Fundamentos matemáticos. Tema 7 Integración. Aplicaciones

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1 Fundmentos mtemáticos Grdo en Ingenierí grícol y del medio rurl Tem 7 Integrción. Aplicciones José Brrios Grcí Deprtmento de Análisis Mtemático Universidd de L Lgun 16 Licenci Cretive Commons 4. Interncionl

2 J. Brrios Fundmentos mtemáticos Índice Tem 7. Integrción. Aplicciones... 3 Introducción... 3 Integrl de Riemnn... 3 Métodos de integrción... 7 Tl de primitivs... 1 Aplicciones geométrics Págin de 16 OCW-ULL 16

3 Fundmentos mtemáticos Integrción. Aplicciones Tem 7. Integrción. Aplicciones Introducción El cálculo de áres es un de ls plicciones ásics de ls mtemátics. Tods ls grndes civilizciones ntigus desrrollron métodos sencillos pr clculr el áre encerrd por línes poligonles, pero el prolem se encontró l trtr de medir el áre encerrd por línes curvs. Este prolem no se resolvió hst finles del siglo XVII con el descurimiento del cálculo integrl. En l primer prte de este tem definiremos el concepto de áre jo un curv, proximndo el áre por medio de rectángulos, seguido de un proceso de pso l límite. A continución, veremos cómo el teorem fundmentl del cálculo nos permite clculr el áre jo l curv medinte el cálculo de primitivs. Esto nos llevrá l segund prte del tem, donde estudiremos los métodos ásicos de integrción. En l tercer prte plicremos el cálculo integrl l resolución de los prolems ásicos: cálculo de áres, volúmenes, superficies y longitudes de curvs. Integrl de Riemnn Aproximción del áre jo l curv y = x en el intervlo [,1]. L integrl de Riemnn es el concepto mtemático ásico utilizdo pr el cálculo de áres y volúmenes. Hy dos tipos de integrles de Riemnn, l integrl definid y l integrl indefinid. El proceso de clculr integrles se denomin integrción, mientrs que el cálculo proximdo de integrles se denomin integrción numéric. En este tem ordremos los métodos ásicos de integrción y sus plicciones geométrics ásics. OCW-ULL 16 Págin 3 de 16

4 J. Brrios Fundmentos mtemáticos Integrl definid Se f(x) un función definid en el intervlo [, ]. L integrl definid de f(x) en el intervlo se escrie f(x) y se define como el límite n lím f(x k )Δx Δx k=1 Donde el intervlo [, ] se h dividido en n suintervlos igules [x k 1, x k ], k = 1,, n, de ncho Δx, y x k es un punto culquier del intervlo [x k 1, x k ]. Funciones integrles Diremos que f es integrle en el intervlo [, ] si existe f (x). El siguiente teorem nos segur que tod función continu es integrle. Áre jo un curv f continu en [, ] f integrle en [, ] Se f(x) es un función continu no negtiv en el intervlo [, ]. El áre entre l curv y el eje X se define como l integrl definid de l función en el intervlo. f(x) A = f(x) Si l función es no positiv, los rectángulos proximntes tienen ltur cero o negtiv, l sum de sus áres es negtiv, y l integrl d como resultdo un número negtivo. En este cso, definimos el áre entre l curv y el eje como l integrl cmid de signo. f(x) A = f(x) Si l función cmi de signo en el intervlo, l integrl de l función lo lrgo de todo el intervlo nos proporcion el áre net entre su gráfic y el eje X. Es decir, l dieferenci entre ls áres situds por encim del eje y ls áres situds por dejo del eje. Si queremos clculr el áre totl encerrd entre l curv y el eje deemos seprr l integrl por trozos, y cmir de signo l integrl en los trozos donde l función es negtiv. Págin 4 de 16 OCW-ULL 16

5 Fundmentos mtemáticos Integrción. Aplicciones A 1 A 3 f(x) = A 1 A + A 3 c d A c A = f(x) d f(x) c + f(x) d No ostnte, el cálculo del áre por medio de límites suele ser complicdo. Hy lgun mner simplificr estos cálculos? L respuest está en l función áre y su derivd. L función áre Si f(x) es continu en el intervlo [, ], podemos definir l función F(t) que nos proporcion el áre jo l curv entre el punto y un punto t del intervlo. t F(t) = f(x) El resultdo importnte es que l función F es derivle y su derivd es l propi función f. Es decir F (t) = f(t) Este resultdo nos permite clculr el áre jo l curv de l siguiente mner. Supongmos que G(x) es un primitiv o ntiderivd de f, es decir, un función cuy derivd es f(x), como F = G, ms funciones son igules slvo un constnte c, luego Como un región de ncho cero tiene áre cero Y se tiene Este resultdo se conoce como F(t) = G(t) + c F() = G() + c = F(t) = G(t) G(). OCW-ULL 16 Págin 5 de 16

6 J. Brrios Fundmentos mtemáticos Teorem fundmentl del cálculo integrl (regl de Brrow) Si f es continu en [, ] y F es un primitiv de f en [, ], entonces f(x) = F() F() Not. Por comodidd, menudo se utiliz l notción F(x) pr indicr F() F(). Ejemplo. Clculr el áre jo l curv y = cos x en el intervlo [, π ]. L función es no negtiv en el intervlo. F(x) = sen x es un primitiv de f(x) = cos x. Por tnto π/ π/ A = cos x = sen x = sen(π/) sen() = 1 u. Ejemplo. Clculr el áre jo l curv y = sen x en el intervlo [, π ]. L función es no negtiv en el intervlo. F(x) = cos x es un primitiv de f(x) = sen x. Por tnto π A = sen x = cos x π = cos(π) ( cos ) = u. Ejemplo. Clculr el áre jo l curv y = sen x en el intervlo [,π ]. Si clculmos l integrl lo lrgo de todo el intervlo el resultdo es un áre net cero. π sen x = cos x π =!!! Pr clculr correctmente el áre totl entre l curv y el eje deemos seprr el intervlo π A = sen x π sen x = 4 u. Ejemplo. Enseguid veremos que F(x) = x(ln x 1) es un primitiv de f(x) = ln x, por tnto, π e ln x 1 = x(ln x 1) 1 e = 1 u. Págin 6 de 16 OCW-ULL 16

7 Fundmentos mtemáticos Integrción. Aplicciones Propieddes de l integrl definid Si f, g son funciones integrles en el intervlo [, ], y k es un número rel, entonces 1. kf(x). [f(x) ± g(x)] 3. f(x) 4. f(x) 5. f(x) = k f(x). = f(x) = (por convenio). = f(x) c = f(x) Integrl indefinid ± g(x). (por convenio). + f(x) c pr todo c [, ]. Como podemos ver, el teorem fundmentl del cálculo (TFC) es muy importnte porque permite clculr l integrl definid de un función (áre) evlundo un primitiv de l función en los extremos del intervlo. L secuenci lógic es l siguiente def. Áre = lím n n R k k=1 not. = f(x) TFC = not. F() F() = F(x) Todo ello nos llev de form nturl ls siguientes definiciones. Si f es un función definid en el intervlo [, ], decimos que F es un función primitiv o ntiderivd de f en el intervlo, si F (x) = f(x) en el intervlo. El conjunto de tods ls funciones primitivs de f en el intervlo se denomin integrl indefinid de f en el intervlo y se escrie f(x) Como tods ls primitivs de f son igules slvo un constnte, si Fes un primitiv de f solemos escriir Ejemplos 1. x = x3 3 + c.. cos x = sen x + c. 3. sec x = tn x + c. Métodos de integrción f(x) = F(x) + c. En virtud del TFC, el cálculo de l integrl definid de un función se reduce clculr un primitiv de l función. Este prolem veces es fácil de resolver, y otrs muy complicdo. f(x) = cos x Función sencill con integrl sencill. sen x f(x) = Función sencill con integrl complicd. x f(x) = e x Función sencill que no se puede integrr. OCW-ULL 16 Págin 7 de 16

8 J. Brrios Fundmentos mtemáticos Por tnto, es necesrio desrrollr métodos que nos permitn clculr primitivs. Los métodos ásicos de integrción que veremos en este tem son: integrles inmedits, linelidd, cmio de vrile, integrción por prtes, integrles rcionles elementles, integrles trigonométrics elementles y, por último, uso de l tl de integrles. Integrles inmedits f (x) = f(x) + c Integrción direct de funciones utilizndo un tl de derivds leíd en sentido contrrio. Ejemplos x n = xn+1 + c, n 1. n+1 = ln x + c. 1 x sen x = cos x + c. cos x = sen x + c. 1+x = tn x + c. Linelidd (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) Ejemplos (3x x + 1) = 3 x x + = x 3 x + x + c. (x 1)(x + ) = (x + x ) = x3 + x x + c. 3 x (x + 1 x ) = (x 4 + x + 1) = x5 + x3 + x + c. 5 3 Sustitución o cmio de vrile f(g(x)) g (x) = f(t) dt Hciendo el cmio Ejemplos g(x) = t g (x) = dt g (x) = dt. cos(3x 1) = 1 cos t dt = 1 sen t + c = 1 sen(3x 1) + c Cmio 3x 1 = t 3 = dt = dt 3. x 1 x = 1 dt t = 1 t + c = t + c = 1 x + c. Cmio 1 x = t x = dt x = dt. sen x cos x = tdt = t 1 dt = 3 t3 + c = 3 sen3 x + c. Cmio sen x = t cos x = dt. Págin 8 de 16 OCW-ULL 16

9 Fundmentos mtemáticos Integrción. Aplicciones Cso prticulr importnte f (x) = ln f(x) + c f(x) Ejemplos = = dt = ln t + c = ln x c = ln(x + x+3 x+3 t 3) + c. Cmio x + 3 = t = dt. tn x = sen x cos x = dt t Cmio cos x = t sen x = dt. = ln t + c = ln cos x + c. Integrl definid resuelt medinte cmio de vrile Ejemplo 1 x 3 x 3 t f(g(x)) g (x) 3 t = 1 dt = 1 dt = t 3 = 3. 3 x = t x = dt x = dt/ x = t = 3 x = 1 t = } g() = f(t) dt g() Deemos cordrnos de cmir los límites de integrción. No es necesrio deshcer el cmio. Integrción por prtes u dv = uv v du Se utiliz pr integrr funciones que pueden escriirse como producto de dos fctores, u y dv, de form que el cálculo de dv y de v du se más sencillo que l integrl de prtid. Entre sus principles plicciones se encuentrn: Ejemplos Integrción de expresiones que contienen funciones logrítmics o trigonométrics inverss. Integrción de funciones del tipo x n sen(x), x n cos(x), x n e x, con n N, R. ln x = x ln x = x ln x x + c = x(ln x 1) + c. u = ln x du = } x } dv = v = x x sen x = x sen x = x sen x x x + c u = sen x } du = 1 x dv = }. v = x OCW-ULL 16 Págin 9 de 16

10 J. Brrios Fundmentos mtemáticos x cos x = x sen x sen x = x sen x + cos x + c u = x du = } dv = cos x v = sen x } Integrl definid resuelt por prtes Se puede clculr u dv = uv v du O ien, clculr por prtes un primitiv F(x) de l integrl indefinid u dv, y utilizr l regl de Brrow (suele ser más cómodo). Ejemplo u dv = F(x) π x cos x = x sen x + cos x π =. Integrción de funciones rcionles elementles Donde P(x) Q(x) P(x), Q(x) son polinomios irreduciles (sin ríces comunes) Q(x) tiene tnts ríces reles como indic su grdo. Grdo de P(x) < grdo de Q(x). Si grdo de P(x) grdo de Q(x), se divide l frcción P(x) R(x) = C(x) + y se reduce l cso Q(x) Q(x) nterior. Resolución Pr integrrls se fctoriz el polinomio Q(x) = (x ) n (x ) m y se descompone l frcción en sum de frcciones simples de l siguiente mner: Cd ríz rel x = de multiplicidd n proporcion n frcciones simples de l form Ejemplos A 1 (x ) 1 + A (x ) + + A n (x ) n Los coeficientes indetermindos A i se clculn por reducción común denomindor e igulción de coeficientes. = 1 1 = 1 ln x 1 1 ln x + 1 = 1 ln x x 1 + c. 1 x 1 x+1 x+1 1 = A + B = A(x+1)+B(x 1) = (A+B)x+(A B) A + B = x 1 x 1 x+1 (x+1)(x 1) x 1 A B = 1 } A = 1 B = 1 Págin 1 de 16 OCW-ULL 16

11 Fundmentos mtemáticos Integrción. Aplicciones 3x+ x(x+1) 3 = + x x+1 (x+1) 3x+ = A + B x(x+1) 3 x x5 +x 4 8 x 3 4x [Ejercicio]. + C + D x+1 (x+1) (x+1) (x+1) A = + C = 3 B = D = +1 = (x + x + 4) + 4 x +4x x 3 4x = x3 x 3 = ln + x x x+1 1 (x + 1) + c. + 4x + ln (x ) 5 x + c. (x+) 3 Integrción de funciones trigonométrics elementles Cso 1. sen n x, n impr positivo. El cmio cos x = t sen x = dt sen x = 1 t} l convierte en l integrl de un polinomio. sen 5 x = sen 4 x sen x = (1 t ) dt. [Ejercicio]. Cso. cos n x, n impr positivo. El cmio sen x = t cos x = dt cos x = 1 t} l convierte en l integrl de un polinomio. cos 3 x = cos x cos x = (1 t ) dt. [Ejercicio]. Cso 3. sen n x, cos n x, sen m (x) cos n (x), con m, n números pres positivos. Se trnsform el integrndo utilizndo ls fórmuls del ángulo mitd. sen 1 cos x x = cos 4 x = ( sen x = 1+cos x 1 cos x cos x = = x 1 sen(x) + c. 4 ) = = 1 4 (1 + cos x + cos x) = 1 4 = cos 4x (1 + cos x + ) (3 + 4 cos x + cos 4x). [Ejercicio]. 1 + cos x Uso de l tl de integrles Ls siguientes integrles pueden resolverse utilizndo l tl de integrles que compñ l tem. x +x+c. Completr cudrdos y cmio de vrile. Integrles 16, 17, 18. x + x + c. Completr cudrdos y cmio de vrile. Integrles 19,, 1. Ejemplos x +x+c. Completr cudrdos y cmio de vrile. Integrles, 3, 4. dt = = = 1 tn x +x+5 (x+1) +4 t + (t) = 1 tn (x+1 ) + c. x + x + 5 = (x + 1) + 4 = t + dt [Ejercicio]. = = [Ejercicio]. x +x+5 (x+1) +4 t + dt OCW-ULL 16 Págin 11 de 16

12 J. Brrios Fundmentos mtemáticos Tl de primitivs 1. f (x) = f(x) + c. x n = xn+1 + c (n R, n 1) n+1 3. x = ln x + c 4. e x = e x + c 5. x = x + c ( >, 1) ln 6. sen x = cos x + c 7. cos x = sen x + c 8. tn x = ln cos x + c 9. sec x = ln sec x + tn x + c 1. csc x = ln csc x cot x + c 11. cot x = ln sen x + c 1. sec x = tn x + c 13. csc x = cot x + c 14. sec x tn x = sec x + c 15. csc x cot x = csc x + c 16. = 1 tn(x ) + c x = 1 ln x x + c x+ 18. = 1 ln x x+ + c x 19. x + = 1 [x x + + ln x + x + ] + c. x = 1 [x x ln x + x ] + c 1. x = 1 [x x + sen(x )] + c. x + = ln x + x + + c 3. x = ln x + x + c 4. = sen(x ) + c x Págin 1 de 16 OCW-ULL 16

13 Fundmentos mtemáticos Integrción. Aplicciones Aplicciones geométrics Áre entre un curv y el eje X Si f(x) es un función continu en el intervlo [, ], pr hllr el áre comprendid entre l curv, el eje X y ls rects x =, x = deemos estudir el signo de l función, seprndo l integrl en los intervlos correspondientes. c d A = f(x) c f(x) d + f(x) c Ejemplo. Hllr el áre comprendid entre l curv y = x 3 6x + 8x y el eje X. Clculndo los puntos de corte con el eje X y estudindo l curv, result f(x) en [, ] f(x) = x(x )(x 4) { f(x) en [, 4]. A= (x 3 6x + 8x) 4 (x 3 6x + 8x) = [ x4 4 x3 + 4x x ] [ 4 4 x3 + 4x 4 ] = 4 ( 4) = 8 u. 4 Nótese que (x 3 6x + 8x) = Ejemplo Hllr el áre limitd por l práol y = x, el eje X y ls rects x = 1 y x = 3. Diujndo l práol y ls rects, result 3 A = x 1 = x3 3 3 = 6 3 u. 1 Ejemplo Hllr el áre limitd por l práol y = 4x x y el eje X. Clculndo los puntos de corte con el eje X y diujndo l curv, result Áre entre curvs 4 A = (4x x ) = [x x3 4 3 ] = 3 3 u Sen f, g funciones continus en el intervlo [, ], con g(x) f(x) en el intervlo. El áre de l región comprendid entre sus gráfics y ls rects x =, x = viene dd por A = [f(x) g(x)] OCW-ULL 16 Págin 13 de 16

14 J. Brrios Fundmentos mtemáticos f(x) A = [f(x) g(x)] g(x) Ejemplo. Hllr el áre limitd por ls práols y = 6x x e y = x x. Diujndo ls práols y clculndo sus puntos de corte, result 4 A = (8x x ) = [4x 3 x3 ] 4 = 64 3 u. Ejemplo Hllr el áre limitd por l práol 4y = x y l rect x y + 4 =. Diujndo l práol y l rect, result A = 4 ( x + x 4 ) = ( x + x + 8) = 1 x3 [ x + 8x] = 9 u. Ejemplo L rect x = divide l círculo x + y = 4 en dos prtes. Hllr sus áres. A 1 = 4 x = [x 4 x + 4 sen x ] = π u. Tl de integrles nº 1. A = 4π (π ) = 3π + u. Volúmenes de sólidos de revolución Un sólido de revolución se gener l girr un áre pln en torno un rect, llmd eje de revolución o rotción, en el plno. Pr clculr su volumen tenemos tres métodos. Método de los discos (eje x) Método de ls rndels (eje x) Método de ls cps (eje y) El eje de rotción es prte del contorno del áre pln El eje de rotción no es prte del contorno del áre pln El eje de rotción es perpendiculr l curv que define el áre f(x) f(x) f(x) g(x) dv = πf (x) V = V f V g dv = πx f(x) V = π f (x) V = π [f g ](x) V = π xf(x) Págin 14 de 16 OCW-ULL 16

15 Fundmentos mtemáticos Integrción. Aplicciones Not. Volumen de un cp cilíndric. R h r R + r V = π(r r )h = π(r + r)(r r)h R + r = π ൬ ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ ൰ (R r) circunferenci medi ᇣᇧᇤᇧᇥ espesor hณ ltur Ejemplo (discos). Volumen engendrdo por l rotción sore el eje X del áre comprendid entre l curv y = sen x y el eje X en el intervlo [, π]. π V = π sen x = π u3. Ejemplo (rndels). Volumen engendrdo por l rotción sore el eje X del áre comprendid entre ls curvs y = sen x e y = sen x en el intervlo [, π]. π V = π [( sen x) (sen x) ] π = 3π sen x = 3π u3. Ejemplo (cps). Volumen engendrdo por l rotción sore el eje Y del áre comprendid entre l curv y = sen x y el eje X en el intervlo [, π]. Longitud de un rco de curv π V = π x sen x = π u 3. Se y = f(x) un función continu con derivd continu en el intervlo [, ]. Entonces l longitud del rco de curv comprendid entre los puntos A(, f()) y B(, f()) viene dd por L = 1 + (f (x)) Ejemplo. Longitud del rco de práol y = x en el intervlo [, 1]. 1 L = 1 + (x) = t dt = 1 4 [t t ln t + t + 1 ] = 1 ( 5 + ln( + 5)) u. OCW-ULL 16 Págin 15 de 16

16 J. Brrios Fundmentos mtemáticos Áre de un superficie de revolución Se f un función continu con derivd continu en el intervlo [, ], y f no cmi de signo en el intervlo. El áre de l superficie generd l girr el rco de cuerd comprendid entre los puntos A(, f()) y B(, f()) lrededor del eje X, viene dd por S = π f(x) 1 + (f (x)) Ejemplo. Superficie generd por y = x 3 en el intervlo [, 1], rotndo sore el eje X. 1 S = π x x 4 = π 36 1 t dt 1 = π 18 3 t = π 7 ( 1 1) 3.56 u. Págin 16 de 16 OCW-ULL 16

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