SEPTIEMBRE " ( él representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme.

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David Ramírez Araya
hace 6 años
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1 SEPTIEMBRE 99 OPCIÓN A EJERCICIO. Otener ls mtrices A y B tles que cumplen ls siguientes condiciones: B A B A Se trt de un sistem de ecuciones mtriciles, que se puede resolver por culquier método. Pr este cso plicremos el método de reducción. B A B A. Multiplicndo l ª ecc. Por y l ª ecc. Por qued: res tn do, 9B A B A B B Sustituyendo el vlor de B en l ª ecución: A - - A A EJERCICIO. Es siempre cierto que ) ( ) ( ) (! ( él represent el producto vectoril)? En cso firmtivo, justifíquese. En cso contrrio, póngse un ejemplo que lo confirme. Se pide demostrr un iguldd de productos vectoriles. Desrrollndo el primer miemro: ) ( ) ( teniendo en cuent y que el producto esclr es nticonmuttivo, es decir, ( ) l primer expresión qued: ( ) ( ) ( ) ) ( ) (. Qued demostrdo que l firmción es ciert.

2 EJERCICIO. Sen E y E dos elipses con los mismos ejes sen y ls longitudes de los semiejes de E se se que ls longitudes de los semiejes de E son y /. Hllr l relción que dee her entre y pr que los cutro puntos de intersección de E y E formen un cudrdo. El prolem se simplific y se resuelve mejor, forzndo l rectángulo OAPB ser un cudrdo. x² y² Vértices del rectángulo: ² ² ' P :, teniendo en cuent, x² y² el sistem qued: ' '² '² x² y² ² ² x² y² P : x² y² ² ², operndo, x² y² ()² ² ² Despejndo x² de cd ecución ² ² x² ² y² x² ² y² ² ² e igulndo ² ² ² ² ² ² y² ² y² y² y² ² ² y² ² ² ² ² ² ² simplificndo ² y ², y sustituyendo en culquier de x² ² ² ² x ² ² ² ² x ² B,, A, Pr que el rectángulo OAPB se un cudrdo se h de cumplir: OA OB

3 EJERCICIO. Se consider un ventn como l que se indic en l figur (l prte inferior es rectngulr l superior, un semicircunferenci). El perímetro de l ventn mide m. Hllr ls dimensiones x e y del rectángulo pr que l superficie de l ventn se máxim. (Expresr los resultdos en función de π ) Es un prolem de optimción en el que se pide optimizr ls dimensiones de un ventn pr que su áre se máxim siendo su perímetro constnte. ÁREA VENTANA ÁREA RECTÁNGULO ÁREA SEMICÍRCULO x π A(x, y) x y π x y x Función de dos vriles que permite clculr el áre de culquier ventn como l de l figur, conocid l longitud de l se y de l ltur de l prte rectngulr. Teniendo en cuent que el perímetro dee ser de m: x π π Perímetro x y π x x y x y Despejndo y de l ecución del perímetro y sustituyendo en l del áre se otiene un expresión A(x) que permite clculr el áre de culquier ventn como l de l figur de perímetro en función únicmente de l longitud de l se. π x π y x sustituyendo en A(x,y) π π π π π A(x) x x x x x x x x π A(x) x x Derivndo est expresión se otienen los vlores de x que optimizn l función: π π π A ' x x x y π π π π A < Pr x, y el áre de l ventn es máxim. π π

4 OPCIÓN B EJERCICIO. Sí f (x)dx fuese siempre cierto, pruéese Si pudier ser flso, póngse un ejemplo que lo confirme. Se verific entonces que xf (x)dx? f (x)dx F(x) ] F() F( ) F() F( ) lo cul demuestr que solo se verific si l primitiv de l función tiene simetrí pr. Que l primitiv de f(x) teng simetrí pr no implic que l primitiv de x f(x) dee tenerl. x ( ) Ejemplo: Se f(x)x. xdx x ( ) x f (x)dx x xdx x dx R {} EJERCICIO. L gráfic de l figur corresponde l primer derivd de un función ƒ(x). Qué puede decirse sore los posiles máximos y mínimos reltivos de l función ƒ(x)? Rzonr l respuest. L función f(x) present un único extremo reltivo en x y que en ese punto se cumplen ls condiciones de máximo reltivo. f () f ( )> f ( )< L derivd de l función en el punto x es cero condición necesri de extremo reltivo. A l izquierd del punto l derivd es positiv, por lo tnto l función es creciente, y l derech del punto l derivd es negtiv por lo tnto decreciente. Ests dos condiciones junto con l condición necesri, permiten segurr que en el punto x existe un máximo reltivo. En el punto x se d l condición necesri no suficiente de extremo reltivo, pero no existe cmio de signo en l derivd por lo cul se puede segurr que en el punto x no existe un extremo reltivo pesr de que en dicho punto l tngente se horizontl, es un punto de inflexión con tngente horizontl EJERCICIO. Hllr el vlor del determinnte de orden cuyo elemento del lugr i, j (fil i,,, column j,,, ) vle ( i j ) i j. Se pide clculr un determinnte que hy que formr prtir de un ley generl: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) plicndo l propiedd de los determinntes que permite scr fctor común de un término común todos los elementos de un líne(fil ó column)

5 plicndo l mism propiedd l ª, ª y ª column y scndo, y respectivmente, se otiene: teniendo en cuent que el vlor de un determinnte no vri si un líne(fil ó column) se le sum o rest un prlel multiplicd por un número, en el determinnte nterior se hcen los siguientes cmios: F F F F F F F F F Si en un determinnte dos línes(fils ó columns) son igules o proporcionles, el determinnte es nulo. EJERCICIO. En un circunferenci se trzn dos cuerds AB y CD perpendiculres entre sí, que se cortn en un grupo O se se que OB cm, OA cm y OC cm. Otener l ecución de l circunferenci en los ejes que, su juicio, resulte más fácil de otener. Se pide clculr l ecución de un circunferenci conocids dos cuerds perpendiculres entre sí y ls longitudes de tres segmentos prtir del punto común de ls cuerds OA, OB y OC. Si se tom como origen de coordends el punto de corte de ls dos cuerds, se puede conocer tres puntos de l circunferenci A(,), B(,) y C(,). Conocidos tres puntos de un circunferenci, se pueden clculr los elementos de l mism (Centro y rdio), de dos forms distints. Método I: El centro de l circunferenci es el circuncentro del tringulo ABC(punto de corte de ls meditrices del triángulo). Meditriz AB: d(ap)d(bp), siendo P(x,y) un punto genérico de l meditriz. ( x ( ) ) ( y ) ( x ) ( y ) ( x ) y ( x ) y operndo y simplificndo: x Meditriz AC: d(ap)d(cp), siendo P(x,y) un punto genérico de l meditriz. operndo y simplificndo: ( x ( ) ) ( y ) ( x ) ( y ( ) ) ( x ) y x ( y ) xy

6 el centro de l circunferenci es el punto de corte de ls dos meditrices x C: : Re solviendo C(,) x y El rdio se clcul como l distnci de culquier de los puntos l centro de l circunferenci. R d L ecución de l circunferenci es: ( Centro A) ( ( ) ) ( ) ( x ) ( y ) ( ) psndo form generl se otiene: x y x y Método II: Conocidos tres puntos de un circunferenci se puede encontrr l ecución plntendo un sistem de ecuciones. Se usc un ecución de l form x y mx ny p, conociendo tres puntos que l deen cumplir A, B y C. Ls incógnits del sistem serán m, n y p. A(,) : ( ) m ( ) n p m p B(,) : m n p opernndo : m p resolviendo el sistem: C(, ) : ( ) m n ( ) p n p m n p sustituyendo en l ecución: x y x y

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