11. Triángulos SOLUCIONARIO 1. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS 2. MEDIANAS Y ALTURAS DE UN TRIÁNGULO

Transcripción

1 SLUINRI Triángulos 1. NSTRUIÓN DE TRIÁNULS PIENS Y LUL Justific si se pueden dibujr los siguientes triángulos conociendo los dtos: ) Tres ldos cuys longitudes son 1 cm, 2 cm y 3 cm b) Un ldo de 8 cm y dos ángulos que están junto él, de 60 y 120 ) No, porque l sum de 1 y 2 no es myor que 3 b) No, porque los dos ángulos sumn 180 RNÉ LULIST 925,67 : 6,04 = 153,25; R = 0,04 PLI L TERÍ 1. Dibuj un triángulo cuyos ldos midn = 4,, b = 3,1 cm y c = 2,5 cm 5. Es posible dibujr un triángulo con los ángulos = 120 y = 70 y el ldo b = 5 cm? Justific tu respuest. No, porque l sum de dos ángulos es myor de Si tienes dos triángulos isósceles que son rectángulos, puedes decir que son igules? Justific tu respuest. No. Ls longitudes de los ldos pueden ser distints siendo igules los ángulos. 2. MEDINS Y LTURS DE UN TRIÁNUL PIENS Y LUL Mide los segmentos y en los triángulos de l figur. Expres l relción que existe entre ellos. c = 2,5 cm = 4, b = 3,1 cm 2. Es posible dibujr un triángulo cuyos ldos sen 12 cm, y 6 cm? Justific tu respuest. No, porque l sum de los dos ldos menores no es myor que el ldo myor. 3. onstruye un triángulo cuyos ldos sen = 4, y b = 2,8 cm y el ángulo comprendido entre ellos = 72 b = 2,8 cm 72 = 4, 4. Dibuj un triángulo con dos ángulos conocidos = 70, = 80 y el ldo = 2,5 cm 1. er triángulo: = 2 cm, = 1 cm 2. o triángulo: = 3 cm, = 1,5 cm es el doble de Tmbién se cumple que: = 2/3 de y = 1/3 de RNÉ LULIST ( 2 6 ) = PLI L TERÍ 7. onstruye un triángulo cuyos ldos sen = 6 cm, b = y. Dibuj en él ls tres medins y señl el bricentro. omprueb midiendo que el bricentro divide ls medins en dos segmentos y que uno es el doble del otro = 2,5 cm 2,8 cm 1,2 cm 1, = 6 cm b = 1,6 cm 3,2 cm 0,6 cm

2 96 SLUINRI 8. Dibuj un triángulo rectángulo de ctetos 3,2 cm y 4,5 cm y en él ls medins y el bricentro. Mide los segmentos de cd medin. Qué deduces? b) 3,2 cm 3,5 cm 1,6 cm 2,6 cm 1,3 cm 1,8 cm 0,9 cm 3,2 cm = 3 cm 4,5 cm d segmento grnde es el doble del pequeño. c) 9. onstruye un triángulo de ldos 4,5 cm, 3,8 cm y 3 cm. Dibuj ls lturs y señl el ortocentro. 3,5 cm = 3 cm b = 3,8 cm 3. MEDITRIES Y ISETRIES DE UN TRIÁNUL PIENS Y LUL = 4,5 cm El triángulo de l figur es equilátero. ómo se llm el segmento M? uánto miden los ángulos dibujdos? 10. onstruye un triángulo de ldos 5 cm, y 3 cm, y dibuj sus lturs. Señl el ortocentro y estudi su posición. = 5 cm b = El ortocentro coincide con el vértice, por tnto, el triángulo es rectángulo en 11. De un triángulo se sbe que el ldo mide 3 cm y que l medin que v desde el vértice l ldo mide 3,5 cm. on ests condiciones dibuj un triángulo: ) cutángulo. b) Isósceles. c) btusángulo. Hy distints soluciones. Por ejemplo: Es l meditriz que coincide con l ltur, l medin y l bisectriz del ángulo /2 = 30 = 60 M = 90 RNÉ LULIST : 190 = 3 789; R = 90 M PLI L TERÍ 12. Dibuj un segmento de 5 cm de longitud y trz su meditriz. omprueb midiendo que un punto de l meditriz equidist de los extremos del segmento. ) P 3,5 cm = 3 cm 5 cm

3 SLUINRI Dibuj un ángulo gudo y trz su bisectriz. omprueb midiendo que un punto de l bisectriz equidist de los ldos del ángulo. 18. Dibuj un triángulo equilátero. ómo son ls bisectrices y ls meditrices? Dibuj l circunferenci circunscrit y l inscrit. Q 2 cm P b = 3 cm 2 cm = 3 cm 14. Dibuj un triángulo de ldos 4,5 cm, 3,5 cm y 3 cm. Dibuj el circuncentro y l circunferenci circunscrit. R oinciden ls bisectrices con ls meditrices. 19. Dibuj un triángulo rectángulo isósceles cuyos ctetos midn. Dibuj ls circunferencis inscrit y circunscrit. = 4,5 cm b = 3,5 cm ' 15. uál es el número mínimo de meditrices que hy que trzr pr hllr el circuncentro? Dos. 4. TEREM DE PITÁRS PIENS Y LUL uent los cudrditos y expres l relción que existe entre los ldos de cd triángulo rectángulo. 16. Dibuj un triángulo rectángulo y su circunferenci circunscrit. Dónde está el circuncentro? El circuncentro está en el punto medio de l hipotenus. 17. onstruye un triángulo cuyos ldos midn 3,5 cm, 2,5 cm y 2 cm. Dibuj el incentro y l circunferenci inscrit c = 2 cm = 3,5 cm b = 2,5 cm 5 2 = = = b 2 + c 2 RNÉ LULIST : =

4 98 SLUINRI PLI L TERÍ 20. lcul l longitud de l hipotenus de un triángulo rectángulo cuyos ctetos miden 5 cm y 7 cm 25. lcul l ltur de un triángulo equilátero de de ldo. c = 5 cm 2 = b 2 + c 2 2 = = 74 = 74 = 8,6 cm 21. Hll l longitud de un cteto de un triángulo rectángulo cuy hipotenus mide 20 m y el otro cteto 9 m b = 7 cm h 2 + b 2 = 2 h = 4 2 h 2 = 12 h = 12 = 3,46 cm h = b = 2 cm 26. Un poste de mder tiene 8 m de ltur y se quiere sujetr con tres cbles que vn desde el extremo superior un punto del suelo que dist de l bse del poste 3 m. Qué longitud de cble se necesit? = 20 m c b = 9 m b 2 + c 2 = c 2 = 20 2 c 2 = 319 c = 319 = 17,86 m 22. omprueb cuáles de ls siguientes terns de longitudes formn triángulo rectángulo: ) 3 cm, y 5 cm b) 6 m, 8 m y 10 m c) 9 dm, 12 dm y 15 dm d) 5 mm, 6 mm y 7 mm 8 m 3 m ) = 5 2 Sí. b) = 10 2 Sí. c) = 15 2 Sí. d) No. 3 m c = 8 m 23. En un triángulo rectángulo isósceles, clcul l longitud de l hipotenus si los ctetos miden 4 dm c = 4 dm 3 m 2 = b 2 + c 2 2 = = 73 = 73 = 8,54 m Longitud del cble: 3 8,54 = 25,62 m b = 3 m b = 4 dm 2 = b 2 + c 2 2 = = 32 = 32 = 5,66 dm 24. Hll l digonl de un cudrdo de ldo 6 m EJERIIS Y PRLEMS 1. NSTRUIÓN DE TRIÁNULS 27. onstruye un triángulo cuyos ldos midn = 45 mm, b = 36 mm y c = 33 mm b = 6 m c = 6 m c = 3,3 cm b = 3,6 cm 2 = b 2 + c 2 2 = = 72 = 72 = 8,49 m = 4,5 cm

5 SLUINRI Nos hn ddo ls siguientes tblills pr formr un triángulo. Puedes hcerlo? 34. Dibuj un triángulo rectángulo que teng un hipotenus de 3 cm y un ángulo de < 11 No. L sum de ls longitudes de ls vrills pequeñs es menor que l longitud de l grnde. 29. onstruye un triángulo cuyos ldos sen =4cm y b = 3 cm y el ángulo comprendido entre ellos = 65 b = 3 cm Dibuj un triángulo con dos ángulos conocidos, = 65, = 70, y el ldo = 2,5 cm. De qué tipo es el triángulo? = 2. MEDINS Y LTURS DE UN TRIÁNUL 35. onstruye un triángulo cuyos ldos midn: = 4cm, b = 3 cm y c = 2,5 cm. Dibuj en él ls tres medins y señl el bricentro. omprueb midiendo que el bricentro divide ls medins en dos segmentos y uno es el doble del otro. c = 2,5 cm 1,1 3 cm 60 1,2 0,6 2 cm 1 cm = b = 3 cm 36. onstruye un triángulo rectángulo de form que l ltur sobre l hipotenus coincid con l medin. El triángulo tiene que ser rectángulo e isósceles. Por ejemplo: 2,2 Es un triángulo cutángulo = 2,5 cm 3 cm 31. Son igules dos triángulos que tienen igules sus ángulos? Justific tu respuest. No, pueden tener distinto tmño. 37. onstruye un triángulo de ldos 44 mm, 36 mm y 30 mm, y dibuj ls tres lturs. 3 cm 32. onstruye un triángulo como el de l figur utilizndo el trnsportdor y l regl. Los lumnos deben relizr el dibujo del libro. 33. onstruye un triángulo con los ángulos = 35 y = 100 y el ldo b = 3 cm. De qué tipo es el triángulo? = 4, b = 3,6 cm 38. Dibuj un triángulo obtusángulo y ls tres lturs. Señl el ortocentro. 35 b = 3 cm Es un triángulo obtusángulo. 100

6 100 SLUINRI 3. MEDITRIES Y ISETRIES DE UN TRIÁNUL 39. Dibuj un segmento de 3,5 cm y trz su me di triz con regl y compás. ) Interior. b) Punto medio de l hipotenus. 40. Dibuj un segmento de 3,2 cm y trz su me ditriz usndo solo ls regls. ) Se hll el punto medio del segmento midiendo con l regl. b) on yud de un es-cudr y un crtbón se trz l perpendiculr. 41. Dibuj un ángulo gudo de 40 y trz su bisectriz con regl y compás. c) Exterior. P onstruye el triángulo de ldos 3 cm, y 4,5 cm y dibuj ls meditrices y l circunferenci circunscrit. 44. onstruye un triángulo cuyos ldos midn 55 mm, 41 mm y 38 mm. Dibuj el incentro y l circunfe-renci inscrit. b = c = 3,8 cm R = 5,5 cm b = 4,1 cm = 4,5 cm 45. Dibuj un triángulo rectángulo con un ángulo gudo de 30. Dibuj l circunferenci inscrit. 43. Dibuj un triángulo, señl dónde está el circuncentro y dibuj l circunferenci circunscrit en los siguientes csos: ) cutángulo b) Rectángulo c) btusángulo. 30

7 SLUINRI TEREM DE PITÁRS 46. lcul l longitud de l hipotenus de un triángulo rectángulo cuyos ctetos miden: ) 6 cm y 8 cm b) 12 mm y 16 mm c) 5 m y 10 m d) 7 dm y 7 dm ) 2 = = 100 = 100 = 10 cm b) 2 = = 400 = 400 = 20 mm c) 2 = = 125 = 125 = 11,18 m d) 2 = = 98 = 98 = 9,9 dm 52. Desemos un toldo como el del dibujo, que sobreslg de l pred 90 cm. lcul l longitud,, de l cíd del toldo. 47. Hll l longitud de los ctetos de los siguientes triángulos: 7 m 3 m 110 cm 90 cm b = 7 2 b 2 = 40 b = 40 = 6,32 m b = 8 2 b 2 = 48 b = 48 = 6,93 dm 48. omprueb cuáles de ls siguientes terns de longitudes formn un triángulo rectángulo: ) 12 cm, 16 cm y 20 cm b) 6 m, 7 m y 10 m c) 4 dm, 5 dm y 12 dm d) 15 mm, 20 mm y 25 mm ) = 20 2 Sí. b) No. c) No. d) = 25 2 Sí. 49. omprueb que el triángulo de 6 cm, 4,5 cm y 3 cm de ldos no es rectángulo, y di si es obtusángulo. 8 dm 4 dm 2 = = = = 142,13 cm = 1,42 m PR MPLIR 53. onstruye un triángulo cuyos ldos midn 30 mm, 35 mm y 45 mm. Mide sus ángulos con el trnsportdor y di cómo es el triángulo según los ángulos. 87 b = 3,5 cm = 4,5 cm ' = 6 cm No es rectángulo. Es obtusángulo. b = 4,5 cm cutángulo. 54. Los ldos de un triángulo miden 4,5 cm, 6 cm y 7,5 cm. Dibújlo y di qué tipo de triángulo es. 50. lcul l longitud de l digonl del rectángulo de l figur: 6,5 m c = 4,5 cm 90 b = 6 cm d 4,5 m = 7,5 cm 4, = 7,5 2. Rectángulo. d 2 = 4, ,5 2 = 62,5 d = 62,5 = 7,91 m 51. lcul l longitud de l ltur del triángulo de l figur: 55. onstruye un triángulo que teng un ángulo de 50 y que los ldos que lo formn midn 4,5 cm y 2,8 cm 2,6 dm 2 + 2,6 2 = 4,5 2 2 = 13,49 = 13,49 = 3,67 m 4,5 dm b = 2,8 cm 50 = 4,5 cm

8 102 SLUINRI 56. Dibuj un triángulo que teng un ángulo de 60 y los ldos que lo formn 3,6 cm y 2,8 cm. Trz ls medins y señl el bricentro. 2 cm b = 2,8 cm 2,8 cm 60 = 3,6 cm 57. onstruye un triángulo de ldo = 4,5 cm y los ángulos = 30 y = 70. Trz ls lturs y señl el ortocentro. 61. onstruye un triángulo rectángulo que teng un cteto que mid, y un ángulo gudo de 40. Dibuj ls bisectrices En el triángulo de l figur dibuj ls bisectrices y l circunferenci inscrit. c = 3,8 cm = 4,5 cm 3,8 cm 5, 3,8 cm 30 b = 3,8 cm 62. onstruye un triángulo rectángulo que teng un hipotenus de 4,2 cm y un ángulo gudo de 45. Dibuj ls medins y señl el bricentro ,2 cm 63. uánto mide el ángulo en el dibujo? = 5, 5 cm 5 cm 59. onstruye un triángulo equilátero de 2,8 cm de ldo. Trz ls meditrices y dibuj l circunferenci circunscrit. = = 66 5,45 cm 57º c = 2,8 cm b = 2,8 cm 64. onstruye un triángulo isósceles de 3 cm de ldo desigul y de ldos igules. = 2,8 cm c = b = 60. Dibuj un triángulo rectángulo cuyos ctetos midn 2,8 cm y 2 cm. Dibuj l circunferenci circunscrit. = 3 cm

9 SLUINRI Dibuj un triángulo isósceles de ldo desigul = 2,5 cm y ltur sobre el ldo de 70. En un rectángulo de ldos y 7 cm, clcul l longitud de l digonl. d 7 cm 4 c d 2 = = 65 d = 65 = 8,06 cm 71. Hll mentlmente los ldos de un triángulo rectángulo sbiendo que son números enteros consecutivos menores que 7 = 2,5 cm c 66. lcul en cd cso el ldo que flt: c: cteto : hipotenus b: cteto ) b = 10 dm y c = 6 dm b) b = 12 cm y c = 16 cm c) = 30 dm y c = 20 dm d) = 10 m y b = 8 m ) 2 = = 136 = 136 = 11,66 dm b) 2 = = 400 = 400 = 20 cm c) b = 30 2 b 2 = 500 b = 500 = 22,36 dm d) c 2 = 10 2 c 2 = 36 c = 36 = 6 m 67. lcul l hipotenus de un triángulo rectángulo isósceles sbiendo que el vlor del cteto es: ) 3 m b) 5 dm c) 4,5 cm d) 12 mm ) 2 = = 18 = 18 = 4,24 m b) 2 = = 50 = 50 = 7,07 dm c) 2 = 4, ,5 2 = 40,5 = 40,5 = 6,36 cm d) 2 = = 288 = 288 = 16,97 mm c = 3, b = 4, = lcul l digonl del ortoedro de l figur: E 7 cm d 2 = = 58 d = 58 D 2 = = 62 D = 62 = 7,87 cm 73. Un escler de bomberos que mide 12 m de lrgo está situd en l pltform de un cmión 2 m de ltur y 5 m de l pred. lcul l ltur l que lleg l escler. b d D D 3 cm F 2 cm PRLEMS 68. onstruye un triángulo del que conocemos el ldo c = 5 cm, el ldo = 3 cm y l medin que v desde el vértice l ldo c, que mide Primero se dibuj el triángulo D y después se complet. 12 m 5 m 2,5 cm 2,5 cm D 2 m 3 cm 69. El perímetro de un cudrdo mide 28 m. uán to mide l digonl? d Ldo: = 28 : 4 = 7 m d 2 = = 98 d = 98 = 9,9 m 2 m 12 m 5 m ltur: x + 2 m x = 12 2 x 2 = 119 x = 119 = 10,91 ltur: 10, = 12,91 m x

10 104 SLUINRI 74. Sobre l construcción de l pirámide se h situdo un grú pr rrstrr l crg. Qué longitud de cuerd se necesit pr subir l crg por l cr de l pirámide? 78. Puede ser obtuso el ángulo contiguo del ldo desigul de un triángulo isósceles? α 52 m x 25 m x 2 = = x = = 57,7 m 75. lcul l longitud de los ldos del triángulo que se form uniendo los tres vértices de un cubo. x No, porque cd ángulo igul debe ser 90 menos l mitd del ángulo desigul. x = 90 α 2 x 5 cm 79. Puede ser equilátero un triángulo rectángulo? No. L hipotenus es myor que los ctetos. 5 cm 2 = = 50 = 50 = 7,07 cm 76. Un globo está sujeto un cuerd de 2,5 m y observmos que se h desplzdo 60 cm por el viento. qué ltur está el globo? 5 cm 80. ómo h de ser un triángulo pr que sus medins coincidn con ls tres lturs? Equilátero. 81. ómo h de ser un triángulo pr que solo un medin coincid con un ltur? Isósceles. 82. Dibuj un triángulo culquier y encuentr un punto que esté l mism distnci de los tres vértices. Qué punto es? c = 2,5 m b = 60 cm c 2 = 2,5 2 c 2 = 5,89 c = 5,89 = 2,43 m PR PRFUNDIZR 77. Dibuj un triángulo y trz un prlel un ldo por un vértice. Justific sobre el dibujo que l sum de los tres ángulos de un triángulo sumn 180 ' ' ' El circuncentro. 83. Si ls tres lturs de un triángulo se cortn en un vértice, qué se puede firmr del triángulo? =, =, = por tener los ldos prlelos y en l mism dirección. + + = 180 Luego, + + = 180 Es rectángulo. : rtocentro

11 SLUINRI Un meditriz de un triángulo es prlel uno de los ldos. ómo es el triángulo? Dibújlo. Dibuj l circunferenci circunscrit. h = 4 2 h 2 = 12 h = 12 = 3,46 m F = 3,46 0,6965 = 2,41 m 2 = 1, ,41 2 = 7,685 = 7,685 = 2,77 m MPRUE L QUE SES 1. Define circuncentro y explic su posición según el tipo de triángulo. El circuncentro de un triángulo es el punto de corte de ls tres meditrices. Está l mism distnci de los tres vértices. El circuncentro está en el interior si el triángulo es cutángulo, en el punto medio de l hipotenus si es rectángulo y en el exterior si es obtusángulo. Si un meditriz es prlel un ldo, los dos ldos son perpendiculres. 85. onstruye un triángulo del que conocemos el ldo =, el ldo b = 3, y l ltur sobre el ldo, que representmos por h = 2,3 cm Se dibuj el ldo = de extremos y Se dibuj un prlel 2,3 cm de ell. on centro en y rdio 3, se trz un rco que cortrá l prlel en dos puntos y Hy dos soluciones: y ' 2. onstruye un triángulo cuyos ldos sen = 55 mm, b = 45 mm y c = 30 mm. Dibuj en él ls tres medins. 3. onstruye un triángulo de ldos = 6 cm y b =, y el ángulo comprendido entre ellos = 65. Dibuj l ltur sobre el ldo y mídel. = 5,5 cm b = 4,5 cm b = 3, 2,3 cm b = 3, = b = 3,6 cm PLI TUS MPETENIS 86. El dibujo represent un entrmdo metálico que soport el tejdo de un nve industril. El entrmdo es simétrico y l figur FE es un triángulo equilátero. Se sbe que l vig F debe tener un 69,65% de l longitud de l ltur del triángulo equilátero. lcul l longitud que deben tener ls vigs F y Dibuj un triángulo rectángulo de ctetos 3 cm y, y su circunferenci inscrit. = 6 cm b = 3 cm 1,37 m 4 m F E D c = 5. lcul l longitud de l hipotenus de un triángulo rectángulo cuyos ctetos miden 6 cm y 8 cm h 4 m c = 6 cm ltur del triángulo FE: F 2 m E b = 8 cm 2 = b 2 + c 2 2 = = 100 = 100 = 10 cm

12 106 SLUINRI 6. Hll l longitud de un cteto de un triángulo rectángulo cuy hipotenus mide 13 m, y un cteto, 12 m = 13 m b = 12 m b 2 + c 2 = c 2 = 13 2 c 2 = 25 c = 25 = 5 m c 7. lcul l ltur de un triángulo equilátero de 6 dm de ldo. WINDWS/LINUX EER PS PS 87. Dibuj un triángulo cuyos ldos midn = 6 cm, b = 5 cm y c = Resuelto en el libro del lumndo. 88. Dibuj un triángulo culquier y trz ls medins. Resuelto en el libro del lumndo. h = 6 dm PRTI 89. Dibuj un triángulo en el que = 7,5 cm, b = 6,2 y c = 40 b = 3 dm h 2 + b 2 = 2 h = 6 2 h 2 = 27 h = 27 = 5,2 dm 8. Jvier está volndo un comet sujet por un cuerd de 26 m, y est se encuentr sobre un río que está 10 m de Jvier. qué ltur está del suelo l comet? Resuelto en el libro del lumndo. 90. Dibuj un segmento y su meditriz. Resuelto en el libro del lumndo. 91. Dibuj un triángulo, hll su circuncentro y dibuj l circunferenci circunscrit. Resuelto en el libro del lumndo. = 26 m h 92. Dibuj un ángulo y su bisectriz. Resuelto en el libro del lumndo. 93. Dibuj un triángulo y hll su incentro, y dibuj l circunferenci inscrit. Resuelto en el libro del lumndo. b = 10 m h 2 + b 2 = 2 h = 26 2 h 2 = 576 h = 576 = 24 m 94. Dibuj un triángulo rectángulo y sobre él comprueb el teorem de Pitágors. Resuelto en el libro del lumndo.