Tema 12. Integrales impropias

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1 Tem 2. Integrles impropis Jun Medin Molin 3 de mrzo de 2005 Introducción En este tem trtremos el estudio de ls integrles impropis que pueden ser de dos tipos, integrles donde el intervlo de integrción no está cotdo, o ien, integrles donde l función integrr no está cotd. Este tem present grndes nlogís con el tem de sucesiones y series, por lo que es muy recomendle que se compre mos tems durnte su estudio. Pr el desrrollo hemos considerdo los siguientes prtdos: Integrles impropis de primer especie. Criterios de convergenci: Criterio de comprción, criterio del límite y criterio de l integrl pr series numérics. Integrles impropis de segund especie. Criterios de convergenci: Criterio de comprción y criterio del límite. Integrles impropis de primer especie Ls integrles impropis de primer especie son quells donde lgunos de los límites de integrción es infinito. Definición i) Si f :[, + [ R tl que f es integrle en [, ] pr todo >,sedefine f(x)dx =lim Z t t f(x)dx. Si el vlor nterior es finito, diremos que l integrl nterior es convergente,sies+ o diremos que es divergente y si no existe diremos que es oscilnte.

2 ii) Si f :],] R tl que f es integrle en [, ] pr todo <, se define Z Z f(x)dx = lim f(x)dx. t t Si el vlor nterior es finito, diremos que l integrl nterior es convergente,sies+ o diremos que es divergente y si no existe diremos que es oscilnte. iii) Si f : R R integrle en [, ] pr todo, R, <,entonces diremos que l integrl impropi R + f(x)dx es convergente si existe R tl que R f(x)dx y R + f(x)dx son convergentes y en ese cso se define Z f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Se verific que el vlor nterior no depende del R escogido. Definición 2 Si f :], + [ R, sedefine el vlor principl de f en ], + [ como VP Z t f(x)dx = lim f(x)dx. t t Entonces se tiene el siguiente resultdo: Proposición Si f :], + [ R tl que R + f(x)dx es convergente, entonces VP f(x)dx = f(x)dx. L función f : R R tl que f(x) =x muestr que el recíproco del resultdo nterior no es cierto. Al igul que en l integrl de Riemnn, ls integrles impropis son fáciles de clculr cundo se conoce un primitiv del integrndo. Teorem i) Si f :[, + [ R tl que R + f(x)dx es convergente y F (x) es un primitiv de f(x), entonces: f(x)dx = lim F (t) F (). t + 2

3 ii) Si f :],] R tl que R primitiv de f(x), entonces: f(x)dx es convergente y F (x) es un Z f(x)dx = F () lim t F (t). iii) Si f :], + [ R tl que R + f(x)dx es convergente y F (x) es un primitiv de f(x), entonces: f(x)dx = lim F (x) lim F (x). x + x Como y semos, puede que se muy difícil o incluso imposile encontrr un primitiv de un función dd. Así, serí muy interesnte otener criterios que permitn conocer el crácter de un integrl impropi sin conocer su vlor. Vmos introducir criterios pr funciones f :[, + [ R tles que f(x) 0prtodox [, + [. De form nálog se tienen los criterios pr integrles impropis del tipo R f(x)dx siendo f(x) 0prtodo x ],[. Se oserv enseguid l nlogí entre estos criterios y los que se tiene pr ls series de términos positivos. Más trde introduciremos un resultdo que relcion mos conceptos. Proposición 2 Se f : [, + [ R tl que f(x) 0 pr todo x [, + [, siendof integrle en [, ] pr todo >. Si lim x + f(x) > 0 entonces R + f(x)dx es divergente. Así, plicndo este criterio se otiene l divergenci de integrles impropis del tipo R + x n dx siendo >0yn 0ode R + x 2 +dx, perono x 2 +2 podemos decir nd sore el crácter de l integrl impropi R + e x2 dx. 0 Los siguientes criterios permiten deducir el crácter de cierts integrles impropis prtir del conocimiento del crácter de integrles impropis de otrs funciones. Proposición 3 Sen f,g :[, + [ R positivs tles que f,g son integrles en [, ] pr todo >y supongmos que f(x) g(x) pr todo x [, + [. Entonces: i) Si R + f(x)dx es convergente, entonces R + g(x)dx es convergente. ii) Si R + g(x)dx es divergente, entonces R + f(x)dx es divergente. 3

4 El siguiente criterio se le conoce como criterio del límite: Proposición 4 Sen f,g :[, + [ R positivs tles que f,g son integrles en [, ] pr todo >.Sel = lim x + R. Entonces: f(x) g(x) i) Si l>0, R + f(x)dx es convergente (divergente) si y sólo si R + g(x)dx es convergente (divergente). ii) Si l =0y R + f(x)dx es divergente, entonces R + g(x)dx es divergente. iii) Si l =0y R + g(x)dx es convergente, entonces R + f(x)dx es convergente. Es sencillo demostrr que si >0, entonces R + es convergente si x α α > ydivergentesiα. El criterio nterior juntos con el crácter de ls integrles impropis nteriores permiten otener el crácter de muchs integrles impropis. El resultdo nterior relcion los conceptos de serie e integrl impropi: Proposición 5 Se f :[, + [ R decreciente, continu y positiv tl que lim x + f(x) =0. Entonces R + f(x)dx es convergente si y sólo si f(n) es convergente. P n= De este resultdo se deduce por ejemplo que P n= α > ydivergentesiα. Introducimos l convergenci solut: n α es convergente si Definición 3 Si f :[, + [ R, sediceque R f(x)dx es solutmente convergente si R + f(x) dx es convergente. Al igul que en series se otiene: Proposición 6 Un integrl impropi de primer especie solutmente convergente es convergente. Integrles impropis de segund especie Definición 4 i) Si f[, [ integrle en [, c] pr todo c ], [ y lim x f(x) =, sedefine R f(x)dx = lim R t t f(x)dx. Si este límite es finito, se dice que l integrl impropi es convergente, si es infinito se dice que es divergente y si no existe se dice que es oscilnte. 4

5 ii) Si f :], ] R integrle en [c, ] pr todo c ], [ y lim x + f(x) =, sedefine R f(x)dx = lim R t + f(x)dx. t Si este límite es finito, se dice que l integrl impropi es convergente, si es infinito se dice que es divergente y si no existe se dice que es oscilnte. En los resultdos que se enuncin desde este punto hst el finl de l sección, ls integrles impropis que precen tienen su singulridd en el límite inferior. Los resultdos nálogos pr cundo se tiene l singulridd en el extremo superior son tmién ciertos. Tmién, pr este tipo de integrles impropis se tiene un resultdo nálogo l regl de Brrow: Proposición 7 Se f :], ] R tl que lim x + f(x) =, siendo f(x)dx convergente. Si F (x) es un primitiv de f(x), entonces: R Z f(x)dx = F () lim t + F (t). Tmién se tienen un criterio de comprción y un criterio del límite: Proposición 8 Sen f,g :], ] R positivs, integrles en [c, ] pr todo c ], [ tles que lim x + f(x) =lim x + g(x) =. Si f(x) g(x) pr todo x ], ] entonces: i) Si R g(x)dx es convergente. ii) Si R f(x)dx es divergente. Proposición 9 Sen f, g :], ] R positivs, integrles en [c, ] pr todo c ], [ tles que lim x + f(x) = lim x + g(x) =. Sel =lim f(x) x + g(x) R. Entonces: i) Si l 6= 0, R g(x)dx es convergente. ii) Si l =0y R f(x)dx es convergente. iii) Si l =0y R f(x)dx es divergente, entonces R g(x)dx es divergente. De este criterio, junto con el hecho de que pr funciones del tipo f(x) = se tiene que R (x ) α (x x 0 dx es convergente si α < y divergente si α, ) α se otiene l convergenci de muchs integrles impropis de segund especie. 5

6 Definición 5 Si f :], ] R tl que lim x + f(x) =, sediceque R f(x)dx es solutmente convergente si R f(x) dx es convergente. Entonces se otiene: Proposición 0 Un integrl impropi de segund especie solutmente convergente es convergente. Biliogrfí. T. Apostol, Clculus Vol.. Ed. Reverte. 2. G. Brdley, K. Smith, Cálculo de un vrile. Ed. Prentice Hll. 3. J. Burgos, Cálculo infinitesiml de un vrile. Ed. McGrw-Hill. 4. J. S. Cnovs, J. A. Murillo, Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Ed. Diego Mrín. 5. F. Coquillt, Cálculo integrl (Metodologí y prolems). Ed. Autor. 6. A. de l Vill, A. Grcí, Cálculo I: Teorí y prolems de nálisis mtemático de un vrile. CLAGSA. 7. B. P. Demidovich, 5000 prolems de nálisis mtemático. Ed. Prninfo. 8. B. P. Demidovich, Prolems y ejercicios de nálisis mtemático. Ed. Prninfo. 9. J. Fernández, M. Sánchez, Ejercicios y complementos de nálisis mtemático I. Ed. Tecnos. 0. M. Frnco, F. Mrtínez, R. Molin, Cálculo I. Ed. Diego Mrín.. G. Thoms, R. Finney, Cálculo de un vrile. Ed. Addison Wesley. 6