5.2 Integral Definida

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1 80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos tiende infinito y simultánemente cd uno de los sumndos tiende cero. Pr determinr con precisión est ide introduciremos ls siguientes definiciones: Definición. Ddo un intervlo [, b] llmremos prtición de [, b] tod colección de n + 1 puntos P = {x 0, x 1,, x n } tles que = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b. Tod prtición P del intervlo [, b] lo divide en n subintervlos [x k 1, x k ] de nchurs respectivs x k = x k x k 1. Definición. Dd un función f(x) definid en el intervlo [, b], un prtición P = {x 0, x 1,, x n } de [, b] y ddos n puntos ξ = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } tles que ξ k [x k 1, x k ], se llm sum integrl o sum de Riemnn de l función f(x) en [, b] correspondiente l prtición P y l elección de puntos ξ l sum siguiente: S(f, P, ξ) = n f(ξ k ) x k = f(ξ 1 ) x f(ξ n ) x n k=1 Si suponemos que l función es continu 2 en [, b] entonces, por el teorem de Weierstrss, f(x) lcnz su vlor máximo M k y su mínimo m k en cd subintervlo [x k 1, x k ], podemos entonces construir ls sums de Riemnn correspondientes dichos vlores, obteniendo l sum superior de Riemnn de f(x) en [, b] con respecto l prtición P : y l respectiv sum inferior: U(f, P ) = L(f, P ) = n M k x k k=1 n m k x k k=1 Es evidente entonces que el conjunto de tods ls sums de Riemnn de un función dd en un intervlo, con respecto un prtición concret P, está cotdo superiormente por U(f, P ) e inferiormente por L(f, P ). Definición. Se dice que un función f(x) definid en [, b] es integrble (en el sentido de Riemnn, o simplemente integrble) en [, b] si el supremo de tods sus sums inferiores 2 Relmente serí suficiente con que f(x) fuer continu en cd subintervlo de l prtición P.

2 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 81 de Riemnn coincide con el ínfimo de tods sus sums superiores. A dicho número se le denomin integrl definid o integrl de Riemnn de f(x) en [, b] y se denot como: f(x) dx Es posible definir de mner equivlente l integrl definid como el límite de ls sums de Riemnn de l función en el intervlo cundo el número de puntos de ls prticiones considerds tiende infinito mientrs que l nchur máxim de los subintervlos determindos por l prtición tiende cero, siempre que dicho límite se demás independiente de l elección de puntos relizd pr construir ls sums de Reiemnn. L definición de integrl definid se complet ñdiendo que se considerrá tmbién el cso en el que > b, y el cso = b, de l form: Propieddes básics = b ; = 0 1. Si f(x) es integrble en [, b] entonces está cotd en [, b]. 2. Si f(x) es continu en [, b] entonces es integrble en [, b]. 3. Si f(x) está cotd en [, b] y present en dicho intervlo un número finito de discontinuiddes, entonces es integrble en [, b]. 4. L integrl definid es linel, es decir: Si f(x) y g(x) son dos funciones integrbles en [, b], entonces su sum tmbien lo es y se verific: (f(x) + g(x))dx = + mientrs que si k es un número rel culquier, entonces: k = k 5. Ddos tres números reles, b y c, se verific: = c siempre que ls integrles nteriores existn. + c g(x)dx 6. Si f(x) g(x), x [, b] y mbs son integrbles en [, b], entonces se verific: f(x) dx g(x) dx 7. Si < b y f(x) es integrble en [, b], se verific: f(x) dx

3 82 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA Teorem Fundmentl del Cálculo y Regl de Brrow Teorem del Vlor Medio del Cálculo Integrl. Si f(x) es un función continu en el intervlo [, b], entonces existe en [, b] l menos un punto c tl que se verific: = (b ) f(c) Not: l número rel f = 1 b b se le llm vlor medio o vlor promedio de f(x) en [, b]. Demostrción: Ddo que f(x) es continu en [, b], por el teorem de Weierstrss lcnz en [, b] su vlor máximo, M y su mínimo, m. Tendremos entonces, utilizndo ls propieddes nteriormente expuests: m f(x) M, x [, b] m dx f(x) dx M dx m(b ) M(b ) y sí: m M b Pero l ser M y m lcnzdos en [, b] (supongmos que en los puntos x 1 y x 2, [x 1, x 2 ] [, b]), tendremos que f(x) lcnz todos los vlores intermedios entre m y M, y por tnto: c [x 1, x 2 ] c [, b] tl que: f(c) = b Q.E.D. Plnteremos continución el Teorem Fundmentl del Cálculo, que relcion dos conceptos prentemente diferentes como son el de integrl indefinid (operción invers o recíproc de l derivción) y el de integrl definid (límite de sums cundo el número de sumndos tiende infinito mientrs que cd sumndo tiende cero): Teorem Fundmentl del Cálculo. Se f(x) un función continu en el intervlo [, b], entonces l función F (x) definid de l form: F (x) = x f(t)dt en el intervlo [, b] es derivble en (, b) y demás F (x) = f(x). Not: Si f(x) es integrble pero no continu en [, b] entonces sólo podemos segurr que F (x) es continu en [, b], pero l derivbilidd de F (x) sólo está grntizd en los puntos de continuidd de f(x). L función F (x) tiene un significdo geométrico evidente ddo que nos proporcion el áre determind 3 por l gráfic de f(x) entre el punto inicil y un punto concreto x del intervlo [, b]. 3 Evidentemente hblmos de áre en sentido figurdo, pues se trt relmente de un áre pr funciones definids positivs en [, b].

4 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 83 Regl de Brrow. Si f(x) es continu en [, b] y G(x) es un primitiv de f(x) en [, b], entonces se verific: = G(x) b = G(b) G() Demostrciones: Demostrremos en primer lugr el Teorem Fundmentl del Cálculo: Dd l función f(x) continu en [, b], definiremos entonces en [, b] l función: F (x) = x f(u)du Consideremos h > 0 tl que x y x + h pertenezcn mbos l intervlo [, b], tendremos entonces (plicndo ls propieddes básics de ls integrles) que: F (x + h) F (x) = x+h f(u)du x f(u)du = x+h x f(u)du Aplicndo continución el Teorem del Vlor Medio en el intervlo [x, x + h], existirá un vlor c [x, x + h] tl que: x+h x f(u)du = f(c)(x + h x) = f(c) h Pero entonces l derivd de F (x) en el punto x se re-escribe de l form: F F (x + h) F (x) (x) = lim = lim f(c) h 0 h h 0 y ddo que f(x) es continu en [, b] y, en consecuenci, en [x, x + h], tendremos que h 0 nos llev que x c x + h x c x, y en definitiv, l ser f(x) continu: Q.E.D 4. lim f(c) = lim f(c) = f(x) F (x) = f(x) h 0 c x Demostrción de l regl de Brrow: Dd l función continu f(x) en [, b], si G(x) es un primitiv de f(x) en [, b] tendremos que, ddo que F (x) definid nteriormente tmbién lo es, mbs deben diferencirse tn sólo en un constnte C, de est form: En prticulr: G(x) F (x) = C, x [, b] G() F () = C G() G(b) F (b) = C G(b) = C = C restndo mbs expresiones, y considerndo que = 0, tendremos: Q.E.D. = G(b) G() 4 Estrictmente hblndo hemos demostrdo tn sólo que l derivd por l derech de F (x) es f(x). Es trivil completr l demostrción en el otro sentido.

5 84 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA Integrles Impropis En l construcción y definición de integrl definid o integrl de Riemnn hemos prtido de un función f(x) definid en un intervlo finito [, b] y demás cotd en el mismo. Ls integrles impropis se definen precismente pr contemplr l posibilidd de integrr en intervlos infinitos, por un ldo, e integrr funciones no cotds, por otro. Integrles Impropis de Primer Especie Un integrl impropi de primer especie es un integrl extendid un intervlo no finito. Pr definirl utilizremos l siguiente expresión: = lim b Si dicho límite existe y es finito diremos que l integrl impropi de primer especie es convergente, en cso contrrio será divergente. De mner nálog se definen ls integrles impropis de primer especie siguientes: = lim ; k = lim k k Integrles Impropis de Segund Especie Un condición necesri pr que f(x) fuer integrble en [, b] er que estuvier cotd en [, b]. Si f(x) es integrble en [, b ε] y no está cotd en un entorno de b, definimos l integrl impropi de segund especie: f(x) dx = lim ε 0+ ε f(x) dx L integrl será convergente si el límite existe y es finito. Ejemplos: Un integrl impropi de primer especie convergente: y otr de segund especie: dx x = lim b (rctn b rctn 0) = π 2 dx 1 x 2 = lim ε 0+ (rcsen(1 ε) rcsen 0) = π 2

6 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA Aplicciones geométrics de l Integrl definid Cálculo de Áres. Funciones explícits en Coordends Crtesins. Dd un curv y = f(x), el áre determind por dich curv, ls rects x =, x = b (con < b) y el eje de bsciss nos viene dd por l integrl definid: A = f(x) dx En el cso de que l vrible despejd se l x, es decir un ecución explícit de l form x = g(y), l expresión: A = d c g(y) dy nos proporcion el áre determind por el eje de ordends, ls rects y = c, y = d y l gráfic de g(y). Expresiones en prmétrics: El áre delimitd por l curv c expresd en ecuciones prmétrics, c y el eje OX entre ls bsciss x(t 1 ) y x(t 2 ) es, A = t2 Expresiones en coordends polres: t 1 y(t) x (t) dt { x = x(t) y = y(t) El áre delimitd por l curv c expresd en ecuciones polres r = r(θ) y ls rects rdiles θ = θ 1 y θ = θ 2 es dd por, A = 1 2 θ2 Cálculo de longitudes de rco de curv: Expresiones en coordends crtesins: θ 1 r 2 (θ)dθ L longitud de l curv y = f(x) entre ls bsciss x = x 1 y x = x 2 viene expresd medinte l fórmul: x2 L = 1 + (f (x)) 2 dx x 1

7 86 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 Expresiones en prmétrics: { x = x(t) L longitud de l curv c y = y(t) entre ls bsciss x(t 1 ) y x(t 2 ) viene dd por: L = t2 Expresiones en coordends polres: t 1 (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt L longitud de l curv r = r(θ) entre ls coordends ngulres θ = θ 1 y θ = θ 2 viene dd como: θ2 L = (r(θ)) 2 + (r (θ)) 2 dθ θ 1 Cálculo de volúmenes de revolución (lrededor del eje OX): Expresiones en coordends crtesins: El volumen generdo por l curv y = y(x) l girr lrededor del eje OX entre ls bsciss x 1 y x 2 corresponde l fórmul: Expresiones en prmétrics V = π x2 x 1 (f(x)) 2 dx El volumen de revolución respecto del eje OX de l curv (x(t), y(t)) delimitdo por ls bsciss x(t 1 ) y x(t 2 ) está ddo por: V = π t2 Expresiones en coordends polres: t 1 (y(t)) 2 x (t) dt El volumen de revolución de l curv r = r(θ) sobre el eje OX delimitdo por ls vribles ngulres θ 1 y θ 2 es V = 2π 3 θ2 θ 1 r 3 (θ) senθ dθ Cálculo de áres de revolución (lrededor del eje OX): El áre generdo por l curv c l girr lrededor del eje OX puede ser clculdo según ls siguientes expresiones:

8 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 87 Expresiones en coordends crtesins: El áre lterl referido nteriormente de l curv y = f(x) entre ls bsciss x 1 y x 2 será: x2 A L = 2π f(x) 1 + (f (x)) 2 dx x 1 Expresiones en prmétrics: En ecuciones prmétrics, el áre lterl limitd por ls bsciss x(t 1 ) y x(t 2 ) viene dd por: t2 A L = 2π y(t) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt t 1 Expresiones en coordends polres: L expresión en coordends polres es: θ2 A L = 2π r(θ) sen θ (r(θ)) 2 + (r (θ)) 2 dθ θ 1