de 5:6 o con l rect verticl trzd desde C: Un turist se uic 105 m de l se de l torre, l ldo en el que l torre form un ángulo gudo con 4

5 l horizontl. El ángulo de elevción medido por l turist es de 29:2 o hst l prte superior de l torre. Encontrr l longitud de l torre. Se l longitud, en metros, de l Torre. ]C = 90 o 5:6 o = 84:4 o ; porque 5:6 o es el ángulo formdo por l torre con l verticl. ]B = 180 o 29:2 o 84:4 o = 66:4 o. Usndo l Ley de Seno tenemos que: = sen B = 105 sen (29:2o ) sen (66:4 o = 55:9 m ) Luego, l longitud de l torre es proximdmente 56 m: Resolver el triángulo 4ABC si A = 45 o, = 7 p 2 y = 7. Primero, diujmos un triángulo con l informción suministrd. diujo es tenttivo y que, ún, no se conocen los otros ángulos. Encontremos el ángulo ]B usndo l Ley de Seno: El =) sen B = 7 sen 45o = 7 p 2 = 1 2 : Hy dos posiles ángulos B entre 0 o y 180 o tles que sen B = 1 2 : ]B = 30 o y ]B = 150 o, pero B = 150 o no es solución y que 150 o +45 o > 180 o. Luego, ]B = 30 o y, sí, ]C = 180 o 45 o 30 o = 105 o. Aplicndo nuevmente Ley de Seno, podemos hllr l longitud del ldo c: sen B = sen C c =) c = sen C sen B = 7 sen (105o ) sen (30 o 13:5: ) Resolver el triángulo 4ABC, si A = 42 o, = 70 y =

6 Como en el ejemplo nterior, hcemos un osquejo con l informción dd. Clculemos el ángulo B usndo Ley de Seno: =) sen B = = 122 sen (42o ) 70 1:17: Como sen 1 pr todo ángulo ; y que es l rzón entre el cteto opuesto y l hipotenus en un triángulo rectángulo y l longitud de l hipotenus siempre es myor que l de culesquier de los ctetos, entonces ningún triángulo stisfce ls condiciones del prolem. Resolver el triángulo 4ABC si A = 43:1 o, = 186:2 y = 248:6: Trcemos un osquejo del triángulo con los dtos del prolem: Usemos Ley de Seno pr clculr el ángulo B : =) sen B = Existen dos ángulos que cumplen est condición, = 248:6 sen (43:1o ) 186:2 B 65:82 y B 0 = :82 114:18 : 0:9192 Luego los dos triángulos son solución del prolem. Tre Clculr en los dos csos l longitud del ldo c, pr terminr el ejemplo nterior. Oservción Pr resolver el triángulo cundo se conocen dos ldos y el ángulo entre ellos, o los tres ldos, no podemos usr de mner direct l Ley de Seno. En estos csos, se plic l Ley de Coseno que veremos continución. Ley de Coseno En culquier triángulo 4ABC 6

7 2 = 2 + c 2 2c cos A 2 = 2 + c 2 2c cos B c 2 = cos C: Es decir, en culquier triángulo, el cudrdo de l longitud de culquier de los ldos es igul l sum de los cudrdos de ls longitudes de los otros dos ldos menos el dole producto de l longitud de estos dos ldos y del coseno del ángulo entre ellos. Prue Diujemos el 4ABC en el plno crtesino xy con el ]A en posición estándr Tnto si el ángulo A es gudo, como si es otuso, ls coordends del vértice B son (c; 0) y, ls coordends del vértice C son ( cos A; ) ( Por qué?) Como = d(b; C);entonces: 2 = [d(b; C)] 2 2 = ( cos A c) 2 + ( 0) 2 2 = 2 cos 2 A 2c cos A + c sen 2 A 2 = 2 (cos 2 A + sen 2 A) 2c cos A + c 2 2 = 2 + c 2 2c cos A porque cos 2 A + 2 = 1: Más delnte veremos que pr culquier ángulo A se cumple que sen 2 A + cos 2 A = 1: En form similr se prue el resultdo pr los otros dos ldos y c: Oservción Si lguno de los ángulos del triángulo es recto, por ejemplo A = 90 o, entonces cos A = 0 y l Ley de Coseno es equivlente l Teorem de Pitágors, 2 = 2 + c 2. Un utomóvil vij por un crreter en dirección Este durnte 1 h; luego vij durnte 30 minutos por otr crreter que se dirige l Noreste. Si el utomóvil se desplz un velocidd constnte de 40 mills/hor, qué tn lejos está de su posición de prtid l terminr el recorrido? 7

8 Se d l distnci, en mills, que sepr l utomóvil del punto de prtid. distnci recorrid hci el Este = 40 mills/hor 1 hor = 40 mills Como: distnci recorrid hci el Noreste = 40 mills/hor 1 2 entonces, plicndo Ley de Coseno hor = 20 mills, d 2 = (20) (40) cos (135 o ) p! 2 d 2 = :37 2 d p 3131:37 55:96 Luego, l co de hor y medi el utomóvil está, proximdmente, 55:96 mills de su punto de prtid. Los ldos de un triángulo son = 20, = 25, c = 22. Encontrr los ángulos del triángulo. Aplicndo Ley de Coseno, entonces, Luego, ]A = 49:87 o. 2 = 2 + c 2 2c cos A cos A = (20)2 (25) 2 (22) 2 2 (25) (22) 0:644: Similrmente cos B = 2 2 c 2 2c cos C = c c = (25)2 (20) 2 (22) 2 2 (20) (22) = (22)2 (20) 2 (25) 2 2 (20) (25) 0:294 =) ]B 72:88 o 0:541 =) ]C 57:25 o : 8