La integral indefinida Métodos de integración Integración de funciones de una variable real Integración impropia Aplicaciones de la integral

Transcripción

1 Febrero, 2005

2 Índice generl

3 Se f : I IR. Definición Diremos que F es primitiv de f en I si F (x) = f (x), x I. Teorem Si F y G son dos primitivs de un mism función f en un intervlo I, entonces, / k IR F(x) = G(x) + k, x I.

4 Definición Dd un función f : I IR, llmremos integrl indefinid de f l conjunto de tods sus primitivs, y escribiremos: f (x)dx = { F / F (x) = f (x), x I }. En consecuenci, si conocemos un primitiv F de f, conocemos tods: f (x)dx = {F + k, k IR}. Propiedd (linelidd de l integrl) [f (x) + g(x)] dx = f (x)dx + g(x) dx α f (x)dx = α f (x)dx, α IR

5 Integrles inmedits f (x) m f (x)dx = 1 m + 1 f (x)m+1 + C, m 1 f (x) dx = ln f (x) + C f (x) e f (x) f (x)dx = e f (x) + C f (x) f (x)dx = f (x) + C, > 0, 1 ln [sinf (x)]f (x)dx = cosf (x) + C [cosf (x)]f (x)dx = sinf (x) + C

6 Integrles inmedits f (x) 1 + f 2 (x) dx = rctnf (x) + C f (x) dx = rcsinf (x) + C 1 f 2 (x) f (x) sin 2 dx = cotf (x) + C f (x) f (x) cos 2 dx = tnf (x) + C f (x) [tnf (x)]f (x)dx = ln cosf (x) + C [cotf (x)]f (x)dx = ln sinf (x) + C

7 Integrción por prtes u(x)v (x)dx = (uv)(x) v(x)u (x)dx o, equivlentemente, udv = uv vdu

8 Integrción por cmbio de vrible Sen: f : [,b] IR integrble, ϕ : [α,β] IR inyectiv, con derivd continu y tl que: ϕ ([α,β]) [,b] Entonces f (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ (t)dt

9 Integrles rcionles P(x) Son integrles del tipo dx, siendo P y Q polinomios Q(x) Si gr(p) gr(q), debemos clculr el cociente de los polinomios pr expresrlo en l form: P(x) R(x) = C(x) + Q(x) Q(x) Si gr(p) < gr(q), podemos encontrr cutro situciones: () Tods ls ríces son reles y simples (b) Tods ls ríces son reles y lgun es múltiple (c) Alguns ríces son complejs y simples (d) Alguns ríces son complejs y múltiples.

10 Integrles rcionles Tods ls ríces son reles y simples. Entonces, podemos hcer: Q(x) = (x 1 )(x 2 )... (x n ) Se descompone el cociente como sigue: P(x) Q(x) = A 1 + A A n x 1 x 2 x n

11 Integrles rcionles Tods ls ríces son reles y lgun es múltiple El polinomio Q puede fctorizrse en l form: Q(x) = (x 1 ) α 1 (x 2 ) α 2... (x r ) α r, donde r i=1 α i = gr(q) Se descompone el cociente como sigue: P(x) Q(x) = A 11 (x 1 ) + A 12 (x 1 ) A 1α 1 (x 1 ) α A 21 (x 2 ) + A 22 (x 2 ) A 2α 2 (x 2 ) α A r1 (x r ) + A r2 (x r ) A rα r (x r ) α r

12 Alguns ríces son complejs simples. Tod ríz complej siempre prece con su conjugd Pr cd ríz complej tendremos un término de l form: (x (r + si)) (x (r si)) = (x r) 2 + s 2 El desrrollo de Q(x) tendrá entonces l form: Q(x) = (x 1 ) (x 2 )... (x n ) ((x r) 2 + s 2) y l descomposición del cociente será: P(x) Q(x) = A 1 x 1 + A 2 x Finlmente, Ax + B (x r) 2 + s 2 dx = A [ 2 ln A n x n + (x r) 2 + s 2] + Ar + B s Ax + B (x r) 2 + s 2 rctn x r +C s

13 Integrles trigonométrics Son integrles del tipo R(sen x, cos x) dx, donde R denot un función que combin operciones rcionles. Por ejemplo: 1 cos 2 x + senx dx, sen 2 x + cos 3 x 1 tn 5 dx x

14 Integrles trigonométrics Ests integrles se reducen integrles rcionles con los siguientes cmbios: Cso R(sen x, cos x) = R(sen x, cos x): se hce el cmbio t = senx: cosx = 1 t 2 dx = 1 1 t 2 dt Cso R( sen x, cos x) = R(sen x, cos x): se hce el cmbio t = cosx: senx = 1 t 2 dx = 1 dt 1 t 2 Cso R( senx, cosx) = R(senx,cosx): se hce el cmbio t = tnx: t 1 senx = cosx = dx = t t t 2 dt En otro cso se reliz el cmbio trigonométrico universl t = tn ( x 2 ) : senx = 2t 1 + t 2 cosx = 1 t2 1 + t 2 dx = t 2 dt

15 Integrles irrcionles ( ( x + b R x, cx + d ) m/n,..., x + b cx + d = tα, ( ) R x, x 2 + c dx ( ) ) x + b r/s dx cx + d α = mcm(n,...,s) ( ) R x, x 2 c dx ( ) R x, x 2 + c dx x = x = x = c sent c sect c tnt

16 Prticiones Se un intervlo [,b] IR. Definición Llmmos prtición P de [,b] l conjunto de puntos {x 0,x 1,...,x n } que verific: = x 0 x 1 x 2... x n 1 x n = b Definición L prtición P es un refinmiento de P si P P : todos los puntos de P están en l prtición P. Definición Llmmos conjunto de ls prticiones P[,b] l conjunto de tods ls prticiones posibles del intervlo [,b].

17 Se f un función rel y cotd en el intervlo [,b] y se P un prtición. M i = sup f (x) m i = ínf f (x). x i 1 x x i x i 1 x x i

18 Sums de Riemnn Se f : [, b] IR un función cotd. Definición Llmmos sum superior de Riemnn y sum inferior de Riemnn de l función f reltivs l prtición P : U(P,f ) = n i=1 M i (x i x i 1 ) L(P,f ) = Asimismo, se definen ls sums intermedis: n i=1 n i=1 f (ξ i )(x i x i 1 ), ξ i [x i 1,x i ] m i (x i x i 1 )

19 Sums de Riemnn Propiedd L(P,f ) U(P,f ), P P[,b]. Teorem Si P es un refinmiento de P, entonces: L(P,f ) L(P,f ) y U(P,f ) U(P,f ) Propiedd L(P 1,f ) U(P 2,f ), P 1,P 2 P[,b].

20 L integrl de Riemnn Definición Llmmos integrl superior de Riemnn e integrl inferior de Riemnn de l función f en el intervlo [,b] : f dx = ínf U(P,f ) P P[,b] f dx = sup L(P,f ) P P[,b] Teorem Pr tod función f rel y cotd, f dx f dx.

21 L integrl de Riemnn Definición Si ls integrles superior e inferior de Riemnn de un función coinciden, llmmos este vlor integrl de Riemnn de f en el intervlo [,b]: f dx = f dx = f dx y decimos que f es integrble según Riemnn: f R[,b].

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26 Interpretción gráfic Dd un función positiv en un intervlo [,b], su integrl de Riemnn represent el áre encerrd por l curv y = f (x) y el eje y = 0, entre ls bsciss x = y x = b. Teorem (Existenci de l integrl de Riemnn) L función f es integrble en [,b] en el sentido de Riemnn si y sólo si: ε > 0, P P[,b] tl que U(P,f ) L(P,f ) < ε.

27 Teorem (de integrbilidd) Tod función continu en [,b] es integrble en dicho intervlo = Tod función derivble es continu, y por lo tnto integrble Tod función monóton y cotd en [,b] es integrble en dicho intervlo Tod función cotd en [,b] que present en dicho intervlo un número finito de puntos de discontinuidd, es integrble en [,b] Se f un función integrble en [,b] en el sentido de Riemnn, y tl que: m f (x) M, x [,b]. Si g es continu en [m,m], entonces l función compuest (g f ) es integrble en [,b]

28 Propiedd Sen f,g R[,b] (f ± g) R[,b] y (cf ) R[,b], c IR, y se cumple: (f ±g)dx = f dx± gdx cf dx = c f dx Si f (x) g(x) en [,b], entonces f dx gdx Si < c < b, entonces f R[,c] y f R[c,b], y se verific: c f dx = f dx + f dx c Si f (x) M, x [,b], entonces f dx M(b ) fg R[,b] f R[,b], y se cumple: f dx dx f

29 Teorem (del cmbio de vrible) Se f R[,b], y g un función rel de clse C 1 ([c,d]). Si g([c,d]) [,b], se verific: g(d) g(c) d f (t)dt = f (g(x))g (x)dx c Teorem (del vlor medio) Se f R[,b], y llmemos: M = sup f (x) x [,b] m = ínf x [,b] f (x) Entonces, c IR, m c M tl que: f dx = c(b ). Además, si f es continu en [,b], x 0 [,b] tl que c = f (x 0 ).

30 Teorem (fundmentl del cálculo) Se f R[,b]. Pr x b, llmemos: x F(x) = f (t)dt. Entonces, F C [,b]. Además, si f es continu en [,b], F es derivble en [,b], y F (x) = f (x), x [,b]. Tmbién puede enuncirse de l siguiente mner: si f : I IR es continu en I, entonces tiene primitivs en I; un de ells es l integrl definid F dd por: donde I es culquier. x F(x) = f (t)dt

31 DEMOSTRACIÓN () Se c [,b]. Por l definición de F, tenemos: c+ x c F(c + x) F(c) = f (t)dt f (t)dt = Por lo tnto, = = c c+ x c f (t)dt + c+ x c f (t)dt = µ x, f (t)dt c f (t)dt = µ [m,m] lím [F(c + x) F(c)] = lím µ x = 0 x 0 x 0 lím F(c + x) = lím F(c) = F(c) x 0 x 0 límf(x) = F(c) x c o, lo que es lo mismo, F es continu en c [,b]. Puesto que l iguldd es válid pr culquier punto c, F es continu en [,b].

32 (b) Por ser f continu, F(c + x) F(c) = f (ξ ) x, ξ [c,c + x] F(c + x) F(c) = f (ξ ), ξ [c,c + x] x F(c + x) F(c) = F (c) = f (c) = lím x f (ξ ) x 0 lím x 0 Como l iguldd es válid pr culquier c [,b], F (x) = f (x), x [,b]

33 Regl de Brrow Si f R[,b] y existe un función F derivble en [,b] tl que F = f, entonces: b f (x)dx = F(x) = F(b) F(). Teorem (Integrción por prtes) Si F y G son dos funciones derivbles en [,b], y se tiene: { F = f G en [,b] = g siendo f y g integrbles en [,b], entonces, F(x)g(x)dx = F(b)G(b) F()G() f (x)g(x)dx.

34 Teorem Se l función F dd por l integrl definid: (x) F(x) = f (t)dt. (x) L derivd de F con respecto x viene dd por: F (x) = f (b(x))b (x) f ((x)) (x).

35 Definición L integrl f (x)dx se denomin impropi si tiene l menos un de ls condiciones siguientes: el intervlo (,b) no es cotdo f no está cotd en (,b). Clsificmos ls integrles impropis en 3 tipos.

36 Integrles impropis de primer especie Se f : (, b] IR integrble en [m, b], m b. Definimos: f (x)dx = lím m m f (x)dx si existe el límite, en cuyo cso l integrl se denomin convergente.

37 Integrles impropis de primer especie De igul form se definen: + f (x)dx = + f (x)dx = lím M + M f (x)dx f (x)dx + + f (x)dx si mbs integrles convergen. Ls definiciones no dependen de IR.

38 Integrles impropis de segund especie Considermos l función f : [,b] IR no cotd en uno de los extremos del intervlo, por ejemplo en. Si f es integrble en [t,b] pr todo t tl que t b, entonces definimos: f (x)dx = lím t t f (x)dx si existe el límite, en cuyo cso l integrl se denomin convergente. Si l función pierde el crácter cotdo en un punto c (,b), definimos: f (x)dx = c f (x)dx + f (x)dx donde ls dos últims integrles se hn descrito nteriormente. c

39 Integrles impropis de segund especie

40 Integrles impropis de tercer especie Corresponden un intervlo no cotdo y un función no cotd en un número finito de puntos del intervlo. Ejemplo 0 1 x dx. Se reduce los csos nteriores de l siguiente form: x dx = 1 0 x dx + }{{} 2 especie 1 1 x dx }{{} 1 especie

41 Áre de superficies plns Sen ls funciones f, g : [, b] IR integrbles. Entonces el áre A limitd por los grfos de mbs, ls rects x = y x = b viene dd por: A = f (x) g(x) dx Cso prticulr: g(x) = 0, luego A = f (x) dx

42 Longitud de un rco de curv Se f C 1 ([,b],ir). L longitud l del grfo de f que une los puntos (,f ()) y (b,f (b)) es: l = 1 + f (x) 2 dx

43 Longitud de un rco de curv DEMOSTRACIÓN. Aproximmos l medinte l longitud de un líne poligonl construid uniendo los puntos (x i,f (x i )), donde P = {x 0,x 1,...,x n } es un prtición del intervlo [,b]. Así: l P = = = n i=1 n i=1 n i=1 (x i x i 1 ) 2 + (f (x i ) f (x i 1 )) 2 = (x i x i 1 ) 1 + (f (x i)) f (x i 1 ) 2 (x i x i 1 ) 2 = (tm. vlor medio) (x i x i 1 ) 1 + f (c i ) 2 (c i [x i 1,x i ]) l P es l sum intermedi de l función g(x) = 1 + f (x) 2. Aplicndo un proceso de límite cundo el diámetro de l prtición tiende 0, l = 1 + f (x) 2 dx

44 Volumen de un sólido Supongmos un sólido que, l ser cortdo por un plno perpendiculr l eje OX, pr cd x [,b] produce un sección de áre A(x). El volumen de dicho cuerpo comprendido entre x = y x = b es: V = A(x) dx De igul form, se obtendrí el volumen del cuerpo prtir de ls áres de ls secciones producids por plnos perpendiculres l eje OY en el intervlo [,b].

45 Volumen de un sólido Cso prticulr: volumen de revolución. Si girmos el grfo de f : [,b] IR lrededor del eje OX, se construye un figur cuyo volumen es: V = π f (x) 2 dx

46 Superficie lterl de revolución El áre lterl del sólido construido l girr el grfo de f : [,b] IR lrededor del eje OX, donde f es un función de clse C 1, se clcul medinte: A L = 2π f (x) 1 + f (x) 2 dx