Resolución de triángulos

Transcripción

1 8 Resolución de triángulos rectángulos. Circunferenci goniométric P I E N S A Y C A L C U L A Escribe l fórmul de l longitud de un rco de circunferenci de rdio m, y clcul, en función de π, l longitud del rco correspondiente : ) 90 b) 80 c) 70 d) 360 L = π nº 360 ) π 90 = π m b) π 80 = π m c) π 70 = 3π m d) π 360 = π m Ps los ángulos siguientes rdines: ) 30 b) 0 c) 70 d) 35 π rd π ) 30 = rd 80 6 π rd π b) 0 = rd 80 3 π rd 3π c) 70 = rd 80 π rd 7π d) 35 = rd 80 4 Ps los ángulos siguientes grdos: ) 0,5 rd b) rd c),5 rd d),5 rd 80 ) 0,5 rd = π rd 80 b) rd = π rd 80 c),5 rd = π rd 80 d),5 rd = 43 4 π rd 3 4 Determin cos sbiendo que el ángulo está en el cudrnte y que sen = 0, 0, cos sen + cos = 0, + cos = ò cos = 0,9798 A P L I C A L A T E O R Í A Clcul tg, sbiendo que el ángulo está en el 3 er cudrnte y que cos = 0,7 46 SOLUCIONARIO

2 30 0,7 O cos 30 sec 30 tg sen + tg = sec + tg = ( ) 0,7 tg =,0408 O 30 cotg 30 tg 30 5 Determin ls rzones trigonométrics del ángulo si está en el 4 cudrnte y sen = 0,4 7 Dibuj en l circunferenci unidd los ángulos siguientes: ) 485 b) 370 c) 00 cos 0,4 tg ) 485 = sen + cos = ( 0,4) + cos = ò cos = 0,965 sen tg = = 0,4364 cos sec =,09 cosec =,5 cotg =,95 b) 370 = Dibuj en l circunferenci unidd el ángulo de 30 y dibuj el segmento que represent cd un de ls rzones trigonométrics. c) 00 = O cosec sen TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 47

3 . Reducción de rzones, identiddes y ecuciones Dibuj en l circunferenci unidd todos los ángulos que cumplen que: ) sen = / b) cos = / ) b) P I E N S A Y C A L C U L A / / 8 Dibuj en l circunferenci unidd dos ángulos que cumpln: ) sen = 3/4 b) cos = /4 c) sec =,5 d) tg = d) tg = A P L I C A L A T E O R Í A ) 3/4 b) /4 c) sec =,5 ò cos = 0,4,5 9 Clcul, reduciendo l er cudrnte, ls rzones trigonométrics siguientes: ) cos 0 b) sen 300 ) ,4 cos 0 = cos 60 = 48 SOLUCIONARIO

4 b) b) 30 = sen 300 = sen 60 = Clcul, reduciendo l er cudrnte, ls rzones trigonométrics siguientes: ) tg 0 b) sen 35 3 cos 30 = cos 50 = cos 30 = c) 385 = ) tg 385 = tg 5 = tg 45 = d) 80 = b) 3 tg 0 = tg 30 = cos 80 = cos 300 = cos 60 = / sen 35 = sen 45 = Clcul, reduciendo l er cudrnte, ls rzones trigonométrics siguientes: ) sen 830 b) cos 30 c) tg 385 d) cos 80 ) 830 = Demuestr que: ) sec tg = b) (cosec + tg ) cos = sen + cotg sen sen cos ) = = = cos cos cos cos sen cos b) ( ) + cos = + sen = sen cos sen = cotg + sen sen 830 = sen 30 = / 30 Resuelve ls siguientes ecuciones trigonométrics: 3 sen = sen = / TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 49

5 6 3 sen cos = 0 50 = k, k é = k, k é 4 cos = sec 30 / 3 sen ( sen ) = 0 3 sen + sen = 0 sen + 3 sen = 0 3 ± ± 5 / sen = = = 4 4 L solución sen = no tiene sentido, porque sen Ì sen = / cos = cos cos = cos = ± ) cos = 50 = k, k é = k, k é 30 / 0 7 sen = = 360 k, k é b) cos = = 90 = = k, k é = k, k é 5 cos = 3 3 cos = 330 = k, k é = k, k é 30 8 sen cos = 0 sen = 0 { cos = 0 ) sen = SOLUCIONARIO

6 = 360 k, k é = k, k é } = 80 k, k é 3 = k,k é = k, k é 4 = k,k é } b) cos = Resolución de triángulos rectángulos P I E N S A Y C A L C U L A Escribe l rzón trigonométric que relcion directmente el vlor de los dtos conocidos en el triángulo del mrgen y el ángulo correspondiente. Utilizndo l clculdor, ll dico ángulo. = 5 cm B? b = 4 cm 4 sen B = 5 B = A P L I C A L A T E O R Í A En un triángulo rectángulo se conocen l ipotenus = 5 m y un cteto b = 4 m. Clcul los demás elementos. = 5 m Áre? B? c? C? b = 4 m Dtos = 5 m b = 4 m Incógnits c B Fórmuls = b + c ò c = b Resolución c = 5 4 = 3 m sen B b = sen B 4 = ò B = C C = 90 B C = 36 5 Áre Áre = b c Áre = 3 4 = 6 m TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 5

7 0 En un triángulo rectángulo se conocen l ipotenus = 4,5 m y el ángulo B = Clcul los demás elementos. Dtos Incógnits Fórmuls Resolución C? = 4,5 m Áre? B = 35 4' 7'' c? = 4,5 m B = 36 5 b? C b c Áre C = 90 B b sen B = ò b = sen B c cos B = ò c = cos B Áre = b c C = b = 4,5 sen =,6 m c = 4,5 cos = 3,67 m Áre =,6 3,67 = 4,79 m En un triángulo rectángulo se conocen el cteto b =,8 m y el ángulo opuesto B = Clcul los demás elementos. Dtos Incógnits Fórmuls Resolución C?? Áre? B = 47 35' 0'' c? b =,8 m =,8 m B = C c Áre C = 90 B sen B b b = ò = sen B c tg C = ò c = b tg C b Áre = b c C = ,8 = = b = 3,79 m sen c =,8 tg =,56 m Áre =,8,56 = 3,58 m En un triángulo rectángulo se conocen los dos ctetos b = 4,5 cm y c = 3,5 cm. Clcul los demás elementos.? Áre? C? b = 4,5 cm Dtos b = 4,5 cm c = 3,5 cm Incógnits B Fórmuls = b + c ò = b + c Resolución c = 4,5 + 3,5 = 5,70 cm tg B b = tg B 4,5 = ò B = c 3,5 C C = 90 B C = B? c = 3,5 cm Áre Áre = b c Áre = 4,5 3,5 = 7,88 cm 5 SOLUCIONARIO

8 4. Aplicciones l cálculo de distncis, áres y volúmenes Clcul mentlmente el ángulo relleno de rojo del siguiente pentágono regulr. P I E N S A Y C A L C U L A = 360 : 5 = 7 3 Un nten de telefoní móvil está en un llnur dentro de un cerc en l que está proibido entrr. Pr llr su ltur, medimos desde un punto eterior el ángulo de elevción y se obtienen 65. Nos lejmos 50 m y el nuevo ángulo de elevción es de 43. Clcul l ltur de l nten de telefoní móvil. tg 65º = } tg 43º = 50 + A P L I C A L A T E O R Í A = 38,47 m = 8,50 m L nten de telefoní móvil mide 8,5 m de lto. 4 Clcul el áre de un eptágono regulr en el que el ldo mide 3,6 cm m 360 : 4 = ,6 cm D 5 4' 5'' 5 4' 5'',8 cm,8 cm A m B C,8 tg = = 3,74 cm P Áre = 7 3,6 3,74 Áre = = 47, cm TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 53

9 5 Clcul el áre de un prism regulr pentgonl en el que l rist de l bse mide 6 m, y l ltur, 5 m jmos en l mism dirección 00 m y el nuevo ángulo de elevción es de 38. Hll l ltur de l ctedrl. 6 m 5 m 68 00m 38 6 m D 3 tg 36 = 36 3 m = 4,3 m 5 6 4,3 A B = = 6,95 m A L = = 450 m A T = 6, = 573,90 m 6 Pr medir l ltur de un ctedrl, medimos el ángulo de elevción de l prte más lt desde un punto determindo y obtenemos 68 ; nos le A B tg 68º = } tg 38º = m = 46,3 m = 4,7 m L ctedrl mide 4,7 m de lto. 38 C 54 SOLUCIONARIO

10 Ejercicios y problems. Circunferenci goniométric 7 Ps los ángulos siguientes rdines: ) 45 b) 50 c) 0 d) 330 π rd π ) 45 = rd 80 4 π rd 5π b) 50 = rd 80 6 π rd 7π c) 0 = rd 80 6 π rd π d) 330 = rd Ps los ángulos siguientes grdos ) rd b) π/9 rd c) 5π/3 rd d),7 rd 80 ) rd = π rd π 80 b) rd = 0 9 π rd 5π 80 c) rd = 300º 3 π rd 80 d),7 rd = π rd 9 Determin tods ls rzones trigonométrics del ángulo si cos = 0,8 y el ángulo está en el 3 er cudrnte. sec =,5 cosec =,6667 cotg =, Si l tg = 0,5 y está en el 4º cudrnte, determin el resto de ls rzones trigonométrics. tg = 0,5 + tg = sec + ( 0,5) = sec òsec =,80 cos = 0,8944 sen tg = ò sen = 0,447 cos cosec =,36 cotg = Si el ángulo está en el º cudrnte y tenemos cosec =,5, determin ls rzones trigonométrics del ángulo cosec =,5 ò sen = 0,4,5 0,5 cos = 0,8 0,8 sen + cos = sen + ( 0,8) = ò sen = 0,6 sen tg = = 0,75 cos sen + cos = 0,4 + cos = ò cos = 0,965 sec =,09 sen tg = = 0,4364 cos cotg =,95 3 Dibuj en l circunferenci unidd el ángulo de 45 y dibuj el segmento que represent cd un de ls rzones trigonométrics. TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 55

11 Ejercicios y problems cosec sen tg 40 cotg 40 sec cos 45 cotg tg 45. Reducción de rzones, identiddes y ecuciones 34 Dibuj en l circunferenci unidd los ángulos que cumpln que: ) sen = 0,7 b) cos = 0,4 ) 0,7 33 Dibuj en l circunferenci unidd el ángulo de 40 y dibuj el segmento que represent cd un de ls rzones trigonométrics. b) 0,4 40 sen Dibuj en l circunferenci unidd dos ángulos que cumpln que: cos 40 cosec sec 40 ) cosec =,5 b) tg =,5 ) cosec =,5,5 56 SOLUCIONARIO

12 b) tg =,5 d), sen 40 = sen 60 = 37 Demuestr l siguiente identidd: cos 3 + cos sen = cos 36 Clcul, reduciendo l er cudrnte, ls rzones trigonométrics siguientes: ) sen 330 b) cos 0 c) tg 0 d) sen 40 ) b) 330 sen 330 = sen 30 = 30 cos 3 + cos sen = = cos 3 + cos ( cos ) = = cos 3 + cos cos 3 = cos 38 Demuestr l siguiente identidd: tg cosec (cos sen ) = tg tg cosec (cos sen ) = = tg (cos sen ) = sen cos = tg tg = tg sen 0 30 Resuelve ls siguientes ecuciones: 39 sen = c) 3 cos 0 = cos 30 = sen = ± ) sen = tg 0 = tg 60 = = k, k é = k, k é TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 57

13 Ejercicios y problems b) sen = = k, k é = k, k é 35 5 b) sen = / 0 / 330 / 3 = k, k é 4 = k, k é 40 tg = 3 Se consider l ríz positiv. 4 3 = k, k é 4 = k, k é sen + = 3 cosec sen + = sen sen + sen 3 = 0 ± + 4 ± 5 sen = = = 4 4 3/ sen = 3/ no tiene sentido, porque sen Ì sen = = k, k é = k, k é = k, k é = k, k é sen = cosec = k, k é 4 sen = sen 4 sen = sen = ± / ) sen = / 43 sen = cos + sen = sen + / / sen + sen = 0 ± + 8 ± 3 sen = = = sen = no tiene sentido, porque sen Ì sen = 58 SOLUCIONARIO

14 ) sen = = k, k é = 360 k, k é = k, k é } = 80 k, k é b) cos = 44 sen cos = sen sen cos sen = 0 { sen = 0 sen (cos ) = 0 ò cos = 3 = 360 k, k é 0 3. Resolución de triángulos rectángulos 45 En un triángulo rectángulo se conocen l ipotenus = m y un cteto c = 7,5 m. Clcul los demás elementos. = m Áre? C? b? Dtos = m c = 7,5 m Incógnits b B Fórmuls Resolución = b + c ò b = c b = 7,5 = 9,37 m cos B c = cos B 7,5 = ò B = C C = 90 B C = B? c = 7,5 m Áre Áre = b c Áre = 9,37 7,5 = 35,4 m 46 En un triángulo rectángulo se conocen l ipotenus = 7, cm y el ángulo B = Clcul los demás elementos. Dtos Incógnits Fórmuls Resolución C? = 7, cm Áre? b? B = 4 35' 3'' c? = 7, cm B = C b c Áre C = 90 B b sen B = ò b = sen B c cos B = ò c = cos B Áre = b c C = b = 7, sen = 4,87 cm c = 7, cos = 5,30 cm Áre = 4,87 5,30 =,9 cm TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 59

15 Ejercicios y problems 47 En un triángulo rectángulo se conocen el cteto c = 6,4 m y el ángulo contiguo B = Clcul los demás elementos.? C? Áre? b? Dtos c = 6,4 m B = Incógnits C b C = 90 B Fórmuls cos B c c = ò = cos B b tg B = ò b = c tg B c C = Resolución 6,4 = =,56 m cos b = 6,4 tg = 9,63 m B = 56º 3' 44'' c = 6,4 m Áre Áre = b c Áre = 9,63 6,4 = 30,8 m 48 En un triángulo rectángulo se conocen los dos ctetos b = 9,5 cm y c = 7,6 cm. Clcul los demás elementos.? Áre? C? b = 9,5 cm Dtos b = 9,5 cm c = 7,6 cm Incógnits B Fórmuls Resolución = b + c ò = b + c c = 9,5 + 7,6 =,7 cm tg B b = tg B 9,5 = ò B = c 7,6 C C = 90 B C = B? c = 7,6 m Áre Áre = b c Áre = 9,5 7,6 = 36,0 cm 4. Aplicciones l cálculo de distncis, áres y volúmenes D 49 Un torre de lt tensión está colocd dentro del mr sobre un soporte. Desde l orill de l ply se mide el ángulo de elevción de l prte más lt y se obtiene 67. Alejándose en l mism dirección 50 m, el nuevo ángulo de elevción es de 5. Clcul l ltur de l torre m 67 5 A 50 m B tg 67º = } tg 5º = 50 + =,34 m = 9,07 m L torre de lt tensión mide 9,07 m de lto. C 60 SOLUCIONARIO

16 50 Clcul l potem de un octógono regulr en el que el ldo mide 7, cm 360 : 6 = 30 7, cm 5 Se quiere medir l ncur de un río. Pr ello se observ un árbol que está en l otr orill. Se mide el ángulo de elevción desde est orill l prte más lt del árbol y se obtienen 53.Alejándose 30 m del río se vuelve medir el ángulo de elevción y se obtienen 35. Clcul l ncur del río. 30' 30' 3,6 tg 30 = 3,6 cm 3,6 cm = 8,89 cm m 5 Clcul el volumen de un pirámide regulr cudrngulr en l que l rist de l bse mide 6 cm y el ángulo que form l bse con ls crs lterles es de 65 D H 6 cm H tg 65 = 3 H = 6,43 cm A B = 6 = 36 cm V = 36 6,43 = 77,6 cm cm A 90 tg 53º = } tg 35º = = 33,5 m = 44,47 m El río mide de nco 33,5 m B m C TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 6

17 Ejercicios y problems Pr mplir 53 Ps los ángulos siguientes rdines: ) 0 b) 35 c) 40 d) 300 cosec =,67 cotg =,33 π rd π ) 0 = rd 80 3 π rd 3π b) 35 = rd 80 4 π rd 4π c) 40 = rd 80 3 π rd 5π d) 300 = rd Clcul tods ls rzones trigonométrics de sbiendo que cotg = 3/ y está en el 3 er cudrnte. 54 Ps los ángulos siguientes grdos: ) 3,5 rd b) 3 rd c),6 rd d) 0,4 rd 80 ) 3,5 rd = π rd 80 b) 3 rd = π rd 80 c),6 rd = π rd 80 d) 0,4 rd = 55 6 π rd 55 Clcul tods ls rzones trigonométrics de sbiendo que sen = 0,6 y está en el cudrnte. 0,6 + cotg = cosec + ( 3/) = cosec 3 cosec = 3 sen = = 3 3 tg = /3 cos cotg = òcos = cotg sen sen cos = ( ) = sec = = Clcul tods ls rzones trigonométrics de sbiendo que tg = /5 y está en el cudrnte. sen + cos = 0,6 + cos = ò cos = 0,8 sen tg = = 0,75 cos sec =,5 /5 + tg = sec + ( /5) = sec 6 SOLUCIONARIO

18 9 sec = 5 b), cos = = 9 9 sen tg = òsen = cos tg cos sen = ( ) = cosec = = 9 58 Dibuj en l circunferenci unidd dos ángulos que cumpln que: ) sen = 0,6 b) cos = 0,4 ) b) 60 Clcul, reduciendo l er cudrnte, ls rzones trigonométrics siguientes: ) sec 3 70 b) cos c) tg 040 d) sen 850 ) 3 70 = ,6 0,4 3 sec 3 70 = sec 30 = 3 b) = Dibuj en l circunferenci unidd dos ángulos que cumpln que: ) tg =,5 b) sec =,5 ) 0 60 cos = cos 0 = cos 60 = / c) 040 = , tg 040 = tg 40 = tg 60 = 3 TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 63

19 Ejercicios y problems d) 850 = Dibuj en l circunferenci un ángulo tl que sec = 3/. Clcul cos( + π) ,5 sen 850 = sen 330 = / 6 Clcul ls rzones trigonométrics siguientes sbiendo que sen 5 = 0,588: ) sen 65 b) sen 95 c) sen 345 d) cos 05 e) cos 55 f) cos 85 ) sen 65 = sen (80 5 ) = sen 5 = 0,588 b) sen 95 = sen ( ) = sen 5 = = 0,588 c) sen 345 = sen (360 5 ) = sen 5 = = 0,588 d) cos 05 = cos (80 75 ) = cos 75 = = sen 5 = 0,588 e) cos 55 = cos( ) = cos 75 = = sen 5 = 0,588 f) cos 85 = cos( ) = cos 75 = = sen 5 = 0,588 cos ( + π) = cos = /3 64 Demuestr l siguiente identidd: tg (cos + cosec sen ) = sen + cos sen (cos + cosec sen ) cos sen sen + cos cos cos sen + sec cos sen + sec sec + cos sen + cos 65 Demuestr l siguiente identidd: tg sen ( + tg ) = sen 6 Sbiendo que sen = 0,4 y es un ángulo del er cudrnte, clcul: ) sen (80 ) b) sen (360 ) c) sen (90 + ) ) sen (80 ) = sen = 0,4 b) sen (360 ) = sen = 0,4 c) sen (90 + ) = cos Se clcul cos sen + cos = 0,4 + cos = cos = 0,965 tg = sen sec sen sen = : = cos cos sen cos = : = cos cos sen cos = = cos sen = sen 66 Demuestr l siguiente identidd: + sen cos = cos sen 64 SOLUCIONARIO

20 ( + sen )( sen ) = cos sen = cos cos = cos Demuestr l siguiente identidd: = sec Resuelve ls siguientes ecuciones: 68 tg cos sen sen tg cos = = cos sen cos sen cos sen = = cos (cos sen ) = = sec cos sen ( + 45 ) = 3 = 360 k, k é = k, k é } = 80 k, k é 70 3 tg = cos 3 sen = cos 3 sen = ( sen ) sen + 3 sen = 0 3 ± ± 5 / sen = = = 4 4 L solución sen = no es válid. sen = / 3 sen ( + 45 ) = / / Se tom l ríz positiv = k, k é = k, k é 7 cos sen = sen + 45 = k, k é = k, k é + 45 = k, k é = k, k é 69 cos = + sen sen sen = sen sen + sen = 0 ± + 8 ± 3 / sen = = = 4 4 ) sen = / cos = + sen sen = + sen sen = 0 sen = 0 / / TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 65

21 Ejercicios y problems = k, k é = k, k é b) sen = ± + 8 ± 3 / sen = = = 4 4 ) cos = / = k, k é 7 sen cos = / sen + sen = / sen = / sen = ± / ) sen = / = k, k é = k, k é b) cos = 80 3 = k, k é / / 74 sen cos = cos = k, k é = k, k é b) sen = / sen cos cos = 0 cos (sen ) = 0 ò cos = 0 sen? 0 pr todo vlor de Si cos = / 330 / 3 = k, k é 4 = k, k é = k, k é = k, k é = k, k é } 73 cos + cos = sen cos + cos = cos cos + cos = 0 75 tg = sen cos sen = sen cos sen sen cos = 0 66 SOLUCIONARIO

22 sen ( cos ) = 0 ò ) sen = 0 { sen = 0 cos = 0 ò ò cos = ± / = 360 k, k é = k, k é } = 80 k, k é b) cos = = 360 k, k é = k, k é } = 80 k, k é b) cos = = 360 k, k é Es l mism que un nterior. 3 = k, k é 4 = k, k é c) cos = sen cos = 0 sen = cos sen = cos tg = 5 = k, k é 6 = k, k é tg sen = 0 sen sen cos = 0 sen ( cos ) = 0 ò ) sen = 0 { sen = 0 cos = 0 ò ò cos = 78 En un triángulo rectángulo un cteto mide el doble que el otro. Clcul l mplitud de sus ángulos gudos. TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 67

23 Ejercicios y problems b 5 m b 5 m tg = = ò= b = = m 4 m 4 cos = ò= b = = En un triángulo rectángulo un cteto mide 5 m, y el áre, 0 m. Hll los demás elementos del triángulo rectángulo. C?? b = 5 m B? Áre = 0 m Áre = bc 5c = 0 5c = 0 c = 4 m = = 4 = 6,40 m 5 tg B = ò B = C = = c? Con clculdor 8 Clcul el ángulo correspondiente en cd cso: ) sen = 0,4 estndo en el er cudrnte. b) cos = 0,65 estndo en el º cudrnte. c) tg =,4 estndo en el 3 er cudrnte. d) cos = 0,8 estndo en el 4º cudrnte. ) b) c) d) Clcul el ángulo correspondiente en cd cso: ) cos = 0, estndo en el er cudrnte. b) tg =,6 estndo en el º cudrnte. c) sen = 0,7 estndo en el 3 er cudrnte. d) tg = 0,5 estndo en el 4º cudrnte. 80 En un triángulo isósceles, cd uno de los ldos igules mide 5 m, y el desigul, 8 m. Hll l mplitud de sus ángulos. ) b) 9 c) d) SOLUCIONARIO

24 83 Clcul el ángulo correspondiente en cd cso: ) tg = estndo en el er cudrnte. b) sen = 0,9 estndo en el º cudrnte. c) cos = 0,4 estndo en el 3 er cudrnte. d) sen = 0,3 estndo en el 4º cudrnte. ) b) c) d) Problems Clcul l longitud del rco correspondiente un ángulo centrl de 80 en un circunferenci de 0 cm de rdio. 0π 80 = 7,93 cm En un circunferenci de 8 cm de rdio, el rco correspondiente un ángulo centrl mide 3 cm. Clcul en rdines lo que mide dico ángulo. 3 = 4 rd 8 Ls digonles de un rombo miden cm y 6 cm. Clcul los ángulos del rombo. B 8 cm Los ángulos del rombo son: A = B = Hll el vlor de en el siguiente triángulo rectángulo: sen 3 = 3 = 3 sen 3 =,55 cm Hll el vlor de en el siguiente triángulo rectángulo: C C A = 3 cm B = 3 B 6 cm A A = 3,5 cm B = 6 30' B 8 4 tg A = = 6 3 A = B = = 36 5 cos 6 30 = 3,5 = 3,5 cos 6 30 =,8 cm 89 Hll el vlor de en el siguiente triángulo rectángulo: TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 69

25 Ejercicios y problems C C b =,8 cm b =,8 cm = 4,5 cm A B = 35 5' B A B,8 sen 35 5 =,8 sen = 4,5,8 = = 4,85 cm sen 35 5 = Hll el vlor de en el siguiente triángulo rectángulo: b =,5 cm C 93 El etremo de un escler está poydo sobre l pred de un edificio, y su bse se encuentr 4 m de l pred. Si el ángulo que form l escler con l pred es de 65, qué ltur del suelo lleg l escler? A c = 4 cm B,5 tg = 4 = m tg 65 = 4 = 4 tg 65 = 8,58 m 9 Hll el vlor de en el siguiente triángulo rectángulo: b = 3 cm C 94 Un torre de 50 m de ltur proyect un sombr de 0 m ciert or del dí. Clcul el ángulo con el que se verá el etremo superior de l torre desde el etremo de l sombr. A c = 5 cm B 5 tg = 3 = Hll el vlor de en el siguiente triángulo rectángulo: 0 m 50 m 50 tg = 0 tg =,5 = SOLUCIONARIO

26 95 A un distnci de 35 m del pie de un cimene se ve el etremo de l mism con un ángulo de 5. Clcul l ltur de l cimene m,5 cm,7 cm tg 5 = 35 = 35 tg 5 = 6,3 m,7 tg =,5 = Un comet está sujet l suelo con un cuerd de 80 m de lrgo y ést form con el suelo un ángulo de 65. Si l cuerd está rect, qué ltur del suelo está l comet? 98 En el centro de un lgo sle verticlmente un corro de gu, y se quiere medir su ltur. Pr ello, se mide el ángulo de elevción desde l orill l prte más lt del corro de gu y se obtienen 68 ; lejándose 75 m del lgo se vuelve medir el ángulo de elevción y se obtienen 37. Clcul l ltur del corro de gu. 80 m m m D sen 65 = = 80 sen 65 = 7,50 m 97 Un person que mide,7 cm proyect un sombr de,5 cm. Cuál es el ángulo de elevción del Sol en ese momento? A } tg 68º = tg 37º = B 75 m C TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 7

27 75 m Ejercicios y problems = tg 68º = ( + 75) tg 37º } =,48 = 0,75( + 75) } = 3,5 m = 80,64 m 99 Un cint trnsportdor de scos de cemento mide 350 m y se quiere que eleve el cemento 75 m de ltur. Qué ángulo de elevción debe llevr l cint? = 7 = 45 = 6,7 m 0 Clcul l potem y el áre de un eptágono regulr cuyo ldo mide 9, cm 360 : 4 = , cm 5 4' 5'' 350 m 4,6 cm 4,6 tg = = 9,55 cm 7 9, 9,55 Áre = = 307,5 cm 75 sen = 350 = m 350 m Ddo un triángulo isósceles en el que los ldos igules miden 7 m, y el desigul, 4 m, clcul l ltur reltiv l ldo desigul. 0 Dos persons están en un ply y ven un globo desde los puntos A y B, respectivmente, de form que ls dos persons y el globo están en un plno perpendiculr l suelo. L distnci entre ls dos persons es de 4 km. El ángulo de elevción del globo desde el punto A es de 57, y desde el punto B, de 46. Clcul l ltur l que se encuentr el globo. 4 m 7 m m 7 m 7 SOLUCIONARIO

28 D 3 tg + = 4 tg tg + 3 = 4 tg tg 4 tg + 3 = 0 4 ± 6 4 ± 3 tg = = = ) tg = 3 A } tg 57º = tg 46º = + 4 = tg 57º = ( + 4) tg 46º } =,54 =,04( + 4) } = 8,3 km =,8 km B 4 km C 3 Pr profundizr 03 Demuestr l siguiente iguldd: + sen cos + = sec cos + sen + sen cos + = cos + sen ( + sen ) + cos = = cos ( + sen ) + sen + sen + cos = = cos ( + sen ) + sen = = cos ( + sen ) ( + sen ) = = cos ( + sen ) = = sec cos 04 Resuelve l ecución trigonométric: tg + 3 cotg = 4 = k, k é = k, k é b) tg = 3 = k, k é = k, k é 4 = k, k é } 05 Resuelve l ecución trigonométric: tg sec = sen = cos cos 5 45 TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 73

29 Ejercicios y problems sen = cos sen = cos sen = ( sen ) sen + sen = 0 ± + 8 ± 3 sen = = = / sen = no tiene sentido porque sen Ì sen = tg 55º = } tg 40º = = tg 55º = ( + 300) tg 40º } =,43 = 0,84( + 300) } = 47, m = 60,78 m 35 = k, k é = k, k é 5 07 Un fro está colocdo sobre un montículo.al ldo del montículo y un pequeñ llnur y desde ell se mide el ángulo de elevción del punto más lto del fro y se obtiene 47.Nos lejmos en l mism dirección 0 m, se vuelve medir el ángulo de elevción y se obtiene 3. Clcul l ltur del fro más el montículo. 06 En un llnur, desde un punto culquier se mide el ángulo B de elevción de un montñ y se obtiene 40.Acercándose l montñ un distnci de 300 m, se vuelve medir el ángulo C de elevción y se obtiene 55. Clcul l ltur de l montñ. D m D A C = 55 B = m B 300 m C A } tg 47º = tg 3º = + 0 = tg 47º = ( + 0) tg 3º } =,07 = 0,6( + 0) } = 7,56 m = 9,49 m 47 3 B 0 m C 74 SOLUCIONARIO

30 Aplic tus competencis Cálculo de lturs 08 Un escler de bomberos que mide 0 m de longitud se poy sobre un fcd. El ángulo que form el suelo con l escler es de 75. Qué ltur lcnz l escler sobre l fcd? Cálculo de áres 09 Un finc tiene form de triángulo rectángulo. Uno de los ctetos mide 50 m, y el ángulo opuesto, 5. Clcul el áre de l finc. 5 0 m m 5 c 0 m 50 m sen 75 = 0 = 0 sen 75 = 9,3 m 75 tg 5 = 50 c c = 95,3 m Áre = 50 95,3 Áre = 4 45 m TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 75

31 Comprueb lo que sbes Define qué es un identidd trigonométric y pon un ejemplo. Un identidd trigonométric es un iguldd que se verific pr culquier vlor de l vrible. Ejemplo: sen + cos = Un ángulo mide,3 rd. Cuántos grdos son?,3 rd 80 = π rd b) = c) = Resuelve l siguiente ecución trigonométric: sen + = cos + 3 sen sen 3 sen + = 0 sen =, sen = / ) sen = 90 3 Sbiendo que sen = 3/5 y que el ángulo está en el º cudrnte, ll el vlor del cos = k, k é b) sen = / 3/5 cos / / sen + cos = 3 ( ) + cos = 5 cos = 9 5 cos = 6 5 cos = = k, k é 3 = k, k é Resuelve el siguiente triángulo rectángulo: b =,5 cm 4 Clcul el ángulo en los siguientes csos: ) sen = 0,5678 y el ángulo está en el º cudrnte. b) cos = 0,43 y el ángulo está en el 3 er cudrnte. c) tg =,345 y el ángulo está en el 4º cudrnte. ) =45 4 tg =,5 ò= ,5 b = = =,5 + 3,5 ò = 4,30 cm 7 c = 3,5 cm Clcul el áre de un eptágono regulr en el que el ldo mide,5 cm 76 SOLUCIONARIO

32 En l llnur, desde un punto culquier, se mide el ángulo B de elevción de un montñ y se obtiene 35. Acercándose l montñ un distnci de 00 m, se vuelve medir el ángulo C de elevción y se obtiene 57. Cuánto mide de lto l montñ? ,75,5 cm D 360 : 4 = tg = 0,75 =,56 cm Áre = 7,5,57 = 8,4 cm 8 0,75 cm,5 cm 5 4' 5'' tg 57 = tg 35 = B 00 m C A } + 00 = tg 57 = ( + 00) tg 35 } =,54 = ( + 00) 0,7 } = 66,67 m = 56,67 m L montñ mide 56,67 m de lto. TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 77

33 Linu/Windows GeoGebr Pso pso 0 Estudi el signo de l rzón trigonométric seno en cd cudrnte. Dibuj un triángulo rectángulo en el que se conocen l ipotenus = 8 cm y el ángulo B = 65. Clcul todos sus elementos. Resuelto en el libro del lumndo. Resuelto en el libro del lumndo. Internet. Abre: y elige Mtemátics, curso y tem. Prctic 3 Estudi el signo de l rzón trigonométric coseno en cd cudrnte. 4 Dibuj un triángulo rectángulo en el que se conocen l ipotenus = 0 cm y c = 8 cm. Clcul todos sus elementos. Resuelto en el libro del lumndo. Resuelto en el libro del lumndo. 78 SOLUCIONARIO

34 Windows Cbri Demuestr ls siguientes identiddes; primero dibuj el er miembro, y luego, el º 5 (sen + cos ) = + sen cos Resuelve ls siguientes ecuciones: 7 3sen cos = 0 6 tg + cotg = sec cosec 8 sen cos = 0 TEMA 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 79