6.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Consideremos la siguiente figura: Según el teorema de Pitágoras se tiene que: d x. y 2

Transcripción

1 UNIDAD 6: GEOMETRIA ANALÍTICA 6. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Un sistem de coordends rectngulres divide l plno en cutro cudrntes por medio de dos rects perpendiculres que se cortn en el punto O. L rect horizontl se denomin eje X l rect verticl se denomin eje Y. El punto O se denomin origen. L distnci desde un punto culquier, l eje Y se denomin scis l distnci desde el mismo punto hst el eje X se denomin ordend. Ams distncis constituen ls coordends del punto en cuestión. 6. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Consideremos l siguiente figur: Según el teorem de Pitágors se tiene que: d Por lo tnto l distnci d entre los puntos P, Q, es: d Ejemplo No. 8 Hlle l distnci entre los puntos, 7, W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin 99

2 7 d d 5 6. LA LINEA RECTA Un líne rect L está completmente determind si se conocen: Dos de sus puntos. Un punto su pendiente. 6.. Inclinción de un líne rect L inclinción de un líne rect L es el menor de los ángulos que dich rect form con el eje X. 6.. Pendiente de un líne rect L pendiente m de un líne rect L es l tngente del ángulo de inclinción. Es decir: Siendo el ángulo de inclinción de l líne rect. Si se consider l siguiente figur: m Tn Y según l rzón trigonométric tngente tenemos que Por lo tnto: m Tn Tn Es decir, l pendiente de l líne rect L que ps por los puntos P m Ejemplo No. 8, Q, es: Hlle l pendiente m el ángulo de inclinción de l rect que ps por los puntos,, W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin 00

3 Tenemos que Además m m m Tn Por lo tnto Tn Tn 5º 6.. Ecución de l líne rect 5º Conocido un punto de l rect l pendiente: L ecución de l líne rect L que ps por el punto P, cu pendiente se m es: m L ecución nterior se llm ecución punto-pendiente Conocido l pendiente el punto de intersección con el eje Y : L ecución de l líne rect L cu pendiente se m cort l eje Y en el punto 0, es: m L ecución nterior se llm ecución punto-intercepto. Conocido dos puntos de l rect: Pr hllr l ecución de l líne rect L que ps por los puntos P, Q,, se clcul l pendiente m con l fórmul: m, posteriormente, se plic l ecución punto-pendiente. Ejemplo No. 8 Hlle l pendiente m el punto de intersección con el Y de l rect 7 W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin 0

4 Despejndo de l ecución de l líne rect se tiene que: Por lo tnto 7 m El punto de intersección con el eje Y es 0 7, Ejemplo No. 85 Hlle l ecución de l rect que ps por el punto, cu pendiente es m Aplicndo l ecución punto-pendiente se tiene que: m 5 Hlle l ecución de l rect que ps por los puntos L pendiente m es m 5, 8, 7 Aplicndo l ecución punto-pendiente tomndo el punto, 8 se tiene que: 8 m 6.. Rects prlels Dos rects L L son prlels, lo cul se simoliz como son igules. Es decir: L m L m Rects perpendiculres L Dos rects L L son perpendiculres, lo cul se simoliz como L L pendientes m m es igul. Es decir: L L mm Hlle l ecución de l rect que ps por el punto, 6 Ejemplo No. 86 Ejemplo No. 87 L si solmente si sus pendientes W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin 0 m m si solmente si el producto de sus 5, es prlel l rect que ps por los puntos,

5 L rect que ps por los puntos m 6 8,, 6 tiene pendiente: L rect pedid dee tener pendiente m m. Por lo tnto, plicndo l ecución punto-pendiente se tiene que: m 5 Ejemplo No. 88 Hlle l ecución de l rect que ps por el punto, es perpendiculr l rect 6 0 Despejndo de l ecución 6 0, se tiene que: Por lo tnto, l pendiente de est rect es m Como l rect pedid con pendiente m dee ser perpendiculr l rect 6 0 con pendiente m entonces se dee cumplir que: m m m m Por lo tnto Aplicndo l ecución punto-pendiente se tiene que: m ACTIVIDAD No. 7. Hlle l ecución de l rect que pse por el punto, cu scis en el origen se el dole que l ordend en el origen.. Hlle l ecución de l rect que se perpendiculr l rect 7 0 en su punto de intersección con l rect 8 0. Hlle el vlor del prámetro k de tl form que:. k 5 k 0 pse por el punto,. k 7 0 teng pendiente m. Hlle l ecución de l rect con pendiente que formen con los ejes coordendos (eje X eje Y ) un triángulo de áre uniddes de superficie. 5. Hlle l ecución de l rect que pse por el punto, ordend en el origen) sumen cus coordends en el origen (scis W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin 0

6 6. LA CIRCUNFERENCIA L circunferenci es el lugr geométrico que se crcteriz por qué l distnci desde culquier punto P (, ) de l circunferenci hst su centro C( h, k) es siempre l mism. Dich distnci se denomin rdio se simoliz con l letr r Según l figur nterior, l distnci r desde el punto P (, ) hst el centro C ( h, k) es: r h k r h k Por lo tnto, l ecución de l circunferenci con centro en (, k) h h rdio r es: k L ecución nterior se llm ecución cnónic de l circunferenci. Si l circunferenci tiene su centro en el origen, es decir, en ( 0,0), entonces h 0 k 0, por lo tnto: 0 0 r r r Esto signific que l ecución de l circunferenci con centro en el origen rdio r es: r Tod circunferenci se puede epresr por medio de un ecución del tipo: C D E 0 Al completr cudrdo en l ecución nterior se tiene: C D E C C D D E C D C D E Por lo tnto h C, k D C D r E Esto signific que un circunferenci con ecución C D E 0 C Tiene su centro en: C, D Y su rdio es: r C D E W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin 0

7 Ejemplo No. 89 Hlle l ecución de l circunferenci con centro en, rdio h k r Ejemplo No. 90 Hlle el centro el rdio de l circunferenci Opción : Identificndo C, D E. C D 6 E 9 C D 6 El centro es:,,, El rdio es: C D E 6 9 r r Opción : Completndo cudrdos h k r Ejemplo No El centro es, el rdio es r Hlle l ecución de l circunferenci que ps por los puntos rect 0 Considere l siguiente figur:,,, cuo centro está situdo en l W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin 05

8 El centro C de l circunferenci dee equidistr de los puntos A B. Es decir, l distnci desde C hst A dee ser l mism distnci desde C hst B. Por lo tnto r r. Pero: r h k r h k Igulndo los rdios se otiene: h k h k Elevndo l cudrdo mos miemros de l iguldd, desrrollndo cudrdos sumndo términos semejntes: h k h k h h k k h h k 6k 9 6h k () Como el centro C ( h, k) está sore l rect con ecución 0, entonces stisfce dich ecución: h k () Despejndo h en l ecución (): h k Reemplzndo el vlor de h en l ecución () despejndo k : () 6 k Si 5 k 5 k 5 k entonces: h 7 h Pr hllr el rdio r de l circunferenci se reemplzn los vlores de h k en l ecución: r h k 7 5 r r 0 W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin 06

9 L ecución pedid es: 7 5 ACTIVIDAD No Hlle el vlor del prámetro k pr que l ecución 8 0 k 0 represente un circunferenci de rdio 7. Hlle l ecución de l circunferenci que pse por el punto 0, 0, teng rdio r l scis de su centro se. Hlle l ecución de l circunferenci cuo centro esté en el eje X que pse por los puntos,, 5. Hlle l ecución de l circunferenci circunscrit l triángulo cuos ldos son ls rects: 8 5. Hlle l ecución de l circunferenci que ps por los puntos 8,, 6,, 7 6. Hlle l ecución de l circunferenci que ps por los puntos,, rect LA PARÁBOLA 5 cuo centro está situdo en l L práol es el lugr geométrico que se crcteriz por que l distnci desde culquier punto P (, ) de l práol hst un rect fij L llmd directriz es l mism distnci que h desde el mismo punto hst otro punto F llmdo foco. W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin 07

10 L rect fij L se llm directriz según l figur tiene ecución El punto fijo F se llm foco según l figur tiene coordends, 0 P es un punto culquier de l práol tiene coordends, El eje en donde se encuentr uicdo el foco se denomin eje de simetrí de l práol. Según l figur el eje de simetrí es X. El punto V en el que l práol cort l eje de simetrí se llm vértice según l figur tiene coordends 0, 0 L distnci entre el vértice l directriz es l mism distnci que h entre el vértice el foco, dich distnci según l figur es El segmento de rect AB que ps por el foco es perpendiculr l eje de simetrí se denomin ltus rectum. L distnci entre P F es d l distnci entre P l directriz L es d. Por definición de práol tenemos que d d. Pero: d 0 d Por lo tnto, igulndo ls dos distncis nteriores se tiene: Elevndo l cudrdo mos miemros de l iguldd, desrrollndo cudrdos sumndo términos semejntes: Por lo tnto, l ecución de l práol con vértice en 0, 0, eje de simetrí X iert hci l derech es: El eje socido l vrile con eponente es el eje de simetrí. L longitud del ltus rectum es: L siguiente tl muestr todos los csos posiles de l ecución de l práol, junto con ls coordends del foco l ecución de l directriz: Vértice En el origen: 0,0 En un punto distinto l origen: h, k Eje de simetrí Sentido en que se re X Hci l derech Coordends Ecución de l Ecución del foco directriz (,0) X Hci l izquierd (,0) Y Hci rri ( 0, ) Y Hci jo ( 0, ) ( h, k ) Prlelo X Hci l derech k h Prlelo X Hci l izquierd k h Prlelo Y Hci rri h k Prlelo Y Hci jo h k ( h, k ) (, k ) h h ( h, k ) k h k W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin 08

11 Ejemplo No. 9 Hlle ls coordends del foco, l ecución de l directriz l longitud del ltus rectum de l práol Al despejr en l ecución de l práol se tiene que 8 Por lo tnto 8 Como l práol tiene vértice en 0,0, eje de simetrí X es iert hci l derech, entonces: Ls coordends del foco son,0,0 L ecución de l directriz es 8 L longitud del ltus rectum es Ejemplo No. 9 8 Hlle ls coordends del foco, l ecución de l directriz l longitud del ltus rectum de l práol Se tiene que: h k Como l práol tiene vértice en un punto distinto 0,0, eje de simetrí prlelo Y, demás es iert hci rri, entonces: 7 h, k,, Ls coordends del foco son L ecución de l directriz es L longitud del ltus rectum es Ejemplo No. 9 5 k Hlle l ecución de l práol cuo foco es el punto 0, tiene como directriz l rect Considere l siguiente figur. Por definicion de práol d d Pero: d 0 W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin 09

12 d Por lo tnto igulndo ls dos distncis se tiene: Elevndo l cudrdo mos miemros de l iguldd, desrrollndo cudrdos sumndo términos semejntes: Ejemplo No. 95 Hlle l ltur de un punto de un rco prólico de 8 m de ltur m de se, situdo un distnci de 8 m del centro del rco. Consideremos l siguiente figur: L práol de l figur dee tener ecución: h k Como h 0 k 8, entonces: Como 0, entonces: Como se tiene que l ecución de l práol de l figur es 8 8 Pr hllr l ltur se reemplz el vlor de 8 en l ecución de l práol se despej : m W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin 0

13 Dd l práol con ecución 8 6 0, hlle ls coordends del vértice, ls coordends del foco l ecución de su directriz. Grfique l práol: Completndo cudrdo: Ejemplo No Como h, k 6. Por lo tnto: Ls coordends del vértice son: h, k, Ls coordends del foco son: h k,, L ecución de l directriz es:, h 7 L práol se muestr en l siguiente figur: ACTIVIDAD No. 9. Hlle l ecución de l práol con vértice en el punto, foco 5,. Hlle l ecución de l práol con vértice en el origen, con eje de simetrí Y, que pse por 6, - W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin

14 . Hlle l ecución de l práol con vértice en,, con eje de simetrí prlelo Y que pse por, 5. Hlle l ecución de l práol cuo eje se prlelo l eje X que pse por,, 6, 5 6, 5. El cle de suspensión de un puente colgnte dquiere l form de un rco de práol. Los pilres que lo soportn tienen un ltur de 60 m están seprdos un distnci de 500 m, quedndo el punto más jo del cle un ltur de 0 m sore l clzd del puente. Tomndo como eje X l horizontl que define el puente, como eje Y el de simetrí de l práol, hlle l ecución de tl práol. Clcule l ltur de un punto situdo 80 m del centro del puente. 6. Hlle l ecución de l práol cuo ltus rectum es el segmento que une los puntos, 5, 7. Hlle l ecución de l práol con vértice en l rect 7 0, con eje de simetrí prlelo l eje X que pse por los puntos, - 5, 8. Demuestre que l distnci desde el punto, 6 6 de l práol hst su foco es igul l distnci que h desde el mismo punto hst su directriz. 6.6 LA ELIPSE L elipse es el lugr geométrico que se crcteriz por que l sum de ls distncis desde culquier punto P, de l elipse dos puntos fijos F F llmdos focos es constnte, es decir es siempre l mism. Ls rects L L se llmn directrices. Los puntos F F se llmn focos según l figur tienen coordends c, 0 c, 0 P es un punto culquier de l elipse tiene coordends, El eje en donde se encuentrn uicdos los focos se denomin eje de simetrí mor o eje mor de l elipse. Según l figur el eje mor es X. El otro eje se denomin eje de simetrí menor o eje menor de l elipse según l figur el eje menor es Y. Los puntos en donde l elipse cort los ejes de simetrí se llmn vértices, según l figur, tienen coordends, 0,, 0, 0, - 0,. siempre será l distnci más grnde desde el centro de l elipse hst los vértices en el eje mor siempre será l distnci más pequeñ desde el centro de l elipse hst los vértices en el eje menor. W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin

15 El segmento de rect AB que ps por culquier de los dos focos es perpendiculr l eje mor se denomin ltus rectum. L ecución de l elipse con centro en 0, 0 eje mor X es L longitud del ltus rectum es Además c L siguiente tl muestr todos los csos posiles de l ecución de l elipse: Centro Eje mor Ecución Coordends de los focos Ecuciones de ls directrices En el origen: 0,0 En un punto distinto l origen: h, k Ejemplo No. 97 X Y Prlelo X Prlelo Y Dd l elipse , hlle: Ls coordends de los focos. Ls ecuciones de ls directrices. L longitud del ltus rectum h k h k ( c, 0) ( 0, c) W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin Además c c 7 ( h c, k). Por lo tnto: 6 6 h ( h, k c) k El eje mor es X el eje menor es Y Ls coordends de los focos son: c, 0 ( 7, 0) Ls ecuciones de ls directrices son: 6 L longitud del ltus rectum es:

16 Hlle l ecución de l elipse con centro en el origen, eje mor X que pse por los puntos L elipse pedid dee tener ecución: Como los puntos, 6, están en l elipse stisfcen l ecución nterior, por lo tnto: Pr el punto, : Pr el punto 6, : Igulndo ls ecuciones () () se tiene que: Ahor reemplzndo en l ecución (): () Si entonces 5 Como 5 5, 6, W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin () () Dd l elipse hlle: El eje mor menor. Ls coordends del centro, de los focos los vértices. Completemos cudrdos: Ejemplo No. 98 Ejemplo No

17 Por lo tnto: c c 5 Además h 6 k El eje mor es prlelo X el eje menor es prlelo Y. Ls coordends del centro son: h, k ( 6, ) Ls coordends de los focos son: ( h c, k) ( 6 5, ) Según l siguiente figur ls coordends de los vértices son 0,, 6, 0,, 6, 8 ACTIVIDAD No. 0. Hlle l ecución de l elipse con centro en el origen, con un foco en el punto 0, eje mor igul 5. Hlle l ecución de l elipse con centro en,, uno de los focos en 6, que pse por el punto, 6. Dd l elipse con ecución , hlle:. Ls coordends del centro.. El semieje mor menor. c. Ls coordends de los vértices los focos. d. Ls ecuciones de ls directrices l longitud del ltus rectum. W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin 5

18 . Hlle l ecución de l elipse con centro en,, uno de los focos en, que pse por el punto 8, 0 5. Demuestre que l sum de distncis del punto 6, -8 de l elipse: focos es igul sus 6. Hlle l ecución del lugr geométrico de los puntos P, cu sum de distncis los puntos fijos,, 6.7 LA HIPÉRBOLA es igul 8 L hipérol es el lugr geométrico que se crcteriz por que l diferenci de ls distncis desde culquier punto P (, ) de l hipérol dos puntos fijos F F llmdos focos es constnte, es decir, es siempre l mism. Ls rects L L se llmn directrices ls rects A A se llmn síntots. Los puntos F P es un punto culquier de l hipérol tiene coordends F se llmn focos según l figur tienen coordends, c, 0 c, 0 El eje en donde se encuentrn uicdos los focos se denomin eje de simetrí rel o eje rel de l hipérol. Según l figur, el eje rel es X. El otro eje se denomin eje imginrio de l hipérol. Según l figur, el eje imginrio es Y. Los puntos en donde l hipérol cort el eje rel se llmn vértices, según l figur, tiene coordends, 0, 0. siempre será l distnci desde el centro de l hipérol hst los vértices. El segmento de rect AB que ps por culquier de los dos focos es perpendiculr l eje rel, se denomin ltus rectum. L ecución de l hipérol con centro en 0, 0 eje rel X es L longitud del ltus rectum es Además c W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin 6

19 L siguiente tl muestr todos los csos posiles de l ecución de l hipérol: Centro Eje rel Ecución En el origen: 0,0 En un punto distinto l origen: h, k X Y Prlelo X Prlelo Y h k k h Coordends de los focos ( c, 0) ( 0, c) ( h c, k) Ecuciones de ls directrices h ( h, k c) k Ecuciones de ls síntots h k h k Dd l hipérol hlle: 6 9 El eje rel el eje imginrio: Ls coordends de los vértices de los focos. Ls ecuciones de ls directrices ls síntots. L longitud del ltus rectum. Se tiene que: c Ejemplo No c 5 El eje rel es X el eje imginrio es Y. Ls coordends de los vértices son: (, 0) (, 0) Ls coordends de los focos son: Ls ecuciones de ls directrices son: Ls ecuciones de ls síntots son: L longitud del ltus rectum es: ( c, 0) (5, 0) W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin 7

20 Ejemplo No. 0 Hlle l ecución de l hipérol con eje rel X centro en el origen, siendo que el ltus rectum vle 8 que l distnci entre los focos es Se tiene que: 8 9 c c 6 Como: c 6 6 Reemplzndo el vlor de en l ecución nterior se tiene que: Con lo que: Como: Por lo tnto, l ecución pedid es: 9 7 ACTIVIDAD No.. Dd l hipérol hlle:. El eje rel el eje imginrio.. Ls coordends del centro, los focos de los vértices. c. Ls ecuciones de ls directrices de ls síntots.. Hlle l ecución de l hipérol con centro en el origen, con eje rel Y, que pse por, 6,. Demuestre que l diferenci de distncis del punto, sus focos es igul 8 AUTOEVALUACIÓN No. 5 6 de l hipérol 99 0 Pregunts de selección múltiple con únic respuest: Ls pregunts de este tipo constn de un enuncido de cutro posiiliddes de respuest, entre ls cules se dee escoger l correct.. L pendiente de l líne rect que ps por los puntos,, A. B. C. D. W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin 8 es:

21 . L ecución de l líne rect que ps por el punto 0, cu pendiente es igul es: A. B. C. D.. De ls siguientes ecuciones no corresponde un prlel l rect cu ecución es : A. B. C. D.. De ls siguientes ecuciones, corresponde un rect que no ps por el punto 0,5: A. 5 B. 5 5 C. 5 D Un rect perpendiculr l rect 5 es: A. 7 5 B. 5 C. 5 D L ecución de l circunferenci que se muestr en l siguiente figur es: A. B. 9 C. 9 D. W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin 9

22 7. L ecución de l circunferenci con centro, A. 6 B. 6 C. 6 D. 6 rdio es: 8. Ls coordends del centro el rdio de l circunferenci 5 0 es: A., 5 B., 5 C., D., r r r r El vlor que dee tener k de tl mner que l ecución 8 0 k 0 represente un circunferenci de rdio 7 es: A. 8 B. C. D. 0. L ecución de l práol con vértice en el punto, foco, A B C D es:. L ltur de un punto de un rco prólico de 8 metros de ltur metros de se, situdo un distnci de metros del centro es: A. 0 metros. B. 0 metros. C. 5 metros. D. 6 metros.. L trectori descrit por un proectil lnzdo horizontlmente, desde un punto situdo metros (m) sore el suelo, con velocidd v metros por segundo (m/s), es un práol con ecución: W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin 0

23 v g Siendo l distnci horizontl desde el lugr de lnzmiento g 9. 8 metros por segundo en cd segundo (m/s ), proimdmente. Si el origen se tom en el punto de slid del proectil del rm jo ests condiciones se lnz horizontlmente un piedr desde un punto situdo metros (m) de ltur sore el suelo con un velocidd inicil de 50 metros por segundo (m/s), entonces l distnci horizontl l punto de cíd es: A. 0 metros. B. 9 metros. C. 0 metros. D. 9 metros.. L ecución de l elipse con centro en el origen, foco en el punto 0, semieje mor igul 5 es: A. 5 6 B C D L ecución del lugr geométrico conformdo por los puntos cu distnci l punto,0 mitd de l correspondiente l rect 6 es: A. B. 9 C. 9 D. es igul l W I L S O N V E L Á S Q U E Z L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í A n l í t i c Págin