1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

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1 . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m i (x i x i ), S n = i= n M i (x i x i ) i= on m i y M i el mínimo y el máximo de f en [x i, x i ]. Si lím s n = lím S n, entones se die que f es integrble en [, b] y P 0 P 0 A = f(x) dx = lím s n = lím S n = P 0 P 0 = lím n P 0 i= α i [x i,x i ] f(α i )(x i x i ) Es lro que, pr todo n, s n A S n.

2 2 INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS... Propieddes. Teorem Fundmentl del Cálulo. f + g = f + g 3. f = b f 5. f = 0 7. Si f g en [, b], f g 2. kf = k f 4. f = f + f [, b] 6. Si f(x) 0 x [, b], f 0 8. f f Teorem.. Si f es ontinu en el intervlo [, b], entones f es integrble en [, b]. Teorem.2. Teorem del vlor medio integrl. Se f : [, b] R ontinu en [, b]. Entones existe α [, b] tl que f = f(α)(b ) Teorem.3. Teorem Fundmentl del Cálulo. Se f : [, b] R ontinu en [, b]. Entones, F (x) = x f(u) du, on x [, b], es derivble en (, b) y F (x) = f(x) (F es un primitiv de f, esto es, F (x) + C = f(x) dx). y y = f(u) F (x) x b u Corolrio.. Regl de Brrow. Se f : [, b] R integrble y se F (x) un primitiv de f(x) (F (x) = f(x) ó F (x) + C = f(x) dx). Entones f(x) dx = F (b) F () Teorem.4. (Cmbio de vrible) Si x = g(t) on g, g ontinus en [, d], g() =, g(d) = b, y tl que f(g(t)) es ontinu en [, d], entones f(x) dx = d f(g(t))g (t) dt..2. Apliiones de l integrl F (b) F () siendo F (x) = f(x).

3 . INTEGRAL DEFINIDA 3 ) ÁREAS. Pr el álulo de áres del reinto enerrdo entre dos urvs integrbles, se utiliz l definiión de l integrl de Riemnn, seprndo l integrl en intervlos donde se mntiene el signo. A = (f(x) g(x))dx A = A + A 2 + A 3 = = (f(x) g(x)) dx + d (g(x) f(x)) dx + d (f(x) g(x)) dx = = f(x) g(x) dx Si l urv viene dd en prmétris (x = u(t), y = v(t)), entones el áre es A = b) VOLÚMENES. f(x) dx = t2 t v(t)u (t) dt on u(t ) = y u(t 2 ) = b b.) El volumen del sólido de revoluión que gener, l girr sobre el eje OX, el reinto enerrdo por y = f(x), el eje 0X y ls rets x = y x = b, viene ddo por l fórmul

4 4 INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS V x = π (f(x)) 2 dx y = f(x) b b.2) El volumen del sólido de revoluión que gener l girr sobre el eje OY el reinto enerrdo por x = f(y), el eje 0Y y ls rets y = y y = d viene ddo por l fórmul V y = π d (f(y)) 2 dy d x = f(y) b.3) El reinto determindo por y = f(x) y el eje OX, girndo sobre el eje OY, tiene volumen V = 2π xf(x) dx y = f(x) b ) LONGITUDES DE ARCO. L longitud de un ro de l urv y = f(x) entre x = y x = b es L f = + (f (x)) 2 dx

5 .2 INTEGRALES IMPROPIAS 5 y = f(x) L b Si l funión está dd en prmétris x = u(t) e y = v(t), entre t = t y t = t 2, entones L f = t2 t (u (t)) 2 + (v (t)) 2 dt d) SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN. L superfiie de revoluión del sólido que gener l urv y = f(x) en [, b], l girr sobre los ejes OX y OY, tiene un áre que viene dd por ls fórmuls S x = 2π f(x) + (f (x)) 2 dx S y = 2π x + (f (x)) 2 dx Si l funión está dd en form prmétri x = u(t) e y = v(t) desde t = t hst t = t 2 (suponemos que no hy utointerseiones), se tiene l fórmul t2 S x = 2π v(t) (u (t)) 2 + (v (t)) 2 dt t t2 S y = 2π u(t) (u (t)) 2 + (v (t)) 2 dt t.2. INTEGRALES IMPROPIAS.2.. Límites de integrión infinitos ( espeie) Se definen omo integrles impropis de límites infinitos ls siguientes integrles: ) Si f(x) dx existe pr todo b, entones lím lím (F (b) F ())

6 6 INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS b) Si f(x) dx existe pr todo b, entones lím b lím b (F (b) F ()) En el so de que existn los límites y sen finitos, se die que l integrl impropi onverge y tiene omo vlor diho límite. En so de que no existn o sen infinitos, se die que diverge. f(x) dx omo f(x) dx son onvergentes, entones de- ) Si tnto finimos f(x)dx + = lím f(x)dx + lím b f(x)dx donde es ulquier número rel.

7 .2 INTEGRALES IMPROPIAS 7 Ejemplo. Vemos que l integrl impropi de primer espeie onverge si y sólo si >. Estudiemos primero el so en que, x dx dx = lím x b [ ] x x + b [ ] dx = lím = lím b + b b Entones, si >, tenemos que > 0, on lo que /b 0 undo b. Esto impli que x dx = si >, on lo que l integrl onverge. Si <, tenemos que < 0, on lo que /b undo b. Esto impli que dx = si <, x por lo que l integrl diverge. Únimente qued estudir el so =. Entones de modo que l integrl diverge. dx = lím x [ln b x]b = lím [ln b ln ] =, b.2.2. Integrndos infinitos (2 espeie) En el so de que l funión no esté otd en el intervlo de integrión, se obtiene un reinto ilimitdo vertil.

8 8 INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS ) Integrndo infinito en un extremo del intervlo. Se f(x) ontinu en [, b) y tl que lím x b f(x) = ( ). Entones se define l integrl impropi lím t b t f(x)dx Si diho límite existe y es finito, se die que l integrl impropi es onvergente y, en so ontrrio, que es divergente. Análogmente en el otro extremo del intervlo, esto es, si f(x) es ontinu en (, b] y tl que lím x + f(x) = ( ), entones se define l integrl impropi lím t + t f(x)dx b) Integrndo infinito en un punto del interior del intervlo. Se f(x) ontinu en [, b], exepto en un punto (, b) y tl que lím x f(x) =. Entones se define f(x)dx + f(x)dx

9 .2 INTEGRALES IMPROPIAS 9 Diremos que f(x)dx onverge en el so de que ests dos últims integrles onverjn. En so ontrrio, tendremos divergeni. Existe tmbién l integrl de 3 espeie, que es l sum de los dos sos nteriores ( espeie + 2 espeie) Criterios de onvergeni Un ondiión neesri pr que un integrl impropi de espeie f(x) dx onverj, es que lím x f(x) = 0. A ontinuión ofreemos un riterio pr determinr si un integrl impropi es onvergente o no, sin neesidd de lulrl explíitmente. Criterio de omprión. Sen f y g ontinus on f(x) g(x) 0 pr x. Se tiene: ) Si b) Si f(x) dx es onvergente, entones g(x) dx tmbién lo es. g(x) dx diverge, entones f(x) dx tmbién diverge. Obsérvese que, unque enunido pr integrles de espeie, el riterio nterior tmbién es válido pr integrles de 2 espeie.