Aplicaciones de la integral

Transcripción

1 Cpítulo Aplicciones de l integrl Hst hor únicmente hemos prendido clculr integrles, sin plnternos l utilidd que ésts pueden tener. Sin embrgo, l integrl definid es un método rápido pr clculr áres, volúmenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y lboriosos que emplebn los griegos. En físic, su empleo es constnte, l estudir el movimiento, el trbjo, l electricidd. Ahor vmos ilustrr ls distints plicciones que tiene el cálculo integrl. Cálculo de áres plns Tl cómo hemos visto ntes, l integrl definid es un generlizción del proceso del cálculo de áres. Ahor bien, el áre de un recinto es siempre positiv, mientrs que l integrl puede ser positiv, negtiv o nul. Por tnto, en l plicción de l integrl l cálculo de áres, debe tenerse en cuent el signo de cd uno de los recintos limitdos por el eje OX, y tomr el vlor bsoluto de los mismos. Su sum es el áre. Ejemplo : Hllr el áre de l región limitd por l curv y = x 2, el eje OX y ls rects x = 2 y x = 4.

2 Jvier Mrtínez del Cstillo Aplicciones de l integrl 2 Hllr el áre de l región limitd por l curv y = x 3 3x 2 x + 3 y el eje OXen el intervlo [, 3]. Hllr el áre delimitd por l gráfic de y = cos x y el eje OX, en el intervlo [0, 2π]. Con escss modificciones podemos extender l plicción de l integrl definid pr cubrir no sólo el áre de l región bjo un curv, sino el de un región comprendid entre dos curvs. Por tnto, obtenemos el siguiente resultdo : Teorem (Áre de un región entre dos curvs): Si f y g son funciones continus en [,b] y se verific que g(x) f(x) x [,b], entonces el áre de l región limitd por ls gráfics de f y g, y ls rects verticles x = y x = b, es : A = Observciones: [f(x) g(x)] ν Es importnte drse cuent de que l vlidez de l fórmul del áre depende sólo de que f y g sen continus y de que g(x) f(x). Ls gráfics de f y g pueden estr situds de culquier mner respecto del ejeox. Si, cómo suele ocurrir, uns veces se cumple que g(x) f(x) y otrs veces que f(x) g(x), entonces el áre de l región comprendid entre f y g sobre el intervlo [,b], viene ddo por l fórmul: A = f(x) g(x), En l práctic, no se suele trbjr con el vlor bsoluto, puesto es más fácil dibujr ls gráfics de f y g, clculndo los puntos de intersección de mbs, y sumr un o más integrles pr obtener el áre desed. Ejemplo 2: Hllr el áre de l región limitd por f(x) = x 2 y g(x) = x. Hllr el áre de l región limitd por f(x) = x 2 y g(x) = x 3.

3 Jvier Mrtínez del Cstillo Aplicciones de l integrl 3 Hllr el áre de l región limitd por f(x) = x 2,g(x) = x + 2, y el ejeox. Hllr el áre de l región limitd por f(x) = x 2 + 2,g(x) = x en [0, ]. Hllr el áre de l región limitd porf(x) = 3x 3 x 2 0x y g(x) = 2x x 2 Observción: Alguns veces es más conveniente clculr el áre integrndo respecto l vrible yen vez de l vriblex., Ejemplo 3: Hllr el áre de l región limitd por l gráfic de y 2 = 3 x e y = x. 2. Cálculo de volúmenes Al introducir l integrción, vimos que el áre es solmente un de ls muchs plicciones de l integrl definid. Otr plicción importnte l tenemos en su uso pr clculr el volumen de un sólido tridimensionl. Si un región de un plno se gir lrededor de un eje E de ese mismo plno, se obtiene un región tridimensionl llmd sólido de revolución generdo por l región pln lrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele precer frecuentemente en ingenierí y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilres, botells y émbolos. Existen distints fórmuls pr el volumen de revolución, según se tome un eje de giro prlelo l eje OX o l eje OY. Incluso veces, es posible hllr el volumen de cuerpos que no son de revolución. 2.. Volúmenes de revolución: El Método de los discos Si girmos un región del plno lrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circulr recto o disco, que se form l girr un rectángulo lrededor de un eje dycente uno de los ldos del rectángulo. El volumen de este disco de rdio R y de nchur ω es: Volumen del disco = πr 2 ω Pr ver cómo usr el volumen del disco pr clculr el volumen de

4 Jvier Mrtínez del Cstillo Aplicciones de l integrl 4 un sólido de revolución generl, consideremos un función continu f(x) definid en el intervlo [,b], cuy gráfic determin con ls rects x =, x = b, y = 0, el recinto R. Si girmos este recinto lrededor del eje OX, obtenemos un sólido de revolución. Se trt de hllr el volumen de este cuerpo engendrdo por R. Pr ello hy que seguir un proceso similr l relizdo en l definición de integrl definid. Elegimos un prtición regulr de [,b]: = x 0 < x <... < x n < x n = b Ests divisiones determinn en el sólido n discos cuy sum se proxim l volumen del mismo. Teniendo en cuent que el volumen de un disco es πr 2 ω, l sum de Riemnn socid l prtición, y que d un volumen proximdo del sólido es: siendo: π f 2 (c i ) (x i x i ) c i (x i, x i ) ω = x i x i,l ltur (nchur) de los cilindros prciles R = f(c i )el rdio de los cilindros prciles Si el número de cilindros prciles ument, su sum se proxim cd vez más l volumen del sólido; es decir: V = Lim n π f 2 (c i ) (x i x i ) Por tnto, recordndo l definición de integrl definid de Riemnn se obtiene que: V = π f 2 (x)

5 Jvier Mrtínez del Cstillo Aplicciones de l integrl 5 Además, si se tom el eje de revolución verticlmente, se obtiene un fórmul similr : V = Ejemplo 4: d c π f 2 (y) dy Hllr el volumen de l esfer de rdio r. Hllr el volumen del elipsoide de revolución engendrdo por un elipse l girr lrededor del eje OX. Hllr el volumen de un cono circulr recto de rdio r y ltur h. Hllr el volumen engendrdo por l revolución entorno l eje OX del recinto limitdo por l curv y = senx, entre 0 y π. Hllr el volumen del sólido generdo l hcer girr l región limitd por l gráfic de f(x) = 3x x 2 y el eje x (0 x 3 ), entorno del eje x. Hllr el volumen del sólido generdo l hcer girr l región limitd por l gráfic de f(x) = 2 x 2 y g(x) =, en torno l rect y = Volúmenes de revolución: El Método de ls rndels El método de los discos puede extenderse fácilmente pr incluir sólidos de revolución con un gujero, reemplzndo el disco representtivo por un rndel representtiv. L rndel se obtiene girndo un rectángulo lrededor de un eje. Si R y r son los rdios externos e internos de l rndel, y ω es l nchur de l rndel, entonces el volumen viene ddo por: Volumen de l rndel = π (R 2 r 2 )ω Entonces, generlizndo de form nálog como se hizo en el método de los discos, si tenemos dos funciones continus f(x) y g(x) definids en un intervlo cerrdo [,b], con 0 g(x) f(x), y ls rects x = y x = b, el volumen engendrdo se clcul restndo los sólidos de revolución engendrdos por los recintos de mbs funciones, es decir: V = π ( f 2 (x) g 2 (x) )

6 Jvier Mrtínez del Cstillo Aplicciones de l integrl 6 Si ls funciones se cortn, hbrá que clculr los volúmenes de los sólidos engendrdos en cd uno de los subintervlos donde se puede plicr el método nterior. Ejemplo 5: Hllr el volumen del sólido formdo l girr l región limitd por ls gráfics de y = x 2 e y = x, lrededor del eje OX. Hllr el volumen de l figur engendrd l girr l superficie comprendid entre l prábol y 2 = x, y l circunferenci y 2 = 2x x 2. Hllr el volumen del sólido formdo l girr l región limitd por ls gráfics de y = x 2 +, y = 0, x = 0 y x = lrededor del eje OY. Un mecánico perfor un gujero trvés del centro de un esfer de metl de 5 cm de rdio, teniendo el gujero un rdio de 3 cm. Cuál es el volumen del nillo resultnte? Método de secciones conocids En este prtdo veremos cómo se clcul el volumen de lgunos cuerpos geométricos cundo conocemos el áre de ls bses de los cilindros prciles en que hemos dividido el sólido. Con el método de discos, podemos hllr el volumen de un sólido que teng un sección circulr cuy áre se A = πr 2. Podemos generlizr este método sólidos de culquier form siempre y cundo sepmos l fórmul del áre de un sección rbitrri, como cudrdos, rectángulos, triángulos, semicírculos y trpecios. Consideremos un sólido que tiene l propiedd de que l sección trnsversl un rect dd tiene áre conocid. Esto equivle decir intuitivmente que en cd corte que hcemos, conocemos el áre de l sección correspondiente. En prticulr, supongmos que l rect es el eje OX y que el áre de l sección trnsversl está dd por l función A(x), definid y continu en [,b]. L sección A(x) está producid por el plno α perpendiculr OX. Siguiendo un proceso similr l relizdo en l definición de l integrl de Riemnn: Elegimos un prtición regulr de [,b]:

7 Jvier Mrtínez del Cstillo Aplicciones de l integrl 7 = x 0 < x <... < x n < x n = b Ests divisiones determinn en el sólido n secciones o rodjs cuy sum se proxim l volumen del mismo. Teniendo en cuent que el volumen de un cilindro es πr 2 ω, l sum de Riemnn socid l prtición, y que d un volumen proximdo del sólido es: siendo: A(c i ) (x i x i ) Siendo c i un punto intermedio del intervlo [x i,x i ] ω = x i x i,l ltur de los cilindros prciles πr 2 = A(c i )el áre de l bse de los cilindros prciles Si el número de cilindros prciles ument, su sum se proxim cd vez más l volumen del sólido; es decir: V = Lim n A(c i ) (x i x i ) Por tnto, recordndo l definición de integrl definid de Riemnn se obtiene que: V = A(x) Pr hllr el volumen de un sólido por el método de ls secciones, se procede como se indic continución : Esbozr l figur, incluyendo un eje perpendiculr ls secciones de áre conocid (es decir, un eje OX). Escoger un sección perpendiculr l eje OX. Expresr el áre A(x) de l bse de l sección en términos de su posición x sobre el eje OX. Integrr entre los límites propidos. Ejemplo 6:

8 Jvier Mrtínez del Cstillo Aplicciones de l integrl 8 Clculr el volumen de un sólido cuy bse es el áre limitd por ls rects f(x) = x, g(x) = + x, x = 0, y cuy sección perpendiculr l eje X es un triángulo equilátero. 2 2 Hllr l fórmul del volumen de un pirámide de bse cudrd, donde h es l ltur de l pirámide, y B es el áre de l bse. Hllr l fórmul del volumen de un cono de bse B, y ltur h Volúmenes de revolución: Método de cps En est sección estudimos un método lterntivo pr el cálculo de un volumen de un sólido de revolución, un método que emple cps cilíndrics. Pr introducir el método de cps, considermos un rectángulo representtivo, donde: ω = nchur del rectángulo (espesor). h = ltur del rectángulo. p = distnci del centro del rectángulo l eje del giro (rdio medio). Cundo este rectángulo gir en torno l eje de revolución, engendr un cp cilíndric (o tubo) de nchur ω. Pr clculr el volumen de est cp considermos dos cilindros. El rdio del myor corresponde l rdio externo de l cp, y el rdio del menor l rdio interno de l cp. Puesto que p es el rdio medio de l cp, sbemos que el rdio externo es p + (ω/2), y el rdio interno es p (ω/2). Por tnto, el volumen de l cp, viene ddo por l diferenci: V olumen de l cp = volumen del cilindro volumen del gujero = = π ( p + ω 2) 2 h π ( p ω 2) 2 h = = 2πphω = 2π (rdio medio) (ltur) (espesor) Usmos est fórmul pr clculr el volumen de un sólido de revolución como sigue. Suponemos que l región pln gir sobre un rect y engendr sí dicho sólido. Si colocmos un rectángulo de nchur y prlelmente l eje de revolución, entonces l hcer girr l región pln en torno l eje de revolución, el rectángulo gener un cp de volumen: V = 2π [p(y)h(y) ] y

9 Jvier Mrtínez del Cstillo Aplicciones de l integrl 9 Si proximmos el volumen del sólido por n de tles cps de nchur y, ltur h(y i ), y rdio medio p(y i ), tenemos: Volumen del sólido n 2π [p(y i )h(y i )] y = 2π n [p(y i )h(y i )] y Tomndo el límite cundo n, tenemos que: = Lim n 2π n Volumen del sólido [p(y i )h(y i )] y = 2π d c [p(y)h(y)] dy Por tnto, podemos enuncir el método de cps de l siguiente form: Pr clculr el volumen de un sólido de revolución con el método de cps, se us un de ls dos siguientes opciones: Eje horizontl de revolución: V = 2π d p(y)h(y) dy c Eje verticl de revolución: V = 2π p(x)h(x) Pr hllr el volumen de un sólido por el método de cps, se procede como se indic continución : Esbozr l región pln que v ser gird, hllndo los puntos de intersección de ls curvs que l limitn. Sobre el dibujo hllr un rectángulo prlelo l eje de revolución. Teniendo como bse el boceto, escribir el volumen de l cp. Integrr entre los límites propidos. Ejemplo 7: Clculr el volumen del sólido de revolución generdo l girr l región limitd por y = x x 3 y el eje x (0 x ), lrededor del eje y. Clculr el volumen del sólido de revolución generdo l girr l región limitd por y = (x 2 +) 2 y el eje x (0 x ), lrededor del eje y. Clculr el volumen del sólido generdo l girr, en torno l rect x = 2, l región limitd por ls gráfics de y = x 3 + x +, y =, y x =. Observción: Los método de discos y de cps se distinguen porque en el de discos el rectángulo representtivo es siempre perpendiculr l eje de giro, mientrs que en el de cps es prlelo.,

10 Jvier Mrtínez del Cstillo Aplicciones de l integrl 0 Con frecuenci uno de los dos métodos es preferible l otro. Los próximos ejemplos ilustrn cundo uno es preferible l otro. Ejemplo 8: Clculr el volumen del sólido generdo l girr l región cotd por ls gráfics de y = x 2 +, y = 0,x = 0 y x = entorno l eje y. Clculr el volumen del sólido generdo l girr l región cotd por ls gráfics de y = x2, con 4 x 4 entorno l eje x Longitud de un rco En este prtdo vmos ver como podemos clculr l longitud de rco de un curv pln plicndo integrles. Lo que hremos será proximr un rco (un trozo de curv) por segmentos rectos cuys longitudes vienen dds por l conocid fórmul de ñ distnci d = (x 2 x ) 2 + (y 2 y ) 2 Vemos ntes de relizr el desrrollo uns definiciones previs: Definición: Si un trozo de curv tiene un longitud de rco finit, decimos que es rectificble. - Veremos en el desrrollo de l fórmul pr l longitud de rco, que un condición suficiente pr que l gráfic de un función f se rectificble entre (,f() ) y (b,f(b) ) es que f se continu en [,b]. Definición: Decimos que un función f definid en [, b] es continumente derivble o derivble con continuidd en [,b], si f es continu en [,b]. A su gráfic en dicho intervlo se le llm curv suve. - Vemos hor como podemos clculr l longitud de un rco. Se f un función continu y derivble con continuidd en el intervlo [,b], y denotemos por l l longitud de su gráfic en este intervlo. Aproximmos l gráfic de f por n segmentos cuyos extremos están determindos por l prtición P de [,b]: = x 0 < x <... < x n < x n = b

11 Jvier Mrtínez del Cstillo Aplicciones de l integrl Hciendo x i = x i x i, e y i = y i y i, proximmos l longitud del rco por: l ( xi ) 2 + ( y i ) 2 = Tomndo el límite cundo n l = Lim n ( xi ) 2 + ( y i ) 2 + ( ) 2 yi ( x i ) x i ( 0 ), tenemos que: = Lim n + ( ) 2 yi ( x i ) x i Por existir f (x) x (x i,x i ), el teorem del vlor medio grntiz l existenci de un c i (x i,x i ) tl que: f(x i ) f(x i ) = f (c i ) (x i x i ) f (c i ) = y i x i Además, como f es continu en [,b], sbemos que + [f (c i )] 2 tmbién es continu ( y, por tnto, integrble) en [,b], y tenemos: l = Lim n + [f (c i )] 2 ( x i ) = Llmmos l longitud de rco de f entre y b. + [f (x)] 2 Definición: Si l función y = f(x) represent un curv suve en el intervlo [,b], l longitud de rco de f entre y b viene dd por: l = + [f (x)] 2 Análogmente, pr un curv suve de ecución x = g(y), l longitud de rco de g entre c y d viene dd por: l = d c + [g (y)] 2 dy

12 Jvier Mrtínez del Cstillo Aplicciones de l integrl 2 Ejemplo 9: Clculr l longitud de rco de l gráfic f(x) = x x sobre [ 2, 2]. Clculr l longitud de rco de l gráfic (y ) 3 = x 2 sobre [0, 8]. Hllr l longitud de l curv f(x) = x 3 /2 sobre [0, ]. 5. Áre de un superficie de revolución Con nterioridd, hemos usdo l integrción pr clculr el volumen de un sólido de revolución. Ahor buscmos un procedimiento pr clculr el áre de un superficie de revolución. Definición: Si se gir l gráfic de un función continu lrededor de un rect, l superficie resultnte se conoce como superficie de revolución. - Pr clculr el áre de un superficie de revolución, usmos l fórmul de l superficie lterl de un tronco de cono circulr recto. Consideremos el segmento donde: L =longitud del segmento r =rdio en el extremo izquierdo del segmento r 2 =rdio en el extremo derecho del segmento Cundo se gir el segmento lrededor de su eje de revolución, se form un tronco de cono circulr recto, con: S = 2πrLÁre de l superficie lterl del tronco r = 2 (r + r 2 )Rdio medio del tronco Ahor, supongmos que se gir l gráfic de un función f, cuy derivd es continu en el intervlo [,b], lrededor del eje X, pr formr un superficie de revolución. Se P un prtición de [,b], con subintervlos de nchur x i. Entonces el segmento de longitud L i = x 2 i + y 2 i gener un tronco de cono. Por el teorem del vlor intermedio, existe un punto d i tl que r i = f(d i ) es el rdio medio de este tronco. Finlmente, el áre de l superficie lterl S i del tronco viene dd por:

13 Jvier Mrtínez del Cstillo Aplicciones de l integrl 3 S i = 2π r i L i = 2π f(d i ) x 2 i + yi 2 = 2π f(d i ) + Por el teorem del vlor medio, existe un punto c i (x i,x i ) tl que: ( ) 2 yi x i x i Por tnto: f (c i ) = f(x i) f(x i ) x i x i = y i x i S i = 2π f(d i ) + (f (c i )) 2 x i y el áre totl de l superficie puede proximrse por: S 2π f(d i ) + (f (c i )) 2 x i Tomndo el límite cundo n, se puede probr que: S = 2π f(x) + (f (x)) 2 De mner similr, si se gir l gráfic de fen torno l eje y, el áre S viene dd por S = 2π x + (f (x)) 2 En mbs fórmuls de S, podemos considerr los productos 2πf(x) y 2πx como l longitud de l circunferenci que describe el punto (x,y) de l gráfic de f cundo se gir lrededor del eje xo del eje y. En un cso el rdio es r = f(x) y en otro el rdio es r = x. Además, justndo r propidmente, podemos generlizr est fórmul pr incluir áres de superficies con ejes de revolución horizontles o verticles culesquier, como se indic en l siguiente definición:

14 Jvier Mrtínez del Cstillo Aplicciones de l integrl 4 Definición: Si y = f(x) tiene derivd continu en el intervlo [,b], entonces el áre de l superficie de revolución S formd l girr l gráfic de f lrededor de un eje horizontl o verticl es: S = 2π r(x) + (f (x)) 2 r(x)es l distnci entre l gráfic de f y el eje de revolución correspondiente. - Observción: Si x = g(y) en el intervlo [c,d], entonces el áre de l superficie es S = 2π d c r(y) + (f (y)) 2 dy donde r(y) es l distnci entre l gráfic de g y el eje de revolución correspondiente., Ejemplo 0: Clculr el áre de l superficie formd l girr l gráfic de f(x) = x 3 en el intervlo [0,] lrededor del eje x. Clculr el áre de l superficie formd l girr l gráfic de f(x) = x 2 en el intervlo [0, 2] lrededor del eje y. 5. Integrles impropis En este prtdo vmos ver un extensión del concepto de integrl pr incluir lgunos csos interesntes que no son permitidos por l definición de integrl. L definición de integrl definid f(x) requiere que el intervlo [,b] se finito. Además, el teorem fundmentl del cálculo, con el que hemos estdo evlundo integrles, exige que f se continu en [,b]. En est sección discutiremos un proceso de límite pr clculr integrles que incumpln estos requisitos, bien se, porque uno o mbos límites de integrción son infinitos, o porque ftiene en [,b] un número finito de discontinuiddes infinits. Ls integrles que se enmrcn en uno de estos dos supuestos se llmn integrles impropis.

15 Jvier Mrtínez del Cstillo Aplicciones de l integrl 5 Por tnto, ls integrles son impropis porque uno x 2 + o mbos límites de integrción son infinitos. Análogmente, ls integrles 5 x y x y 2 son impropis porque los integrndos tienen discontinuiddes infinits en lgunos puntos del intervlo de 2 (x+) 2 integrción. Pr hcerse un ide de cómo podemos clculr un integrl impropi, considérese l integrl: x 2 = b Por tnto, tomndo el límite cundo b, result que: x 2 = Lim b [ x 2 ] = Lim b ( ) b = y podemos interpretr l integrl impropi como el áre de l región no cotd entre l gráfic de l función y el eje x. Definición (de integrles impropis con límites de integrción infinitos): Si fes continu en [, ), entonces: f(x) = Lim b Si fes continu en (,b], entonces: f(x) f(x) = Lim f(x) Si fes continu en (, ), entonces: f(x) = c f(x) + f(x) con c R. c En cd cso, si el límite existe, se dice que l integrl impropi converge ; de lo contrrio, l integrl impropi diverge. Esto signific que en el tercer cso l integrl diverge si un culquier de ls dos integrles diverge. - ) Ejemplo : Clculr ls siguientes integrles impropis: b) c) e x x 0 x d) senx e) 0 x 2 + Definición (de integrles impropis con un discontinuidd infinit): e x f) +e 2x

16 Jvier Mrtínez del Cstillo Aplicciones de l integrl 6 Si fes continu en [,b) y tiene un discontinuidd en b entonces: f(x) = Lim c b c f(x) Si fes continu en (,b] y tiene un discontinuidd en entonces: f(x) = Lim c + c f(x) Si fes continu en [,b], excepto en un c de (,b)entonces: f(x) = c f(x) + c f(x) En cd cso, si el límite existe, se dice que l integrl impropi converge ; de lo contrrio, l integrl impropi diverge. Esto signific que en el tercer cso l integrl diverge si un culquier de ls dos integrles diverge. - Ejemplo 2: Clculr ls siguientes integrles impropis: ) 0 3 x b) 2 c) x 3 0 x(x+) d) Lx Criterios de convergenci pr integrles impropis En este prtdo, l igul que ocurrí con ls series numérics, vmos dr un serie de criterios que nos vn permitir estudir l convergenci de integrles impropis sin necesidd de clculrl, con sólo comprrl con otrs integrles impropis cuyo crácter conozcmos de ntemno. El siguiente teorem, nos v proporcionr conocer l convergenci o divergenci de un buen cntidd de integrles impropis. Teorem (p-integrles): Pr > 0 l integrl impropi Ls integrles e (b x) p ( (x ) p { ) converge si p > x p diverge si p { convergen si p < divergen si p Ejemplo 3: Estudir el crácter de l integrl 3 x+3 Teorem: Se f un función continu y no negtiv, entonces cd uno de los tipos básicos de integrles impropis bien convergen un número rel c o bien divergen. ν ν

17 Jvier Mrtínez del Cstillo Aplicciones de l integrl 7 Teorem (criterio de comprción estándr) : Sen f y g funciones continus, y supongmos que 0 f(x) g(x) x Si g(x) converge f(x) converge Si f(x) diverge g(x) diverge Se obtienen resultdos nálogos pr todos los tipos básicos de integrles impropis de funciones no negtivs. Si l integrl impropi de l función myor converge, entonces tmbién converge l de l función menor. Si l integrl impropi de l función menor diverge, entonces tmbién diverge l de l función myor. ν Ejemplo 4: Estudir el crácter de l integrl 4 x 2 +0x+23 Teorem (comprción pso l límite): Sen f y g funciones continus positivs pr x. Entonces, si entonces f(x) y Lim x f(x) g(x) = c > 0 g(x) tienen el mismo crácter. ν Ejemplo 5: Estudir el crácter de l integrl x 3 2x 2 +x 2x 4 +3x+2 Teorem (convergenci bsolut): Se f un función continu. Si un integrl impropi de f(x) converge, entonces l integrl impropi de f(x) con los mismos límites, tmbién converge. En este cso, diremos que l integrl impropi de f(x) converge bsolutmente. ν