INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

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1 Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo del áre encerrd por un curv, propició el desrrollo de ls técnics de integrción. Se trtb, por ejemplo, de hllr el áre encerrd bjo l curv f(x) entre los puntos y b: Se conocín fórmuls pr recintos de form igul figurs geométrics(rectngulres, tringulres, e incluso lguns de curvs específics), pero si l curv no tení form regulr, no se conocí, en generl, su áre exct. El cálculo integrl d respuest est y otrs cuestiones... Primitivs. Integrl indefinid Dd un función f(x), sbemos clculr su derivd f (x), e incluso sus derivds sucesivs, f (x), f (x), etc. Sin embrgo hor nos plntemos el problem recíproco: Dd un función f(x), se trt de encontrr otr, F (x), tl que l derivr est últim función, obtengmos l función inicil, es decir: F (x) =f(x) Vemos un ejemplo: Tomemos l función f(x) =x. Se trt de encontrr un función F (x) tl que l derivrl nos de f(x). 93

2 CAPÍTULO. INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS 94 Si pensmos un poco, llegmos que tl función puede ser: F (x) =x pues su derivd es precismente f(x) = x. Ahor bien, no es F (x) lúnic función que cumple eso. Tomemos est otr: F (x) =x +43 Tmbién su derivd es f(x) =x. Estonoshceverquenosólo hy un función que cumple lo requerido, sino infinits, sin más que ñdir culquier número. Esto se expres como: F (x) =x + C Un función F (x) como l que hemos encontrdo se llm primitiv de f(x), y hemos visto que si un función tiene un primitiv, entonces tiene infinits. Llmremos integrl indefinid de l función l conjunto de tods ests primitivs. Lo representremos, en el cso nterior, como: x dx= x + C, C R Definición: Dd un función f(x), se llm primitiv de f(x) otr función F (x) tlque: F (x) =f(x) Se denomin integrl indefinid de f(x) l conjunto de tods ls primitivs (hy infinits) de f(x), y se represent por: f(x) dx = F (x)+c, C R Así, el problem de clculr un primitiv de un función es inverso l de clculr un derivd; como son operciones inverss l sum y l rest, el producto y el cociente, l potencición y l rdicción.

3 CAPÍTULO. INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS Primitivs inmedits De modo nálogo l cso de ls derivds, debemos recordr lguns primitivs de ls funciones más usules:. kdx= kx + C, C R, k R x n dx = xn+ + C, C R,,n R, n n + x dx = x dx = x ln + C, e x dx = e x + C, dx =lnx + C, x C C R C R R sen xdx= cos x + C, cos xdx=senx + C, C R C R dx =rctnx, C R +x x dx =rcsenx + C, C R 0. x dx =rccosx + C, C R Ests primitivs permiten clculr lguns integrles sencills. Además es conveniente l utilizción de ls dos propieddes siguientes:. k f(x) dx = k f(x) dx, k R Est propiedd indic que si hy un número multiplicndo tod l integrl, entonces se puede scr fuer de l integrl.. (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx Lo que indic est propiedd es que si tenemos un sum (o rest) de dos funciones, entonces podemos seprr l integrl en l sum (o rest) de dos integrles. Utilizndo ests propieddes de mner combind, se clculn ls primers integrles sencills. Vemos lgunos ejemplos: Ejemplo: Clculr ls integrles siguientes: xdx ) b) (5x 4 +0x 3 x 8x +5)dx c) ( ) x + ex 3cosx dx

4 CAPÍTULO. INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS 96 Pr l primer integrl, expresmos l ríz en form de potenci y utlizmos l integrl inmedit : xdx= x x + dx = + = x 3 3 = x 3 3 = x 3 = x x + C, C R 3 3 En l segund, seprmos ls sucesivs sums y rests y scmos los números fuer de ls integrles, plicndo ls propieddes de l integrl pr luego plicr l integrl inmedit de nuevo: (5x 4 +0x 3 x 8x +5)dx = 5x 4 dx + 0x 3 dx x dx 8x dx+ 5 dx = =5 x 4 dx +0 x 3 dx x dx 8 xdx+ 5 dx = 5x x4 4 x3 3 8x +5x = =3x 5 + 5x4 4x3 4x +5x + C, C R Por último, volvemos seprr ls integrles y los números y plicmos l tbl de integrles inmedits: ( ) x + ex 3cosx dx = x dx + e x dx 3cosxdx= = x dx + e x dx 3 cos xdx=lnx + e x 3 sen x + C, C R Ejercicio: Clculr ls siguientes integrles: 5x 3 4x ) x 4 dx b) sen x +cosx +3dx c) d) (x ) (x +)dx e) ( x + 3 x + 4 ) x 3 dx f) (8x +)dx (x +) dx g) 3 xdx.4. Integrción por cmbio de vrible A veces ls integrles no son tn simples como ls inmedits, sino que hy pequeños detlles que nos impiden plicr l tbl de primitivs. Por ejemplo, podemos clculr sin problem l integrl: sen xdx= cos x + C, C R pues es inmedit. Sin embrgo otr integrl tn precid y de specto simple como: sen (x +6)dx y no l sbemos clculr porque no prece en l tbl de primitivs inmedits. El rzonmiento utilizr en este cso es el siguiente: Si en vez de tener en l integrl nterior x +6, tuviésemos simplemente x, l integrl serí inmedit. Por tnto, l ide es l siguiente, vmos cmbir l vrible x por otr nuev (que usulmente denotremos por t) y que simplific l tre. Llmremos t l vrible que tiene l siguiente relción con x, en este cso: t =x +6

5 CAPÍTULO. INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS 97 Ahor bien, se nos plnte otro problem. En l integrl prece el término dx (lése diferencil de x). Lo lógico es que si l integrl tiene un nuev vrible t, en vez de precer diferencil de x, prezc diferencil de t, pr no mezclr ls vribles. Aunque pued precer un form un poco rtificil, dremos quí l form pr clculr dt. Simplemente se deriv en l expresión del cmbio de vrible: Derivndo t =x + 6, se obtiene, dt = dx, es decir que: dx = dt Un vez clculdo esto, y podemos clculr l integrl: sen (x +6)dx = sen t dt cmbio = = cos (x +6)+C, C R deshcer el cmbio sen t dt = ( cos t) = El método del cmbio de vrible permite resolver de mner simple integrles que de otro modo no se podrín bordr. Ejemplo: e x3 5 x dx Rzonndo como ntes, se observ que l prte problemátic de l integrl está en el exponente de dich integrl. Hcemos entonces el cmbio: t =x 3 5 y clculndo el diferencil: dt =6x dx de donde despejmos l prte que prece en l integrl: y por tnto l integrl qued reducid : e x3 5 x dx = e t dt cmbio 6 = 6 x dx = dt 6 e t dt = 6 et = 5 deshcer el cmbio 6 ex3 + C, C R Ejemplo: (6x +5x +3) 78 (x + 5) dx El cmbio necesrio en este cso es: con lo que qued: t =6x +5x +3 dt =x +5dx y por tnto l integrl es: (6x +5x +3) 78 (x + 5) dx = = cmbio t 78 dt = t79 79 = (6x +5x +3) 79 = + C, C R deshcer el cmbio 79

6 CAPÍTULO. INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS 98 Ejercicios: Clcul medinte integrción por cmbio de vrible ls siguientes integrles: 3x x ) x 3 x +3 dx Cmbio:t = x3 x +3 b) cos (x +) xdx c) 5sen (3x +)dx ( ) x + d) cos dx e) e x+ dx f) (x 4) 5 7 dx g) 3 +x dx +cosx h) dx i) xe x dx j) x +sen x (x +) 3 dx.5. Determinción de un primitiv prticulr de un función Y hemos visto que si un función tiene un primitiv, entonces tiene infinits, lo que representmos ñdiendo l constnte C l cálculo de l integrl. Ahor bien, si queremos determinr un primitiv concret de entre tods ess infinits, necesitmos un dto más, como por ejemplo, un punto por el que pse dich función. Ejemplo: Clculr l primitiv de l función: que ps por el punto (, 3). f(x) =x 3 x +5 Clculmos en primer lugr tods ls primitivs de f(x), es decir l integrl indefinid: x 3 x +5dx = x4 4 x x4 +5x = 4 x +5x + C, C R De tods ests primitivs, l únic que cumple que ps por el (, 3), es quell tl que: C =3 es decir 7 +5+C =3= 4 4 y por tnto l primitiv buscd es: F (x) = x4 4 x +5x C =3= C = 5 4

7 CAPÍTULO. INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS El problem del cálculo del áre Y se dijo que el desrrollo del cálculo integrl en buen medid se debe l problem de clculr áres de funciones como est: Un proximción pr clculr el áre consiste en dividir el intervlo en otros más pequeños y clculr el áre de los rectángulos que se formn bien l tomr el vlor de l función en un extremo del intervlo, bien en otro entremo, es decir: Figur.: Aproximción del áre medinte rectángulos más pequeños que l función En este cso, hemos dividido el intervlo myor en 4 subintevlos más pequeños y hemos tomdo como ltur de los rectángulos el vlor de l función en el extremo superior del intervlo. Así l sum de ls áres de los rectángulos son más pequeñs que el áre buscd. Áre sum rectángulos< Áre de l función Est sum, en l que l sum de ls áres de los rectángulos es menor que el áre totl se denomin sum inferior de l función en el intervlo. Pero podrímos hber tomdo estos otros rectángulos: Figur.: Aproximción del áre medinte rectángulos más grndes que l función Ahor l sum del áre de los rectángulos es myor que el áre totl, es decir:

8 CAPÍTULO. INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS 00 Áre de l función< Áre sum rectángulos Est sum, en l que l sum de ls áres de los rectángulos es myor que el áre totl se denomin sum superior de l función en el intervlo. Por tnto, el áre buscd está entre l sum superior y l sum inferior de l función: Sum inferior Áre Sum superior Además, obervemos lo que ocurre cundo los subintervlos que tommos son cd vez menores: Vemos que ls sums inferiores son cd vez myores y cd vez más cercns l áre buscd, medid que los intervlos son más pequeños. Figur.3: L proximción se mejor l umentr el número de rectángulos Por contr, ls sums superiores son cd vez más pequeñs y tmbién cd vez más cercns l áre buscd, medid que los intervlos son más pequeños. A medid que los subintervlos son menores, ls sums superiores e inferiores se cercn l áre buscd. Pr llegr clculr dich áre, necesitmos clculr un sum infinit (l de los infinitos rectángulos medid que estos son más pequeños), cos que en mtemátics se denomin sumr un serie. Esto excede con mucho los contenidos del curso. Lo que se necesit sber es que tnto ls sums superiores como ls sums inferiores convergen (se cercn) l áre buscd, y dich sum se represent, si l función es f(x) yelintervloes[, b], por l integrl: b f(x) dx Ahor bien, el siguiente problem es cómo se clcul est integrl, pues en ls integrles indefinids no hbímos incluido ningún intervlo.

9 CAPÍTULO. INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS 0.7. L integrl definid. L regl de Brrow Se denomin integrl definid de l función f(x) enelintervlo[, b] l expresión: b f(x) dx L integrl definid posee ls misms propieddes que l definid, es decir:. b k f(x) dx = k b f(x) dx, k R. b (f(x) ± g(x)) dx = b f(x) dx ± b g(x) dx L integrl definid, puesto que represent, si l función es positiv, el áre que encierr l función con el eje x, tiene lguns propieddes tles como:. Si c es un punto que está dentrodelintervlo[, b], entonces: b f(x) dx = c f(x) dx + b c f(x) dx En otrs plbrs, el áre de l función desde hst b es l sum de ls áres de l función desde hst c ydesdec hst b, si l función es positiv.. Si clculmos l integrl de derech izquierd,en vez de izquierd derech se cumple: b f(x) dx = b f(x) dx 3. L integrl cundo el intervlo se reduce un punto es cero: f(x) dx =0 Pero sin dud l propiedd más importnte, y que permite clculr integrles definids es l llmd Regl de Brrow. Regl de Brrow: Si f(x) es un función que tiene primitiv F (x), y queremos clculr su integrl definid en un intervlo [, b], se cumple que: b f(x) dx = F (x)] x=b x= = F (b) F ()

10 CAPÍTULO. INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS 0 Ejemplo: Clculr l integrl definid: e interpretr el resultdo geométricmente. 3 x dx Aplicndo l regl de Brrow, qued: 3 ] x=3 ( x dx = x3 7 = 3 x= 3 ) = u donde u represent uniddes de áre. Geométricmente es el áre representd en l figur: Ejercicio: Utilizndo l regl de Brrow, clcul el vlor de ls siguientes integrles definids: ) 3 (x 3 4x +5x ) dx b) 4 (3x+) dx c) 4 (x 4 3x 7) dx d) (x+)(x ) dx

11 CAPÍTULO. INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS Aplicciones de l integrl definid l cálculo de áres de recintos plnos L plicción de l integrl definid pr el cálculo de áres depende de cómo se l función en el intervlo concreto. Se pueden presentr los siguientes csos:.8.. Áres limitds por un función y el eje x. L función es siempre positiv siempre en el intevlo: En este cso el áre simplemente viene dd por: b Áre = f(x) dx donde y b son los puntos entre los que queremos clculr el áre, y que hbitulmente son los puntos de corte de l función con el eje x. Geométricmente:. L función se siempre negtiv dentro del intervlo: En este cso el áre viene dd por: b Áre = f(x) dx Geométricmente:

12 CAPÍTULO. INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS Si l función es veces positiv y veces negtiv en el intervlo, se clculn los puntos de corte y se clculn ls integrles sucesivs, utilizndo los prtdos nteriores: En l figur, serí: Áre = c f(x) dx + d c b f(x) dx + f(x) dx d En culquier cso, y cundo clculemos áres, siempre es conveniente comenzr por clculr los puntos de corte de l función con el eje x pr sber si es positiv o negtiv y clculr ls integrles correspondientes, o bien utilizr siempre el vlor bsoluto pr segurrnos de que el resultdo es positivo. Ejemplo: Clculr el áre que encierr con el eje x l gráfic de l función: f(x) =x 3 7x +0x No hce flt dibujr l gráfic. Clculmos los puntos de corte con el eje x: { x 3 7x +0x =0= x(x x =0 7x + 0) = 0 = x = x =0, x =, x =5 7x +0=0 Cort l eje x en (0, 0), (, 0) y (5, 0). Vemos cómo es l función entre 0 y. Tommos un vlor situdo en ese intervlo y lo sustituimos en l función. Se obtiene: f() = = 7+0=4 como 4 es positivo, signific que l función es positiv en ese intervlo, luego el áre será: Áre = ( 4 = ( x x 3 7x 4 +0xdx= 4 7x3 3 +0x ) ( ) = )] x= x=0 = +0= 6 3 u En el otro intervlo, entre el y el 5, tommos otro vlor pr sber si l función es positiv o negtiv: f(3) = = = 6

13 CAPÍTULO. INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS 05 l función es negtiv en el intervlo, luego el áre será: 5 Áre = x 3 7x ( )] +0xdx = x 4 x=5 4 7x3 3 +0x x= = ( ) ( ) ( = = 5 6 ) = = 63 4 u En totl el áre pedid será: Gráficmente: = 53 u 08 u Observ lo importnte que es diferencir los dos intervlos, pues si simplemente hubiésemos clculdo, sin más: 5 x 3 7x +0xdx sin seprr, el resultdo serí: x 3 7x +0xdx= 0 4 (Compruébl) que no es el áre buscd, sino l diferenci entre ls áres. Desde luego, si es posible, es mejor hcer un dibujo pr sber como v l gráfic y determinr el áre clculr. Ejercicio: Clcul ls áres encerrds por el eje x y ls funciones siguientes: ) f(x) =x x 3 b) g(x)= x +9 c) h(x) =x x 3entrex=yx=5.

14 CAPÍTULO. INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS Áres limitds por dos funciones Tmbién es posible plicr ls integrles definids pr el cálculo de áres de recintos limitdos por dos curvs, por ejemplo el de l figur: es: Si ls curvs son f(x) yg(x) se cumple que el áre limitd por ls dos curvs en el intervlo [, b] b (f(x) g(x)) dx siempre que f(x) esté por encim de g(x) enelintervlo[, b]. Si ls curvs se cortn en el intervlo, se subdivide el intervlo en otros menores, en cd uno de los cules se plicn l integrl nterior, determinndo qué curvestá por encim, y se sum el resultdo. En todo cso siempre es necesrio hllr los puntos de corte entre ls curvs, que se clculn igulndo ls expresiones lgebrics de mbs funciones: y resolviendo l ecución resultnte. f(x) =g(x) Ejemplo: Clculr el áre limitd por ls curvs f(x) =x yg(x) =4x 4. Comenzmos clculndo los puntos de corte de ls funciones: f(x) =g(x)= x =4x 4= x 4x +3=0= x =, x =3 Ls funciones se cortn en los puntos y 3. Vemos qué función está por encim y cuál por debjo en ese intervlo. Dndo un vlor intermedio, por ejemplo el : f() = =3 g() = 8 4=4 Como el vlor de g(x) es myor, signific que g(x) está por encim de f(x) enelintervlo,demodo que el vlor del áre será el ddo por l integrl definid: 3 3 Áre = (g(x) f(x)) dx = (4x 4 (x )) dx = 4x 3 x dx = )] x=3 ( = (x 3x x3 =(8 9 9) 3 ) = u 33 u x= 3

15 CAPÍTULO. INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS 07 Si se hce un dibujo, lo cuál es sencillo porque se trt de un rect y un prábol: Ejercicio: Clculr el áre encerrd por ls curvs: ) f(x) =x x y g(x) =6x x b) f(x) =x y g(x)=x + c) f(x) =x 3 y g(x)=x.9. Otrs plicciones de ls integrles Ls plicciones de ls integrles ls Ciencis Sociles se relcionn con ls de ls derivds. Sbemos, por ejemplo, que si ciert función I(x), es l función de ingresos de un determind empres, l función de ingresos mrginl es su derivd I (x). Ls integrles, l ser l operción recíproc, permiten clculr l función de ingresos conocid l de ingresos mrginl, es decir: I (x) dx = I(x)+C, C R (Lo mismo si l función es de coste o de beneficio, etc). Por tnto, en generl, conociendo l función de cmbio (o crecimiento) de culquier proceso, integrndo se puede conocer l función que mide dicho proceso. Ejemplo: El ritmo de crecimiento de l poblción de ploms en un ciudd viene ddo por l función: f(x) =x 0 5x x en ños prtir del ctul y f(x) en miles de ploms. Actulmente hy 500 ploms. ) Cuánts hbrá dentrodex ños? b) En cuánto umentrá l poblción durnte el segundo semestre prtir del momento ctul? c) Hst cundo ument l poblción de ploms?. Qué número máximo lcnz?. ) Como conocemos l función de crecimiento, l función que d el número totl de ploms será un primitiv de ést: F (x) = f(x) dx = x 0 5x dx = x 6 x3 + C, C R Pr determinr C, sbemos que l poblción de ploms hor mismo es de 500, es decir: F (0) = 5

16 CAPÍTULO. INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS 08 luego sustituyendo: C = 5= C = 5 L poblción de ploms sigue un función: F (x) =x 6 x3 + 5 b) El segundo semestre, x v desde 0 5 hst, y el umento de ploms será: F () F (0 5) = = 9 49 =0 604 es decir, 604 ploms (recuerd que l función viene dd en miles de ploms). c) Clculmos los máximos y mimimos de F (x). Como: F (x) =f(x) result que igulmos f(x) = 0, y qued: x 0 5x =0= x( 0 5x) =0= x =0, x =4 Pr sber si son máximos o mínimos, con l derivd segund: luego: x =0esunmínimo y: F (x) = x F (0) = F (4) = x =4esunmáximo, luego lo sumo, l poblción de ploms se drá los4ños prtir de hor, es decir: F (4) = = =7 833 proximdmente 7833 ploms. L gráfic de F(x) es:

17 CAPÍTULO. INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS 09 Ejercicios:. Supongmos que dentro de x meses l poblción de tu ciudd crecerárzón de 5+4 x persons por mes. Si l poblción ctul es de 7500 persons. ) Cuál será lpoblción dentro de un ño? b) En cuántos hbitntes umentrá durnte el segundo ño? c) Llegrá lgún máximo su número de hbitntes?.. Hll l función de beneficio de un empres, B(x), sbiendo que los costes e ingresos mrginles, c(x) e i(x), vienen ddos respectivmente por ls funciones: c(x) =0 04x +4 i(x) = 00 x con C(0) = 80, siendo C(x) l función de coste.