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1 ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. LONGITUD DE UNA CURVA PARAMÉTRICA. Ddos dos puntos P 1 = (x 1, x 2,..., x n ), P 2 = (y 1, y 2,..., y n ) R n (pensemos en puntos del espcio, de R 3 ) sbemos clculr l distnci que los sepr P 1 P 2 = < P 1 P 2, P 1 P 2 > = n (x k y k ) 2. k=1 Figur 1. Distnci entre dos puntos. Sbemos medir l longitud del segmento que los une. Como medimos l longitud de un curv γ? Pr dr respuest est pregunt usremos lo que y conocemos sobre medir segmentos. En primer lugr recordemos lo que es un curv prmétric. Curvs Prmétrics. Un curv prmétric es un plicción γ : [, b] R R n t γ(t) = (f 1 (t), f 2 (t),..., f n, donde ls funciones f k : [, b] R son continus en t [, b] pr k = 1, 2,.., n. L imgen de γ es un subconjuto de R n que es lo que reconocemos como curv. Volvmos l problem de medir l longitud de l curv. Pr ello tommos un prtición del intevlo [, b] P = { = t < t 1 < t 2 <... < t < t n = b} 1

2 2 C. RUIZ (ver l definición de l Integrl de Riemnn) y considermos los puntos sobre ls curv γ : γ(t ), γ(t 1 ), γ(t 2 ),..., γ(t ), γ(t n ). Figur 2. Poligonl sobre un curv. Podemos medir l poligonl dd por los puntos nteriores S(γ, P ) = γ(t i ) γ(t i 1 ). L propiedd tringulr de l norm (, equivlente l del vlor bsoluto que estudimos sobre el cuerpo de números R) nos dice que si P es un prtición más fin que P, entonces S(γ, P ) S(γ, P ). En vist de lo cuál tenemos l siguiente definición. Definición. 1. Se dice que un curv prmétric γ es rectificble (es decir, que tiene longitud finit) si existe sup{ S(γ, P ) : P P ([, b]) }. Al número nterior, si existe, lo llmmos longitud de l curv γ (Escribimos: longγ). Y tenemos un definición de lontidud de un curv culquier, proximr por un poligonl y psr l límite. No debemos esperr que tods ls curvs tengn un longitud finit. Ejemplo. 1. Se consider l curv pln (en R 2 ) prmétric γ : [, 1] R 2 r γ(r) = (r cos 1 r, r sen 1 r ), si r y γ() = (, ). Vemos que unque l curv está cotd, su longitud es infinit.

3 APUNTES MMI 3 Demostrción: Tomndo límites, es fácil ver que es un curv continu. Además con un poco de trbjo vemos que es un espirl. Figur 3. Espirl. Ahor considermos l prtición P n = { < 1 2nπ < 1 (2n 1)π < 1 (2n 2)π <... < 1 3π < 1 2π < 1 π < 1} y clculmos l longitud de l poligonl socid (usmos que 1 iπ sen iπ = ) S(γ, P n ) = 2 γ(i) γ(i 1) i= π i n, i=1 1 2iπ + 1 (2i 1)π ddo que l serie rmónic no es convergente. Por tnto est curv no es rectificble, no tiene longitud finit. L integrl nos v yudr crlulr longitudes, como lo hce pr clculr áres. Teorem. 1. Se γ : [, b] R n un curv prmétric de modo que existe γ y es continu en todo [, b], entonces l curv γ es rectificble y se verific que long γ = b γ (t) dt. Pr l noción de derivd de un curv ver el Apéndice Derivds de Funciones de Vris Vribles. Demostrción: Vemos el esquem de l demostrción de este resultdo. Supondremos que γ(t) = (f 1 (t), f 2 (t),..., f n, pr t [, b];

4 4 C. RUIZ donde cd f k es un función derivble con derivd continu sobre [, b] pr todo k = 1, 2,..., n. Si P es un prtición del intervlo [, b], entonces S(γ, P ) = γ(i) γ(i 1) usndo l definición de norm en R n vist rrib = n ( f k (t i ) f k (t i 1 ) ) 2 k=1 usndo el Teorem del Vlor Medio pr cd f k = n ( f k (t k,i)(t i t i 1 ) ) 2 n (f k (t i) 2 (t i t i 1 ) k=1 k=1 y que t k,i [t i 1, t i ] y f k es continu, sí b = γ (t i ) (t i t i 1 ) n γ (t) dt por l crcterizción de l integrl de Riemnn pr funciones continus. Observción. 1. Se f : [, b] R un función de un vrible con derivd continu sobre [, b]. Entonces un prmetrizción de l Grf f es γ(x) = ( x, f(x) ) pr x [, b]; sí γ (x) = (1, f (x)) y γ (t) = 1 + (f ) 2 (x); b por tnto longgrf f = 1 + (f ) 2 (x)dx, l fórmul que hemos ddo pr longitudes de gráfics en el rtículo Longitudes, Áres y Volúmenes. Prámetro Longitud de Arco. Supongmos que l curv γ : [, b] R n tiene derivd continu γ. Entonces l función L(x) = x γ (t) dt mide l longitud de l curv desde su inicio en el punto γ() hst el punto γ(x) (en prticulr L() = y L(b) = longγ ). Como l función γ, l función L es estrictmente creciente y por tnto inyectiv, sí existe su invers L 1 : [, longγ] [, b]

5 Si considermos hor l curv prmétric APUNTES MMI 5 γ : [, longγ] R n x γ(s) = γ L 1 (s), entonces Im γ = Imγ (es decir, estmos nte l mism curv de R n, dd por dos prmetrizciones distints). Además γ (t) dt = s (es decir el prámetro s nos d de entrd l longitud de l curv desde su inicio γ() = γ() hst el punto correspondiente γ(s). Demostrción: por l Regl de l Cden γ (t) = (γ L 1 ) (t) = γ (L 1 (L 1 ) (t) y por los Teorems de l Función Invers y Fundmentl del Cálculo = γ (L 1 1 L (L 1 = γ (L 1 1 γ (L 1. Luego γ (t) dt = γ (L 1 1 γ (L 1 dt = γ (L 1 1 γ (L 1 dt = 1ds = s En lgunos cálculos es conveniente tener un curv dd prmetrizd respecto del prámetro longitud de rco. Referencis Deprtmento de Análisis Mtemático, Fcultd de Mtemátics, Universidd Complutense, 284 Mdrid, Spin E-mil ddress: Cesr

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