ESPA 2. es limitado longitud. que no lleguen. a tocarse. que son secantes y no se. cortan son. paralelas. origen. perpendiculares.

Transcripción

1 CENTRO PÚBLICO DE EDUCACIÓN DE PERSONAS ADULTAS ESPA 2 Mtemátics y Tecnologí Unidd 4 Línes rects. Ángulos. Polígonos. Teorem de Pitágors RECTAS, SEMIRRECTAS Y SEGMENTOS Dos puntos A y B determinnn un rect que es ilimitd. Un punto C de un rect determin dos semirrects, que son ilimitds. Dos puntos P y Q de un rect determinn un segmento de extremos P y Q. El segmento es limitdo y se puede medir su longitud. Si trzmos dos rects en un plno puede ocurrir que se corten o que no lleguen tocrse nunc. Si se cortn diremos que son secntes y no se cortn son prlels. ÁNGULOS Un ángulo es l región del plno comprendid entre dos semirrects con un origen común. Ls semirrects son los ldos del ángulo y el punto origen es el vértice. Los ángulos se clsificn en: Recto, si los ldos están sore rects perpendiculres. Agudo, si es menor que un recto. Otuso, si es myor que un recto. Págin 1 de 8

2 POLÍGONOS Un líne poligonl es un conjunto de segmentos rectilíneos unidos entre sí. Puede ser iert o cerrd. El trozoo de espcio limitdo por dos segmentos consecutivoss recie el nomre de ángulo. Así, los segmentos HG y GK formn un ángulo. El trozo de plno limitdo por un líne poligonl cerrd se denomin polígono. El polígono es l zon oscur dentro de l líne poligonl Los elementos de un polígono son: Ldos. Cd uno de los segmentos que limitn el polígono. Vértices. Puntos en los que unen dos ldos. Ángulos. Están formdos por dos ldos contiguos del polígono. Ejemplo: el formdoo por los ldos AB y AG. Digonles. Segmentos que unen dos ldos no consecutivos de un polígono. Los rdios. Segmentos que unen el centro con los vértices. L potem. Líne perpendiculr desde el centro cd uno de los ldos. Los polígonos se denominn según el número de ldos o ángulos que tienen. Si el polígono tiene tres ldos, recie el nomre de triángulo; el de cutro ldos, cudrilátero; si tiene cinco ldos, se llm pentágono; etc. Triángulos Tres puntos A, B, y C, no linedos, determinn el triángulo ABC. En el triángulo ABC se distinguen: Los tres vértices A, B y C. Los tres ángulos A, B y C. Los tres ldos, y c. El ldo sore el que se poy el triángulo es l se, y l rect perpendiculr l se desdee el vértice opuesto es l ltur. Cd uno de los tres ldos puede ser se del triángulo y cd uno le corresponde un ltur. L sum de los ángulos de un triángulo es siempree 180º. Los triángulos se pueden clsificr ntendiendo sus ldos y suss ángulos. Págin 2 de 8

3 Atendiendo sus ldos: Equilátero. Los tres ldos igules = = c Atendiendo sus ángulos: Isósceles. Dos ldos igules = c Escleno. Ningún ldo igul c Acutángulo. Los tres ángulos gudos Rectángulo. Un ángulo recto Otusángulo. Un ángulo otuso. Ejercicio 1 ) Clsific los siguientes triángulos escriiendo su número en l csill correspondiente de l tl que hy l finl de l págin. En cd triángulo, los ldos que tienen l mism letr miden igul c 5 4 c 6 7 c Equilátero Isósceles Escleno Rectángulo Acutángulo Otusángulo ) Construye los dos triángulos cuy csill está vcí. Págin 3 de 8

4 Cudriláteros Hy vrios tipos de cudriláteros: En culquier cudrilátero, l sum de todos sus ángulos es siempre 360º Ejercicio 2 Contest ls siguientes pregunts ) Qué cudriláteros tienen todos sus ldos igules? ) Qué cudriláteros tienen los ldos igules dos dos? c) Qué cudriláteros tienen todos los ángulos rectos (90º)? d) Qué cudriláteros tienen dos ángulos gudos (<90º) igules y dos ángulos otusos (> 90º) igules? e) Qué cudrilátero tiene dos ángulos rectos, un ángulo gudo y otro ángulo otuso? f) Qué cudrilátero tiene dos ldos igules, dos ángulos gudos igules y dos ángulos otusos igules? g) Qué cudriláteros no tienen ningún ldo ni ningún ángulo igules? h) En un trpecio rectángulo, el ángulo otuso mide 105º. Cuánto mide el ángulo gudo? i) En un trpecio isósceles, un ángulo mide 80º. Cuánto miden los otros ángulos? Polígonos regulres e irregulres Los polígonos pueden ser regulres (todos los ldos y ángulos son igules) o irregulres. Págin 4 de 8

5 Circunferenci y círculo Un líne curv y cerrd cuyos puntos están l mism distnci de uno llmdo centro recie el nomre de circunferenci. El trozo de plno limitdo por un circunferenci recie el nomre de círculo. Dos circunferencis que tienen el mismo centro recien el nomre de concéntrics. El trozo de plno comprendido entre ells recie el nomre de coron circulr (zon somred). Un sector circulr es el trozo de círculo comprendido entre dos rdios y el trozo (rco) de circunferenci limitdo por ellos. C : circunferenci O: centro del círculo y l circunferenci R (rdio). Es el segmento de rect que une el centro del círculo con un punto de l circunferenci. D (diámetro). Es el segmento de rect que un dos puntos de l circunferenci psndo por el centro. El diámetro es el dole del rdio (D = 2 R). Por lo tnto, el rdio es l mitd del diámetro Perímetro de un polígono En un polígono se puede medir su superficie o áre y su perímetro. Se llm perímetro l sum de ls longitudes de todos sus ldos. En el cso del círculo, el perímetro es l longitud de l circunferenci. L longitud de l circunferenci se clcul multiplicndo el dole del rdio por el número pi (π). El vlor de este número es 3, , unque pr los cálculos se tom siempre 3,14. Longitud circunferenci = 2 π r = 2 π r El número pi (π) es el vlor de l rzón entre l longitud de un circunferenci y el diámetro de l mism. Si tenemos dos rueds de iciclet ien construids, un grnde y otr más pequeñ, en mos csos l división de su longitud entre su diámetro d el mismo resultdo. Longitud rued grnde Diámetro rued grnde longitud rued pequeñ = = 3, = diámetro rued pequeñ π Ejercicio 3 ) Clcul en dm el perímetro de un cudrilátero rectángulo cuyos ldos miden 7 m y 450 cm ) Expres en milímetros el perímetro de un hexágono regulr de 0,35 m de ldo c) Clcul el perímetro de un trpecio isósceles uno de cuyos ldos igules mide 3 m y los otros dos miden 4 y 7 m respectivmente. Expres el resultdo en hm. d) Clcul en mm ls longitudes de ls circunferencis que definen un rndel si sus rdios miden 0,7 cm y 1,5 cm respectivmente. e) Clcul en cm l longitud del rdio de l rued de un iciclet cuy circunferenci mide 1,92 m. Págin 5 de 8

6 TEOREMA DE PITÁGORAS El teorem de Pitágors estlece l relción que hy entre ls longitudes de los ldos de un triángulo rectángulo. Este teorem SOLAMENTE puede plicrse en los triángulos rectángulos. En un triángulo rectángulo, el ldo myor recie el nomre de hipotenus y los ldos que formn el ángulo recto se llmn ctetos. Cteto 1 () Cteto 2 (c) Hipotenus () TEOREMA DE PITÁGORAS El cudrdo de l hipotenus es igul l sum de los cudrdos de los ctetos 2 = 2 + c 2 El teorem de Pitágors nos permite clculr l longitud de un ldo de un triángulo rectángulo cundo se conoce l medid de los otros dos. Ejemplo de resolución de un prolem plicndo el teorem de Pitágors En el triángulo nterior, el ldo mide 20 m y el ldo, 16 m. Clcul el ldo c. Psos relizr pr su resolución * Escritur de l fórmul del teorem de Pitágors... 2 = 2 + c 2 * Sustitución en l fórmul de ls letrs por los vlores conocidos = c 2 * Cálculo de los cudrdos = c 2 * Cálculo del vlor desconocido (cudrdo)... c 2 = = 144 * Cálculo del ldo c... c = 144 = 12 Ejercicios del liro recomenddos Se deen relizr los ejercicios del liro recomenddos ntes que los que figurn en ests hojs. Ejercicios Elige l correct y Prctic de l págin 73 Ejercicio Elige l correct de l págin 89, prtdo Escls : Ejercicios de ls págins 91 y 92: 1, 2, 3, 5, 8 y 10 Not importnte. Pr resolver prolem 1 de l págin 91 es necesrio ser que, en un hexágono regulr, el rdio (segmento que une el centro del polígono con un vértice) mide igul que culquier de sus ldos. Ejercicio 4 Ls medids de los ldos de l siguiente figur son: AB= 3,81 m DC = 7,87 m BC = 5,08 m. Clcul l medid del ldo AD A D B C Ejercicio 5 L figur de l derech es un romo, un cudrilátero con los cutro ldos igules y dos ángulos gudos igules y otros dos otusos, tmién igules. Se llm digonl l segmento que une dos vértices no consecutivos (línes de puntos en l figur) Clcul l medid de l digonl myor siendo que l digonl menor mide 10 cm y el ldo 13 cm. Págin 6 de 8

7 Ejercicio 6 L figur represent un cudrilátero trpecio isósceles cuyos ldos miden: AB = 10 m BC = AD = 15 m DC = 28 m Clcul: ) L ltur h del trpecio ) El áre de uno de los triángulos (1) c) El áre del cudrilátero rectángulo (2) d) El áre totl de l figur D 1 A h 2 h B 1 C Ejercicio 7 Un plno inclindo o rmp es un sencill máquin que nos permite elevr ojetos ciert ltur con un mínimo esfuerzo. Se necesit crgr un cmión cuy cj se encuentr un ltur de 1,5 metros del suelo. Se dispone de dos plnchs de hierro, un de 4 metros y l otr de 5 metros, que se pueden empler como rmp. ) Con cuál de ls dos se hrá menos esfuerzo pr crgr el cmión? ) Con l plnch de hierro elegid en el prtdo nterior, qué distnci del cmión estrá el inicio de l rmp? Ejercicio 8 Un escler puede desplegrse hst un longitud máxim de 5,25 metros. Por seguridd, se dee poyr un distnci mínim de 2,25 metros de l pred y un máxim de 3,5 metros. Qué ltur podemos lcnzr con est escler? Ejercicio 9 Un cuerd elástic, sujet por sus extremos, tiene inicilmente un longitud de 60 cm (Fig. ) ) Cuál será l longitud de l cuerd si l tensmos estirndo desde su punto medio hst seprrl 11 cm de su posición inicil (fig. )? (expres l respuest redonded los cm) ) Cuál será l distnci de seprción si seguimos estirndo hst que l cuerd mid 68 cm? Fig. Fig. Ejercicio 10 Un río tiene 35 m. de nchur. Un nddor sle del punto A con intención de llegr l punto B y sí cruzr el río. Pero l corriente es fuerte y se desví del tryecto inicil. Lleg l otr orill del río pero un punto C lejdo 40 metros del punto inicil de destino, el B. Qué distnci h recorrido? Págin 7 de 8

8 SOLUCIONES Ejercicio 1 ) Equilátero Isósceles Escleno Rectángulo 4 3 Acutángulo Otusángulo 6 5 ) Es imposile diujr un triángulo equilátero rectángulo y un equilátero otusángulo. Que un triángulo se equilátero implic que sus ángulos son tmién igules, lo que es imposile en el rectángulo y el otusángulo. Ejercicio 2 ) cudrdo y romo ) rectángulo y romoide c) cudrdo y rectángulo d) romo, romoide y trpecio isósceles e) trpecio rectángulo f) trpecio isósceles g) trpecio y trpezoide h) El ángulo gudo mide 75º. L sum de todos sus ángulos será = 105º + 75º + 90º+ 90º = 360º i) El trpecio isósceles tiene dos ángulos gudos igules y dos ángulos otusos igules. Los dos ángulos gudos miden 80º cd uno. En totl, 160º 360º 160º = 200º, sumn entre los dos ángulos otusos. Cd uno de ellos medirá 100º. Así pues, los ángulos del trpecio isósceles miden = 80º + 80º + 100º + 100º = 360º Ejercicio 3 ) 70 dm 2 ldos + 45 dm 2 ldos = 140 dm + 90 dm = 230 dm ) 350 mm 6 ldos = mm c) 3 m + 3 m + 4 m + 7 m = 17 m = 0,17 hm d) Circunferenci myor = 2 3,14 15 mm = 94,2 mm Circunferenci menor = 2 3,14 7 mm = 43,96 mm Como l unidd más pequeñ que se puede medir con un regl es el milímetro, l form más decud de expresr los resultdos serí 94 mm y 43 mm. e) L = 2 π r 192 cm = 2 3,14 r 192 cm = 6,28 r r = 192 cm : 6,28 = 30,57 cm Como l unidd más pequeñ que se puede medir con un regl es el milímetro, l form más decud de expresr el resultdo serí 30,5 cm Ejercicio 4 El ldo AD mide 3,053 metros Ejercicio 5 L digonl myor mide 24 centímetros Ejercicio 6 ) L ltur h del trpecio mide 12 metros se ltur 9 m 12 m ) Áre del triángulo = = = 54 m c) Áre del cudrilátero rectángulo Bse ltur = 10 m 12 m = 120 m 2 d) Áre totl de l figur = 2 54 m m 2 = 228 m 2 Págin 8 de 8 Ejercicio 7 ) Con l de 5 metros ) El inicio de l rmp se encuentr 4,77 metros Ejercicio 8 Se puede lcnzr un ltur máxim de 4,743 metros Ejercicio 9 ) Triángulo rectángulo: ctetos, 11 cm y 30 cm h 2 = = h = 1021 = 31,95 Longitud de l cuerd = 31,95 2 = 63,90 cm ) Hipotenus del triángulo rectángulo = 68 2 = 34 cm 34 2 = x 2 x 2 = 256 x = 256 = 16 cm Ejercicio 10 Ls distncis AB (35 m) y BC (40 m) son ls medids de los ctetos. L distnci AC (desconocid) es l medid de l hipotenus. (AB) 2 + (BC) 2 = (AC) 2 ; = = (AC) 2 = AC = 2825 = 53,150 m = 53 m y 15 cm Soluciones de liro En ls hojs con ls soluciones de todos los ejercicios de ls págins 91 y 92 están detlls tods ls operciones necesris pr l resolución de los ejercicios. Págin 73, Elige l correct 6,1 cm 12 cm Sí Sí, l hipotenus será igul l dole del cudrdo de un cteto 90º y 55º Págin 73, Prctic Soluciones en el liro Págin 89, Elige l correct 14,60 m cm 2 ( cm 2 ) 524 dm 2 (524,16 dm 2 ) Págin 91, ejercicio 1 Apotem = 3 = 1,7 cm Págin 91, ejercicio 2 Apotem = 45 = 6,708 m Págin 91, ejercicio 3 NO, y que no se cumple el teorem de Pitágors Págin 91, ejercicio 5 Perímetro = 24 Págin 92, ejercicio 8 Se necesitrán 472,5 m de vll Págin 92, ejercicio 10 Escl 1 :