5. INTEGRACIÓN. Tema 5. Integración. Curso 2017/ Cálculo de primitivas.

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1 Tem 5. Integrción. Curso 207/8 5. INTEGRACIÓN. En est tem estudiremos los concepto de primitiv e integrl indenid, junto con lgunos métodos generles de integrción. Tmién introduciremos el concepto de Integrl de Riemnn. 5.. Cálculo de primitivs Denición y propieddes Denición 5.. Se f : I R R. Un primitiv de f en I es un función F : I R R derivle en I y tl que F (x) = f(x) pr todo x I. Proposición 5.2. Si F es un primitiv de f en I, entonces tods ls primitivs de f en I son de l form F (x) + C con C R Denición 5.3. Se llm integrl indenid de f l conjunto de tods susprimitivs y se denotrá por f(x)dx. Así, si F (x) es un primitiv de f(x) en I, se cumple que f(x)dx = F (x) + C, o equivlentemente, f(x)dx = df (x). Propieddes 5.4. (Propieddes de l integrl denid) ( () f(x)dx) = f(x). () F (x)dx = F (x) + C. (c) αf(x)dx = α f(x)dx con α R. (d) (f(x) ± g(x)) dx = f(x)dx ± g(x)dx. Ls propieddes (c) y (d) segurn que l integrl indenid es un operción linel Integrles Inmedits Ls siguientes integrles se otienen directmente trvés de ls derivds de ls funciones elementles y de l regl de l cden. Deprtmento de Análisis Mtemático Análisis Mtemático (Grdo en Físic)

2 Tem 5. Integrción. Curso 207/8 kdx = kx + c, k R x k dx = xk+ k + + c, k f(x) k f (x)dx = f(x)k+ k + + c, k dx = ln x + c x f (x) dx = ln f(x) + c f(x) e x dx = e x + c e f(x) f (x) = e f(x) + c x dx = x ln + c, > 0 f(x) f (x)dx = f(x) ln + c, > 0 sen(x)dx = cos(x) + c sen(f(x))f (x)dx = cos(f(x)) + c cos(x)dx = sen(x) + c cos(f(x))f (x)dx = sen(f(x)) + c ( + tn 2 (x) ) dx = tn(x) + c ( + tn 2 (f(x)) ) f (x)dx = tn(f(x)) + c ( + cot 2 (x) ) dx = cot(x) + c ( + cot 2 (f(x)) ) f (x)dx = cot(f(x)) + c Deprtmento de Análisis Mtemático 2 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)

3 Tem 5. Integrción. Curso 207/8 dx = rc sen(x) + c x 2 f (x) dx = rc sen(f(x)) + c f(x) 2 dx = rg senh(x) + c + x 2 f (x) dx = rg senh(f(x)) + c + f(x) 2 dx = rctn(x) + c + x2 f (x) dx = rctn(f(x)) + c + f(x) Métodos generles de integrción Método de descomposición Este método se s en l linelidd de l integrl. Si f(x) se puede escriir como un cominción linel de funciones, es decir, f(x) = α i f i (x), entonces i= ( ) f(x)dx = α i f i (x) dx = α i f i (x) dx, i= i= donde ls integrles de ls funciones f i (x) son, priori, más sencills que l originl Método de sustitución Este método se s en l regl de l cden. Supongmos que tenemos un integrl indenid f(x)dx y que queremos relizr un cmio de vriles x = ϕ(t) (o equivlentemente, t = ϕ (x)). Entonces f(x)dx = f (ϕ(t)) ϕ (t)dt. En efecto, si F (x) es un primitiv de f(x), es clro que F (x) = f(x) y por tnto f (ϕ(t)) ϕ (t) = F (ϕ(t))ϕ (t) = [F (ϕ(t))] = F (x) = f(x). Deprtmento de Análisis Mtemático 3 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)

4 Tem 5. Integrción. Curso 207/ Método de integrción por prtes Este método se s en l regl de l derivción del producto. Sen u(x) y v(x) dos funciones derivles. Entonces (u(x)v(x)) = u (x)v(x) + u(x)v (x), y por lo tnto u(x)v(x) = (u(x)v(x)) dx = u (x)v(x) dx + u(x)v (x) dx, por lo que u(x)v (x) dx = u(x)v(x) v(x)u (x) dx, o escrito en form de diferencil, u(x)dv(x) = u(x)v(x) v(x)du(x) Integrción de funciones rcionles Se p(x) q(x) un función rcionl tl que el grdo del polinomio p(x) es menor que el grdo de q(x). Si fuese gr(p) p(x) gr(q), dividiendo otendrímos: q(x) el del divisor. Descomponiendo q(x) en fctores, puede ocurrir: = c(x) + r(x) q(x) y el grdo del resto es menor que () q(x) sólo tiene ríces reles simples α, α 2,..., α n, entonces existen A, A 2,... A N R tles que p(x) q(x) = A + A A n, luego x α x α 2 x α n que son integrles inmedits. p(x) q(x) dx = i= A i x α i dx, () q(x) tiene ríces reles múltiples, por ejemplo, ríz β con multiplicidd n N. En este cso se p(x) procede l descomposición de en frcciones simples en l mism form que en el cso (), q(x) pero con l prticulridd que l fctor (x β) n le corresponderín los sumndos B x β + B 2 (x β) B n (x β) n. L únic novedd con respecto l cso nterior son ls integrles de l form i = 2,, n, que son inmedits tmién. B i dx con (x β) i Deprtmento de Análisis Mtemático 4 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)

5 Tem 5. Integrción. Curso 207/8 (c) q(x) tiene ríces complejs (conjugds) simples. Supongmos que q(x) tiene l ríz complej z = α + βi, por consiguiente, tendrá tmién l ríz conjugd z 2 = α βi. Como [x (α + βi)][x (α βi)] = (x α) 2 + β 2, en l descomposición en frcciones l pr de ríces complejs le corresponderá l frcción Mx + N (x α) 2 + β 2, cuy integrl se reduce dos inmedits (un logritmo y un rcotngente), sin más que tener en cuent que Mx + N (x α) 2 + β 2 = M x α (x α) 2 + β 2 + (Mα + N) (x α) 2 + β 2. (d) q(x) tiene ríces complejs múltiples. En est situción hy dos opciones: (i) Actur como en el cso de ríces reles múltiples. Si ls ríces complejs (como ls del prtdo (c)) tienen multiplicidd n N, se ñden l descomposición ls siguientes frcciones: M x + N (x α) 2 + β 2 + M 2 x + N 2 ((x α) 2 + β 2 ) M n x + N n ((x α) 2 + β 2 ) n. Ls nuevs frcciones se integrn por prtes (reduciendo en cd pso un grdo en el denomindor), o ien medinte el cmio x = α + β tn t. (ii) Utilizr el Método de Hermite. Este método consiste en descomponer l función rcionl de l form ( ) p(x) A(x) q(x) = + C(x), donde B(x) B(x) es un polinomio con ls misms ríces que q(x) pero con un multiplicidd menos cd un. A(x) es un polinomio de coecientes indetermindos, cuyo grdo es un unidd menos que B(x). C(x) es l descomposición en frcciones simples correspondientes ls ríces de q(x) considerds tods como simples Integrles reduciles rcionles En est sección trtremos de integrles de funciones irrcionles (es decir, que no son rcionles) pero que medinte un cmio de vriles decudo, l trnsformmos en un integrl de tipo rcionl. Deprtmento de Análisis Mtemático 5 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)

6 Tem 5. Integrción. Curso 207/ Integrles trigonométrics Se R(sen x, cos x) un función rcionl en de senos y cosenos. Podemos reducir su integrl un rcionl medinte el cmio de vriles t = tn(x/2): 2 t = tn(x/2) dx = dt R(sen x, cos x)dx = +t 2 = sen x = 2t cos x = t2 +t 2 +t 2 ( 2t R + t 2, ) t2 2 + t 2 + t 2 dt. Existen csos prticulres en que l integrl trigonométric re puede rcionlizr medinte csos más sencillos. () Si R es impr en seno, es decir, R( sen x, cos x) = R(sen x, cos x), hcemos el cmio cos x = t. () Si R es impr en coseno, es decir, R(sen x, cos x) = R(sen x, cos x), hcemos el cmio sen x = t. (c) Si R es pr en seno y coseno ( l vez), es decir, R( sen x, cos x) = R(sen x, cos x), hcemos el cmio tn x = t Integrles con rdicles de polinomios de grdo Son integrles del tipo ( R x, ( ) x + m/n, cx + d ( ) x + p/q,..., cx + d ( ) ) x + r/s dx cx + d donde R es un función rcionl en cd un de sus vriles,,, c, d R tles que (c, d) (0, 0) y m, n, p, q,..., r, s \ {0}. En est situción, si llmmos N = m.c.m.(n, q,..., s), es decir, el mínimo común múltiplo de los índices de ls ríces implicds, st efectur el cmio: x + cx + d = tn pr trnsformr l integrl en un del tipo rcionl. En efecto, st tener en cuent que el cmio implic que x = dtn =: f(t), es decir, un función rcionl en t, por lo que ctn ( ( ) x + m/n ( ) x + p/q ( ) ) x + r/s R x,,,..., dx = cx + d cx + d cx + d ( = R f(t), t Np/q, t Nr/s,..., t Nr/s) f (t)dt. Deprtmento de Análisis Mtemático 6 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)

7 Tem 5. Integrción. Curso 207/ Integrles con rdicles de polinomios cudráticos Se trt de integrles del tipo ( R x, ) x 2 + x + c dx. Ests integrles ls podemos integrr de dos forms diferentes Integrles Aelins Se trt de relizr un cmio de vriles que l trnsforme en un integrl de tipo rcionl. (i) Si > 0, se hce el cmio x 2 + x + c = x + t. (ii) Si c > 0, se hce el cmio x 2 + x + c = c + tx. (iii) Si < 0 y c 0, se hce el cmio x 2 + x + c x 2 + x + c = t(x α), donde α es un ríz rel de Completndo cudrdos En este cso, vmos relizr un cmio de vriles trigonométrico que nos reduzc un integrl rcionl trigonométric (que se resolverá medinte otro cmio de vriles decudo). En primer lugr, vemos los siguientes csos prticulres: (i) R (x, ) 2 2 x 2 dx. Relizmos el cmio x = sen t (o x = cos t). (ii) (iii) R (x, ) 2 x 2 2 dx. Relizmos el cmio x = sec t. R (x, ) x 2 dx. Relizmos el cmio x = tn t. En el cso generl, tenemos que completr cudrdos, es decir, escriir l función cudrátic de l form x 2 + x + c = (x A) 2 + B y en función de los signos de y B, relizr el cmio trigonométrico decudo. Deprtmento de Análisis Mtemático 7 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)

8 Tem 5. Integrción. Curso 207/ Integrl de Riemnn Construcción de l integrl de Riemnn. Denición 5.5. Se I = [, ] R un intervlo cerrdo y cotdo (compcto). Se llm prtición de I todo conjunto de puntos P = {x 0, x,, x n } de form que = x 0 < x < < x n < x n =. Se llm norm de l prtición P, y se denotrá por P, l máximo de los números x k x k, con k =,..., n. Denotremos por P[, ] (o más revemente P, si no hy confusión posile con el intervlo) l conjunto de tods ls prticiones de [, ]. Denición 5.6. Se f : [, ] R un función cotd y se P P[, ] con P = { = x 0 < x < < x n = }. Sen m k := ínf{f(x) : x k x x k } y M k := sup{f(x) : x k x x k }. Se llmn, respectivmente, Sum inferior y sum superior de Riemnn de l función f reltivs l prtición P ls siguientes sums: L(f, P ) := m k (x k, x k ) U(f, P ) := M k (x k, x k ). k= k= Oservción 5.7. Pr cd P P y cd función f, es clro que L(f, P ) U(f, P ) Fig. : Sums de Riemnn de l función f(x) = x 2 en el intervlo I = [0, 5] respecto de l prtición P = {0,, 2, 3, 4, 5} Denición 5.8. Sen P, Q P[, ]. Se dice que Q es más n que P (o que P es menos n que Q), y se denotrá P Q, cundo P Q. Propieddes 5.9. Sen P, Q P[, ]. () En generl, L(f, P ) U(f, Q). () Si P Q, entonces L(f, P ) L(f, Q) y U(f, Q) U(f, P ). Deprtmento de Análisis Mtemático 8 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)

9 Tem 5. Integrción. Curso 207/8 Oservción 5.0. De ls propieddes nteriores, se deduce que: El conjunto {L(f, P ) : P P[, ]} está cotdo superiormente. El conjunto {U(f, P ) : P P[, ]} está cotdo inferiormente. Denición 5.. () Se llm integrl inferior de Riemnn, y se denotrá por sums inferiores. f(x) dx, l supremo del conjunto de () Se llm integrl superior de Riemnn, y se denotrá por sums superiores. f(x) dx, l ínmo del conjunto de Oservción 5.2. Se cumple que f(x) dx f(x) dx. Denición 5.3. Se f : [, ] R un función cotd. Se dice que f es integrle Riemnn en [, ], cundo f(x) dx = el intervlo [, ] y se denotrá por f(x) dx. Al este vlor común se le llmrá integrl de Riemnn de f en f(x) dx. Al conjunto de tods ls funciones integrles Riemnn en un intervlo [, ] se le denotrá por R[, ]. si x [0, ] Q Ejemplo. Se f : [0, ] R dd por f(x) := χ [0,] Q (x) = 0 si x / [0, ] Q Entonces f / R[0, ]. Teorem 5.4 (Condición de integrilidd de Riemnn). Se f : [, ] R cotd. f R[, ] ε > 0, P P[, ] tl que U(f, P ) L(f, P ) < ε. Oservción 5.5. Si f R[, ], su integrl es el único número rel que cumple lo siguiente L(f, P ) f(x) dx U(f, Q) P, Q P[, ]. Teorem 5.6 (Integrl como límite). Se f : [, ] R cotd. Entonces, f R[, ] si y sólo si existe un sucesión {P n } n P[, ] tl que lím n [U(f, P n) L(f, P n )] = 0. En ese cso, se cumple que f(x) dx = lím n U(f, P n) = lím n L(f, P n). Deprtmento de Análisis Mtemático 9 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)

10 Tem 5. Integrción. Curso 207/8 Oservción 5.7. En l práctic, se suele tomr P n P[, ] l prtición del intervlo [, ] en n prtes igules, es decir, P n = { + k n ( ) : k = 0,,..., n}. Además, si pr cd k =,, n seleccionmos t k [x k, x k ], se cumple que lím f(t k ) = f(x) dx. n n k= Alguns funciones integrles Riemnn. Teorem 5.8. Tod función cotd y continu en [, ] slvo un número nito de puntos de es integrle Riemnn. En prticulr, tod función continu en [, ] es integrle. Teorem 5.9. Tod función cotd y monóton en [, ] es integrle Riemnn Propieddes generles de l integrl de Riemnn. Propieddes Sen f, g : [, ] R cotds con f, g R[, ] y λ R. Entonces () f + g R[, ]. Además, () λf R[, ]. Además, (c) f R[, ]. Además, (d) Si f(x) 0 x [, ], entonces (f + g)(x) dx = λf(x) dx = λ f(x) dx. f(x) dx f(x) dx. (e) Si f(x) g(x) x [, ], entonces (f) f g R[, ] f(x) dx 0. f(x) dx f(x) dx + g(x) dx. g(x) dx. (g) Si g(x) > c > 0 x [, ], entonces f g R[, ]. Oservción 5.2. () Ls propieddes () y () nteriores nos dicen que l integrl es un operción linel. () En generl, l composición de funciones integrles no tiene por qué ser integrle. Deprtmento de Análisis Mtemático 0 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)

11 Tem 5. Curso 207/8 Integrción. Teorem 5.22 (Aditividd respecto del intervlo de integrción). Se f : [, ] R cotd y se c (, ). Entonces f R[, ] f R[, c] R[c, ]. En tl cso, se cumple que c c f (x) dx. f (x) dx + f (x) dx = Oservción Este teorem d pie doptr los siguientes convenios: f (x) dx = 0. Si <, entonces f (x) dx = c f (x) dx + f (x) dx. f (x) = c f (x) dx,, c R Teorem del Vlor Medio Integrl. Teorem 5.24 (del vlor medio integrl). Se f x [, ], entonces m : [, ] R cotd con f R[, ]. Si m f (x) M f (x) dx M. Si, demás, f es continu en [, ], existe c [, ] tl que f (c) = De nición intervlo [, ]. Al número µ = f (x) dx. f (x) dx se le llm medi integrl de l función f en el Interpretción geométric. El teorem de l y f HxL medi integrl quiere decir que, si f : [, ] R es positiv, es decir, f (x) 0, x [, ], el áre de l región que delimit l curv y el eje OX entre x = y x =, es igul l áre del rectángulo de Μ= se el intervlo [, ] y ltur µ. à f HxLâx - Se puede interpretr que l medi integrl es el equivlente l medi ritmétic cundo tenemos un vrile continu. Deprtmento de Análisis Mtemático Fig 2. Interpretción geométric de l Medi Integrl Análisis Mtemático (Grdo en Físic)

12 Tem 5. Integrción. Curso 207/8 Ejemplo. L tempertur de un ciudd, x hors después de medinoche, es T (x) = 2 Entonces, l tempertur medi entre ls 02:00 y ls 4:00 hors es T = 4 T (x) dx 3, (x 3)2. 7 Y est tempertur se lcnz cundo 3, 286 = T (x), es decir, x = 3 ± 32 9, 082 ó 6, 97, siendo 6, 97 l solución en el intervlo [0, 4] y por tnto, se lcnz l tempertur medi ls 06:55 proximdmente Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl. Teorem Se f R[, ]. Entonces l función F : [, ] R dd por F (x) := continu en [, ]. x f(t) dt es Teorem 5.27 (Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl). Se f : [, ] R, continu en [, ]. Entonces l función F : [, ] R dd por F (x) := x F (x) = f(x) x [, ] (si c =,, se entiende derivd lterl). f(t) dt es derivle en [, ] y se cumple que Corolrio 5.28 (Regl de Brrow). Se f : [, ] R continu en [, ] y se G un primitiv de f en [, ]. Entonces f(x) dx = G() G(). Regl de Brrow y cmio de vrile Se ϕ : [, ] R derivle en [, ] con ϕ R[, ] y se f : ϕ([, ]) R continu en ϕ([, ]). Entonces f(ϕ(x))ϕ (x) dx = g() g() f(x) dx. Regl de Brrow e integrción por prtes Sen f, g : [, ] R derivles en [, ] con f, g R[, ]. Entonces f(x)g (x) dx = f(x)g(x) g(x)f (x) dx. Deprtmento de Análisis Mtemático 2 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)