VECTORES PLANO Y ESPACIO

Transcripción

1 TETO º 3 ECTOES PLAO ESPACIO Conceptos Básicos Ejercicios esueltos Ejercicios Propuestos Edict Arrigd D. ictor Perlt A Diciemre 008 Sede Mipú, Sntigo de Chile

2 Introducción Este mteril h sido construido pensndo en el estudinte de nivel técnico de ls crrers de IACAP. El ojetivo principl de este trjo es que el lumno dquier desrrolle l técnic pr resolver prolems diversos de l unidd de ectores. En lo prticulr pretende que el lumno logre el prendizje indicdo en los criterios de evlución (referidos l cálculo de vriles) del progrm de l signtur Físic Mecánic. El desrrollo de los contenidos h sido elordo utilizndo un lenguje simple que permit l comprensión de los conceptos involucrdos en l resolución de prolems. Se present un síntesis inmedit de los conceptos fundmentles de l unidd de ectores, seguid de ejemplos prolems resueltos que presentn un procedimiento de solución sistemático que v desde un nivel elementl hst situciones más complejs, esto, sin sltr los psos lgericos que tnto complicn l lumno, se finliz con prolems propuestos incluendo sus respectivs soluciones.

3 ectores Mgnitudes esclres Son tods quells mgnitudes físics fundmentles o derivds que quedn completmente definids con números, como ejemplo, uniddes de : longitud ; ms ; tiempo ; superficie ; volumen ; densidd ; tempertur ; presión ; trjo mecánico ; potenci, etc. Mgnitudes vectoriles Son tods quells mgnitudes físics fundmentles o derivds que pr quedr completmente definids necesitn de un dirección sentido como por ejemplo, uniddes de : desplzmiento ; velocidd ; celerción ; fuerz ; momento, etc. Ls mgnitudes vectoriles se representn gráficmente por vectores (flechs) se simolizn medinte letrs con un flech en su prte superior por ejemplo v,, F, etc. En todo vector se dee distinguir ls siguientes crcterístics: - Origen : es el punto donde nce el vector (punto 0 de l figur ) - Mgnitud o módulo : corresponde l tmño del vector, se simoliz como vlor soluto v ( ver figur ) - Dirección: corresponde l líne rect en l cul el vector está contenido, tmién se llm líne de cción o rect soporte. Generlmente l dirección de un vector se entreg por medio de un ángulo que el vector form con l horizontl u otr rect dd - Sentido : es el indicdo por l punt de flech (por ejemplo derech o izquierd, rri o jo) dirección v v sentido 0 origen α horizontl ectores lires 3

4 Se llm vector lire quel que no ps por un punto determindo del espcio. ector fijo Es quel vector que dee psr por un punto determindo del espcio. Método del polígono Sum de vectores lires Consiste en lo siguiente: se diuj el primer vector sumr, luego en el extremo de éste se diuj el origen del segundo vector sumr sí sucesivmente hst diujr el ultimo vector sumr, l resultnte se otiene trzndo un vector que v desde el origen del primer vector hst el extremo del ultimo (ver figur), durnte este proceso se dee conservr mgnitud dirección sentido de cd uno de los vectores sumr. Ilustrción Ddos los vectores,, c d tl como se indic, trzr ls siguientes resultntes: c d d c c d Solución Siguiendo l regl nterior se otiene pr cd cso lo siguiente: d c d Es fácil oservr que ls resultntes de vectores cumple cierts propieddes. d c c d c son igules, esto permite dmitir que l sum 4

5 Propieddes pr l sum de vectores ) Asocitiv, c vectores, se cumple que ( ) c ( c) ) Elemento neutro vector, 0 (cero vector ) tl que se cumple: 0 0 3) Elemento opuesto,! (- ) / ( ) ( ) 0 es el vector opuesto del vector. ( ) ( ) tiene igul mgnitud dirección que, pero es de sentido contrrio si ( ) entonces 4) Conmuttividd,, se cumple que Método del prlelogrmo Es un método pr sumr dos vectores consiste en lo siguiente: Se diujn mos vectores con un origen común, enseguid en cd uno de los extremos se diujn ls prlels dichos vectores, l resultnte o vector sum se otiene trzndo un vector que v desde el origen común hst el punto donde se intersectn ls prlels (digonl del prlelogrmo formdo). Si los vectores son: F F Entonces F F result: F F F 5 F

6 Origen común est de vectores Sen dos vectores l rest qued definid por: ( ) Es decir, l rest se reemplz por l sum del opuesto del vector sustrendo Ddos los vectores: F F Según l definición nterior F F F ( ) ( F ), por lo tnto se utilizrá el vector: F Entonces l resultnte F F es: ( ) ( F ) F F F F F OBS. Se otiene l mism resultnte si se utiliz el método del prlelogrmo Otr form de restr dos vectores es l siguiente: Diujr mos vectores con un origen común, l resultnte se otiene trzndo un vector que v desde el extremo del vector sustrendo hst el extremo del vector minuendo ( ver figur ) Origen común F F F F 6

7 ectores en el plno Todo punto ( x, ) del plno crtesino represent un vector que tiene por origen, el origen del sistem crtesino por extremo, el punto de coordends ( x, ). ( x, ) α Componentes crtesins o rectngulres de un vector del plno Todo vector del plno puede ser descompuesto en dos componentes llmds componentes crtesins o rectngulres, de tl mner que el vector qued expresdo como un sum de sus componentes, es decir: L mgnitud del vector qued determind por: x ( ) ( ) L dirección α del vector qued determind por: Además se cumple que: α tg cosα (Componente de sore el eje x) 7

8 senα (Componente de sore el eje ) Primer cudrnte dirección α α Segundo cudrnte β α dirección α 80º β Tercer cudrnte α dirección α 80 º β β Curto cudrnte α dirección α 360º β β En cd uno de los csos nteriores β tg 8

9 Sistem de vectores en el plno Si,, son vectores del plno, entonces l resultnte n del sistem de vectores es: L mgnitud de l resultnte es: ( ) ( ) L dirección de l resultnte es: Donde: α tg nx n ector unitrio Todo vector del plno tiene socido un vector unitrio (mgnitud unidd que puede ser simolizdo con ls letrs ˆ o e o λ El vector unitrio de qued definido por: ˆ Los ejes coordendos x e tmién tienen sus respectivos vectores unitrios, estos son: 9

10 (,0) i ˆ se lee i tongo represent l vector unitrio pr el eje x ( 0,) ˆ j se lee jot tongo represent l vector unitrio pr el eje Utilizndo los vectores unitrios de los ejes coordendos, el vector puede ser representdo como sigue: iˆ j ˆ otción polr de un vector del plno Cundo se conoce l mgnitud dirección de un vector del plno, se dice que se conocen sus coordends polres en este cso el vector qued representdo por: (,α ) Siendo l mgnitud de α su dirección Teorems trigonométricos utilizdos en el estudio de vectores Teorem del seno senα senβ senγ c C A α γ c β Teorem del coseno B 0

11 c c c c cosα c cos β cosγ Ejercicios esueltos - ectores ) Determinr mgnitud dirección de un vector del plno cus componentes rectngulres son 8 Solución: Como se conocen ls componentes crtesins del vector es posile plicr en form inmedit l ecución que define el módulo de un vector, es decir: ( ) ( ) eemplzndo los vlores correspondientes result: ( ) ,4, es decir, l mgnitud del vector es 4,4. Como es negtiv es positiv, el vector se encuentr en el segundo cudrnte, por lo tnto l dirección qued determind por α 80º β β tg α 46,3º 8 β 33,69º - x

12 β tg β 33,69º 8 Por lo tnto l dirección es: α 80º 33,69º, es decir α 46,3º Dirección de ) Encontrr ls componentes crtesins de un vector cu mgnitud vle 80 su dirección es de 30º Solución: Como ls componentes de un vector quedn determinds con ls ecuciones: cosα senα Solo h que reemplzr los vlores correspondientes l mgnitud dirección del vector, es decir: 80 cos 30º 80 sen30º elizndo l opertori se otiene finlmente: 5,43 6,84 3) Ddos los vectores F 7ˆ i 0 ˆ j F vector unitrio de l resultnte F F ˆ i 4 ˆj, encontrr mgnitud, dirección Solución

13 Se pide otener l resultnte F F, reemplzndo los vlores de cd vector, se otiene: F F 7ˆ i 0 ˆ j ˆ i 4 ˆj euniendo los términos semejntes result: 9 iˆ 4 ˆj Aplicndo l fórmul de l mgnitud: 9 4 elizndo l opertori se tiene finlmente l mgnitud de l resultnte, es decir: 9,849 Como l resultnte es: 9 iˆ 4 ˆj Signific que se encuentr en el primer cudrnte, luego l dirección qued determind por: α tg eemplzndo vlores: α tg 4 9 elizndo l opertori se tiene l dirección: α 3,96º Determinción del vector unitrio: Por definición, el vector unitrio qued determindo por: 3

14 ˆ eemplzndo los vlores pr cd componente result: ˆ 9 4 iˆ ˆj o que es lo mismo ˆ 9 4 iˆ ˆj 9,849 9, ) Sore el nclje indicdo en l figur, ctún tres fuerzs tl como se indic, determinr mgnitud dirección de l resultnte F F F3 F 50 F º 7º x 67º Solución F 0 Como se trt de un sistem de vectores, l resultnte es de l form: En este cso: F F F3 F F F3 Aplicndo l fórmul de ls componentes reemplzndo los vlores pr cd fuerz, se tiene : 4

15 0 cos 93º 50 cos 7º 30 cos7º 0sen93º 50sen7º 30sen7º elizndo l opertori result: 0, , 677 Por lo tnto l resultnte es: 0,605ˆ i 55,677 ˆj Su mgnitud es: ( 0,605) ( 55,677) 367,74 6,738 Como le vector resultnte se encuentr en el curto cudrnte, signific que su dirección es α 360 º β, el ángulo β se clcul por medio de l tn g, es decir: β tg tg 55,677 8,486º 0,605 Por lo tnto l dirección de l fuerz resultnte es: α 360 º β 360º 8,486º 33,54º, 5

16 ectores en el espcio Todo punto del espcio ( x, z) sistem por extremo, el punto de coordends ( x,, z), represent un vector que tiene por origen, el origen del ( x,, z) z x Todo vector del espcio puede ser descompuesto en rectngulres o crtesins. componente de sore el eje x componente de sore el eje componente de sore el eje z,, llmds componentes 6

17 7 El vector puede ser expresdo como un sum de sus componentes, es decir: L mgnitud qued determind por: ( ) ( ) ( ) L dirección de qued determind por los cósenos directores, ddos por: cos cos cos El vector tmién puede ser expresdo en función de los vectores unitrios de los ejes coordendos, esto es: z x x z

18 iˆ ĵ kˆ Donde kˆ es el vector unitrio pr el eje z Ejercicio Determinr mgnitud dirección del vector 5 iˆ 8 ˆj 0kˆ Solución Aplicndo l fórmul de mgnitud, se tiene: ( 8) 0 5 elizndo l operción result: 3,748 Mgnitud de vector L dirección del vector se otiene plicndo l fórmul de los cósenos directores, es decir: cos cos cos cos cos cos cos 5 3,748 cos 8 3,748 cos 0 3,748 68,673º 5,584º 43,333º 8

19 9 Sistem de vectores en el espcio Si n......,, son n vectores del espcio, entonces l resultnte es de l form: L mgnitud de qued determind por ( ) ( ) ( ) L dirección de qued determind por los ángulos directores cos cos cos z x

20 Con: x n x n Ejercicio Ddos los vectores F 5ˆ i 8 ˆj 5kˆ, F 7ˆ i ˆj 3kˆ mgnitud dirección de l resultnte F F F. 3 F 6ˆ i 9 ˆj 3 kˆ, otener Solución L resultnte se otiene simplemente sumndo los términos semejntes, es decir: L mgnitud de es : ( 5 iˆ 8 ˆj 5kˆ ) ( 7ˆ i ˆj 3kˆ ) ( 6ˆ i 9 ˆj kˆ ) 6iˆ 5 ˆj 0kˆ ( 6) 5 ( 0) elizndo l opertori se otiene finlmente: 6,689 L dirección se otiene plicndo l ecución de los cósenos directores, tl como sigue: 0

21 cos cos cos 6 cos 5 cos 0 cos,689,689,689 8,9º 66,794º 4,007º Ejercicio 3 Pr el sistem de fuerzs de l figur indicd, se pide determinr: ) Componentes crtesins de F ) Componentes crtesins de F c) Mgnitud de resultnte F F d) Ángulos directores de e) ector unitrio de 6m A F 800 5m o F 950 B m 3m Solución

22 Cálculo de componentes Cundo se conoce l mgnitud de un fuerz ls coordends del origen extremo de ést, es conveniente utilizr el concepto de vector unitrio pr determinr sus componentes. Por definición se tiene que: F F ˆ F l despejr F result F F F ˆ pero pr F OAˆ ˆ pr F OB ˆ Entonces: F F OAˆ F F OBˆ Componentes pr F Como F F OAˆ oservndo ls coordends del origen extremo de F, se puede reemplzr los vlores correspondientes, es decir: 6ˆ i 5 ˆj 4kˆ F elizndo l opertori result: F 547,0ˆ i 455,84 ˆj 364,674kˆ Componentes pr F Como F F Oˆ B oservndo ls coordends del origen extremo de F, se puede reemplzr los vlores correspondientes, es decir: F 6ˆ i 0 ˆj 3kˆ elizndo l opertori se otiene: F 849,706ˆ i 0 ˆj 44,853 ˆ k Cálculo de mgnitud de L resultnte se otiene sumndo los términos semejntes entre ls fuerzs F F, es decir:

23 ( 547,0ˆ i 455,84 ˆj 364,674kˆ ) ( 849,706ˆ i 0 ˆj 44,853kˆ ) 396,77ˆ i 455,84 ˆj 789,57kˆ Aplicndo l fórmul de mgnitud se otiene finlmente: ( 396,77) ( 455,84) ( 789, 57 ) elizndo l opertori se tiene: 667,9 Cálculo de ángulos directores L dirección se otiene plicndo l ecución de los cósenos directores, es decir: cos cos cos 396,77 cos 455,84 cos 789,57 cos 667,9 667,9 667,9 33,79º 74,40º 6,747º Cálculo del vector unitrio Por definición se tiene que: ˆ 3

24 4 eemplzndo los vlores correspondientes se otiene: 667,9 789,57 ˆ 455,84 ˆ 396,77ˆ ˆ k j i elizndo l opertori se otiene finlmente: Multiplicción de vectores Producto punto o producto esclr Es un multiplicción entre dos vectores cuo resultdo es un esclr. Si los vectores son:, el producto punto entre se simoliz por (se lee punto ) se define por: cos Donde es el ángulo formdo entre los vectores Si los vectores son perpendiculres signific que º º cos, por lo tnto el producto punto entre es igul cero, es decir: Si entonces 0 Por otr prte ( ) ( ) Multiplicndo se otiene: De lo nterior result: Lo nterior deido que ls otrs cominciones resultn perpendiculres por lo tnto su producto punto es igul cero. k j i ˆ 0,473 0,73 ˆ 0,837ˆ ˆ

25 Angulo formdo entere El ángulo entre qued determindo l despejr punto, es decir: Ejercicio Ddos los vectores 7iˆ 4 j kˆ el ángulo formdo entre ellos. Solución cos 5iˆ ˆj kˆ cos de l definición del producto, determinr su producto punto El producto punto se otiene plicndo l ecución: eemplzndo los vlores numéricos se tiene: Sumndo result : 8 Pr determinr el ángulo entre, se dee conocer sus respectivos módulos, por lo tnto: ( 7) 4 ( ) 3, ( ) 4, 698 El ángulo formdo entre se otiene plicndo l ecución: cos eemplzndo los vlores correspondientes se tiene: 5

26 8 cos 0,537 3,638 4,698 cos ( 0,537) Finlmente: 57,496º Ejercicio Determinr el vlor de m de tl mner que los vectores resulten perpendiculres: 3 iˆ 9 ˆj mkˆ 5 iˆ 8 ˆj 0kˆ Solución Dos vectores son perpendiculres cundo su producto punto es igul cero, por lo tnto: 0 eemplzndo los vlores de cd vector result: m m m 0 0m 57 m 57 0 Finlmente: m 5,7 Producto cruz o producto vectoril Es un multiplicción entre dos vectores cuo resultdo es un vector, si los vectores son, el producto cruz entre se denot por (se lee cruz ) su módulo se define por: 6

27 7 sen L dirección de es perpendiculr l plno formdo entre, su sentido qued determin por l regl de l mno derech o regl del tornillo de rosc derech que l hcerlo girr desde hci dee penetrr en el plno formdo entre. Por otr prte si los vectores son, el producto qued determindo por: k j i ˆ ˆ ˆ Ejercicio Determinr el producto cruz entre k j i ˆ 5 ˆ ˆ k j i ˆ 9 3 ˆ ˆ 0 Solución El producto cruz se otiene plicndo l ecución nterior, es decir: k j i ˆ ˆ ˆ eemplzndo ls coordends pr cd vector se otiene: 90º

28 iˆ 0 ˆj 3 kˆ 5 9 esolviendo el determinnte se tiene: ( 99 5) iˆ ( 8 50) ˆj ( 6 0)kˆ Finlmente: 4iˆ 3 ˆj 6kˆ EJECICIOS ESUELTOS - ECTOES POBLEMA n Dos vectores formn un ángulo de 0 uno de ellos tiene 0 uniddes de longitud hce un ángulo de 40 con el vector resultnte de mos. Determine l mgnitud del segundo vector l del vector resultnte. Solución Eligiendo ritrrimente dos vectores con ls condiciones dds, es decir: 0ud 0 Ahor trzmos l resultnte utilizndo el método del prlelogrmo, es decir: Q 0ud 70 P 8

29 Utilizndo el teorem del seno en triángulo OPQ result: sen70 0 sen40 v ) v sen70 0sen40 v 0sen40 sen70 v 3,68[ ud] ) sen70 sen70 0 sen70 0sen70 Cncelndo por sen70 se otiene finlmente: 0[ ud] POBLEMA n Dos vectores de longitud 3 4 formn un ángulo recto, clcule por el teorem del coseno l longitud del vector resultnte el ángulo que form este con el vector de menor longitud. espuest n Según informción, se tienen dos vectores formndo un ángulo recto, es decir: 9

30 Por el método del prlelogrmo result: B 3 φ A 4 C Utilizndo teorem del coseno en triángulo rectángulo ACB se otiene: pero COS

31 COS90 B φ A 4 C 5[ ud ] El ángulo φ (ángulo que form l resultnte con el vector más pequeño) lo podemos determinr usndo l rzón tngente, es decir: tgφ ( ) B 4 tgφ ( ) 3 φ tg 4 ( ) 3 φ 53,30 3 φ 90 A 4 φ 90 C POBLEMA n 3 Dos vectores de longitud 6 8 uniddes formn un ángulo recto, clcule por el teorem del seno l longitud del vector resultnte el ángulo que form este con el vector de mor longitud. Solución: Según informción, se tienen dos vectores formndo un ángulo recto, es decir: 3

32 6( ud) 90 8( ud ) epresentndo el prlelogrmo pr estos vectores, se tiene: 8( ud) B 6( ud) 6( ud) φ 90 A C 8( ud) L solución este prolem es similr l del prolem nterior, l diferenci es que en éste clculremos primero el ángulo φ luego utilizremos el teorem del seno pr determinr l mgnitud de l resultnte, es decir: Por l rzón tngente se tiene: tgφ tgφ φ tg ( ) 8 φ 36,870 Ahor plicmos teorem del seno en triángulo rectángulo ACB pr otener el vlor de l resultnte, es decir: 3

33 sen90 sen90 senφ senφ 8( ud) B sen90 senφ 6( ud) 6( ud) 6sen90 sen36,870 A φ 8( ud) 90 C 0[ ud] POBLEMA n 4 Ddo los vectores: ) Clcule A B A 4i 5 j B 3i 6 j C 9k ) Grfique este resultdo A B c) Clcule, interprete d) Clcule ( A B) C, interprete espuest n 4 Si: A 4i 5 j B 3i 6 j C 9k Entonces: 33

34 Solución 4 (): AB i 4 3 j 5 6 k 0 0 (0 0) i (0 0) j ( ) k AB (4 5) k AB 9k Solución 4(): Grfic A B 4 3 A B 5 6 Solución 4(c) A B se clcul utilizndo el concepto de módulo de un vector, es decir: 34

35 Por lo tnto: A B A B ,5 9 ( AB) C ( 0i 0 j 9k) ( 0i 0 j 9k) Solución 4(d) ( AB) C ( AB) C 8 POBLEMA n 5 Un vector tiene un mgnitud de 60 uniddes form un ángulo de 30 con l dirección positiv del eje x. Encuentre sus componentes crtesins Solución epresentndo gráficmente l informción dd se tiene que: 60[ ud] 30 x Donde: son ls componentes crtesins del vector. Utilizndo: cosα sen α esult: 60cos30 60sen30 35

36 Por lo tnto: 5,96[ ud] 30[ ud] POBLEMA n 6 El vector resultnte de dos vectores tiene 0 uniddes de longitud form un ángulo de 35 con uno de los vectores componentes, el cul tiene uniddes de longitud. Encontrr l mgnitud del otro vector el ángulo entre ellos. Solucón: Eligiendo ritrrimente los dos vectores componentes F F con ls condiciones dds se puede grficr: Q F [ ud] 0[ ud] 35 F φ P F? O φ F Eligiendo el triángulo OQP se otiene el esquem: F F φ 35 36

37 Como se conoce dos ldos del triángulo OPQ el ángulo comprendido entre ellos, es posile plicr el teorem del coseno pr determinr el vlor de F, es decir: F F F cos35 F 0 0 cos35 F F φ F , F 47,404 F 47,404 F 6,885[ ud] El ángulo formdo entre los dos vectores es 35 φ, por lo tnto l tre es determinr el ángulo φ. Pr esto es posile utilizr teorem del seno en l mism figur, es decir: senφ F sen35 F senφ F sen35 F sen35 senφ 6,885 F F φ senφ 0,99969 φ sen ( 0,99969) 35 φ 88,584 37

38 Por lo tnto el ángulo formdo entre los vectores es 35 88,584 3, 584 POBLEMA n 7 Clculr el ángulo entre dos vectores de 8 0 uniddes de longitud, cundo su resultnte form un ángulo de 50 con el vector mor. Clculr l mgnitud del vector resultnte. Solución: Sen F F los vectores, entonces es posile construir l siguiente gráfic: Q F 8[ ud] α β α O φ 50 F 0[ ud] P El ángulo formdo por los dos vectores F F es φ α 50 Según los dtos, es posile plicr el teorem del seno en triángulo OPQ pr determinr el vlor del ánguloα, es decir: 38

39 senα sen50 F F F sen50 senα F 50 β α F 0sen50 senα 8 F α sen 0sen50 8 α 73,47 Por lo tnto el ángulo formdo por los dos vectores F F es φ α 50 3, 47 Conocido el ánguloα, es posile determinr el ángulo β que: 50 α β 80 β α β 56, F β α F Aplicndo nuevmente el teorem del seno es posile determinr el vlor de l resultnte. sen50 F senβ sen50 F senβ F senβ sen50 8sen56,753 sen50 8,734[ ud] 39

40 POBLEMA n 8 Un viento de lmre de un torre está ncldo medinte un perno en A. L tensión en el lmre es de 500 [].Determinr: () Ls componentes F, F, F de l fuerz F que ctú sore el perno A, () los ángulos, que el lmre form con los ejes coordendos. x z Solución: [m] 80 B -30 A 0 40 z [m] x [m] En este cso, se tiene un vector en un sistem coordendo tridimensionl. Como se conoce ls posiciones de origen termino del vector F result cómodo utilizr el concepto de vector unitrio pr determinr sus componentes, esto es: F F eˆ 40

41 Siendo F l mgnitud de l fuerz F (tensión del lmre) ê el vector unitrio en l dirección AB. Por lo tnto: F 500[ ] 40ˆ i 80 ˆj 30kˆ ( 40) ( 80) ( 30) elizndo l opertori result F 060ˆ i 0 ˆj 795kˆ [ ] F F F [ ] [ ] [ ] 060 Componentes rectngulres de l fuerz F Cálculo de los ángulos x,, z : cos cos x x F F cos F F [ ] [ ] 5,087 4

42 4 [ ] [ ] [ ] [ ] 7, cos cos cos 3, cos cos cos z z F F F F F F F F POBLEMA n 9 Un trmo de muro de hormigón premoldedo se hll provisorimente por los cles que se ilustrn. Siendo que l tensión en el cle AB es de 400[ ] de 6000 [ ] en AC, hllr

43 el módulo l dirección de l resultnte de ls fuerzs que ejercen los cles AB AC sore l estc A. 8,0m B C,40m 3,30m 4,8m A Solución En este cso, corresponde un sistem de dos vectores en el espcio lo primero que se relizr será determinr ls componentes de cd un de ls dos fuerzs utilizndo concepto de vector unitrio, según l orientción de los ejes indicd, es decir: F F e Siendo e el vector unitrio en l dirección AC, es decir: F 6000 [ ] 4,8ˆ i 4,8 ˆj,4kˆ ( 4,8) ( 4,8) (,4) F F e F 4000ˆ i 4000 ˆj 000kˆ [ ] Siendo e el vector unitrio en l dirección AB, es decir: F 400 [ ] 3,3ˆ i 4,8 ˆj,4kˆ ( 3,3) ( 4,8) (,4) F 00ˆ i 300 ˆj 600kˆ [ ] Conocido los vectores componentes F F es posile determinr l resultnte : 43

44 F F es decir: ( 4000 iˆ 4000 ˆj 000kˆ )[ ] ( 00ˆ i 300 ˆj 600kˆ )[ ] euniendo los términos semejntes se otiene que: 800 iˆ 700 ˆj 3600kˆ [ ] Por lo tnto l mgnitud de l resultnte es: ector resultnte. ( 800) ( 700) ( 3600) [ ] 848,636 [ ] B C F F A C F B F 44 A 4,8m

45 45 Clculo de ángulos directores: 0, , cos cos x x 64,3 848, cos cos 50, , cos cos z z z z

46 Prolem n 0 Un piloto de vición dese volr hci el norte. El viento sopl de noreste suroeste l velocidd de 30 [ km/h ] l velocidd del vión respecto l ire es de 80 [ Km/h ]. () En que dirección dee mntener el piloto su rumo? () Cuál será su velocidd? Solución: En primer lugr es conveniente relizr un digrm vectoril de ls velociddes pr esto se dee considerr que l dirección noreste suroeste signific justo 45 entre estos puntos crdinles. Además si el piloto dese volr hci el norte deerá seguir un rumo hci el noroeste que será desvido por l velocidd del viento de tl mner que l sum de ests dos velociddes teng l dirección norte. L gráfic siguiente muestr tl situción. Método del prlelogrmo 80km/h φ 0 E 45 46

47 Eligiendo el triángulo de fuerzs de l izquierd, se tiene: 80Km/h φ 35 β 30Km/h Utilizndo el teorem del seno es posile clculr el ánguloφ, es decir: sen35 80 senφ 30 30sen35 80 senφ sen 30sen35 φ 80 φ 6,768 umo que dee mntener el piloto Pr determinr l velocidd del piloto respecto tierr, es necesrio conocer el ángulo β. β 80 β 38,3 ( 35 φ ) Utilizndo nuevmente el teorem del seno, es posile determinr l velocidd del piloto respecto tierr. 47

48 sen35 senβ 80 sen35 80 senβ 80sen38,3 sen35 Km 57,53 h 80Km/h φ 35 β 30Km/h POBLEMA n Ls dos fuerzs resultnte. P Q ctún sore un tornillo, tl como indic l figur. Determine su Q 60 [ ] 5 0º P 40 [ ] Solución: Q 60 [ ] 5 0º P 40 [ ] 48

49 Considerndo un sistem coordendo rectngulr se tiene: Q 5 P 0 x Según método de ls componentes (trjr con ls componentes rectngulres de cd vector), l resultnte qued determind por: x su mgnitud por: Donde: Por lo tnto: x 40 x x P Q x p Q [ ] cos0 60[ ] cos45 x 80,04 [ ] 40 [ ] sen0 60[ ] sen45 56,07 [ ] Luego el vector resultnte es: 49

50 80,04ˆ i 56,07 ˆj [ ] Su mgnitud corresponde : ( 80,04) ( 56,07) [ ] 97,75 [ ] 97, 75 [ ] α 35, 034 x L dirección qued determind por: α tg α tg α 35,034 x 56,07 80,04 50

51 Ejercicios Propuestos ectores. Ddos los vectores iˆ 3 ˆj 7kˆ ; 8 iˆ 7 ˆj 6kˆ El vector resultnte de c es: c 7 iˆ ˆj 0kˆ ) 6 iˆ 5 ˆj 3kˆ ) iˆ 3 ˆj 3kˆ c) 6ˆ 3 ˆj 3kˆ d) iˆ 5 ˆj 5kˆ. Ddos los vectores de l pregunt nterior, l mgnitud de c es: ),709 ) 7,09 c) 70,9 d) 0,79 3. Ddos los vectores de l pregunt, el producto esclr c es: ) 3 ) 3 c) -3 d) 3 4. Ddos los vectores de l pregunt, el producto vectoril c es: ) 3iˆ 59 ˆj kˆ ) 37 iˆ 59 ˆj kˆ c) 3iˆ 58 ˆj kˆ 5

52 d) 3 iˆ 59 ˆj kˆ 5. Ddos los vectores de l pregunt, el ángulo entre los vectores es: ) 8,547º ) 6,78º c) 7,983º d) 8,56º L figur nº corresponde los ejercicios 6, 7, 8 9 Figur nº F 50 F º 60º 6º x F De cuerdo con l figur nº, l componente x de l fuerz resultnte es: ) 873,8 ) 89,808 c) 634,75 d) 80, De cuerdo con l figur nº, l componente de l fuerz resultnte es: ) 873,8 ) 467,84 c) 56,9 d) 634,53 8. Según l figur nº, el módulo de l fuerz resultnte es: ) 984 ) 98,364 c) 86,96 d) 8696,56 5

53 9. De cuerdo con l figur nº, l dirección de l fuerz resultnte es: ) -30,3º ) 30,3º c) 59,7º d) 0,3º L figur nº, corresponde los ejercicios 0,, 3. Figur nº 6m F 600 4m F 950 m 3m 0. Ls componentes de l fuerz F, según l figur nº son: ) 9,043ˆ i 9,043 ˆj 368,564kˆ ) 9,043ˆ i 436,564 ˆj 9,043kˆ c) 436,564ˆ i 9,043 ˆj 368,564kˆ d) 368,564ˆ i 9,043 ˆj 436,564kˆ. Ls componentes de l fuerz F, según l figur nº son: ) 44,853ˆ i 0 ˆj 849,706kˆ ) 9,043ˆ i 436,564 ˆj 9,043kˆ c) 436,564ˆ i 9,043 ˆj 368,564kˆ d) 44,853ˆ i 849,706 ˆj 0kˆ 53

54 . Según l figur nº, l mgnitud de l fuerz resultnte F F es: ).383, ) 500,568 c) 76,358 d) 976,54 3. Según l figur nº, el ángulo director en el eje x de l fuerz resultnte F F es: ) x 5,5º ) x 6,505º c) x,48º d) x -7,954º L figur nº3, corresponde los ejercicios 4 5. Figur nº3 A 37 B 5 C L mgnitud de l componente del peso de 50 en l dirección BC del mecnismo indicdo en l figur nº 3 es: e) 7,45 f) 84,86 g) 300,63 h) 3,99 54

55 4. L mgnitud de l componente del peso de 50 en l dirección AB del mecnismo indicdo en l figur nº 3 es: ) 7,45 ) 397,3 c) d) 500,3 L figur nº4, corresponde l ejercicio 6 Figur nº4 z P x 5. Ls componentes rectngulres crtesins de l fuerz P indicd en l figur nº4 son: ) 396,93ˆ i 0,4 ˆj 445,477kˆ ) 0,4ˆ i 396,93 ˆj 0,4kˆ c) 445,477ˆ i 396,93 ˆj 0,4kˆ d) 396,93ˆ i 0,4 ˆj 396,93kˆ L figur nº 5, se refiere los ejercicios

56 u Figur nº v 6. L mgnitud de l componente de l fuerz de 00 de l figur nº5, en l dirección u es: ) 848,58 ) 938,564 c) 668,649 d) 076, L mgnitud de l componente de l fuerz de 00 de l figur nº 5, en l dirección v es: ) 848,58 ) 668,649 c) 5,47 d) 76,798 L figur nº6, se refiere los ejercicios 9, 0,. 56

57 Figur nº6 F 550 F º 30 F De cuerdo con l figur 6, l componente de l fuerz resultnte es: ) - 535,996 ) - 663,874 c) - 698,556 d) - 74,58 0. De cuerdo con l figur 6, l componente de l fuerz resultnte es: ) 590,88 ) 768,649 c) 3,57 d) 676,755. L mgnitud de l fuerz resultnte del sistem de l figur 6 es: ) 490,68 ) 768,649 c) 797,77 d) ,06. L dirección de l resultnte del sistem de fuerzs de l figur 6 es: ) 39,68º ) 4,649º 57

58 c) 47,785º d) 56,369º L figur nº 7, se refiere los ejercicios 3 4 Figur nº7 B 0,5 80cm C A 5cm 55cm 3. L mgnitud de l componente de l fuerz de 0,5 en l dirección AB del mecnismo indicdo en l figur nº7 es: ) 4,69 ) 49,53 c) 56,98 d) 59, L mgnitud de l componente de l fuerz de 0,5 en l dirección BC del mecnismo indicdo en l figur nº7 es: ),579 ) 7,56 c) 3,40 58

59 d) 44,397 L figur nº 8, se refiere los ejercicios 5, 6, 7, 8 Figur nº 8 z m F 50 3 m 3 m m m P 75 m 5 m x 5. Ls componentes rectngulres de l fuerz F de l figur nº 8 son ),540ˆ i 3,980 ˆj 54,84kˆ ) 5,637ˆ i 8,998 ˆj,30kˆ c) 3,980ˆ i 3,980 ˆj,30kˆ d) 44,35ˆ i 44,35ˆj,540kˆ 6. Ls componentes rectngulres de l fuerz P de l figur nº8 son: ) 5,30ˆ i 44,564 ˆj 54,84kˆ ) 45,66ˆ i 3,874 ˆj 33,558kˆ c) 3,980ˆ i 3,980 ˆj,30kˆ d) 63,387ˆ i 38,03 ˆj,677kˆ 7. L mgnitud de l fuerz resultnte F P de l figur nº 8 es: ) 3,095 ) 55,894 c) 63,85 d) 98,7 8. El ángulo director de l resultnte F P de l figur nº 8 respecto l eje x vle: ) 39,8º ) 48,36º 59

60 c) 5,77º d) 58,056º L figur nº 9, se refiere los ejercicios 9, 30, 3 3 Figur nº 9 z m m m P58 m F 64 5 m x 9. Ls componentes rectngulres de l fuerz F de l figur nº 9 son: ) 39,84ˆ i 4,554 ˆj 9,356kˆ ) 33,589ˆ i 44,58ˆj 50,kˆ c) 5,339ˆ i 34,5 ˆj 8,95kˆ d) 5,9ˆ i 3,47 ˆj 0,764kˆ 30. Ls componentes rectngulres de l fuerz P de l figur nº 9 son: ) 44,748ˆ i 8,950 ˆj 35,798kˆ ) 33,589ˆ i 44,58ˆj 50,kˆ c) 50,335ˆ i 4,35 ˆj 4,5kˆ d) 6,335ˆ i 44,664 ˆj 3,47kˆ 3. L mgnitud de l fuerz resultnte F P de l figur nº 9 es: ) 8,87 ),594 60

61 c) 7,750 d) 33,68 3. El ángulo director de l resultnte F - P de l figur nº 9 respecto l eje vle: ) 39,8º ) 36,880º c) 55,678º d) 63,3º Pregunts El miemro CB del tornillo de nco representdo en l figur0, ejerce sore el loque B un fuerz F dirigid según l rect CB. Se se que F tiene un componente horizontl de 400. Figur 0 C 0,8 m, m A B 33. El módulo de l fuerz F de l figur 0 vle: ) 437,854 ) 664,39 c) 709,084 d) 47, El módulo de l componente verticl de l fuerz F de l figur 0 vle: ) 980,9 ) 664,39 c) 856,44 d) 00,54 L figur nº, corresponde ls pregunts 35, 36,

62 Figur nº z F05 P x Ls componentes rectngulres de l fuerz P de l figur nº son: ) 4,748ˆ i 9,950 ˆj 55,798kˆ ) 33,589ˆ i 34,3ˆj 36,kˆ c) 37,407ˆ i 8,88 ˆj 5,00kˆ d) 48,634ˆ i 55,0 ˆj 66,7kˆ 36. Ls componentes rectngulres de l fuerz F de l figur nº son: ) 36,5ˆ i 38,887 ˆj 6,96kˆ ) 47,78ˆ i 44,087 ˆj 8,74kˆ c) 54,664ˆ i 48,663 ˆj 74,58kˆ d) 68,9ˆ i 33,94ˆj 88,378kˆ 37. L mgnitud de l fuerz resultnte F P de l figur nº vle: ) 8,394 ) 37,49 c) 46,45 d) 59, El ángulo director de l fuerz resultnte F P de l figur nº, respecto l eje z vle: ) 3,595º 6

63 ) 44,367º c) 48,564º d) 58,93º Pregunt c d x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 x x x 3 x Pregunt c d 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 x x x 3 x 4 x 5 x 6 x Pregunt c d 7 x 8 x 9 x 30 x 3 x 3 x 33 x 34 x 35 x 36 x 37 x 38 x 63

64 BIBLIOGAFÍA - Púl E. Tippens - Hllid esnick Krne - mond A. Serw - Sers emnsk - oung - Freedmn - Frederick Bueche - F. Beer. Johnston - M. Alonso E Finn - Físic, Conceptos Aplicciones M c Gw Hill, Quint Edición, Físic, ol. CECSA, 4ª Edición Físic, Tomo I M c Gw Hill, 4ª Edición Físic Universitri, ol. Ed. Person, 9ª Edición Fundmentos de Físic, Tomo I - Mecánic Estátic ectoril pr Ingenieros. Estátic M c Gw Hill, 6ª Edición. 000 Físic Addison Wesle,