UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

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1 UNIDAD DE APRENDIZAJE IV Seres procedimentles 1. Utiliz correctmente el lenguje lgerico, geométrico y trigonométrico.. Identific l simologí propi de l geometrí y l trigonometrí. 3. Identific ls uniddes pr medir ngulos. 4. Emple de mner sistemátic conceptos geométricos y trigonométricos en prolems cotidino. Seres declrtivos Clsificción de triángulos olicuángulos. Metodologí de l resolución de triángulo olicuángulos medinte l división de triángulos rectángulos. Teorem de Senos. Teorem de Cosenos. Aplicciones. A Clsificción de Triángulos Olicuángulos Podemos llmr un tringulo olicuángulo quel que no tiene un Angulo recto, esto hce que no lo podmos resolver directmente con el teorem de Pitágors, por lo que usremos otrs herrmients como lo pueden ser los teorems de SENO y de COSENO. Rectángulos Triángulos Acutángulos Olicuángulos Otusángulos Triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo de 90 y sus de sus ldos recien el nomre de ctetos y ldo más grnde de hipotenus. Triángulo Olicuángulo es el que no tiene ningún ángulo de 90. Y se dividen en Acutángulo y Otusángulo. Triángulo Otusángulo es el que tiene como principl crcterístic un ángulo myor de 90 llmdo ángulo otuso y por consecuenci los otros dos ángulos restntes serán ángulos gudos. Triángulo cutángulo es el que tiene como crcterístic que sus tres ángulos son menores de 90, son ángulos gudos. Acdemi de Mtemátics 015

2 B Metodologí de l Resolución de Triángulos Olicuángulos medinte l división en triángulos rectángulos Y semos que el teorem de Pitágors lo utilizmos pr resolver triángulos Rectángulos, pero tmién lo podrímos plicr pr triángulos otusángulos, siempre y cundo estos triángulos los podmos dividir en triángulos rectángulos más pequeños que estén incluidos en el olicuángulo. Por ejemplo un tringulo olicuángulo se podrí divir en dos triángulos rectángulos como se ve continución: Triángulo Olicuángulo Triángulos rectángulos 1 c Tnto el triángulo ABC como el BDC son rect+ngulos que tienen ls ssiguientes crácter stics: 1. El ldo h es común los dos triángulos. El ngulo C es l sum de los ángulo 3. El ldo c es l sem de los ldos m y n Ejemplo El ldo p mide 38cm, el ldo q es de 56cm y el ángulo R mide Clculr el vlor de los demás elementos. Incluyendo el áre Acdemi de Mtemátics 015

3 Primero en el triángulo PQR se trz l ltur h y se h seprdo en dos triángulos rectángulos que son QMP y QMR. Entonces l ltur es Se clcul en el triángulo QMP l se con yud del teorem de Pitágors Y por construcción se se que Ahor, l usr tngente, se clcul el ángulo P Con el teorem de sum de los ángulos internos del triángulo En los triángulos rectángulos QMP y QMR el áre es l se por ltur sore dos Pr el triángulo QMP: Pr el triángulo QMR: Por lo tnto el áre totl del triángulo es Ejercicios Clculr los ldos y ángulos fltntes de los siguientes triángulos 1. =1.30 B=38 0 C= =5.36 A=54 8 C= c=0.35 A=36 4 B= =50.8 A=10 37 B= c=54.7 =8.35 B=74 6. =1.84 c=9.78 A= =.304 c=3.568 A=6 8. =74. c=1.5 B= =485 =346 C= =7.3 =15.8 C=47 Acdemi de Mtemátics 015

4 C Teorem de Senos Al trzr l ltur (AD) l ldo opuesto o su proongción, prtir del vértice, es posile determinr dos triángulos rectángulos (ADC) como se ve en ls siguientes figurs: De cuerdo lo y estudido en culquier de los dos csos, se determin que: y ( ) y ( ) De ls igulddes nteriores l despejr AD e igulr los primeros miemros se otiene: Y en los mismos triángulos l trzr otr ltur diferente AD se deduce: Este teorem se expres de l siguiente mner: SenA SenB c SenC O puede mnejrse de l siguiente mner SenA SenB SenC c Muestr un relción de rzones entre el ldo de un tringulo y su ángulo opuesto ó vicevers siendo l mism pr los tres ldos, lo que nos fcilit l otención de dtos cundo conocemos 3 de 4 que igulmos por cd dos ldos que igulmos. Se recomiend usr l primer expresión cundo queremos encontrr un ldo y que l lumno le fcilit el despeje lgerico. Y l segund expresión pr cundo se quier encontrr el vlor del ángulo, por ls misms circunstncis ntes mencionds. Acdemi de Mtemátics 015

5 Ejemplos Resuelv el siguiente tringulo usndo el teorem de Senos 1. Aplicndo l relción entre relción tenemos que: SenA porque conozco 3 de 4 de los dtos que implicn est SenB SenB SenA 16 Sen41. Sen mts Not: considerr con el mestro proximción en decimles en los resultdos. Clculr l medid de los ldos y ángulos fltntes de cuerdo los dtos siguientes: =13cm, = 17cm y B=58. Sustituyendo en el teorem de senos se tiene que Pr el cálculo de C se puede utilizr el teorem de ángulos internos de un triángulo: Pr el cálculo del ldo c, utilizr de nuev cuent ley de senos Ejercicios Clculr los ldos y ángulos fltntes de los siguientes triángulos 1. p=5.5cm q=5.45cm Q= =8m A=0.314rd B=0.683rd 3. m=4.75cm o=17.5cm O=18 Acdemi de Mtemátics 015

6 4. =75m =36m A=60 5. X=35 0 Y=58 x=45cm 6. N=75 m=1dc n=3dc 7. =7.75m =9.75m B=7 8. r=430cm s=500cm R=8 D Teorem de Coseno Este teorem se expres de l siguiente mner c ccosa c ccosb c CosC Podemos oservr cómo se mntiene l relción entre los ángulos y los ldos sin importr de qué ldo estmos hlndo. Ls tres expresiones nteriores se refieren l teorem de cosenos. Si se quisier conocer el vlor de los ángulos strí con despejr correctmente l función de Coseno de cd expresión. Como por ejemplo de l expresión c CosC despejndo Cos C nos qued: c CosC CosC c CosC c CosC c Ejemplo Resuelv el siguiente triángulo plicndo el teorem de cosenos Aplicndo c CosC Despejndo Cos C CosC c CosC (11.9)(16) Acdemi de Mtemátics 015

7 89 7. m 1 Cos 85 MATEMÁTICAS II. GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA CosC Not: considerr con el mestro proximción en decimles en los resultdos APLICACIONES 1.- dos oservdores distntes de 38 m en terreno horizntl, miden los ángulos de elevción de un gloo estático, situdo en el mismo plno que ellos, y hlln que sus medids son: A=39 y B=4730. A qué ltur se hll el gloo? Primero con teorem de sum de ángulos se clcul el del gloo G A continución con el teorem de senos se ccul el ldo ( ) Finlmente con culquier de los triángulo rectángulo se clcul l ltur h.- Entre los puntos E y D hy un vegetción, pero entre los puntos F y D si como F y E si son ccesiles y se pueden medir Cuál será l distnci entre E y D Acdemi de Mtemátics 015

8 .- Del ejercicio nterior clcule los ángulos Fltntes. Ejercicios Resover los siguientes triángulos olicuángulos cuyos dtos: 1. A=80 B= 15 =81cm. A=4 10 B=59 30 =13.5cm 3. A=55 C=61 37 =63.3cm 4. B=60 1 C=71 13 c=75.80cm 5. B=95 36 C=4 =0.87m 6. B=80 C=45 =80cm 7. B=35 C=44 5 =8cm 8. B=69 39 =54.08cm =60.45cm 9. C=4 =3.604cm c=3.15cm 10. A=74 30 =4cm c=358cm 11. B=39 =15cm c=8cm 1. =4cm =5cm c=6cm 13. =1cm =18cm c=0cm 14. =3.cm =4.8cm c=6.3cm 15. =80cm =85cm c=90cm 16. A=63 =0.1734m =0.1545m 17. A= B=5 40 =45cm 18. A110 0 =8.5cm =4.5cm 19. C=7 =8.40cm c=6.10cm 0. =9.3km =40.6km c=34.1km 1. En un prlelogrmo los ldos dycentes miden respectivmente 34cm y 65cm y uno de sus ángulo mide 48. Clculr el áre del plelogrmo.. Clculr el áre de un octágono regulr inscrito en un círculo cuyo rdio mide 34cm. 3. En un círculo de 1.56cm de diámetro se inscrie un pentágono, clculr su áre. 4. Un prlelogrmo tiene ldos cuys longitudes son 3 y 75 cm y uno de sus ángulos mide 73. Clculr l longitud de sus digonles. Acdemi de Mtemátics 015