Retos Matemáticos visuales
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- Antonia Casado Carmona
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1 Retos Mtemáticos visules Bdjoz, 5 de junio de 207 Dpto. de Mtemátics Univ. de Extremdur
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3 Retos Mtemáticos visules Dpto. de Mtemátics Univ. de Extremdur
4 «Retos Mtemáticos visules. 5 de junio de 207
5 Tem Problems visules y otros problems Un cónic es l curv obtenid l seccionr un cono con un plno. Si es el ángulo de l pendiente del plno y b el de l pendiente de ls genertrices del cono, l cónic se llm: Elipse, si <b; Prábol, si =b; e Hipérbol si >b. Teorem: En el plno de un elipse hy dos puntos y B, llmdos focos y dos rects llmds directrices, tles que pr todo punto P de l elipse, P+PB es constnte y l rzón de distncis de P un foco y un directriz es constnte. Demostrción. P+PB=PC+PD=CD P=PC, PB=PD EDP = b, EFP = PB PF = PB PE PE PF = sen sen b C P B E D F b
6 2 Tem. Problems visules y otros problems Problem? Problem 2 B C D x x Problem 3 Pr qué vlor de x el áre es máxim?
7 3 Problem 4 Demostrr que R=4r R r R Problem 5 El cociente entre ls áres del triángulo grnde y el pequeño es 7 b b b c c c Problem 6 Dpto.xdexMtemáticsxUex Lxfigurxverdextienexmyor,x igulxoxmenorxárexquexlxmrrón?
8 4 Tem. Problems visules y otros problems (i) Problem 7 Flcis Mtemtics (ii) (iii) Problem 8 Flcis Mtemtics 2: Todo triángulo es isosceles meditriz d e d c b bisectriz e 2 b 2 Problem 9 Rellenr l tbl con números del l 7, siguiendo ls instrucciones
9 Problem 0 5 Un rio, de orills prlels, sepr dos pueblos. Donde debe hcerse un puente perpendiculr l orill, pr que l distnci entre los pueblos se mínim?? Problem Dpto.DdeDMtemáticsDUex ColocmosDn 2 DcírculosDenDunDcudrdoDdeDldoD,D comodmuestrdldfigurdprdn=,2dyd3.d SiDsuDáreDtotlDesD n,d cuáldesdeldlimd n? 2 3 Problem 2 Clculr l longitud de l curv cerrd formd por ls 4 semicircunferencis
10 6 Tem. Problems visules y otros problems Problem 3 Tres circunferencis de igul rdio r, psn por un mismo punto O. Demostrr que l circunferenci que ps por los otros 3 puntos de corte, tiene igul rdio r. C O B Problem 4 Si 5 ldos de dos triángulos, con vértices en un círculo, son tngentes otro círculo en su interior, el sexto ldo tmbién. Problem 5
11 Problem 6 7 Cules, de estos dos suelos, se pueden enlosr con loss de 2x, sin prtir ningun? Problem 7 Podemos entrr y slir de l cs, trvesndo tods ls puerts interiores un únic vez? Problem 8 Cunto puede sobreslir un libro en un pil de libros igules, sin que se cign, poniendo tntos como se quier? d máxim? d
12 8 Tem. Problems visules y otros problems Problem 9 Dpto.fdefMtemáticsfUex Dondefestáfelfcudrditofquefflt? re 8f2=68. re 3f3= Problem 20 Si,b y c son nturles, r tmbién b r c Problem 2 En un triángulo equilátero el áre totl mrron siempre es igul l verde
13 Problem 22 9 Cuál es l relción entre ls áres de los dos triángulos equiláteros? Y entre ls longitudes de segmentos? C B Problem 23 Dd un esfer Qué unidd de longitud u, definid por l esfer, tiene l propiedd de que el áre de l esfer medid en u² coincide con el volumen de l esfer medid en u³?. y pr qué unidd v l longitud del ecudor medido en v es igul l áre medid en v²? Problem 24 d/r=6 d/r=4 d/r=2 d/r=7 d/r=5 d/r=3 d/r= Si r son los rdios de ls circunferencis y d ls distncis de sus centros l eje, entonces los cocientes d/r son los números pres l izquierd y los impres l derech,
14 0 Tem. Problems visules y otros problems Problem 25 Cul es l tryectori ms cort que une dos puntos del interior de un triedro y toc ls tres crs? Problem 26 Demostrr que,b y C están linedos B C Problem 27. Encontrr el número más pequeño que termin en 2, = 2, tl que si quitmos el 2 del finl y lo ponemos l principio, b = 2, el número se duplic. b = Observemos que: Si denotmos con [n] el número de n cifrs tods igules, por ejemplo [5]=, demostrr que pr todo n [ ] [ ]
15 Problem 28.- Tenemos 3 cjs y en cd cj 2 bols. En un dos blncs, en otr dos negrs y en otr un de cd. En cd cj hy un letrero con el contenido, pero los tres son flsos. Nos permiten extrer un bol de l cj que elijmos. Cul elegimos pr sber el contenido de ls tres? 2.- Tenemos 0 vsos linedos. Los 5 primeros vcios y los 5 siguientes con gu. Cuntos vsos es necesrio mover pr que tengmos de form ltern vsos con gu y vcios? Problem 29 Clculr /T, siendo el áre de l coron entre ls circunferencis y T el áre del triángulo Problem 30 Si dos cudrdos BCD y EFG, con centros J y K, tienen un vértice común, entonces JHKI es un cudrdo, siendo H e I los puntos medios de DG y BE.
16 Problem 2 Tem. Problems visules y otros problems x Problem 3 Cunto vle x?, qué tiene que ver este problem con "dos ños"? x x x x Problem 32 Ls áres, B y C, de los triángulos verdes, verificn C=B 2. C B 33 R R/r? r
17 Problem 34 3 b=cd d b c Problem 35 Tres plnos ortogonles y un curto trnsversl definen un tetredro recto con crs perpendiculres de áres, B y C. Si el áre de l trnsversl es D, demostrr que 2 + B 2 + C 2 = D 2. D B C Problem 36 Se pueden situr los 2 vértices de un icosedro en ls 4 crs de un tetredro? Donde?
18 4 Tem. Problems visules y otros problems Problem 37. C B +B=C Problem 38 Un excursionist sle ls 8 de l mñn del pueblo y sube lo lto de l montñ, donde hce noche. l mñn siguiente sle ls 8 de lo lto de lo mntñ y bj l pueblo por el mismo cmino. Hy con seguridd lgun punto del cmino de bjd por el que ps l mism hor que l subid? Problem 39 Ls curvs exterior e interior del borde de l figur verde, tienen igul longitud y es l de l circunferenci exterior
19 Problem 40 5 re mrill=re verde 2 π Problem 4 =2B B α α α Problem 42 α α +B=C B C
20 Problem 6 Tem. Problems visules y otros problems Problem 43 b b B b Problem 44 =b+c c b 45 2
21 Problem Problem 46 7 =C C Problem 47 = + 48 x? x x-
22 8 Tem. Problems visules y otros problems Problem 49 O Ls 3 lturs de un triángulo psn por un mismo punto O, llmdo Ortocentro Problem 50 c b c B b Ls 3 medins de un triángulo psn por un mismo punto B, llmdo Bricentro Problem 5 c b c C b Ls 3 meditrices de un triángulo psn por un mismo punto C, llmdo Circuncentro, que es centro de l circunferenci que ps por los vértices del triángulo.
23 Problem 52 9 β β α α I γ γ Ls 3 bisectrices de un triángulo, psn por un mismo punto I, llmdo Incentro, que es el centro de l circunferenci tngente los ldos del triángulo. Problem 53 C B O El Circuncentro, el Bricentro y el Ortocentro de un triángulo están linedos (en l llmd rect de Euler). Problem 54
24 Problem 20 Tem. Problems visules y otros problems Problem 55 punto medio de B y C punto medio de y F punto medio de D y E El triángulo de los puntos medios tmbién es equilátero. 56 E C D? CE es tngente en C l circunferenci de áre y CE=CD, qué áre brre CE? Problem 57 r?
25 Problem 58 2 α r r r? Problem 59 C r r B Problem 60 C J K D B Si D=BC y KJ es prlel BC, entonces K=KB
26 22 Tem. Problems visules y otros problems Problem 6 r? Problem 62 Los tres rectángulos son de áre =? Problem 63 áre? perimetro=áre
27 Problem Tetredro? 2 Problem 65 =b b Problem 66 Recortr ls 8 figurs, con ells puede formrse tnto un triángulo equiltero como un exágono
28 24 Tem. Problems visules y otros problems Problem 67 Recortr ls 0 figurs, con ells puede formrse tnto un triángulo equiltero como un pentágono Problem 68 Recortr ls 4 figurs, con ells puede formrse tnto un triángulo rectángulo con ángulos , como un cudrdo Problem 69 Dpto.?de?Mtemátics?Uex Qué?dimensiones?puede?tener?un?hbitción?enlosd, con?loss?cudrds,?que?tiene?igul?perímetro?que?áre,? en?ls?correspondientes?uniddes?de?ls?loss?
29 25
30 26 Tem. Problems visules y otros problems
Clasifica los siguientes polígonos. a) b) c) d)
1 FIGURS PLNS EJERIIS PR ENTRENRSE Polígonos 1.44 lsific los siguientes polígonos. ) b) c) d) ) Pentágono irregulr cóncvo. b) Heptágono regulr convexo. c) ctógono irregulr cóncvo. d) Hexágono irregulr
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA
VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3
Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a.
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153 ESO. La mayoría de los hombres nacen como originales y terminan como copias. Oriental
L myorí de los omres ncen como originles y terminn como copis 15 ESO Orientl ÍNDICE: MILLA NÁUTICA PISTA DE ATLETISMO 1. FÓRMULAS FUNDAMENTALES PARA CÁLCULO DE LONGITUDES, SUPERFICIES Y VOLÚMENES. LONGITUDES
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Trigonometría: ángulos / triángulos. matemática / arquitectura
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60 α α. 3 lados 2 lados 3 lados. α 1. (0 < α n. Rectángulo:
Personl Trinig for PSU nro.1. Prof. hef. Triángulos I: Propieddes ásics efinición dos los puntos,, ; se define triángulo como l reunión. P = punto interior Q = punto eterior ê 2 Q c P ê 1 φ b ê 3 Notción
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