Razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo

Transcripción

1 pág.1 Medids de ángulos Ángulo es l porción del plno limitd por dos semirrects de origen común. Los ángulos se pueden medir en grdos sexgesimles o en rdines. Medids en grdos (uniddes sexgesimles): El grdo es el ángulo plno que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercept sobre l circunferenci de este círculo un rco de longitud r o. 60 Un grdo es igul 60 minutos. Un minuto es igul 60 segundos. Un ángulo recto mide 90. Un ángulo llno mide 180. Un ángulo completo mide 60. Medids en rdines En el sistem interncionl, SI, l unidd de medid del ángulo es el rdián (rd). El rdián es el ángulo plno que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercept sobre l circunferenci de este círculo un rco de longitud igul l rdio. Teniendo en cuent l longitud de un circunferenci (r), y con l definición de rdián dd, podemos deducir que un circunferenci culquier medirá rdines. Un ángulo recto mide rd. Un ángulo llno mide rd. Un ángulo completo mide rd. Equivlenci entre grdos y rdines. Pr psr de grdos, minutos y segundos, rdines, se multiplic por y se divide por 180. Pr psr de rdines grdos, minutos y segundos, se multiplic por 180 y se divide por. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo en un triángulo rectángulo Seno del ángulo es l rzón entre el cteto opuesto y l hipotenus. Se design por sen. sen cteto opuesto hipotenus Coseno del ángulo es l rzón entre el cteto dycente y l hipotenus. Se design por cos. cos cteto contiguo hipotenus

2 pág. Tngente del ángulo es l rzón entre el cteto opuesto y el cteto dycente. Se design por tg. tg cteto cteto opuesto contiguo A prtir de ests tres rzones, definimos otrs tres inverss de ells: Cosecnte del ángulo es l rzón que existe entre l hipotenus y el cteto opuesto. hipotenus 1 cosec cteto opuesto sen Secnte del ángulo es l rzón que existe entre l hipotenus y el cteto contiguo. hipotenus 1 sec cteto contiguo cos Cotngente del ángulo es l rzón que existe entre el cteto contiguo y el cteto opuesto. cteto cot g cteto contiguo 1 opuesto tg RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Observndo l figur obtenemos que: y sen, r x cos. r Elevndo l cudrdo mbs igulddes y sumndo obtenemos: sen y x r r r r cos 1, que se llm relción fundmentl y suele escribirse: sen cos 1. Dividiendo l relción fundmentl entre sen 0 sen cos 1 : sen sen sen 1 cotg cosec sen cos 1 Dividiendo l relción fundmentl entre cos 0 : cos cos cos tg 1 sec

3 pág. Rzones trigonométrics de: 0, 45 y 60 Los ángulos de 0, 45 y 60 precen con much frecuenci en ls forms geométrics. Sus rzones trigonométrics se clculn fácilmente prtir del triángulo equilátero y el cudrdo. h sen60º h : d sen45º d 1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA Considermos unos ejes coordendos de origen O. Con centro en O, trzmos un circunferenci de rdio r. Un ángulo es positivo si el giro del primer ldo l segundo se reliz en sentido contrrio l de ls gujs del reloj. Si el sentido de giro coincide con el de ls gujs del reloj, el ángulo es negtivo. Situmos un ángulo con su vértice en el origen O y su primer ldo en el semieje positivo OX. Se dice que el ángulo es del cudrnte en el que esté el segundo ldo. El segundo ldo cort l circunferenci en el punto P de coordends (x,y). Pr un ángulo culquier l definición de ls rzones trigonométrics directs es l siguiente: ordend sen rdio bscis cos tg x r y rdio ordend bscis x y r bscis cot g ordend dep de P x y rdio cos ec ordend de P r y sec rdio bscisdep r x

4 pág.4 Ls rzones trigonométrics son independientes del rdio de l circunferenci elegid. Al umentr o disminuir el rdio de ést, lo único que hcemos es construir diferentes triángulos rectángulos semejntes, y ls rzones trigonométrics sólo dependen del ángulo, no del triángulo. Por comodidd, tomremos l circunferenci de rdio unidd y centrd en el origen de coordends, que se llm circunferenci goniométric. Así, pr un ángulo tendremos: sen = y; es decir, el vlor de l ordend del punto P. cos = x; es decir, el vlor de l bscis del punto P. Los ángulos myores que 60º tendrán su segundo ldo en el cudrnte que correspond después de restrles un ó más vuelts complets. (Pr un ángulo myor que 60º, dividimos entre 60 no entre 6, unque se pudier simplificr-, el cociente nos proporcion el número de vuelts dd l circunferenci y el resto serí el ángulo que tiene ls misms rzones trigonométrics que el ddo. Signo de ls rzones trigonométrics sen 0 sen 0 sen 0 cos 0 cos 0 cos 0 tg 0 tg 0 tg 0 En todo triángulo rectángulo se verific que l hipotenus es myor que culquier de los ctetos, y como el seno y el coseno de un ángulo es l rzón entre un cteto y l hipotenus, en consecuenci se cumplirá que: -1 sen +1 y 1 cos +1 En cmbio l tngente, l ser el cociente entre dos ctetos, puede tomr culquier vlor rel.

5 pág.5 El signo de ls rzones trigonométrics seno y coseno, en cd uno de los cudrntes, viene ddo por el signo que en éste teng l ordend y l bscis. El signo de l tngente se obtiene por cociente. El signo de ls restntes rzones trigonométrics se obtiene prtir de ésts tres. Ejemplo: Cuáles son ls rzones trigonométrics del ángulo, sbiendo que curto cudrnte? Por estr en el curto cudrnte, se deduce que el seno y tngente son negtivs. Además: Ángulo cos 4 5 ; 0 sen tg 4 y que está en el 70 Seno Coseno Tngente 0 No existe 0 No existe Relciones entre ls rzones de ciertos ángulos Se llm reducir l primer cudrnte relcionr ls rzones trigonométrics de un ángulo culquier con ls rzones de un ángulo gudo. Ángulos complementrios: y 90 - ( y / - ) En l figur se observ que el vlor del seno de es igul l vlor del coseno de 90- y que el vlor del coseno de es igul l vlor del seno de 90-. sen (90 - ) = cos cos (90 - ) = sen tg (90 - ) = cotg

6 pág.6 Ángulos suplementrios: y ( y - ) En l figur se observ que los vlores de los senos son igules y los vlores de los cosenos son opuestos. sen (180 - ) = sen cos (180 - ) = - cos tg (180 - ) = - tg Ángulos que difieren en 180: y ( y + ) Si dos ángulos difieren en 180º, sus senos y sus cosenos son opuestos y sus tngentes son igules. sen (180 + ) = - sen cos (180 + ) = - cos tg (180 + ) = tg Ángulos opuestos: y - o que sumn 60º: y 60º- ( y -) sen (- ) = sen(60º-) = - sen cos (- ) = cos(60º-) = cos tg (- ) = tg(60º-) = - tg Si dos ángulos son opuestos o sumn 60º, sus cosenos son igules y sus senos y sus tngentes son opuests.

7 pág.7 EJERCICIOS 19.- Utilizndo los vlores de ls rzones de 0º, 45º y 60º, determin ls rzones trigonométrics siguientes: ) sen 10º b) cos 10º c) tg 00º d) tg 5º e) sen 0º f) cotg 150º g) sec 40º h) cos(-60º) i) tg 10º j) sen(-45º) k) cosec 5º l) sec 15º m) sen 115º n) sec 4440º o) tg(18750º) Soluciones: ) 1 g) - h) n) o) b) i) c) d) 1 e) j) 1 f) k) l) m) 1.- Sin utilizr l clculdor, hll el vlor excto de ls siguientes expresiones: ) 5 sen 4sen sen sen 4sen cos cos sen cos sen cos sen cos sen b) c) d) e) g) f) Soluciones: ) b) c) d) e) sen cos tg tg 6 6 sen 4sen sen cos tg tg 6 f) 4 6 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS g) - Observndo l figur, se tiene: OB=1 OA = OB cos = cos AB = OB sen = sen Expresmos el segmento OP de dos forms distints: OP = OB cos(+) = cos(+) OP = OQ - PQ; OQ = OA cos = cos cos; PQ = AB cos(90º-) = sen sen Igulndo y sustituyendo, tenemos: cos cos cos sen sen

8 pág.8 De est se deduce: sen cos90º cos 90º cos90º cos sen90º sen cos cos sen sen cos cos sen. Luego: sen sen cos cos sen sen tg cos sen cos cos sen sen sen cos cos sen cos cos cos cos tg tg cos cos sen sen cos cos sen sen 1 tg tg Luego: Como ( ), se tiene: cos sen tg tg tg 1 tg tg cos cos cos cos cos cos sen sen sen cos cos sen tg tg tg 1 tg tg RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE A prtir de ls rzones trigonométrics de l sum de dos ángulos y hciendo =, se tiene: sen sen cos cos cos sen tg tg 1 tg RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD Tenemos: cos cos cos 1 sen cos sen. Sumndo y restndo mbs igulddes: 1 cos cos 1 cos sen. Despejndo, obtenemos:

9 pág.9 sen cos tg 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos Sums y diferencis de senos y cosenos (trnsformción en productos) A B A B Llmremos A=+ y B=-, entonces:,. Sbemos que: sen sen cos cos sen sen sen cos cos sen Sumndo: sen sen sen cos Restndo: sen sen cos sen Tmbién sbemos que: cos cos cos sen sen cos cos cos sen sen Sumndo: cos cos cos cos Restndo: cos cos sen sen Sustituyendo por A y B, qued: A B A B sen A senb sen cos A B A B sen A senb cos sen A B A B cos A cosb cos cos A B A B cos A cosb sen sen

10 pág.10 EJERCICIOS 6.- Si sen 5 y cos < 0, clcul: ) cos b) sen c) d) sen e) tg tg f) sen Soluciones: ) 4/5 b) 4/5 c) - d) 4/5 e) /4 f) 0.- Sbiendo que 1 4 sen y tg 1 7 cos y tg. 6 sen ; cos 5 5 sen, Soluciones:.- Simplific ls siguientes expresiones: ) Soluciones: ) sen40º sen0º cos40º cos0º y que 70º < < 60º y 180º < < 70º, clcul: b) ; tg sen195º sen75º sen195º sen75º b) c) tg 50 c) 6 cos60º cos40º sen60º sen40º

11 pág.11 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Son ecuciones en ls que precen rzones trigonométrics ctundo sobre un ángulo incógnit que, como en tods ls ecuciones, hy que despejr. Slvo que se pid expresmente, el vlor de l incógnit se puede dr en grdos o en rdines. Ls soluciones que se obtengn deben ser comprobds sobre l ecución inicil, pues frecuentemente precen soluciones extrñs. Pr resolver un ecución trigonométric, se utilizn ls fórmuls trigonométrics nteriores, plicndo el siguiente procedimiento: ) Despejmos el mismo ángulo en tods ls rzones trigonométrics. b) Pueden presentrse dos csos: Que nos quede tod l ecución en función de un rzón trigonométric. Que nos quede l ecución como un producto de fctores iguldo cero, de form que en cd fctor sólo hy un rzón trigonométric. c) Escribir l solución: Dd un rzón trigonométric hy infinitos ángulos con es mism rzón. Por ejemplo, sbiendo que sen, pr hllr los ángulos que tienen es rzón primero se determinn los cudrntes los que puede pertenecer el ángulo, observndo el signo de l rzón trigonométric. Como el seno es positivo, puede pertenecer l primero y l segundo cudrnte. Hy dos ángulos comprendidos entre 0º y 60º cuyo seno vle, que son 60º y 180º-60º=10º. Si cd uno de estos ángulos le summos un número entero de vuelts, obtenemos ángulos con el mismo seno. Por tnto, ls soluciones son: = 60º + 60º k = + K, con k Z = 10º + 60º k = + K, con k Z

12 pág.1 SISTEMAS DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS x y x y sen cos senx seny Ejemplo: Resuelve: cos x cos y 1 x y x y cos cos 1 x y x y x y sen cos sen miembro: x y x y x y cos cos cos x y 60 x y 10( I). Entonces: x y 40 x y mism solución x y x y x y 10 x y x y 0 x y sen60 cos cos cos 1 Uniendo (I) y (II) se tiene: 60. Dividiendo miembro x y tg x y 0 x y = 0 (II)

13 pág.1 Resolución de triángulos rectángulos Un triángulo culquier está compuesto por seis elementos: tres ldos y tres ángulos. Resolver un triángulo es hllr el vlor de sus seis elementos, conocidos lgunos de ellos. Pr resolver triángulos rectángulos, tenemos en cuent ls siguientes relciones entre sus elementos: L sum de sus ángulos es: A + B + C = 180. Teorem de Pitágors: b Rzones trigonométrics básics: cosb c senc ; c sen B b c tg B ; tgc c b b cosc ;

14 pág.14 EJERCICIOS.- Resuelve los siguientes triángulos rectángulos: ) = 10 m B = 40º b) C = 55º c = 95 m c) = 65 m b = 40 m d) c = m B = 15º Soluciones: ) C = 50º, b = 8`58 m, c = 99`58 m b) B = 5º, = 115`97 m, b = 66`5 m c) A = 58`9º, B = 1`61º, c = 76` m d) C = 75º, = `1 m, b = 8`57 m.- Clcul l ltur de un torre sbiendo que su sombr mide 10 metros, cundo los rllos del sol formn un ángulo de 60º con el suelo. Solución: 17, m 4.- Si l sombr de un poste es igul su ltur, qué ángulo formn los rllos del sol con el horizonte? Solución: 45º 5.- Ls punts de ls rms de un compás distn 7 cm y cd rm mide 1 cm. Hll el ángulo que formn ls rms del compás. Solución: `9º 6.- Clcul l ltur de un poste, sbiendo que dese un cierto punto del suelo se ve éste bjo un ángulo de 0º y si nos cercmos 0m, lo vemos bjo un ángulo de 45º. Solución: 40,95 m 7.- Desde dos torres de observción seprds entre sí 485 metros se ve un incendio forestl (entre mbs torres) bjo unos ángulos respectivos de 84º y de 7º. A qué distnci de cd un de ls torres se está produciendo el incendio? Solución: 1879,7 m y 605`6 m 8.- Un esttu de,5 m está colocd sobre un pedestl. Desde un punto del suelo se ve el pedestl bjo un ángulo de 15º y l esttu bjo un ángulo de 40º. Clcul l ltur del pedestl. Solución: 1,1 m 9.- Hll l ltur de l torre QR de pie inccesible y más bjo que el punto de observción, con los dtos de l figur. Solución: 77,87 m 10.- Clcul l ltur QR, cuyo pie es inccesible y más lto que el punto donde se encuentr el observdor, con los dtos de l figur Solución: 74,55 m

15 pág.15 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA Teorem del seno: En cd triángulo, el ángulo myor tiene enfrente el ldo myor y el ángulo menor, tiene enfrente el ldo menor. Un expresión cuntittiv de este hecho es el teorem de los senos, que se enunci sí: Los ldos de un triángulo son proporcionles los senos de los ángulos opuestos. sen A b senb c senc Demostrción: En un triángulo ABC trzmos un ltur h desde el vértice A: Los triángulos BHA y CHA son rectángulos. Por tnto, tenemos: de donde: h sen B h c senb c c senb b senc h senc h b senc b c senc b sen B. Si trzármos l ltur desde el vértice C se obtendrí: sen A b sen B. Aplicción: Sirve pr relcionr dos ldos de un triángulo con los ángulos opuestos. Por tnto, se podrá resolver con él culquier triángulo del que conozcmos dos ángulos y un ldo, o dos ldos y el ángulo opuesto uno de ellos. Al utilizr el teorem del seno, podemos tener dos soluciones distints válids.,

16 pág.16 Teorem del coseno: El cudrdo de un ldo es igul l sum de los cudrdos de los otros dos ldos menos el doble producto de estos ldos por el coseno del ángulo comprendido: b c b c c b bc cosa c cosb b cosc Demostrción: Supongmos que los ángulos A y C son gudos. El rzonmiento es similr en los demás csos. AH = c cosa HC = b AH = b c cosa Aplicndo el teorem de Pitágors los triángulos AHB y BHC y teniendo en cuent ls igulddes nteriores, se obtiene: c h h Restndo: Por tnto: HC AH h h c b b c b c cosa h b c cos A b c cosa c cosa h c cos A b c cosa bc cosa Aplicción: El teorem de los cosenos sirve pr relcionr los tres ldos de un triángulo con uno de los ángulos del mismo. Por tnto, se podrá resolver con él culquier triángulo del que se conozcn los tres ldos, o bien un triángulo del que se conozcn dos ldos y el ángulo comprendido. Interpretción geométric del Teorem del seno: En todo triángulo, l rzón de un ldo l seno del ángulo opuesto (constnte de proporcionlidd entre los ldos de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos) es igul l diámetro de l circunferenci circunscrit dicho triángulo. sen A b senb c senc R EJERCICIO 40.- Un ángulo de un triángulo vle 0. Clcul su ldo opuesto sbiendo que el rdio de l circunferenci circunscrit es. Solución: =

17 pág.17 ÁREA DE UN TRIÁNGULO Veremos distints expresiones del áre de un triángulo: 1. En función de l bse y l ltur: 1 S b h b. En función de dos ldos y el ángulo comprendido: h 1 senc h senc. Sustituyendo en el prtdo 1: S b senc. En función de los ldos. Fórmul de Herón. S 1 b senc, multiplicmos por 4: 4S b senc, elevmos l cudrdo: 16 S 4 b sen C 4 b 1 cos C 4 b 4 b cos C b 4 b cos C b 4 b c, por el teorem del coseno:, por diferenci de cudrdos: b b c b b c b c c b b c b c c bc b, por el cudrdo de l sum:, por diferenci de cudrdos: Hciendo + b + c = p y restndo ª, b y c se obtiene: b + c = p = (p-); + c b = p - b = (p-b); + b c = p - c = (p-c); Entonces: 16S p ( p c) ( p b) ( p ) S p p p b p c b c p p: semiperímetro

18 pág En función de los ldos y el rdio de l circunferenci circunscrit: Por el teorem de los senos se tiene que: c c R senc S senc R bc 4R Problems de resolución de triángulos: Un triángulo qued determindo cundo se conocen: - tres ldos. - dos ldos y el ángulo comprendido. - un ldo y los ángulos dycentes. Resolver un triángulo es obtener, prtir de los tres dtos conocidos que lo determinn, los otros tres restntes. Pr ello se procede del siguiente modo: 1. Representr l figur.. Situr sobre l figur los dtos conocidos.. Señlr sobre l figur los elementos que hy que hllr. 4. Utilizr ls herrmients estudids.