LA INTEGRAL DE RIEMANN

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1 LA INTEGRAL DE RIEMANN En este tem se introduce el Cálculo Integrl que demás de permitir clculr longitudes, áres y volúmenes, tiene multiples plicciones en l Ciencis, Ingenierí, etc... En primer lugr, considermos un función f :[, b] R tl que f(x) 0 x [, b] y pretendemos clculr el áre delimitd por l gráfic de f, ls rects x =, x = b y el eje OX. En primer lugr introducimos el concepto de prtición de un intervlo. Definición. Ddo un intervlo [, b], un prtición de [, b] es un conjunto finito P = {x 0,x 1,...,x n } tl que = x 0 <x 1 <...<x n 1 <x n = b. A los intervlos [x i,x i+1 ], i =0, 1,...n 1 se les llm intervlos de l prtición P. Se define dimetro de l prtición P δ(p) =mx{ x i+1 x i,i=0, 1,...,n 1}. Dds dos prticiones P, P 0 de [, b], diremos que P 0 es más fin que P si P P 0. Clrmente en ese cso δ(p 0 ) δ(p). Introducimos l sum superior y l sum inferior de Riemnn de un función socid un prtición. Definición. Se f :[, b] R y P = {x 0,x 1,...,x n } un prtición de [, b]. Se define l sum inferior de Riemnn de f pr l prtición P como: n 1 X s(p,f,[, b]) = m i (x i+1 x i ) i=0 1

2 Jun Medin Molin Universidd Politécnic de Crtgen donde m i =inf{f(x) x [x i,x i+1 ]}, 0 i n 1 ylsumsuperiorderiemnn de f como: n 1 X S(P,f,[, b]) = M i (x i+1 x i ) i=0 donde M i =sup{f(x) x [x i,x i+1 ]}, 0 i n 1. Clrmente, si f :[, b] R, P y P 0 son prticiones de [, b] tlesquep 0 es más fin que P entonces: s(p,f,[, b]) s(p 0,f,[, b]) y S(P 0,f,[, b]) S(P,f,[, b]). Definición. Se f :[, b] R y (P n ) n=1 un sucesión de prticiones de [, b] tles que P n+1 es más fin que P n, n = 1, 2,..., y lim n δ(p n ) = 0. Se dice que f es integrble Riemnn o integrble en [, b] si existen y coinciden los límites lim n s(p n,f,[, b]) = lim n S(P n,f,[, b]). A este vlor se le llm integrl de Riemnn o integrl de f en [, b] y se denot R b f(x)dx. A yb se les llmn límites de integrción. Diremos que R f(x)dx =0. Notr que si f(x) 0prtodox [, b], l umentr n considermos cd vez prticiones más fins luego ls sums inferiores de Riemnn se proximn cd vez más por defecto l áre comprendid entre l gráfic f(x), el eje OX, lrectx = y l rect x = b y con ls sums superiores nos proximmos por exceso. Así, sif(x) 0prtodox [, b] yf es integrble Riemnn, R b f(x)dx coincide con el áre determind por l gráfic de f(x), el eje OX y ls rects x = y x = b. Se obtienen los siguientes resultdos: Teorem. Si f :[, b] R es continu entonces f es integrble en [, b]. Teorem. Si f :[, b] R es un función cotd y tiene como máximo un número finito de puntos de discontinuidd entonces f es integrble en [, b]. 2

3 Jun Medin Molin Universidd Politécnic de Crtgen Propieddes elementles de l integrl de Riemnn Proposición. Se f :[, b] R integrble y c [, b]. Entonces f(x) es integrble Riemnn en [, c] y [c, b] y R b f(x)dx = R c f(x)dx + R b c f(x)dx. Proposición. i) f + g es integrble en [, b] y Sen f,g :[, b] R integrbles y α R. Entonces: (f(x)+g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx. ii) αf es integrble en [, b] y αf(x)dx = α f(x)dx. iii) Si f(x) 0 pr todo x [, b] entonces: f(x)dx 0. iv) Si f(x) g(x) pr todo x [, b] entonces: f(x)dx g(x)dx. v) f es integrble en [, b] y f(x) dx f(x)dx. 3

4 Jun Medin Molin Universidd Politécnic de Crtgen Teorem Fundmentl del Cálculo integrl. Se f :[, b] R un función integrble. Entonces definimos F :[, b] R tl que F (x) = R x f(t)dt. Sif es continu en x 0 [, b] entonces F es derivble en x 0 y F 0 (x 0 )=f(x 0 ). Introducimos el concepto de primitiv de un función, el cul nos v permitir clculr el vlor de lguns integrles. Definición. Si f,f :[, b] R, diremos que F (x) es un primitiv de f(x) si F 0 (x) =f(x). Denotremos por R f(x)dx el conjunto de tods ls primitivs de f(x). Del Teorem fundmentl del Cálculo se obtiene que tod función continu tiene primitivs: Teorem. Si f : [, b] R continu entonces f posee primitivs y si demás F, G :[, b] R son primitivs de f, existec R tl que F (x) =G(x)+C pr todo x [, b]. Teorem. (Regl de Brrow). Si f :[, b] R es continu y F :[, b] R es un primitiv de f entonces R b f(x)dx =[F (x)]b = F (b) F (). Pr el cálculo de primitivs son importntes el Teorem del cmbio de vrible Z Z f(x)dx = f(g(t))g 0 (t) dt ylfórmul de integrción por prtes Z Z f(x)g 0 (x)dx = f(x)g(x) g(x)f 0 (x)dx. Dmos un tbl con primitivs de ls funciones elementles más importntes. 1. R dx = x + C 2. R x n dx = xn+1 n+1 + C si n R \{ 1}. 3. R 1 x dx =ln x + C. 4

5 Jun Medin Molin Universidd Politécnic de Crtgen 4. R t n dt = tn+1 n+1 + C si n R \{ 1}. 5. R 1 t dt =ln t + C. 6. R e t dt = e t + C. 7. R t dt = t ln + C. 8. R cost dt=sint + C. 9. R sint dt= costdt. 10. R 1 cos 2 t dt = R sec 2 tdt= R (1 + tn 2 t) dt =tnt + C. 11. R 1 sin 2 t dt = R cosec 2 tdt= cott + C. 12. R 1 1 t 2 dt =rcsint + C. 13. R 1 1+t dt =rctnt + C R cosht dt=sinht + C. 15. R sinht dt=coshtdt. 16. R 1 dt = tnht + C. cosh 2 t 17. R 1 dt = cotht + C. sinh 2 t 18. R 1 1+t 2 dt =rcsinht + C. 19. R 1 t2 dt = rccosht + C. 1 Aplicciones del Cálculo Integrl l cálculo de longitudes, áres y volúmenes 1. Cálculo de l longitud de un curv Consideremos l curv definid por l función derivble f :[, b] R. Entonces l longitud de dich curv es L = p 1+f 0 (x) 2 dx. 2. Cálculo del áre de un superficie pln Recordemos que por definición de l integrl de Riemnn, f :[, b] R con f(x) 0 pr todo x [, b] esintegrbleentonceseláre delimitd por l gráfic de f(x), el eje OX y ls rects x = y x = b es R b f(x)dx. Como consecuenci de esto, si f,g :[, b] R 5

6 Jun Medin Molin Universidd Politécnic de Crtgen integrbles con f(x) g(x) pr todo x [, b] entonceseláre delimitd por ls gráfics de f(x) yg(x), l rect x = ylrectx = b es A = (f(x) g(x))dx. 3. Cálculo del áre de un sólido de revolución Consideremos el sólido tridimensionl que se obtiene l girr l gráfic de l función f :[, b] R derivble sobre el eje OX. Entonces el áre de l superficie exterior de dicho sólido es A =2π f(x) p 1+f 0 (x) 2 dx. 4. Cálculo del volumen de un sólido de revolución Consideremos el sólido tridimensionl que se obtiene l girr l gráfic de l función f :[, b] R integrble sobre el eje OX. Entonces el volumen de dicho sólido es V = π f(x) 2 dx. 6