SOLUCIONARIO Poliedros
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- Juan Manuel Torregrosa Valenzuela
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1 SOLUCIONARIO Poliedros SGUICES06MT-A16V1 1
2 TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA Poliedros Ítem Alterntiv 1 D A Comprensión E B 5 D 6 C 7 D 8 B 9 D 10 C 11 E 1 D 1 A 1 C 15 E Comprensión 16 B Comprensión 17 C 18 D 19 B 0 B 1 A Comprensión D D A 5 D
3 1. L lterntiv correct es D. Si el rist de un cubo mide cm, entonces reemplzndo en l fórmul del áre tenemos: Áre del cubo: 6² = 6 ² = 6 16 = 96 Luego, el áre del cubo es 96 cm. L lterntiv correct es A. Comprensión Si el rist de un cubo mide cm, entonces reemplzndo en l fórmul del volumen tenemos: Volumen del cubo: ³ = ³ = 8 Luego, el doble del volumen es 16 cm. L lterntiv correct es E. Al decir que l cpcidd del cubo es 8 litros, se está indicndo que el volumen del cubo es 8 litros, que es equivlente cm. Es decir: Volumen del cubo cm Entonces, 8.000cm = 0 cm. Luego, cd rist () mide 0 cm, y como en totl son 1 rists, l sum de tods ells es 1 0 = 0 cm.
4 . L lterntiv correct es B. Aplicndo l fórmul de ls áres, tenemos Áre del cubo1 Áre del cubo 6 6 b 9 16 Donde : rist del cubo 1, y b: rist del cubo. Simplificndo por 6, y luego plicndo ríz cudrd tenemos b 9 16 b Ahor, elevmos l rzón, pr clculr el volumen de cd cubo, obteniendo: Volumen del cubo 1 Volumen del cubo b 7 6 Luego, l rzón entre los volúmenes es 7: L lterntiv correct es D. Si el volumen es 79 cm, entonces l rist mide 9 cm, luego: I) Verdder, y que l digonl de l cr (cudrd) mide 9 cm. II) III) Fls, y que el áre del cubo es 6 veces el áre de un cr, es decir, 6 81 = 86 cm. Verdder, y que l digonl de un cubo corresponde l producto entre l medid de su rist y ríz de. Luego, en este cso, como l rist es 9 cm, l digonl mide 9 cm. Por lo tnto, solo ls firmciones I y III son verdders.
5 6. L lterntiv correct es C. El áre del prlelepípedo se clcul como: Áre del prlelepípedo = (lrgo ncho + ncho lto + lto lrgo) Luego, reemplzndo los vlores proporciondos, se tiene Áre del prlelepípedo = ( ) = 90 = 180 cm 7. L lterntiv correct es D. El volumen de l cj se clcul como: lrgo ncho lto. Luego, reemplzndo los vlores indicdos en l figur, se tiene que: Volumen = 10 = 80 cm Luego, el triple del volumen es 0 cm. 8. L lterntiv correct es B. Si l cj tiene bse cudrd, y, el ncho y el lto están en l rzón :, entonces se puede decir que: lrgo, ncho y lto, miden k, k y k, respectivmente, pr lgún vlor k en los reles. Entonces: Volumen del prlelepípedo = lrgo ncho lto 96 = k k k 96 = 1k 8 = k = k k k k Entonces, el lrgo, el ncho y el lto miden cm, cm y 6 cm, respectivmente. Luego: Áre de l cj = ( ) = ( ) = 6 = 18 cm 5
6 9. L lterntiv correct es D. Si Áre del cubo, supongmos de rist, es 8, entonces 8 = 6. Luego, 6 = 8 = I) Verdder, y que en un cubo el totl de rists es 1, entonces 1 8cm = 96 cm. II) Fls, y que el volumen serí igul (8 cm) = 51 cm III) Verdder, y que l digonl de un cubo equivle l producto entre l rist y ríz de. En este cso, como l rist es 8, l digonl mide 8 cm. Por lo tnto, solo ls firmciones I y III son verdders. 10. L lterntiv correct es C. El áre de un prlelepípedo se clcul como l sum de tods ls áres que lo limitn, es decir, A = (lrgo ncho + lrgo lto + ncho lto). Como el lrgo, el ncho y el lto están en l rzón : 1: 1, y el áre mide 80 cm², entonces, pr lgún k en los reles se cumple que: Áre = (k k + k k + k k) = 80 10k² = 80 k² = 8 k = 8 Luego, el lrgo mide 8 cm, el ncho mide 8 cm y el lto mide 8 cm. Finlmente, como el volumen de un prlelepípedo se clcul como el producto entre el lrgo, ncho y lto, se obtiene que: Volumen = = 8 8 = 16 = Por lo tnto, el volumen del prlelepípedo mide cm³. 6
7 11. L lterntiv correct es E. El volumen de l cj originl de rist 0 cm. es Volumen = rist Volumen = 0 Volumen = cm. (Reemplzndo) (Elevndo l cubo) Si cd un de ls rists de l cj fuer 5 cm menor, es decir el cubo tuvier rists de 15 cm, entonces: Volumen = rist Volumen = 15 Volumen =.75 cm (Reemplzndo) (Elevndo l cubo) Luego, pr determinr cuánto volumen menos tendrí l cj, clculmos l diferenci entre los volúmenes: ( ) =.65 cm. Por lo tnto, si cd un de ls rists de l cj fuer 5 cm menor, l cj podrí contener.65 cm menos. 1. L lterntiv correct es D. 1 litro de gu corresponde cm, por lo tnto 100 litros de gu corresponden cm, volumen contenido en un prlelepípedo de lrgo 80 cm, ncho 50 cm y lto desconocido. El volumen de un prlelepípedo se clcul: Volumen = lrgo ncho lto (Reemplzndo) = lto (Desrrollndo l multiplicción) =.000 lto (Dividiendo por.000) = lto = lto 7
8 Es decir, el gu en el curio lcnz un ltur de 5 cm. Como el lto del curio es de 70 cm, entonces entre el borde superior del curio y l superficie del gu, hy un distnci de 5 cm. 1. L lterntiv correct es A. Volúmenes y superficies El áre de un cubo de rist es: A = 6 Como l rist del cubo del enuncido es 8, entonces su áre es: A = (6 8 ) = (6 6) = 8 Luego, un curto de es áre serí (8: ) = L lterntiv correct es C. El volumen de gu, corresponde l volumen del curio menos el volumen de l cj. El volumen del curio es V 1 = ( ) = cm El volumen de l cj es V = (10 0 5) = cm Luego, el volumen de gu es (V 1 V ) = ( ) = cm 15. L lterntiv correct es E. Comprensión L cntidd de crs de un icosedro es 0. 8
9 16. L lterntiv correct es B. Comprensión Volumen prism = Áre de l bse Altur = 1 1 = 168 cm 17. L lterntiv correct es C. El volumen de un prism es igul l producto entre el áre de l bse y su ltur. En este cso, l bse es un hexágono regulr, el que está formdo por 6 triángulos equiláteros de ldo y su ltur es 5. Luego, el volumen del prism es: Áre = 6 ldo 5 = 6 5 = 6 5 = 15 Recuerd que el áre de un triángulo equilátero es A ldo. 18. L lterntiv correct es D. El volumen de un prism se clcul como el producto entre el áre de l bse, y su ltur. Como en este cso ls bses son hexágonos regulres y ls crs lterles son cudrds, entonces tods ls rists del cuerpo son igules. Ddo que cd cr lterl es un cudrdo de áre 1 cm², entonces cd ldo del cudrdo mide 1 cm. Luego, tods ls rists del cuerpo miden cm, incluyendo l ltur. Luego, l bse es un hexágono regulr de ldo cm. y su áre equivle 6 triángulos equiláteros de igul ldo, es decir: ldo ( ) 1 Áre = cm². 9
10 Entonces, el volumen del prism es: Volumen = Áre bsl ltur = 18 = 6 = 108 cm³. 19. L lterntiv correct es B. El áre de un prism se clcul como l sum de tods ls áres que lo limitn. Como ABED es un cudrdo de ldo, entonces ls hipotenuss de los triángulos isósceles rectángulo ABC y DEF, tmbién miden y sus ctetos Entonces:. Áre cudrdo ABED = ² Áre triángulos ABC y DEF = 1 Áre rectángulos ACFD y BCFE = 8 Áre prism = ² = ² 1 = ² Por lo tnto, el áre totl del prism es ². 0. L lterntiv correct es B. Pr clculr el áre de un poliedro, se debe sumr ls áres de tods sus crs. Cd uno de los triángulos rectángulos congruentes tiene bse cm y ltur cm. Por lo tnto, el áre de cd uno de ellos es: bse ltur Áre (Reemplzndo) Áre 10
11 Áre = 6 El rectángulo verticl tiene lrgo de cm y ncho de cm. Luego, su áre mide: Áre = lrgo ncho Áre = Áre = 8 (Reemplzndo) El rectángulo horizontl tiene un lrgo de cm y un ncho de cm. Luego, su áre mide: Áre = lrgo ncho Áre = Áre = 6 (Reemplzndo) Como el triángulo rectángulo tiene ctetos y, entonces su hipotenus, por trío pitgórico, mide 5 cm. Entonces, el rectángulo digonl tiene un lrgo de 5 cm y un ncho de cm. Luego, su áre mide: Áre = lrgo ncho Áre = 5 Áre = 10 (Reemplzndo) Al sumr ls áres de ls cinco crs result: Áre totl = = 6 Por lo tnto, el áre totl del prism mide 6 cm. 1. L lterntiv correct es A. Comprensión L pirámide de l figur, está compuest de 1 rists, 7 crs y 7 vértices. 11
12 . L lterntiv correct es D. El volumen de un pirámide es igul 1 (Áre de l bse Altur). Luego: Áre = 15 = 5 = = cm. L lterntiv correct es D. El volumen de un pirámide equivle un tercio del áre de l bse por l ltur. Entonces, si un pirámide rect de ltur h tiene como bse un cudrdo de ldo x, su volumen es x h. Si el ldo de l bse ument en uniddes, mnteniendo l ltur constnte, entonces el nuevo volumen es ( x ) h ( x 6x 9) h x h 6xh 9h x h xh h Por lo tnto, el volumen de l pirámide ument en (xh + h) uniddes.. L lterntiv correct es A. En ls condiciones dds en l figur, cd uno de los cudrdos que preció luego del corte es congruente con el que fue removido de l superficie del cubo originl. Luego, en términos del áre, los tres cudrdos que se restn de l prte exterior se vuelven sumr en l prte interior. Entonces, él áre totl de l figur después del corte es igul l áre totl del cubo ntes del corte. Luego: (1) El volumen del cubo originl es de cm³. Con est informción, y l del enuncido, se puede determinr el áre totl de l figur, y que 1
13 Volumen = rist (Reemplzndo el vlor del volumen) = rist (Aplicndo ríz cúbic) 10 = rist Es decir, l rist del cubo originl mide 10 cm. El áre de un cubo se clcul: Áre = 6 rist Áre = 6 10 Áre = Áre = 600 (Reemplzndo) (Desrrollndo ls operciones) Luego, el áre del cubo originl mide 600 cm. Por lo tnto, por lo explicdo nteriormente, el áre totl de l figur mide 600 cm. () El volumen cortdo es de 15 cm. Con est informción y l del enuncido, no se puede determinr el áre totl de l figur, y que no se puede determinr l medid de l rist del cubo originl. Por lo tnto, l respuest es: (1) por sí sol. 5. L lterntiv correct es D. El áre totl de un prlelepípedo se clcul: Áre = (lrgo ncho + ncho lto + lrgo lto) Como el prlelepípedo tiene un áre totl de 800 cm, entonces: (lrgo ncho + ncho lto + lrgo lto) = 800 (Dividiendo por ) lrgo ncho + ncho lto + lrgo lto = 00 Si se conocen ls dimensiones, es posible clculr el volumen como: Volumen = lrgo ncho lto Luego: (1) Dos de sus crs son cudrdos cuyo ldo mide 10 cm. Con est informción y l del enuncido, se puede clculr el volumen del prlelepípedo, y que signific que dos de sus dimensiones (es irrelevnte cules) miden 10 cm. 1
14 Luego, reemplzndo en el despeje del enuncido por ejemplo el lto y el ncho con 10 cm, se puede clculr el lrgo: lrgo ncho + ncho lto + lrgo lto = 00 (Reemplzndo) lrgo lrgo 10 = 00 (Agrupndo) 0 lrgo = 00 (Agrupndo) 0 lrgo = (Desrrollndo) 0 lrgo = 00 (Dividiendo por 0) lrgo = 15 Luego, el lrgo mide 15 cm. Entonces el volumen mide ( ) = cm. () Ls tres rists que slen de un vértice están en l rzón : :. Con est informción, se puede clculr el volumen del prlelepípedo, y que se puede escribir cd dimensión en términos de un constnte de proporcionlidd K: lto = K, ncho = K y lrgo = K. Luego, reemplzndo en el despeje del enuncido, result: lrgo ncho + ncho lto + lrgo lto = 00 (Reemplzndo) K K + K K + K K = 00 (Desrrollndo) 6K + K + 6K = 00 (Reduciendo) 16K = 00 (Dividiendo por 16) K = 5 (Aplicndo ríz cudrd) K = 5 Luego: lto = K = 5 = 10 cm, ncho = K = 5 = 10 cm lrgo = K = 5 = 15 cm Entonces el volumen mide ( ) = cm. Por lo tnto, l respuest es: Cd un por sí sol. 1
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