TEMA 4. Cálculo integral

Transcripción

1 TEMA 4. Cálculo integrl En este tem considerremos el cálculo integrl, que es un complemento nturl del cálculo diferencil y tiene múltiples plicciones en otrs ciencis. 4.. Introducción l cálculo integrl El cálculo integrl se originó pr dr solución l problem del cálculo de áres. Específicmente, consideremos l gráfic de un función y = f(x), x [, b]. El problem que nos plntemos es clculr el áre comprendid entre l curv y el eje de ls X: y = f(x) b Este áre se llm l integrl de f(x) en el intervlo [, b] y se denot por b f(x)dx. Sorprendentemente, este problem está relciondo con el cálculo diferencil, trvés de l llmd regl de Brrow. Pr enuncirl, necesitmos el importnte concepto de primitiv de un función: llmremos primitiv de l función f(x) culquier función derivble F(x) tl que F (x) = f(x). Regl de Brrow Supongmos que l función f(x) es continu en el intervlo [, b]. Si F(x) es un primitiv de l función f(x), entonces b f(x)dx = F(b) F().

2 2 En l práctic, existe un notción cómod l hor de plicr l regl de Brrow. Ést se bs en que primero se clcul l primitiv y luego se sustituyen los límites de integrción. Se expres de l siguiente form: b f(x)dx = F(x) b = F(b) F(). Qued clro entonces que pr el cálculo de áres es importnte desrrollr métodos que nos permitn el cálculo de primitivs de funciones. Ése será el objetivo de ls siguientes secciones Cálculo de primitivs Llmremos primitiv de l función f(x) culquier función derivble F(x) tl que F (x) = f(x). Un primer regl básic es que si F(x) es un primitiv de f(x), entonces F(x) + C tmbién lo es pr culquier C R. De hecho, ésts son tods ls primitivs de l función f(x). Al conjunto de tods ls primitivs de l función f(x) se le llm integrl indefinid de f(x) y se denot por f(x)dx. Observemos que dx es simplemente un notción que nos indic cuál es l vrible respecto l cul se efectú l integrción. Según lo nterior, tenemos: f(x)dx = F(x) + C, donde F(x) es tl que F (x) = f(x). Teniendo en cuent ls tbls de derivds, podemos obtener inmeditmente ls primitivs de lguns funciones elementles: x n dx = xn+ + C, n + (n ) dx = ln x + C x e x dx = e x + C sen xdx = cos x + C cosxdx = sen x + C dx = tg x + C. cos 2 x No obstnte, cundo l función integrr es más complicd, no hy forms sencills de determinr un primitiv. Por ello se desrrolln ls técnics de integrción, que ()

3 3 nos permiten, dependiendo del tipo de función integrr, plicr un procedimiento determindo pr obtener un primitiv. Vemos en primer lugr lguns propieddes básics de l integrl indefinid. Propieddes Pr l integrl indefinid tenemos: () kf(x)dx = k f(x)dx, k R; (b) (f(x) ± g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx; Pero es importnte destcr que no hy regls pr l integrl de un producto o de un cociente de funciones. Ejemplo. Usndo ls regls nteriores y ls integrles inmedits (), tenemos: (x 2 3x + 5)dx = x 2 dx 3 xdx + 5 dx y tmbién = x x2 + 5x + C, (e x cosx + 5 sen x)dx = e x dx cosxdx + 5 = e x sen x 5 cosx + C. sen xdx Siempre es recomendble, l clculr un integrl, comprobr el resultdo que hemos obtenido. Pr ello, hemos de verificr que l derivd de éste coincide con el integrndo Cmbio de vrible en un integrl indefinid Un de ls técnics ms fructífers l hor de clculr integrles indefinids es el llmdo cmbio de vrible. Se plic integrles de l form: f(g(x))g (x)dx. El objetivo es introducir un nuev vrible, de form que l integrl resultnte se un poco más sencill de clculr. En l integrl nterior, hcemos el cmbio de vrible t = g(x). En l nuev integrl, l expresión dt está relciond con dx de l siguiente form: dt = g (x)dx. Así, l integrl originl se trnsform en f(t)dt que deberí ser más sencill de resolver.

4 4 Ejemplo 2. () Pr l integrl: e 3x dx hcemos el cmbio u = 3x, con lo que du = 3dx, y por tnto: e 3x dx = 3e 3x dx = e u du = eu + C = 3 e3x + C. (b) Consideremos: x 2x + dx = x(2x + ) 2 dx. Hciendo u = 2x +, tenemos du = 2dx y tmbién x = (u ), con lo que 2 x 2x + dx = 2x(2x + ) 2 dx = (u )u 2 du = (u 3 2 u 2 )du = u u C = (2x + )5 2 6 (2x + )3 2 + C. (c) Un integrl con funciones trigonométrics: sen 2 3x cos 3xdx. Hciendo u = sen 3x, tenemos du = 3 cos 3xdx, con lo que sen 2 3x cos 3xdx = 3 sen 2 3x cos 3xdx = 3 3 u 2 du = 9 u3 + C = 9 sen3 3x + C Integrción por prtes Veremos continución otr técnic de integrción conocid como integrción por prtes. Es prticulrmente útil cundo los integrndos son productos de funciones lgebrics y trscendentes. Se bs en l fórmul pr l derivd de un producto: (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x), de l cul obtenemos f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx. L form hbitul de escribir est regl es l siguiente: udv = uv vdu. donde u y v son funciones de x. L clve está en escoger decudmente ls funciones u y v pr que l segund integrl se más sencill que l primer.

5 5 Ejemplo 3. () Clculemos por prtes l integrl: x cosxdx. Hgmos u = x, dv = cosxdx, con lo que du = dx, v = sen x. Entonces: x cos xdx = x sen x sen xdx = x sen x + cos x + C. (b) Hy situciones en ls que l integrción por prtes tmbién es útil, pesr de no hber un producto de funciones en el integrndo. Por ejemplo: ln xdx. Hciendo u = ln x, dv = dx, tenemos du = dx, v = x y por tnto: x ln xdx = x ln x dx = x ln x x + C = x(ln x ) + C. (c) En lgunos csos es necesrio integrr por prtes más de un vez. Un ejemplo típico es l integrl: x 2 e x dx. Hciendo u = x 2, dv = e x dx, tenemos du = 2xdx, v = e x, con lo que x 2 e x dx = x 2 e x 2 xe x dx. En est últim integrl hcemos u = x, dv = e x dx, du = dx, v = e x, pr obtener x 2 e x dx = x 2 e x 2 xe x e x dx = x 2 e x 2 (xe x e x ) + C = x 2 e x 2xe x + 2e x + C = (x 2 2x + 2)e x + C. A l hor de efectur un integrción por prtes, lo que result fundmentl es elegir qué prte vmos derivr y qué prte vmos integrr. Result útil recordr el siguiente orden pr l elección de u: logritmos, polinomios, exponencil, trigonométrics (LPET) Integrción de funciones rcionles En est sección considerremos un tipo importnte de funciones l hor de integrr: ls funciones rcionles. Es decir, nos ocupremos de integrles del tipo P(x) Q(x) dx,

6 6 donde P(x) y Q(x) son polinomios. Por supuesto, el cso interesnte es cundo Q(x) es un polinomio de grdo myor o igul que uno, porque si no se trtrí de l integrl de un polinomio. Alguns integrles rcionles son inmedits, como ls siguientes dx = ln x + C x (x ) ndx = n dx = rc tg x + C. x C (n N, n 2) (x ) n L integrción de funciones rcionles se bs en descomponer el cociente P(x)/Q(x) en sum de funciones más sencills, de form que ls integrles correspondientes sen esencilmente de uno de los tipos nteriores. En el cso en que el grdo de P(x) se myor o igul que el de Q(x), el primer pso seguir es efectur l división entre los polinomios. Esto proporcion: P(x) Q(x) = Q(x)S(x) + R(x) Q(x) = S(x) + R(x) Q(x) donde S(x), R(x) son polinomios (cociente y resto de l división, respectivmente) y R(x) es de grdo menor que Q(x). Podemos suponer entonces que el grdo de P(x) es menor que el de Q(x). El siguiente pso es descomponer Q(x) en fctores de primer y segundo grdo, de cuerdo sus ríces. Tendremos que distinguir vrios csos, dependiendo de ls ríces de Q(x). Solo veremos dos posibiliddes, cundo Q(x) tiene exclusivmente ríces reles. () Ls ríces de Q(x) son reles y simples Si,..., n son ls ríces de Q(x), hcemos un descomposición de l siguiente form: P(x) Q(x) = A + + A n, x x n donde A,..., A n son constntes desconocids que tenemos que clculr. Un vez conocids ls constntes, tods ls integrles son de tipo logrítmico, como l primer en (2). Observemos que pr clculr los coeficientes tenemos que sumr tods ls frcciones de l expresión nterior e igulr el resultdo P(x)/Q(x). Ejemplo 4. Pr clculr l integrl x 2 5x + 6 dx, en primer lugr hllmos ls ríces del denomindor: son x = 2 y x = 3. Por tnto, pr éste tenemos l descomposición x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3). Escribimos: x 2 5x + 6 = A x 2 + B x 3. (2)

7 7 Pr clculr los coeficientes, hcemos l sum del segundo miembro: x 2 5x + 6 A(x 3) + B(x 2) =, (x 2)(x 3) y llegmos, igulndo los denomindores, = A(x 3) + B(x 2). Dmos x los vlores de ls ríces pr obtener que A =, B =. Luego: x 2 5x + 6 dx = x 2 dx + x 3 dx = ln x 2 + ln x 3 + C. (b) Ls ríces de Q(x) son reles, lguns múltiples Supongmos por simplificr que,..., n son ls ríces simples y b es un ríz múltiple, con multiplicidd m 2. Hcemos un descomposición de l form: P(x) Q(x) = A + + A n + B x x n (x b) + B 2 (x b) + + B m 2 (x b) m. Después de clculr los coeficientes, tenemos integrles de los dos primeros tipos en (2). Ejemplo 5. El denomindor de l integrl: 5x 2 + 2x + 6 x 3 + 2x 2 + x dx tiene dos ríces, x = (simple) y x = (doble). Es decir, x 3 +2x 2 +x = x(x+) 2. Luego tenemos l descomposición 5x 2 + 2x + 6 x 3 + 2x 2 + x = A x + B x + + C (x + ) = A(x + )2 + Bx(x + ) + Cx. 2 x 3 + 2x 2 + x Igulndo denomindores, tenemos 5x 2 +2x+6 = A(x+) 2 +Bx(x+)+Cx. Como ntes, dndo x los vlores de ls ríces x = y x =, obtenemos A = 6, C = 9. Dndo culquier otro vlor x, por ejemplo, x =, obtenemos 3 = 4A + 2B + C, de donde 2B = = 2, es decir, B =. Luego: 5x 2 + 2x + 6 x 3 + 2x 2 + x dx = 6 x dx x + dx + 9 = 6 ln x ln x + 9 x + + C. (x + ) 2dx

8 Aplicciones de l integrl l cálculo de áres y volúmenes Vemos lguns plicciones de l integrl definid, que tienen que ver con el cálculo de áres, volúmenes de sólidos de revolución y longitud de curvs. Áre de un región entre dos curvs Supongmos que tenemos dos curvs y = f(x), y = g(x) con x [, b], de form que f(x) g(x) en [, b]. El áre comprendid entre ls curvs es A = b (f(x) g(x))dx. Si tenemos ls dos curvs, pero no sbemos si se d l desiguldd f(x) g(x) en lgún intervlo, tendremos que clculr los puntos de corte pr, prtir de ellos, deducir en qué intervlos se d f(x) g(x) y en cuáles l desiguldd contrri. Ejemplo 6. () Hllr el áre de l región cotd por ls gráfics y = x 2 + 2, y = x en [, ]: y = x y = x Puesto que x x en [, ], el áre pedid es A = (x ( x))dx = = x3 3 + x x (x 2 + x + 2)dx = = 7 6. (b) En lgunos csos no nos dn el intervlo, sino que se trt de hllr el áre de l región delimitd por dos curvs que se cortn. En tl cso hy que hllr los puntos de corte.

9 9 Por ejemplo, vmos clculr el áre comprendid entre ls funciones f(x) = 2 x 2 y g(x) = x. Los puntos de corte son ls soluciones de l ecución 2 x 2 = x, es decir, x 2 + x 2 =, que son x = 2 y x =. y = 2 x 2 y = x 2 Luego el áre pedid es A = 2 (2 x 2 x)dx = 2x x3 3 x2 2 2 = 9 2. (c) Puede ocurrir que hy más de dos puntos de corte. En tl cso hy que determinr l posición reltiv entre mbs gráfics en cd uno de los intervlos. Como ejemplo, tomemos f(x) = 3x 3 x 2 x, g(x) = x 2 + 2x. Los puntos de corte son ls soluciones de 3x 3 x 2 x = x 2 + 2x, es decir, 3x 3 2x =, que son x =, x = ±2. y = 3x 3 x 2 x 2 2 y = x 2 + 2x Así que el áre pedid es 2 A = (3x 3 2x)dx + (2x 3x 3 )dx 2 3 = 4 x4 6x 2 + 6x x4 = 24. 2

10 Volumen de un sólido de revolución Si tenemos l curv y = f(x), x [, b] y l hcemos girr lrededor del eje OX, obtenemos un sólido tridimensionl. El volumen de éste se puede clculr usndo integrles definids, medinte el llmdo método de los discos. y = f(x) b El volumen viene ddo por b V = π f(x) 2 dx. Ejemplo 7. Hllr el volumen del sólido generdo l girr l región cotd por l gráfic de f(x) = sen x y el eje OX, lrededor del eje OX, con x π. y = sen x π El volumen pedido es π V = π ( π sen x) 2 dx = π sen xdx = π cosx π = 2π. Si lo que hcemos girr lrededor del eje OX es l región comprendid entre dos curvs y = f(x), y = g(x), x [, b], donde f(x) g(x), el volumen del sólido obtenido es b V = π (f(x) 2 g(x) 2 )dx.

11 Ejemplo 8. Clculr el volumen del sólido generdo l girr l región cotd por ls gráfics y = x, y = x 2 lrededor del eje OX. y = x y = x 2 Clculemos los puntos de corte entre mbs gráfics pr ver cuál es l región que gir lrededor del eje OX. Tenemos x = x 2 cundo x = x 4, es decir, si x = o x =. Por tnto el volumen pedido es V = π (( x x) 2 (x 2 ) 2 )dx = π (x x 4 2 )dx = π 2 x5 = 3π 5. Longitud de un rco de curv Si tenemos un rco de un curv, dd por l expresión y = f(x), con x [, b], podemos clculr su longitud con integrles definids. Ést será L = b + f (x) 2 dx. Ejemplo 9. Hllr l fórmul pr l longitud de un circunferenci de rdio R. Tomemos l curv y = R 2 x 2, x R. L longitud pedid es cutro veces l de est curv. y = R 2 x 2 R Si f(x) = R 2 x 2, tenemos f x (x) = R2 x 2

12 2 y entonces R L = 4 + x2 R R 2 x 2dx = 4R R2 x 2dx Pr clculr l primitiv de est últim función, hcemos el cmbio de vrible x = Rt: R2 x 2dx = R R2 R 2 t 2dt = Así que, usndo l regl de Brrow: x R L = 4R rcsen = 2πR, R x dt = rcsent = rcsen. t 2 R que concuerd con l conocid fórmul de l longitud de un circunferenci. Superficies de revolución Medinte el uso de integrles se puede tmbién clculr el áre de un superficie de revolución. Supongmos que l curv y = f(x), x [, b] se hce girr lrededor del eje OX, obteniéndose un superficie. El áre de est superficie viene dd por b A = 2π f(x) + f (x) 2 dx. Ejemplo. Hllr el áre de l superficie obtenid l hcer girr l gráfic de l función f(x) = x 3 en el intervlo [, ] lrededor del eje OX. y = x 3 Tendremos: A = 2π x 3 + (3x 2 ) 2 dx = 2π x 3 + 9x 4 dx.

13 3 Pr clculr l primitiv de l función x 3 + 9x 4 hcemos el cmbio de vrible t = + 9x 4, dt = 36x 3 dx: x 3 + 9x 4 dx = 36 tdt = 36 Finlmente, plicndo l regl de Brrow: t /2 dt = t3/2 = 54 ( + 9x4 ) 3/2. A = 2π 54 ( + 9x4 ) 3/2 = π 27 (3/2 ) 3 56.