INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

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1 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6., los focos están representdos por los puntos f y f. En un elipse, si se sumn ls distncis d + d se obtiene un vlor constnte sin importr l ubicción del punto p. Por es rzón es fácil trzr un elipse: se clvn un pr de lfileres en el sitio de los focos, se mrr un cordel que pse por esos dos lfileres y que quede un tnto flojo. Luego con un lápiz, como lo muestr l figur 6., se tens el cordel y se v desplzndo dicho lápiz sobre el ppel. Se obtiene un elipse porque l longitud del cordel mrrdo es siempre l mism, no import en dónde se encuentre el lápiz. Si dich longitud se le rest l distnci tmbién constnte que hy entre mbos focos, se obtiene un segmento de cordel de longitud constnte, que es l sum de ls longitudes de cd foco l lápiz. Concuerd justmente con l definición de elipse. L simbologí que se utiliz pr representr ls prtes fundmentles de l elipse es l siguiente: * L letr represent l distnci que hy desde el centro hst el extremo de l elipse por su prte más lrgd. Ver l figur 6.3. p d d f f figur 6. mover el lápiz f f figur 6.

2 Págin 06 LA ELIPSE * L letr b represent l distnci que hy desde el centro hst el extremo de l elipse por su prte más chtd o cort. * L letr c represent l distnci que hy desde el centro hst cd foco. Ls crcterístics o prtes principles de un elipse son (ver figur 6.3): * Vértices: Son los puntos extremos más lejdos del centro. * Eje myor: Es l distnci de un vértice hst el otro y equivle. * Eje menor: Es l distnci de extremo extremo medid por su prte más ngost y equivle b. Distnci focl: Es l distnci que hy de un foco l otro foco y equivle c. b eje menor f f V V ldo recto c eje myor figur 6.3 ( ) * L posición del centro, cuys coordends son h, k. Pr evitr confusiones con l distnci del centro l foco l que se le nombró con l letr c minúscul, l centro de l elipse se le sign l letr O (myúscul). * Ldo recto: Es l cuerd perpendiculr l eje myor y que ps por el foco. Hy dos posibiliddes de obtener un elipse: horizontl o verticl.

3 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 07 ( ) A prtir de ls coordends del centro h, k, de l longitud del semieje myor y de l longitud del semieje menor b se pueden obtener o deducir tods ls crcterístics nteriores, ls cules están dds en l ecución prticulr de l elipse, que de hecho son dos, según se trte de un elipse horizontl o de un elipse verticl. L ecución prticulr de l elipse es: ( x h) ( y k) b si el eje focl es horizontl o bien ( x h) ( y k) b si el eje focl es verticl en donde debe cumplirse que >b Pr sber si se trt de un elipse horizontl o un elipse verticl, bst comprr los dos denomindores de l ecución prticulr. Como > b, el denomindor myor debe ser. El eje myor es prlelo l eje de l vrible en donde está. Igul que en ls nteriores cónics que tienen términos l cudrdo, h signific el desplzmiento horizontl del centro y k el desplzmiento verticl del centro. El significdo de ls letrs y b de los denomindores están definidos en l figur 6.3. Existe un relción entre ls tres constntes, b y c, que prtir del teorem de Pitágors está dd por l fórmul = b + c de donde, despejndo cd literl, se obtiene: = b + c b = c c = b

4 Págin 08 LA ELIPSE Otr crcterístic interesnte de l elipse es que l longitud del ldo recto mide lr = b en donde ls letrs y b que precen, son ls misms definids nteriormente. Finlmente, un medid interesnte es l llmd excentricidd, denotd por l letr e. Excéntrico en este cso signific fuer del centro. Se refiere qué tn lejos del centro de l elipse se encuentrn los focos en proporción l tmño de dich elipse. Pr comprender mejor este concepto bst drse cuent que en un elipse mientrs más se lejen los focos del centro, l form de dich elipse es más lrgd (ver figur 6.4, inciso ); conforme los focos se cercn l centro, es decir, conforme el clor de c se hce más pequeño, l elipse se proxim un circunferenci (ver figur 6.4, inciso b); y finlmente, cundo los focos coinciden con el centro, o se que c = 0, l elipse se convierte en un circunferenci (ver figur 6.4, inciso c). ) b) c) figur 6.4 Anlíticmente puede verse trvés de l relción de ls constntes, b y c. Si los focos coinciden con el centro, signific que c = 0. Entonces de donde = b + c = b + 0 = b = b Si es el semieje myor y b es el semieje menor, l ser igules cundo los focos coinciden con el centro, se convierten mbos semiejes en el rdio de un circunferenci.

5 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 09 c L excentricidd se mide trvés de l proporción e =. L escl posible de medición de l excentricidd v de cero uno, es decir, 0 e <. Si e = 0 se trt de un circunferenci. Mientrs más cercno esté el vlor de e l cero, más cercn estrá l elipse de un circunferenci; por el contrrio, mientrs más se proxime e l vlor de, más lrgd estrá. 6. TRANSFORMACIONES Dr, por medio de un regl, como se hizo en el cso de l circunferenci y de l prábol, el procedimiento pr trnsformr de l ecución generl l prticulr, en el cso de l elipse result muy extenso; de mner que, por es rzón, se v mostrr dicho proceso trvés de un ejemplo. Ejemplo : L ecución generl de un elipse es ecución prticulr y esbozr su gráfic. 4x + 9y 6x + 8y = 0. Trnsformrl su Solución: Pr trtr de dr clridd l explicción, se hrá por psos l trnsformción pedid. PASO : Se grupn en el ldo izquierdo los términos que contengn ls misms vribles y se escribe en el ldo derecho l constnte sol: ( x x) ( y y) = PASO : Se fctoriz en cd grupo el coeficiente del término l cudrdo: ( x x) ( y y) = PASO 3: Se complet un trinomio cudrdo perfecto en cd grupo, ñdiendo l ldo derecho l mism cntidd gregd en el izquierdo: ( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y ) = = 36 NOTA: Se gregó 6 en el ldo derecho porque es el 4 que se gregó dentro del primer préntesis, el cul está multiplicdo todo por 4; de l mism form, en el segundo préntesis se gregó dentro un, pero como está multiplicdo por 9, en relidd fue 9 en totl lo que se gregó. PASO 4: Se fctorizn los dos préntesis: ( x ) ( y ) = 36

6 Págin 0 LA ELIPSE PASO 5: Se dividen mbos ldos de l iguldd entre 36 (pr que quede igul en el ldo derecho, y que sí es l form de l ecución prticulr) y se simplific: ( x ) ( y + ) = ( x ) ( y + ) 9 4 donde = 9 (por ser el denomindor myor) y b = 4 ; por lo tnto, se trt de un elipse horizontl, y que el denomindor myor está bjo l vrible x. De est ecución se deducen los vlores de: x : Se obtiene del binomio x de l ecución prticulr; h = ( ) x : Se obtiene del binomio y + de l ecución prticulr; k = ( ) ( ) x El centro está en O, ; x Si = 9 y b = 4 obtenidos prtir de los denomindores en l ecución prticulr, se deduce que = 3 y b =. Y por l relción de ls constntes, b y c, se clcul que l distnci semifocl es c = b c = (proximdmente) x L longitud del ldo recto de est elipse se clcul con l relción lr = b ( ) lr = 6. 3 (proximdmente) x L excentricidd es e = e = c 3. 3

7 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin e = L figur 6.5 muestr los detlles de l elipse. Y X X b = ldo recto f O(, - ) f V - V - b = - 3 c =. - 4 Y = 3 c =. = 3 figur 6.5 Si = 3 es l distnci del centro los vértices, prtir del centro deben contrse tres uniddes l izquierd y tres l derech pr obtener ls coordends de los vértices. Son: (, ) = (, ) V 3 V ( +, ) = (, ) V 3 V 5 L longitud del eje myor es = 6; l del eje menor es b = 4. Pr obtener ls coordends de cd foco, de mner semejnte los vértices, como c = 3. es l distnci del centro cd foco, prtir del centro deben contrse.3 uniddes l izquierd y.3 l derech, esto signific que pr el foco f debe restrse. 3 mientrs que pr el foco f debe sumrse Por lo tnto, ls coordends de los focos son (., ) = (., ) f 3 f 0 3

8 Págin LA ELIPSE ( +., ) = (., ) f 3 f 4 3 Ejemplo : Trnsformr su ecución generl l ecución prticulr de l elipse ( x + 4) ( y ) 49 4 Solución: Pr eliminr los denomindores debe multiplicrse tod l iguldd por el producto de los dos denomindores, es decir, por 96. Hciéndolo, se obtiene: ( x + 4) ( y ) ( x ) ( y ) = 96 elevndo l cudrdo los binomios indicdos: ( x x ) ( y y ) ( ) = 96 hciendo ls multiplicciones indicds: 4x + 3x y 96y + 96 = 96 finlmente, escribiendo todo l lzo izquierdo y reduciendo términos semejntes se lleg : 4x + 3x y 96y = 0 4x + 49y + 3x 96y + 64 = 0 Ejemplo 3: De l siguiente elipse, hllr ls coordends de sus vértices y sus focos, ls longitudes de sus ejes myor y menor, ls coordends del centro, l longitud del ldo recto, l excentricidd y esbozr su gráfic: ( x ) ( y + ) 9 5 Solución: El denomindor myor es 5 y como está bjo el numerdor que contiene l vrible y, signific que se trt de un elipse verticl. Así que en este cso se tiene que

9 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 3 = 5, de donde = 5 b = 9, de donde b = 3 por lo tnto, l semidistnci focl es y demás h = y k =. c = b c = 5 9 = 4 L figur 6.6 es un esbozo de l gráfic, l cul es muy útil pr yudrse con ell scr los vlores de ls coordends solicitds. Pr obtener dich gráfic se mrc primero el punto correspondiente l centro de l elipse cuys coordends son h y k, es decir, O (, ) continución, ls ordend del centro k = se le greg pr rrib y pr bjo (y que se trt de un elipse verticl) el vlor clculdo de c = 4, en virtud de que l distnci del centro los focos está dd por c, obteniéndose sí ls coordends de los focos, o se f y f, 6. Igulmente, sumándole y restándole l ordend del centro el vlor (, ) ( ) de 5, se obtienen ls coordends de los vértices, o se V 3 y V, 7. = (, ) ( ) Finlmente, como el eje myor es igul, entonces su longitud es 0 y como el eje menor es igul b, su longitud es 6.. A Y 4 3 V f X c = 4 = O(, - ) -4-5 c = 4 = 5-6 f -7-8 V b = 3 b = 3 figur 6.6

10 Págin 4 LA ELIPSE Ejemplo 4: L longitud del ldo recto de un elipse mide 6/3. Hllr su ecución sbiendo que ls coordends de sus vértices son V (- 3, 6) y V (- 3, - 6). Clculr ls coordends de sus focos y esbozr l gráfic. Solución: El centro tiene que estr ubicdo l mitd de los dos vértices. Hciendo un gráfic con ls coordends de los vértices (ver figur 6.7), se deduce fácilmente que el centro está en O 30,, es decir que h = 3 y ( ) k = 0 ; demás, se trt de un elipse verticl. Por otr prte, bst medir l distnci que hy entre los dos vértices y l mitd será el vlor correspondiente de. Como desde y = hst y = 6 hy un distn- 6 ci de, entonces = 6. Con el vlor del ldo recto ddo desde el enuncido del problem y con el de = 6, se puede estblecer que b 6 lr = =, donde = 6 3 sustituyendo y despejndo, se obtiene: centro 7 V V -6-7 figur 6.7 b 6 = 6 3 ( ) ( ) 6 6 b = 3 b = 6 b = 4 Sustituyendo los vlores en l ecución prticulr, se lleg l ecución pedid: ( x h) ( y k) b ( x + 3) ( y + 0) 4 6 ( ) x + 3 y 6 36

11 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 5 L semidistnci focl es c = b c = 36 6 c 447., o se (proximdmente) De donde se deduce, gregndo pr rrib y pr bjo est cntidd prtir del centro, que ( ) ( ) ls coordends de los focos son f 3; y f 3; Finlmente, su excentricidd es e = c e = L figur 6.8 muestr l gráfic de est elipse. V f 4 3 (-3, 0) c = = c = = 6-4 f -5-6 V -7 b = 4 b = 4 figur 6.8

12 Págin 6 LA ELIPSE Ejemplo 5: Un elipse horizontl con centro en el origen tiene un excentricidd ( ) ( ) e = y ls coordends de sus focos son f ; 0 y f ; 0. Hllr l ecución de dich elipse y esbozr su gráfic. Solución: Inicilmente conviene grficr los dtos del enuncido, en este cso los focos y el centro, los cules se muestrn en l figur 6.9. Recordndo que l distnci del centro de un elipse culquier de los focos es c, se tiene entonces que c = Además, como el centro está en el origen, se desprende que h = 0 y k = 0. Por otr prte, sbiendo que l excentricidd está dd por l relción f (-3.46; 0) f (0; -3.46) centro e = c figur 6.9 conociendo los vlores de e y de c se obtiene que = de donde = = Conociendo los vlores de ls constntes = 4 y c = se clcul el de b: Por lo tnto, su ecución es b = c b = b = ( x 0) ( y 0) 4

13 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 7 x y 6 4 L gráfic se muestr en l figur 6.0: Y 3 b = X - 4 f f X - b = - = 4-3 Y = 4 figur 6.0

14 Págin 8 LA ELIPSE EJERCICIO 9 Trnsformr l form prticulr ls siguientes ecuciones de elipses: ) 4x + y + 8x + 6y - 3 = 0 ) 5x + 4y - 50x + 8y + 9 = 0 3) x + 4y + 4x + 3y + 3 = 0 4) 5x + 64y - 350x + 04y + 37 = 0 5) 9x + 6y + 6x - 3y + 60 = 0 6) x + 5y - x + 50y + 3 = 0 7) 5x + 36y + 00x + 7y = 0 8) 6x + y - 9x + 4y = 0 Trnsformr su ecución generl ls siguientes elipses: ( ) ( ) x + 5 y + 9) 0) 6 4 ( ) ( ) x 4 y + 7 ) ) 36 4 ( ) ( ) x + 8 y 4 3) 4) 9 4 ( ) ( ) x + 6 y + 5) 6) 64 ( x + ) ( y 8) 6 9 ( x + 9) ( y ) 5 49 ( x ) ( y ) 9 4 ( x + 5) ( y ) 8 9 7) Ls coordends de los vértices de un elipse son V (, ) y V (, - 5) y ls coordends de sus focos son f (, 0) y f (, - 4). Hllr su ecución. 8) Ls coordends de los vértices de un elipse son V (- 0, ) y V (6, ) y ls coordends de sus focos son f (-, ) y f (8, ). Hllr su ecución. 9) Ls coordends de los vértices de un elipse son V (- 4, 0) y V (6, 0) y ls coordends de sus focos son f (0, 0) y f (, 0). Hllr su ecución. 0) Ls coordends de los vértices de un elipse son V (-, 8) y V (-, - ) y ls coordends de sus focos son f (-, 7) y f (-, - ). Hllr su ecución. ) Ls coordends de los vértices de un elipse son V (3, 0) y V (- 7, 0) y l longitud de su ldo recto es 88/5. Hllr su ecución. ) Ls coordends de los vértices de un elipse son V (- 9, ) y V (7, ) y l longitud de su ldo recto es 88/3. Hllr su ecución. 3) Ls coordends de los vértices de un elipse son V (4, 5) y V (4, - 5) y l longitud de su ldo recto es 8/5. Hllr su ecución. 4) Ls coordends de los focos de un elipse son f (, 5) y f (, - 3) y l longitud de su eje menor es 6. Hllr su ecución. 5) Ls coordends de los focos de un elipse son f (- 0, - ) y f (0, - ) y l longitud de su eje menor es 4. Hllr su ecución.

15 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 9 6) Ls coordends de los focos de un elipse son f (- 5, 0) y f (5, 0) y l longitud de su eje menor es 8. Hllr su ecución. 7) Ls coordends del centro de un elipse son O (3, - ) y l de uno de sus focos es f (5, - ). Si l longitud de su eje menor es 0. Hllr su ecución. 8) Ls coordends del centro de un elipse son O (0, ) y l de uno de sus focos es f (5, ). Si l longitud de su eje menor es 4. Hllr su ecución. 9) Ls coordends de los focos de un elipse son f (, 5) y f (, - 3) y l longitud de su eje menor es 6. Hllr ls coordends de sus vértices. 30) Ls coordends de los focos de un elipse son f (- 0, - ) y f (0, - ) y l longitud de su eje menor es 4. Hllr ls coordends de sus vértices. 3) Ls coordends de los focos de un elipse son f (- 3, ) y f (- 3, - 7) y l longitud de su eje menor es 0. Hllr ls coordends de sus vértices. 3) Ls coordends del centro de un elipse son O (3, - ) y l de uno de sus focos es f (5, - ). Si l longitud de su eje menor es 0. Hllr ls coordends de sus vértices. 33) Ls coordends del centro de un elipse son O (3, 5) y l de uno de sus focos es f (8, 5). Si l longitud de su eje menor es 4. Hllr ls coordends de sus vértices. ( ) ( ) 34) Un elipse verticl tiene sus focos sobre l circunferenci x 3 + y = 49 y ls coordends de uno de sus vértices son V (3, 0). Hllr l ecución de dich elipse. ( ) ( ) 35) Un elipse horizontl tiene sus vértices sobre l circunferenci x + + y 4 = 8 y ls coordends de uno de sus focos son f (5, 4). Hllr l ecución de dich elipse. 36) L longitud del eje myor de un elipse es 78 y su excentricidd es e =. Sbiendo que se trt de un elipse 3 horizontl con centro en el origen, hllr su ecución. 37) Un elipse verticl tiene sus focos sobre l circunferenci ( ) x + y + = 6. Si su excentricidd es e =, hllr l ecución de dich elipse. 38) Ls coordends del centro de un elipse son O(-3, -4), l longitud de su eje menor es 40, su excentricidd es e = y l longitud de su ldo recto es lr = 3. Hllr l ecución de tl elipse si ést es horizontl ) Hllr l ecución de l elipse de centro (3, 8), uno de los focos f (8, 8) y que ps por el punto P(6, 4).

16 Págin 0 LA ELIPSE 6.3 INSTRUCCIONES PARA CONSTRUIR UNA ELIPSE CON PAPEL ) En un hoj tmño crt de ppel lbnene, trzr un circunferenci que brque l máximo l hoj. Mrcr el centro de dich circunferenci (ver figur 6.). ) Dibujr un punto entre.5 cm y cm por dentro de l circunferenci (ver figur 6.). 3) Doblr l hoj por l prte posterior, de mner que l líne de l circunferenci trzd en el pso coincid con el punto del pso (ver figur 6.). Mrcr bien el doblez. 4) Repetir el proceso nterior hciendo coincidir hor otro punto de l circunferenci del pso con el punto del pso..5 cms figur 6. 5) Continur sí hst llenr de dobleces l hoj. 6) Un vez concluid l construcción de l elipse bse de dobleces, el lumno deberá de mner intuitiv deducir cuáles son los dos focos de dich elipse. Hcer coincidir l líne con el punto figur 6.