TRABAJOS DE MATEMATICA

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA FACULTAD DE MATEMÁTICA, ASTRONOMÍA Y FÍSICA SERIE C TRABAJOS DE MATEMATICA Nº 36/07 Un segundo curso de Cálculo Crin Boyllin, Elid Ferreyr, Mrt Urciuolo, Cynthi Will Editores: Jorge R. Luret Jorge G. Adrover CIUDAD UNIVERSITARIA 5000 CÓRDOBA REPÚBLICA ARGENTINA

2 UN SEGUNDO CURSO DE CÁLCULO AUTORES Crin Boyllin Elid Ferreyr Mrt Urciuolo Cynthi Will

3 Introducción Desde el ño 99, l Fcultd de Mtemátic, Astronomí y Físic tomó su crgo el dictdo de ls mteris Mtemátic I y Mtemátic II del Ciclo Básico de l Fcultd de Ciencis Químics. Ests nots surgen de l experienci dquirid en todos estos ños por los distintos docentes involucrdos en el dictdo de Mtemátic II. Asumimos que los lectores de este trbjo están fmilirizdos con el cálculo diferencil de funciones de un vrible y nociones elementles de álgebr linel. Ls nots están orgnizds de l siguiente mner. Contienen tres cpítulos: Integrción de funciones de un vrible, tópicos de ecuciones diferenciles y por último cálculo vectoril. Los conceptos y resultdos están enuncidos con precisión, pero decidimos omitir lguns demostrciones, y que est presentción tiene un enfoque práctico dirigido usurios de l mtemátic. Queremos grdecer muy especilmente los doctores A. Andrd, A. Grcí y J. Liberti por sus vlioss contribuciones y sugerencis. Tmbién grdecemos l Sr. Luis Gllrdo por el tipedo de prte de ests nots. En est tercer edición hemos efectudo uns pocs correcciones y tmbién hemos incorpordo lguns modificciones de estilo. Córdob, Agosto de 200

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5 CONTENIDOS Introducción Cpítulo. Integrción 5. Antiderivd o primitiv 5 2. Integrles definids 4 3. Áre de un región comprendid entre dos gráficos Volumen de revolución Integrles impropis Integrles impropis de tipo I Integrles impropis de tipo II Criterio de comprción pr integrles impropis 5 9. Integrción por prtes Integrción por frcciones simples 58. Sustitución trigonométric 7 2. Sustitución hiperbólic 72 Cpítulo 2. Ecuciones diferenciles 75. Ecuciones diferenciles y vribles seprbles Aplicciones Ecuciones diferenciles lineles de primer orden Ecuciones diferenciles lineles homogénes de segundo orden con coeficientes constntes Ecuciones diferenciles lineles no homogénes de segundo orden con coeficientes constntes 94 Cpítulo 3. Cálculo vectoril 99. Vectores y el espcio tridimensionl Representción geométric de vectores en R Producto interno Rects en R Plnos en R 3 3 3

6 4 CONTENIDOS 6. Funciones de vris vribles 9 7. Límite y continuidd de funciones de n vribles 2 8. Derivds prciles Derivds sucesivs Derivds direccionles 26. Regl de l cden Curvs de nivel y gráfico de funciones Curvs en el espcio Plno tngente superficies de nivel Máximos y mínimos de funciones de dos vribles Integrles múltiples Cmbio de vribles 49 Cpítulo 4. Apéndice 53. Números complejos Demostrción del Test de ls derivds segunds 6 Bibliogrfí 63

7 CAPíTULO Integrción. Antiderivd o primitiv Como es usul en mtemátic, un vez estblecido un concepto, se plnte l pregunt de si es fctible encontrr, en lgún sentido, un concepto inverso. Como por ejemplo, l sum y l rest, ls potencis y ls ríces, etc. En est ocsión nos interes estudir el cso de l derivción. Esto es Problem: Dd un función f encuentre un función F tl que F = f. Por ejemplo, si tommos f(x) = 2x, entonces F (x) = x 2 cumple que F (x) = 2x. O se, l clculr derivds nuestro problem er dd F encontrr F, hor nuestro problem es dd F = f encontrr F. Esto motiv l siguiente definición. Definición.. Se I un intervlo y f : I R un función. Decimos que F : I R es un ntiderivd o primitiv de f en I, si F (x) = f(x) pr todo x I. Observción. Si I = [, b] o I = [, b) denotmos por F F ( + h) F () () = lim, h 0 + h llmd derivd por l derech de F en, y similrmente si I = [, b] o I = (, b] denotmos por F F (b + h) F (b) (b) = lim, h 0 h llmd derivd por l izquierd F en. Antes de bordr el problem que plntemos, comencemos recordndo lguns propieddes básics de l derivd. Como y sbemos, dd un función derivble o diferencible F le signmos otr función F, llmd su derivd o diferencil, que cumple: 5

8 6. INTEGRACIÓN (.) ) Si F (x) = c, entonces F (x) = 0 2) (F ) (x) = F (x) 3) (F + G) (x) = F (x) + G (x) 4) (F G) (x) = F (G(x))G (x). Notemos que, usndo ls propieddes de l derivd que mencionmos, se tiene que si F (x) = x o más generlmente F (x) = x 2 + c, se cumple que F (x) = 2x. Es clro que esto es un situción generl, pues si F (x) = f(x), entonces (F (x) + c ) = f(x) pr culquier constnte c. Por lo tnto, si F es un ntiderivd de f, F (x) + c tmbién lo es. Veremos más delnte que ess son tods. Cmbiemos entonces nuestro problem por el siguiente: Problem: Dd f encuentre tods ls funciones F que cumplen F = f. Empecemos probndo el siguiente teorem. Teorem.2. Si h es un función diferencible en un intervlo I tl que h (x) = 0 pr todo x I, entonces h(x) = c x I, pr lgún c R. Prueb. Se x I y se c = h(x ). Mostrremos que h(x 2 ) = h(x ) = c pr culquier otro punto x 2 del intervlo I. Tomemos entonces x 2 I y como h es diferencible en I, plicndo el Teorem del vlor medio en el intervlo [x, x 2 ] (si x < x 2 ó [x 2, x ] si x > x 2 ) sbemos que existe x 0 (x, x 2 ) (o (x 2, x ) según correspond) tl que h (x 0 ) = h(x 2) h(x ) x 2 x. Por hipótesis sbemos que h (x 0 ) = 0, de modo que 0 = h(x 2) h(x ) x 2 x, y en consecuenci h(x 2 ) = h(x ), como querímos demostrr. Con este resultdo podemos hor probr el siguiente teorem. Teorem.3. Si F es un ntiderivd de f en un intervlo I, entonces tod ntiderivd de f en I es de l form F (x) + c pr lgun constnte c R. Prueb. Se G un ntiderivd de f en el intervlo I, o se G (x) = f(x) pr todo x I. Queremos demostrr que G(x) = F (x) + c pr lgun constnte c. Como F es ntiderivd de f, se cumple que F (x) = f(x) x I. Tomemos entonces un nuev función definid en I por H(x) = G(x) F (x),

9 . ANTIDERIVADA O PRIMITIVA 7 por ls regls de derivción (.) se cumple que pr todo x I H (x) = G (x) F (x) = f(x) f(x) = 0. Aplicndo hor H el teorem nterior, se tiene que existe un constnte c R tl que H(x) = c x I, o equivlentemente, por l definición de H, G(x) = F (x) + c x I, como querímos demostrr. Ejemplo.4. Siguiendo con nuestro ejemplo, si f(x) = 2x, un ntiderivd de f es F (x) = x 2, y tods ls ntiderivds de f son de l form G(x) = x 2 + c, pr lgún c R (F (x) = x 2 corresponde c = 0). Definición.5. Ddo un intervlo I y un función f : I R, definimos l integrl indefinid de f, que denotmos por f(x) dx como el conjunto de tods ls ntiderivds o primitivs de f en I. O se que si F es tl que F (x) = f(x), pr todo x I, entonces f(x) dx = F (x) + c, c R. El símbolo se llm integrl y dx se llm diferencil de x. Además, denotmos por diferencil de un función F Propieddes. d(f (x)) = F (x) dx. Dremos hor lguns propieddes básics de l ntiderivción, que nos fcilitrán el cálculo en generl.. dx = dx = x + c. Recordemos que de l definición de integrl indefinid de un función f, se tiene que pr demostrr est propiedd bst verificr que el ldo derecho de l iguldd es relmente un primitiv de f(x) =. Esto es,. vle si d (x + c) =, dx lo cul se deduce fácilmente plicndo ls propieddes (.) y recordndo que d (x) =. dx

10 8. INTEGRACIÓN De l mism form, como d dx (x2 ) = 2x, y en generl, si n Q y n entonces 2. x n dx = xn+ n + d dx (x3 ) = 3x 2 d ) (x n+ = (n + )x n, dx + c, pr n Q, n. Si n =, se cumple que 3. x dx = dx = ln x + c. x Pr demostrr est firmción, como Dom(ln( x )) = (, 0) (0, ), nlizremos por seprdo. Si x > 0, d dx (ln( x ) = d dx (ln x) = x. Si x < 0, d d (ln x ) = dx dx (ln( x)) = x ( ) = x, como querímos ver. 4. Si R, f(x) dx = f(x) dx. Est propiedd es equivlente l propiedd de l derivción, ( F ) = F. Finlmente, usndo que (f ± g) = f ± g tenemos que 5. (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx. Vemos hor lgunos ejemplos: Ejemplos.6.. x 7 dx = x8 8 + c. 2. x /2 dx = x3/2 3/2 + c = 2 3 x3/2 + c.

11 3. (x 3 + 2x 5)dx =. ANTIDERIVADA O PRIMITIVA 9 x 3 dx + 2x dx 5 dx = 4 x4 + 2 x dx 5 dx = 4 x x2 5x + c 4. = 4 x4 + x 2 5x + c. (sen x + cos x) dx = sen x dx + cos x dx = cos x + sen x + c 5t t dt = dt + dt t 4/3 t4/3 t4/3 = 5 t 2/3 dt + 2 t 4/3 dt = 5 t(2/3+) (2/3 + ) + 2 t ( 4/3+) ( 4/3 + ) + c = 5 t5/3 5/3 + 2 t /3 /3 + c 6. e x dx = e x + c. = 3 t 5/3 6 t /3 + c. 7. Determinr tods ls funciones g tles que g (x) = x /3 + x 2 y g() = 4. Solución. Ls funciones que cumplen g (x) = x /3 +, serín ls ntiderivds x2 o primitivs de f(x) = x /3 +. Luego el primer pso es clculr x2 (x /3 + x/3+ ) dx = x2 /3 + + x( 2+) ( 2 + ) + c. = 3 4 x4/3 x + c.

12 0. INTEGRACIÓN De tods ests primitivs (un pr cd c) queremos encontrr l que cumple g() = 4. Plntemos entonces lo cul se reduce y por lo tnto 3 4 4/3 + c = c = c = 4 c = = 5 4. Tenemos entonces que hy un sol función que cumple ls condiciones enuncids; est es g(x) = 3 4 x4/3 + x 5 4. Hst hor, usndo propieddes de l derivción, hemos deducido propieddes de l ntiderivción. Del mismo modo, de l propiedd (.) 4) se deduce el siguiente resultdo: Teorem.7. (Regl de l cden pr integrción indefinid) Se g : (, b) (d, e) un función diferencible, y f : (d, e) R. Si F es un ntiderivd de f en (d, e) entonces f(g(x))g (x) dx = F (g(x)) + c, x (, b), c R. Prueb. Como F : (d, e) R, podemos hcer l composición F g : (, b) R. Luego, por l definición de integrl indefinid, bst verificr que d [ ] F (g(x)) = f(g(x))g (x). dx Pero esto se deduce de l propiedd (.) 4) pues d [ ] F (g(x)) = F (g(x))g (x) dx y como F es un ntiderivd de f, se tiene que F = f y por lo tnto se cumple d [ ] F (g(x)) = f(g(x))g (x) dx como querímos ver. Este teorem es muy útil pues nos provee un método pr clculr ntiderivds pr funciones de l form f(g(x))g (x). En efecto, este método se bs en hcer l siguiente sustitución : u = g(x) du = g (x)dx.

13 . ANTIDERIVADA O PRIMITIVA Obtenemos entonces que (.2) f(g(x))g (x) dx = f(u)du. Luego, si F es un ntiderivd de f (esto es F (u) = f(u)), podemos concluir que (.3) f(u) du = F (u) + c. De (.2) y (.3) result f(g(x))g (x) dx = F (g(x)) + c, donde hemos vuelto reemplzr u = g(x). A este método se lo llm: Método de Sustitución. Vemos hor lgunos ejemplos de cómo usrlo. Ejemplos x + 4 dx En este cso tomemos u = 3x + 4, por lo tnto du = 3 dx. Con este cmbio se tiene que 3x dx = u du = u c = 2 3 u3/2 + c = 2 3 (3x + 4)3/2 + c. 2. sen 2 x cos x dx Tomemos u = senx, entonces du = cos x dx, luego sen 2 x cos x dx = u 2 du = 3 u3 + c = 3 cos3 x + c.

14 2. INTEGRACIÓN Como yud pr plicr este método, dremos el siguiente cudro, donde resumimos los psos seguir pr encontrr f(g(x))g (x) dx.. Hcer el cmbio u = g(x), du = g (x) dx. (Notr que después del cmbio, solmente debe hber letrs u y ningun letr x). 2. Hllr tods ls primitivs o ntiderivds de f (como expresión de u). 3. Sustituir nuevmente u por g(x). Uno de los contextos donde más frecuentemente se us l ntiderivd es en l resolución de ecuciones diferenciles. Un ecución diferencil es un ecución que involucr un función y sus derivds. Este es un tem que desrrollremos más delnte, pero en este punto, estmos en condiciones de resolver un de ls más simples: (.4) y = ky donde k es un constnte. Un solución es un función y = y(x) que stisfce l ecución. Est ecución tiene muchs plicciones, por ejemplo l biologí, pues en culquier instnte t, l rpidez y (t) con que se reproducen cierts bcteris en un cultivo es proporcionl l número de bcteris y(t) presentes en ese instnte t, y por lo tnto el modelo cumple l ecución (.4). Est es tmbién l ecución que cumplen lguns poblciones de nimles en lpsos cortos de tiempo. Finlmente podemos mencionr un plicción l físic, pues est ecución proporcion un modelo pr proximr l cntidd y(t) de sustnci que v quedndo en el instnte t cundo ést se desintegr por rdioctividd. Pr resolver (.4), notemos que Pr k = l ecución es y = y, y y sbemos que y = y(x) = e x l stisfce, puesto que d dx (ex ) = e x. Pr k = 2, tenemos y (x) = 2y(x), y en este cso tmbién es fácil ver que e 2x stisfce l ecución.

15 . ANTIDERIVADA O PRIMITIVA 3 En generl, podemos comprobr que y(x) = c e kx, con c R, es un solución de l ecución (.4) pr todo x R pues d dx (c ekx ) = k c e kx x R. Vemos hor que ésts son tods ls soluciones. Pr ello, tomemos un solución de (.4), esto es un y que stisfce y (x) = ky(x) pr todo x en un intervlo I. Como e kx 0, podemos definir Pr est nuev función tenemos que g(x) = y(x) e kx, ( y(x) g (x) = e kx ) x I. = y (x)e kx y(x)ke kx (e kx ) 2 = y (x) k y(x) e kx. Finlmente, como y cumple l ecución (.4) se tiene que g (x) = 0 pr todo x I. Por el Teorem.2, si g (x) = 0 en un intervlo I, entonces existe un constnte c R tl que g(x) = c x I. Es decir y(x) = c e kx x I, como querímos demostrr. Notemos que en prticulr se puede tomr I = R, y tenemos que Teorem.9. Se k R un constnte. L función y = y(x) stisfce l ecución y (x) = ky(x) x R si y sólo si y(x) = c e kx pr lgun constnte c R. Ejemplo.0. Encuentre l función que stisfce y (x) = 3y(x) pr todo x R e y(0) = 2. Aplicndo el teorem nterior, si y (x) = 3 y(x), entonces y(x) = ce 3x, pr lgun constnte c R. Como demás y(0) = 2, se cumple que c e 3.0 = 2 y por lo tnto c = 2. L respuest es entonces y(x) = 2e 3x. Es importnte resctr del ejemplo l siguiente situción generl:

16 4. INTEGRACIÓN Soluciones de y (x) = 3y(x) hy muchs: y(x) = c e 3x, (un por cd c R), pero un vez fijdo un punto por el que ps: y(0) = 2, hy un sol: y(x) = 2e 3x. 2. Integrles definids Dd un figur geométric, tenemos socid l noción de áre. Como y sbemos, el áre de un tl figur mide en lgún sentido l región encerrd por dich figur. Como ejemplos podemos recordr: Un propiedd del áre que se puede ver intuitivmente, es que si prtimos un figur en figurs más pequeñs, el áre totl será igul l sum de ls áres más pequeñs. Est propiedd result muy útil, por ejemplo pr clculr áres de polígonos, o de figurs que no son regulres. Es clro entonces que l trbjr con áres pueden precer (y en efecto precerán) sums de muchos términos, y por lo tnto, pr fcilitr el mnejo de dichs sums introduciremos l notción de sumtori. Definición 2.. Si m y n son números enteros tles que m < n, y m, m+,..., n son números reles, entonces n i = m + m n. i=m

17 2. INTEGRALES DEFINIDAS 5 Es decir que el ldo izquierdo es un notción (o form brevid) de escribir el ldo derecho. A l letr grieg Σ se l llm sumtori y l letr i, índice de sumción. Notemos que i tom los vlores enteros entre m y n, o se que se us pr indicr desde dónde hst dónde hy que sumr los i. Ejemplo i 2 = = 4. i= Tmbién se pueden usr otrs letrs como índice 2j = 2( 2) + 2( ) + 2(0) + 2() = 4. j= 2 Alguns propieddes, de fácil verificción, que serán útiles l hor de trbjr son: n n ) c i = c i pr culquier c R. 2) i=m i=m n ( i ± b i ) = n n i ± b i. i=m i=m i=m Áre bjo un curv En el punto nterior, vimos lguns regiones cuy áre sbemos clculr. Bstnte más complicdo es clculr el áre de l siguiente región. Pr empezr, notemos que si A es el áre de l región que nos interes, es clro que A es myor que el áre del rectángulo de bse b y ltur m, que llmremos s y es menor que l correspondiente l rectángulo de bse b y ltur M, que llmremos S. Esto es (2.) s A S. Es decir que estos vlores nos dn proximciones del áre que nos interes clculr.

18 6. INTEGRACIÓN Más ún, como sbemos clculr áres de rectángulos, prtir de (2.) obtenemos que (b )m A (b )M. Observemos tmbién que si prtimos el intervlo [, b] en dos subintervlos, [, c] y [c, b], el áre A es igul l sum de ls áres A y A 2 obtenids en cd nuev región. En este cso s s + s 2 A + A 2 = A S + S 2 S, donde s = (c )m, S = (c )M, y s 2 = (b c)m 2, S 2 = (b c)m 2. Notemos que l prtir el intervlo, ls proximciones mejorn. L ide es entonces usr esto pr definir el vlor del áre, con un proceso nálogo l que se us pr definir l pendiente de l rect tngente, y que en ese cso se proxim ese vlor (desconocido) clculndo ls pendientes de ls rects secntes, que se pueden clculr, y luego se tom el límite. En este cso, proximmos el vlor del áre A (desconocid) con sums de áres de rectángulos, que se pueden clculr, y luego tommos límite. Procedemos entonces de l siguiente mner: Se f : [, b] R un función continu tl que f(x) 0 x [, b]. Se A el áre comprendid entre l curvs y = f(x), el eje x y ls rects x = y x = b.

19 2. INTEGRALES DEFINIDAS 7 Comenzmos dividiendo el intervlo [, b] en n subintervlos [x 0, x ],..., [x n, x n ], donde = x 0 < x <... < x n < x n = b son números distintos pertenecientes l intervlo [, b]. Al conjunto P = {x 0, x,..., x n } lo llmmos un prtición del intervlo [, b]. Denotmos por k (P ) l longitud del intervlo [x k, x k ], o se k (P ) = x k x k, y por (P ) l longitud de l prtición P definid como el myor de todos los k (P ). Finlmente, tommos m k el vlor mínimo de f(x) pr x [x k, x k ] M k el vlor máximo de f(x) pr x [x k, x k ]. Con todo esto, pr cd prtición P, como generlizción de (2.), definimos l sum inferior y l sum superior, respectivmente, por s(p ) = (2.2) S(P ) = n m k k (P ) = m (P ) m n n (P ), k= n M k k (P ) = M (P ) M n n (P ). k= Es clro que s(p ) represent el áre correspondiente l unión de los rectángulos que se encuentrn por debjo del gráfico de f y S(P ) represent el áre correspondiente l unión de los rectángulos que se encuentrn por rrib del gráfico de f. Más ún, (2.3) s(p ) A S(P ), pr culquier prtición P. Definición 2.3. Si f : [, b] R es un función continu tl que f(x) 0 x [, b], se define el áre encerrd por l curv y = f(x), el eje x y ls rects x = y x = b por ( n (2.4) A = lim (P ) 0 k= ) m k k (P ).

20 8. INTEGRACIÓN Notemos que est definición nos dice que dich áre es el límite de ls sums inferiores y por lo tnto de ls áres de ls uniones de los rectángulos que se encuentrn por debjo del gráfico de f, cundo tommos prticiones de longitud cd vez más chic, o se con myor cntidd de puntos. Observción. El significdo preciso del límite (2.4) es: ε > 0 δ > 0 tl que si P = {x 0,..., x n } es un prtición de [, b] con (P ) < δ, entonces A n m k k (P ) < ε. k= Se puede probr que tomr el límite de ls sums inferiores coincide con tomr el ( n ) límite de ls sums superiores, es decir A = M k k (P ). lim (P ) 0 Llmremos este número, integrl definid de f en [, b] y lo denotremos por b f(x)dx. Observemos que est definición l hemos ddo pr funciones continus y positivs en un intervlo cerrdo. Pr generlizr un poco est definición, necesitmos introducir primero lguns nociones: Decimos que f es cotd superiormente en un intervlo I si existe un número B, que llmremos cot superior de f en I, tl que k= f(x) B x I. Además, decimos que f es cotd inferiormente llmremos cot inferior de f en I, tl que en I si existe un número C, que C f(x) x I. Finlmente, si f es cotd superior e inferiormente en I, decimos que f es cotd en I. Notemos que en este cso, si M = mx{ B, C }, M f(x) M x I. Observciones.. Ls cots superiores e inferiores no son únics. Esto se ve fácilmente, pues si f(x) x I, entonces f(x) 2 x I. Es decir que en generl si B es un cot superior de f en I, B tmbién es un cot superior pr todo B B.

21 2. INTEGRALES DEFINIDAS 9 2. Tmbién es clro que no tod función es cotd. En efecto, bst considerr f(x) = x en el intervlo (0, ). L función f está cotd inferiormente pues x x (0, ), y no está cotd superiormente. 3. Pr tener ejemplos de funciones cotds, bst tomr un función continu f en un intervlo cerrdo I, pues recordemos que llí ests funciones lcnzn el máximo, y M, y el mínimo, y m, y por lo tnto y m f(x) y M pr todo x I. Es decir que si f es un función continu en [, b], entonces es cotd en [, b]. 4. Notemos demás que el hecho de que un función se cotd superiormente por B, es equivlente decir que su gráfico se encuentr por debjo de l rect y = B y que se cotd inferiormente por C, equivle decir que su gráfico se encuentr por rrib de l rect y = C. Luego, el hecho de que un función se cotd es equivlente decir que su gráfico se encuentr en un frnj [ M, M]. Figur. L función f(x) = cos(x) + sen(x) tiene su gráfico en l frnj 2 < y < 2. Siguiendo con l ide de cotr funciones en un intervlo, notemos que si un función es cotd superiormente, entonces tiene un cot superior. Como y dijimos, dich cot no es únic pues culquier número más grnde tmbién es un cot superior. Esto motiv l siguiente definición. Definición 2.4. Llmremos supremo de f en un intervlo I l menor de ls cots superiores de f en I e ínfimo de f en I l myor de ls cots inferiores de f en I. Por un importnte propiedd de los números reles sbemos que tod función cotd superiormente (inferiormente) tiene supremo (ínfimo).

22 20. INTEGRACIÓN Un observción que sirve modo de ejemplo es que si f lcnz el máximo en [, b] en x = x 0 y f(x 0 ) = y 0, entonces y 0 es tmbién supremo de f(x) pr x [, b], y nálogmente el mínimo es tmbién ínfimo. Pr flexibilizr l condición de continuidd requerid en l definición de áre bjo un curv, vemos l siguiente Definición 2.5. Decimos que f tiene un número finito de discontinuiddes en [, b] si existen un cntidd finit de puntos t,..., t j [, b], t 0 = < t <... < t j < b = t j+ tl que f es continu en cd subintervlo (t k, t k ), k j +. Figur 2. L función x si 4 < x < 0 f(x) = x + si 0 x 4 x + 7 si 4 < x < 8 en el intervlo [ 4, 8] tiene dos discontinuiddes, un en x = 0 y otr en x = 4. Tomemos entonces un función f cotd en [, b], con un número finito de discontinuiddes. En este cso un generlizción de l definición de sum inferior socid un prtición P es (2.5) s(p ) = n m k k (P ), k=

23 2. INTEGRALES DEFINIDAS 2 donde hor m k es el ínfimo de los vlores de f(x) pr x [x k, x k ]. Es decir que estmos tomndo l sum inferior socid los ínfimos. Sbemos que si f es continu en [x k, x k ] entonces lcnz el mínimo, que coincide con el ínfimo de f(x) pr x [x k, x k ]. Análogmente, si tommos M k como el supremo de los vlores de f(x) pr x n [x k, x k ], podrímos generlizr l noción de sum superior como S(P ) = M k k (P ), y se puede probr que lim (P ) 0 n m k k (P ) = k= lim (P ) 0 n M k k (P ). Definición 2.6. L integrl definid de un función f cotd, con un número finito de discontinuiddes en [, b] es b f(x) dx = lim (P ) 0 k= n m k k (P ). Notemos que est definición es un generlizción de l Definición 2.3 pues mbs definiciones coinciden en el cso en que f es continu y positiv. Observciones. b. f(x) dx es un número, en cmbio f(x) dx es un conjunto de funciones. 2. Si f es cotd con un número finito de discontinuiddes en [, b] y f(x) 0 pr todo x [, b] entonces A = b k= f(x) dx represent el áre de l región comprendid entre el gráfico de f, el eje x y ls rects x = y x = b. En cmbio, si f tom vlores negtivos en lgunos x [, b], entonces A = b el gráfico de f, el eje x y ls rects x = y x = b. Ejemplo 2.7. Tomemos f(x) = y clculemos Pr l prtición P = {0,, } tenemos que 2 k= f(x) dx no represent el áre comprendid entre 0 f(x) dx. s(p ) = ( ) 2 + ( ) 2 = Pero como S(P ) = ( ) 2 + ( ) 2 =. s(p ) 0 f(x) dx S(P ), obtenemos f(x) dx =. 0

24 22. INTEGRACIÓN Qued clro entonces que est integrl no corresponde l áre sombred pues ls áres son siempre positivs. Se f un función cotd y con un número finito de discontinuiddes en [, b]. Es conveniente pr futuros usos, introducir ls siguientes definiciones. Definición 2.8. b ) f(x) dx = 0, 2) f(x) dx = f(x) dx. b Propieddes. Se f, g y h funciones cotds y con un número finito de discontinuiddes en [, b] entonces:. Si h(x) 0 x [, b], entonces b b cf(x) dx = c b [f(x) ± g(x)] dx = 4. Si d R entonces b b h(x) dx 0. f(x) dx, pr culquier constnte c R. b f(x) dx ± f(x) dx = d 5. Si f(x) g(x) x [, b], entonces b g(x) dx. f(x) dx + b b d f(x) dx f(x) dx. b g(x) dx.

25 2. INTEGRALES DEFINIDAS 23 Ests propieddes son intuitivmente más clrs en el cso de f 0 y continu y l demostrción se bs en plicr ls propieddes del límite. Por ejemplo, vemos cómo demostrr l propiedd. Por definición tenemos que b h(x) dx = lim (P ) 0 n m k k (P ) donde m k es el ínfimo de h(x) pr x [x k, x k ]. Es clro que como h(x) 0, C = 0 es un cot inferior de h(x) pr x [x k, x k ] pr todo k. Por lo tnto el ínfimo, que es por definición l myor de ls cots inferiores, stisfce m k 0. Así, como demás k (P ) 0 pr todo k, tenemos que n m k k (P ) 0, pr tod prtición P, con lo cul k= b como querímos demostrr. h(x)dx = lim (P ) 0 n k= k= m k k (P ) 0 Notemos finlmente que l propiedd 4, en el cso en que f es un función continu y positiv, y d (, b), equivle l hecho que y mencionmos de que l prtir l región, el áre totl es l sum de ls áres. A l hor de clculr un integrl, slvo lguns excepciones (constnte, rects, etc.), no es fácil hcerlo usndo l definición. Por ello, dremos continución lgunos teorems con el objeto de proporcionr herrmients pr el cálculo de un integrl definid. Observemos primero que, si f es un función cotd y con un número finito de discontinuiddes en [, b], entonces pr culquier x (, b) está definid x f(t) dt pues f sigue siendo cotd y con un número finito de discontinuiddes en el intervlo [, x] [, b]. Más ún, este vlor depende de x, por lo que podemos definir l función F : [, b] R, Observemos que F () = F (x) = f(t) dt = 0. x f(t) dt. Teorem 2.9. (Primer Teorem Fundmentl del Cálculo) Se f un función continu en [, b], y c [, b]. Se F l función definid por F (x) = x c f(t) dt x [, b].

26 24. INTEGRACIÓN Entonces F es diferencible en [, b] y F (x) = f(x) x [, b]. Si x = ó x = b, F (x) denot l derivd de F por l derech y por l izquierd respectivmente. Notemos tmbién que en l definición de F, puede ser x c ó x c. Ejemplo 2.0. Se F (x) = x t 4 + dt. Entonces F (x) =. En prticulr x 4 + F (2) = = 7 y F ( ) = 2. Ejemplo 2.. Se G(x) = 2 x cos 2 (2t) dt. x Entonces G(x) = cos 2 (2t) dt. Luego, por el teorem nterior 2 G (x) = cos 2 (2x). Un problem un poco más complicdo serí derivr F (x) = generl F (x) = h(x) f(t) dt, donde h es un función diferencible. Observemos que si tommos G(y) = y f(t) dt x 2 entonces F (x) = G(h(x)). Luego, usndo l regl de l cden, tenemos que F (x) = G (h(x))h (x) = f(h(x))h (x) t4 dt, o más en Finlmente esto nos dice, plicdo l problem nterior, que l derivd que querímos clculr está dd por F (x) = d dx ( x t4 dt ) = 2 + (x 2 ) 4 2x = 2 + x 8 2x. Siguiendo con nuestr generlizción, vemos qué ps si tommos g y h dos funciones diferencibles en un intervlo [, b] y considermos H(x) = h(x) g(x) f(t) dt.

27 2. INTEGRALES DEFINIDAS 25 Cuál será su derivd? Pr clculrl, observemos primero que H(x) = h(x) g(x) f(t) dt = d g(x) f(t) dt + h(x) d f(t) dt = h(x) d f(t) dt g(x) d f(t) dt, y por lo que y vimos, tenemos que H (x) = f(h(x))h (x) f(g(x))g (x). x 3 Ejemplo 2.2. Se F (x) = sen(4t)dt, entonces 2x F (x) = sen(4x 3 )(3x 2 ) sen(4( 2x))( 2) = sen(4x 3 )(3x 2 ) + 2sen( 8x). Teorem 2.3. (Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo o Regl de Brrow). Se f continu en [, b] y G un primitiv de f en [, b], entonces En delnte denotremos b f(t) dt = G(b) G(). G(x) b = G(b) G(). Prueb. Por el teorem nterior se cumple que F (x) = x f(t) dt es un primitiv de f en I. Es decir que F (x) = f(x) pr todo x [, b]. Entonces como G es otr primitiv de f en [, b], por el Teorem.3 existe un constnte c R tl que G(x) = F (x) + c. pr todo x [, b]. Esto es, Por lo tnto G(x) = G(b) G() = x ( b f(t) dt + c x [, b]. ) ( ) f(t) dt + c f(t) dt + c = b f(t) dt, como querímos demostrr.

28 26. INTEGRACIÓN Notemos que este teorem nos d un método pr clculr integrles definids, si de lgun form conocemos un primitiv de l función integrr. Ejemplo 2.4. (2x 3 7x 2 + ) dx = 2 x 3 dx 7 x 2 dx + dx = 2 4 x4 ( ) 7 3 x3 + x = 2 ( 4 ()4 4 ( )4 ) 7( ( )3 ) + ( ( )) = 2( 4 4 ) 7( ) + 2 = 8 3. Ejemplo x 2x 2 + dx A diferenci del ejemplo nterior, no es clro cuál serí un primitiv de l función f(x) = x 2x 2 +, pero podemos trtr de encontrr un, usndo el método de sustitución. Se u = 2x 2 +, entonces du = 4x dx, luego, 2x2 + 4x dx x 2x 2 + dx = 4 = 4 u u 3/2 du = 4 3/2 + c = 2 2 (2x2 + ) 3/2 + c = 6 (2x2 + ) 3/2 + c.

29 2. INTEGRALES DEFINIDAS 27 Ahor tommos un primitiv de f y plicmos el Teorem 2.3; concluimos que: 2 0 x 2x 2 + dx = 6 (2x2 + ) 3/2 2 = 6 [( ) 3/ /2] 0 = 6 (93/2 ) = 3 3. Otr form de resolver est integrl, un vez que usmos el método de sustitución, serí clculr directmente con u, sin volver x. En este cso hy que tener en cuent que los límites de integrción (o se el intervlo en el cul se integr) son otros: 2 0 x 2x 2 + dx = 4 u(2) u(0) u du. Recordemos que hbímos tomdo u = 2x 2 +, que en relidd es un función de x, u(x) = 2x 2 +, y por lo tnto los límites de integrción son u(0) = y u(2) = 9. Verifiquemos entonces que llegmos l mismo resultdo: 2 x 2x 2 + dx = 9 ( u 3/2 ) 9 u du = 4 4 3/2 0 = 2 2 [9 3/2 3/2 ] = 26 6 = 3 3. Notemos que pr plicr el Segundo Teorem Fundmentl l cálculo de b f(x) dx, se necesit que f se continu. Luego, pr tener lgo similr en el cso de un función con un número finito de discontinuiddes, comencemos con el siguiente resultdo. Lem 2.6. Si h(x) es l función en [, b] definid por { 0, si x b h(x) = entonces d, si x = b b h(x) dx = 0. Prueb. Es clro que podemos suponer que d 0, pues si d < 0 considermos h. Se P = {x 0, x n } un prtición del intervlo [, b]. Si m k es el ínfimo de los vlores de h en el intervlo [x k, x k ], entonces es fácil ver que m k = 0 pr todo k. Luego, tod sum inferior es cero, y por lo tnto plicndo l definición de integrl tenemos que b n h(x) dx = m k k (P ) = 0. lim (P ) 0 k=

30 28. INTEGRACIÓN Observemos que en est prueb del lem, no se usó el hecho de que l discontinuidd de h ocurre en x = b, por lo que el lem sigue vliendo si cmbimos b por culquier x 0 [, b]. Teorem 2.7. Se x 0 [, b]. Si f : [, b] R es un función continu y g(x) = f(x) pr todo x x 0, entonces b f(x) dx = b g(x) dx. Prueb. Si f(x) = g(x) pr todo x x 0, consideremos l función h(x) = f(x) g(x), por lo tnto h(x) = El lem nterior implic que y como { 0, si x x 0 f(x 0 ) g(x 0 ) = d, si x = x 0. b h(x) dx = 0, tenemos que como querímos demostrr. b (f g)(x) dx = b b f(x) dx = b h(x) dx = 0, g(x) dx, Supongmos hor que f es cotd en [, b] y es discontinu solmente en un cntidd finit de puntos del intervlo [, b]. Elegimos un conjunto {x 0,..., x N } con = x 0 < x <... < x N = b que conteng dichos puntos. Supongmos demás que pr cd k N, en cd intervlo bierto (x k, x k ), f coincide con un función f k que es continu en el intervlo cerrdo [x k, x k ]. Por l propiedd de ditividd de l integrl definid y por el teorem nterior, sbemos que b f(x)dx = x f(x)dx + x2 b f(x)dx f(x)dx x x N = x f (x)dx + x2 b f 2 (x)dx f N (x)dx. x x N

31 3. ÁREA DE UNA REGIÓN COMPRENDIDA ENTRE DOS GRÁFICOS 29 Ahor, como f k es continu pr cd k N, podemos plicr l regl de Brrow cd un de ls integrles de rrib. Por lo tnto, si G k es un primitiv de f k, b Ejemplo 2.8. Se entonces f(x)dx = G (x) b f(x) = f(x)dx = = = { x 0 ( 0 + G 2 (x) x G N (x) b. x x N x + 2, si 0 x < x 3, si x 2 f(x)dx + 2 f(x)dx 2 (x + 2) dx + ) x 2 + 2x ( + 2 = ( ) = ( x 3 ) dx x 4 4 x ) 2 3. Áre de un región comprendid entre dos gráficos Se f un función cotd, con un número finito de discontinuiddes y no negtiv en el intervlo [, b]. Hemos definido el áre de l región comprendid entre l curv y = f(x), el eje x y ls rects x = y x = b como A = b f(x) dx. Si hor tommos un función g 0, cotd y con un número finito de discontinuiddes en [, b], no hemos definido el áre encerrd por el gráfico de g, pues sólo sbemos cómo clculr áres bjo el gráfico de funciones no negtivs. Consideremos entonces l función g. Notemos que g(x) 0 x [, b] y más ún, se puede ver que el áre encerrd por l curv y = g(x) y ls rects x = y x = b, es l mism que el áre encerrd por dichs rects y l curv y = g(x).

32 30. INTEGRACIÓN Si A es el áre socid g y A 2 es el áre socid g, tenemos que A = A 2 = b b g(x) dx = g(x) dx. Ejemplo 3.. Si f(x) = x 3 +, clculemos el áre sombred A : Si A es el áre correspondiente f restringid l intervlo [, ], donde f 0, y A 2 es el áre correspondiente f restringid l intervlo [ 2, ], donde f 0, result

33 3. ÁREA DE UNA REGIÓN COMPRENDIDA ENTRE DOS GRÁFICOS 3 A = A + A 2 = (x 3 + ) dx 2 (x 3 + ) dx ( ) ( ) = 4 x4 + x 4 x4 + x 2 = [( ] 4 + ) ( 4 ) [ ( ] 4 ) ( 4 ( 2)4 2) = 2 ( 3 4 2) = 9 4. Supongmos hor que tenemos dos funciones f y g. Queremos clculr el áre A de l región sombred: Es fácil ver que est áre es l diferenci entre el áre socid l gráfico de f y el áre socid l gráfico de g. Esto es A = A A 2 = b f(x) dx b g(x) dx = b (f(x) g(x)) dx. Observemos que quí hemos usdo que 0 g(x) f(x) x [, b], pero esto se puede generlizr: Teorem 3.2. Si f y g son dos funciones cotds y con un número finito de discontinuiddes en [, b], tles que g(x) f(x) x [, b], entonces el áre de l región comprendid entre sus gráficos y ls rects verticles x = y x = b está dd por A = b [f(x) g(x)] dx.

34 32. INTEGRACIÓN Notemos que unque f f(x) g(x) 0. y g tomen vlores negtivos, se cumple siempre que Ejemplo 3.3. Hlle el áre de l región sombred, comprendid entre los gráficos de y = x 2 e y = x. Por el teorem nterior plicdo f(x) = x y g(x) = x 2, tenemos que A = [(x ) (x 2 )] dx = 0 0 (x x 2 ) dx = 2 x2 0 3 x3 = 6. 0 Si hor tommos f y g continus en [, b], pero g(x) f(x) pr x c y g(x) f(x) pr c x b, entonces, pr clculr el áre encerrd entre sus gráficos en el primer cso debemos considerr f(x) g(x) y en el segundo g(x) f(x). Ejemplo 3.4. Hlle el áre comprendid entre los gráficos de f(x) = x 2 4x, g(x) = 2x y ls rects x =, x = 4.

35 4. VOLUMEN DE REVOLUCIÓN 33 Por lo dicho nteriormente, como g(x) f(x) pr x [, 0] y f(x) g(x) pr x [0, 4], tenemos que 0 4 A = x 2 4x 2x dx + 2x (x 2 4x) dx = (x 2 6x)dx (x 2 6x) dx 0 ( ) = 3 x3 3x 2 0 ( ) 3 x3 3x = ( 3 ( ) 3) = Volumen de revolución Consideremos un porción del plno (región cotd) y un rect que no l cort, unque sí puede llegr tocrl. Si hcemos girr est región lrededor de dich rect obtenemos un cuerpo. ejemplo Por

36 34. INTEGRACIÓN de l región () obtenemos un cilindro, de l (2) un cono, y de l tercer región, un esfer. Cuál será el volumen de este cuerpo? De l construcción podemos intuir que tendrá mucho que ver con el áre de l región de l cul prtimos. Pr clculr un volumen como éste, empecemos por el cso más sencillo. Se f continu en [, b], f(x) 0 x [, b], y consideremos l región delimitd por el gráfico de f, el eje x, y ls rects x = y x = b. Sen C el sólido que obtenemos l hcer girr est región lrededor del eje x y V su volumen. Recordemos que l áre bjo el gráfico de f l podemos proximr con sums inferiores (y superiores). Tomemos entonces P = {x 0,..., x n } un prtición del intervlo [, b] y consideremos l sum inferior correspondiente P. Esto es, n s(p ) = m k k (P ), k= donde m k k (P ) es el áre del rectángulo R k. Si hcemos girr el rectángulo R k, obtenemos un cilindro de rdio m k y ltur k (P ), por lo tnto su volumen está ddo por V k (P ) = π m 2 k k (P ). Notemos que l hcer girr todos los rectángulos R k con k n correspondientes P, obtenemos un cuerpo, cuyo volumen es menor que el de C.

37 4. VOLUMEN DE REVOLUCIÓN 35 Como y dijimos, l tomr prticiones de longitud cd vez más pequeñ (o se (P ) tiende 0), ls sums inferiores proximn cd vez mejor l áre bjo el gráfico de f y por lo tnto, el cuerpo que obtenemos l hcer girr esos rectángulos proxim cd vez más C. Tenemos entonces que V = lim (P ) 0 n k= V k (P ) = lim (P ) 0 = π lim = π n π m 2 k k (P ) k= (P ) 0 k= b n m 2 k k (P ) f 2 (x) dx, pues m 2 k es el mínimo de f 2 (x) pr x [x k, x k ]. Es decir que el volumen del sólido generdo por un función f, continu en [, b], está ddo por: (4.) V = π b f 2 (x) dx. Llmremos l sólido sí obtenido, sólido de revolución generdo por f. Observción. Notemos que (4.) vle pr un función f 0 cotd y con un número finito de discontinuiddes en [, b]. Ejemplo 4.. Hlle el volumen del sólido obtenido l girr lrededor del eje x, l curv y = x 2 entre ls rects x = y x = 2.

38 36. INTEGRACIÓN Figur 3. L función f(x) = x 2 en el intervlo [, 2] y su correspondiente sólido de revolución. En generl se cumple: 2 V = π x 4 dx = π x5 5 2 = 3 5 π. Teorem 4.2. Sen f y g funciones cotds, con un número finito de discontinuiddes en [, b] y tles que f(x) g(x) 0 x [, b]. Se V el volumen del sólido de revolución generdo l girr lrededor del eje x, l región limitd por ls curvs y = f(x), y = g(x) y ls rects x =, x = b. Entonces V = π b (f 2 (x) g 2 (x)) dx. Ejemplo 4.3. Sen f(x) = x + 3 y g(x) = x 2 +. Clcule el volumen del sólido obtenido l hcer girr l región sombred, comprendid entre ls curvs y = f(x) e y = g(x). Figur 4. L región comprendid entre y = x 2 + e y = x + 3 y su correspondiente sólido de revolución. Solución. Por el teorem nterior tenemos que

39 6. INTEGRALES IMPROPIAS DE TIPO I 37 V = π x x 0 (f 2 (x) g 2 (x)) dx. Necesitmos conocer entonces x 0 y x. Como en estos puntos se cumple que ls funciones coinciden, entonces x + 3 = x 2 + y por lo tnto x 2 x 2 = 0. Resolviendo est ecución obtenemos x 0 = y x = 2. Luego, V = π 2 ((x + 3) 2 (x 2 + ) 2 ) dx = 7 5 π. 5. Integrles impropis Hemos definido l integrl definid de un función f en el intervlo [, b] b f(x)dx cundo se cumplen ls siguientes condiciones: (i) límites de integrción finitos (es decir: y b finitos). (ii) f continu en [, b], o bien f cotd en [, b] con un número finito de discontinuiddes. Ahor extenderemos el concepto de integrl definid l de Integrl Impropi, en lgunos csos en que ls condiciones (i) y/o (ii) no se cumplen. 6. Integrles impropis de tipo I Este tipo de integrles surgen cundo considermos funciones continus y l menos uno de los límites de integrción es infinito. Comencemos con un ejemplo: tomemos l función f(x) = pr x en [, ) y x2 llmemos C l región infinit comprendid entre el gráfico de f y el eje x. Pensemos hor en el áre de C.

40 38. INTEGRACIÓN Tl vez nuestr intuición nos dig que dich áre deberí ser infinit, pero nlicemos est situción con más detlle. Empecemos notndo que pr culquier número rel t >, el áre A(t) de l porción de C comprendid entre ls rects x = y x = t, está dd por t A(t) = x dx = t 2 x = t. Si hor elegimos t cd vez más grnde, los vlores A(t) irán proximndo cd vez mejor l áre de C y como ( lim A(t) = lim ) =, t t t diremos que el áre A de l región C es. Escribiremos entonces A = dx = lim x2 t t dx =. x2

41 6. INTEGRALES IMPROPIAS DE TIPO I 39 Usndo este ejemplo como guí, dmos ls siguientes definiciones, donde l función f no necesrimente es positiv. Definición 6.. i) Se R. Si f es continu en [, ) definimos f(x)dx = lim t t f(x) dx, si este límite existe y es finito. ii) Se b R. Si f es continu en (, b] definimos b si este límite existe y es finito. f(x)dx = lim t b t f(x) dx, iii) Se c R. Si f es continu en (, ) y ls integrles c f(x) dx y c f(x) dx existen, definimos f(x)dx = c f(x) dx + c f(x) dx. Not: Se puede demostrr que en (iii), el segundo miembro es independiente de l elección de c. Cundo los límites que precen en l Definición 6. i) y ii) existen y son finitos (o se: dn como resultdo un número rel) decimos que ls integrles impropis llí definids convergen. En cso contrrio decimos que divergen. L integrl impropi f(x)dx, de l Definición 6. iii) converge, si mbs integrles impropis f(x) dx y integrles impropis diverge decimos que f(x) dx convergen. Si lgun de ests dos últims f(x) dx diverge. Ejemplo 6.2. Evlúe ls siguientes integrles, si convergen. () 2 dx, (b) (x ) 2 2 x dx.

42 40. INTEGRACIÓN Figur 5. Gráficos de y = x y y = (x ) 2 Solución. () Por l Definición 6. i), tenemos 2 t dx = lim (x ) 2 t 2 (x ) dx 2 = lim t x t 2 en el intervlo [2, ). ( = lim t t + ) =, 2 luego est integrl impropi converge y su vlor es. (b) Usndo l Definición 6. i) result 2 x dx y por lo tnto est integrl impropi diverge. t = lim t 2 x dx = lim ln x t t 2 ( = lim ln(t ) ln(2 ) t = lim t ln(t ) =, Ejemplo 6.3. Evlúe l siguiente integrl, si converge e x dx. )

43 6. INTEGRALES IMPROPIAS DE TIPO I 4 Figur 6. L función y = e x en el intervlo (, ]. Solución. Por l Definición 6. ii) tenemos e x dx = lim e x dx t t = lim t ex = lim t t ) (e e t = e, y por lo tnto est integrl impropi converge. Ejemplo 6.4. Evlúe ls siguientes integrles, si convergen, () dx, (b) e x dx. + x2 Figur 7. Ls funciones y = +x 2 e y = e x en (, ).

44 42. INTEGRACIÓN Solución. () Usmos l Definición 6. iii) con c = 0 : 0 + x dx = 2 Ahor plicmos l Definición 6. i) 0 + x dx t dx = lim + x2 t 0 + x dx 2 = lim rctn x t t 0 + x 2 dx. = lim t (rctn t rctn 0 ) = π/2. Similrmente usndo l Definición 6. ii) podemos probr que 0 dx = π/2. + x2 Por lo tnto, l integrl impropi dd en () converge y su vlor es π/2 + π/2 = π. (b) Usmos l Definición 6. iii) con c =, e x dx = e x dx + e x dx. En el Ejemplo 6.3 mostrmos que l e x dx es convegente y su vlor es e, nlicemos entonces l segund integrl impropi del miembro de l derech: e x dx t = lim e x dx t = lim e x t t = lim t (e t e) =, luego est integrl impropi diverge y entonces tmbién diverge l integrl impropi dd en (b). Ejemplo 6.5. Determine pr qué vlores de p l siguiente integrl es convergente x p dx.

45 Solución. Consideremos primero p = : 6. INTEGRALES IMPROPIAS DE TIPO I 43 x dx t = lim t x dx = lim ln x t t = lim t (ln t ln ) por lo tnto, l integrl diverge si p =. Supongmos p, entonces = lim t ln t =, x p dx t = lim t x dx p Si p >, entonces p > 0 y sí lim t Si p <, entonces p < 0 y sí lim diverge. Entonces, hemos obtenido: = lim t x p+ p + t ( ) = lim t p t. p = 0, por lo tnto, tp x p dx = p t si p >. = lim tp t t p =, en consecuenci l integrl dx es convergente si p > y divergente si p. xp Geométricmente, esto dice que unque ls curvs y = x p pr x > y p > 0 son muy precids, l región comprendid entre l curv y = x p y el eje x pr x, tiene áre finit si p > e infinit si 0 < p.

46 44. INTEGRACIÓN 7. Integrles impropis de tipo II En ls integrles de tipo I ls regiones considerds se extienden indefinidmente en sentido horizontl. Estudiremos hor regiones que se extienden en sentido verticl, es decir que este tipo de integrles corresponde considerr límites de integrción, b, finitos y funciones continus en [, b] slvo en un punto en el cul tienen un síntot verticl. Tomemos entonces un función f continu, positiv, definid en [, b) y tl que lim f(x) =. Se S l región no cotd comprendid entre el gráfico de f, el eje x b x, y ls rects x = y x = b. x = t Si t < b es clro que el áre de l porción de S comprendid entre ls rects x = y está dd por A(t) = t f(x)dx. Como en el cso nterior, ests áres proximn cd vez más l áre de S cundo t se proxim b. Luego, si A(t) tiende un número rel A cundo t b, se dice que el áre de l región S es A y se escribe A = b f(x)dx = lim t b t f(x)dx. Usremos ests ides pr dr l siguiente definición, donde f no necesrimente es positiv.

47 Definición INTEGRALES IMPROPIAS DE TIPO II 45 i) Sen, b R tles que < b. Si f es continu en [, b) y lim f(x) = ±, definimos x b b t f(x) dx = lim f(x) dx, t b si este límite existe y es finito. ii) Sen, b R tles que < b. Si f es continu en (, b] y lim f(x) = ±, definimos x + b b f(x) dx = lim f(x) dx, t + t si este límite existe y es finito. iii) Sen, b, c R tles que < c < b. Si f es continu en [, c) (c, b] (ver figur bjo), y ls integrles c existen, definimos b f(x) dx f(x) dx = c y b c f(x) dx + f(x) dx b c f(x) dx. Cundo los límites que precen en l Definición 7. i) y ii) existen y son finitos, decimos que ls integrles impropis llí definids convergen. En cso contrrio decimos que divergen. L integrl impropi impropis c f(x) dx y b b c impropis diverge, decimos que f(x) dx de l Definición 7. iii) converge, si mbs integrles f(x) dx convergen. Si lgun de ests dos últims integrles b f(x) dx diverge.

48 46. INTEGRACIÓN Ejemplo 7.2. Evlúe, si converge, l siguiente integrl impropi: x dx. Figur 8. f(x) = 3 x en el intervlo [0, 3). Solución. Como l función f(x)= 3 x es continu en [0, 3) y lim =, entonces plicmos l Definición 7. i) y obtenemos x 3 3 x x dx t = lim dx t x = lim 2 3 x t 3 t 0 ( = lim 2 3 t + 2 ) 3 = 2 3. t 3 Por lo tnto est integrl impropi converge y su vlor es 2 3. Ejemplo 7.3. Determine si l siguiente integrl impropi converge o diverge 0 x dx.

49 Solución. L función f(x) = x 7. ii) obtenemos 7. INTEGRALES IMPROPIAS DE TIPO II 47 es continu en (0, ] y lim x 0 + x =. Aplicndo l definición 0 x dx = lim t 0 + t x dx = lim t 0 + ln x t ( = lim 0 ln t t 0 + ) =. Como el límite no es finito l integrl impropi es divergente. Ejemplo 7.4. Determine l convergenci o divergenci de 4 0 (x 3) 2 dx. Figur 9. f(x) = (x 3) 2 en el intervlo [0, 4]. Solución. El integrndo f(x) = [0, 3) (3, 4], y demás lim x 3 7. iii) con c = 3 y obtenemos no está definido en x = 3, es continuo en (x 3) 2 +f(x) =. Aplicmos entonces l Definición f(x) = y lim x (x 3) dx = (x 3) dx (x 3) 2 dx.

50 48. INTEGRACIÓN Pr estudir l primer integrl del ldo derecho usmos l Definición 7. i): 3 0 t dx = lim (x 3) 2 t 3 0 = lim t 3 x 3 (x 3) 2 dx t 0 ( = lim t 3 t 3 ) =, 3 como el límite no es finito est integrl impropi diverge y por lo tnto l integrl impropi plnted l comienzo tmbién es divergente. Ejemplo 7.5. Determine pr qué vlores positivos de p l siguiente integrl es convergente 0 x p. Solución. En el Ejemplo 8.3 vimos que si p = l integrl es divergente, sí que supongmos p > 0 y p. Entonces 0 dx = lim xp t 0 + t = lim t 0 + Si p >, entonces p > 0 y sí lim x p dx x p+ p + = lim t 0 + p t 0 + Si 0 < p <, entonces p < 0 y sí lim t ( t p ). =, en consecuenci l integrl diverge. tp t 0 + = 0, por lo tnto tp 0 x dx = p p si 0 < p <. Resumiendo, hemos obtenido: 0 dx es convergente si 0 < p < y divergente si p. xp

51 7. INTEGRALES IMPROPIAS DE TIPO II 49 Finlmente, es posible combinr integrles impropis de tipo I y II. En este cso prtimos l integrl en sum de integrles de tipo I o II, y decimos que l integrl originl es convergente si tods ls integrles impropis involucrds lo son. Ejemplo 7.6. Anlice si es convergente l siguiente integrl: 0 dx. x/3 Solución. Aquí, un límite de integrción es infinito, demás l función f(x) = x /3 está definid en x = 0 y cumple lim =. Entonces x 0 x/3 no (7.) 0 dx = x/3 0 dx + x/3 dx, x/3 donde l primer integrl impropi del ldo derecho es de tipo I y l segund es de tipo II. Si ests dos integrles convergen, entonces l integrl del miembro de l izquierd de (7.) será convergente. Usndo l Definición 6. obtenemos dx x = /3 lim s s dx x/3 3 = lim s 2 x2/3 s 3 ) = lim ( s 2/3 =, s 2 luego est integrl diverge, y por lo tnto, l integrl impropi del miembro de l izquierd de (7.) tmbién es divergente. Ejemplo 7.7. Anlice l convergenci de l siguiente integrl: 0 e x x dx.

52 50. INTEGRACIÓN Figur 0. f(x) = e x x en el intervlo [0, ). Solución. El integrndo no está definido en x = 0 y lim de integrción es infinito. Entonces e x x 0 + x = +, demás un límite (7.2) 0 e x dx = x 0 e x e x dx + dx, x x donde en el miembro de l derech, l primer integrl impropi es de tipo II y l segund es de tipo I. Como y dijimos, si ests dos integrles convergen entonces l integrl del miembro de l izquierd será convergente. Observemos que usndo l sustitución u = x obtenemos que 2e x es un primitiv del integrndo. Ahor plicmos l Definición 7. ii), 0 e x x dx = lim s 0 + s e x x dx = lim x 2e s 0 + s = lim + 2e s ) s 0 +( 2e = 2 e + 2,

53 8. CRITERIO DE COMPARACIÓN PARA INTEGRALES IMPROPIAS 5 luego est integrl converge. Por otro ldo, e x x dx t = lim t e x x dx = lim 2e x t t = lim ( 2e t + 2e ) t = 2e, y por lo tnto est integrl tmbién converge. Como ls dos integrles del miembro de l derech de (7.2) convergen, entonces l del miembro de l izquierd tmbién converge. 8. Criterio de comprción pr integrles impropis A veces result difícil y hst imposible encontrr el vlor excto de un integrl impropi y sin embrgo es importnte sber si es convergente o divergente. En tles csos son útiles los teorems que enunciremos continución. Teorems de comprción pr integrles de tipo I Teorem 8.. Supongmos que f y g son funciones continus que stisfcen f(x) g(x) x [, ). Si f(x)dx es convergente, o equivlentemente, si g(x)dx es convergente, entonces f(x) dx es divergente, entonces g(x) dx es divergente. Teorem 8.2. Supongmos que f y g son funciones continus que stisfcen f(x) g(x) x (, ]. Si f(x)dx es convergente, o equivlentemente, si g(x)dx es convergente, entonces f(x)dx es divergente, entonces g(x)dx es divergente.

54 52. INTEGRACIÓN Teorems de comprción pr integrles de tipo II. Teorem 8.3. Supongmos que f y g son funciones continus en [, b) que stisfcen f(x) g(x) x [, b) y lim f(x) = ±. Si f(x) dx es convergente, o equivlentemente, si b b x b g(x) dx es convergente, entonces f(x) dx es divergente, entonces b b g(x) dx es divergente. Teorem 8.4. Supongmos que f y g son funciones continus en (, b] que stisfcen f(x) g(x) x (, b] y lim f(x) = ±. + Si f(x) dx es convergente, o equivlentemente, si b b x g(x) dx es convergente, entonces f(x) dx es divergente, entonces b b g(x) dx es divergente. Observemos que si en estos teorems l función f cumple f(x) 0, l hipótesis f(x) g(x) se convierte en 0 f(x) g(x). Ejemplo 8.5. Demuestre que 0 e x2 dx es convergente. Solución. No se puede evlur l integrl directmente porque l ntiderivd de e x2 no es un función elementl. Comencemos escribiendo (8.) 0 e x2 dx = 0 e x2 dx + e x2 dx, y observemos que l primer integrl del miembro de l derech es un integrl definid. Pr nlizr l segund integrl, notemos que como x, x 2 x, luego x 2 x y por lo tnto 0 e x2 e x. Además, e x dx t = lim e x dx t = lim e x t t = lim (e e t ) = e. t

55 8. CRITERIO DE COMPARACIÓN PARA INTEGRALES IMPROPIAS 53 Figur. y = e x2 e y = e x en el intervlo [, ). Ahor, usndo el Teorem 8. con f(x) = e x2 y g(x) = e x obtenemos que es convergente. De quí, usndo (8.) result que e x2 0 es convergente. e x2 dx Ejemplo 8.6. Demuestre que Solución. Como + e x x + e x dx es divergente. x > x > 0, x [, ) y dx es divergente por el x Ejemplo 6.5, entonces usndo el Teorem 8. con g(x) = + e x y f(x) = x x, obtenemos + e x que dx es divergente. x Figur 2. y = x e y = +e x x en el intervlo [, ).

56 54. INTEGRACIÓN 9. Integrción por prtes A cd regl de derivción corresponde un método de integrción. Por ejemplo, como y dijimos, el método de sustitución de l integrción corresponde l regl de l cden de l derivción. El que corresponde l regl del producto es el método de integrción por prtes. Teorem 9.. (Integrción por prtes). Si f y g son continus, entonces (9.) f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx. Prueb. Por l regl de derivción del producto tenemos (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x), o equivlentemente f(x)g (x) = (fg) (x) f (x)g(x). Integrndo, obtenemos entonces f(x)g (x)dx = (fg) (x)dx f (x)g(x)dx, y como fg es un ntiderivd de (fg), incluyendo l constnte en l otr integrl del mismo miembro, result f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx, como querímos demostrr. L fórmul (9.) se llm fórmul de integrción por prtes. Tl vez resulte más fácil recordrl usndo l siguiente notción. Sen u = f(x) y v = g(x) entonces du = f (x) dx y dv = g (x) dx, y sí, l fórmul de integrción por prtes se convierte en (9.2) u dv = u v v du.