PAIEP. Sumas de Riemann

Transcripción

1 Progrm de Acceso Iclusivo, Equidd y Permeci PAIEP Uiversidd de Stigo de Chile Sums de Riem Ddo u itervlo de l form [, b], co y b e R, < b, u prtició del itervlo [, b] es u colecció de putos P = {x, x,..., x } [, b] de form que = x < x <... < x i < x i <... < x = b. Así tod prtició de [, b] divide l itervlo e subitervlos de l form [x i, x i ], i =, 2,...,. A l logitud de cd itervlo [x i, x i ] l deotmos por x i = x i x i, dode i =, 2..., y se cumple que i= x i = b. Cudo todos los subitervlos teg l mism logitud deotremos est como x = b. E este cso l prtició será x =, x = + x,..., x i = + i x,..., x = b = + x. Se f : [, b] R, u fució cotiu o co u úmero fiito de discotiuiddes de slto y P = { = x, x,..., x = b} u prtició de [, b]. E cd subitervlo [x i, x i ] selecciomos u puto c i y cosidermos el rectágulo de bse x i = x i x i y ltur f(c i ). f(x) f(c i ) x i c i x i b Luego, el producto f(c i ) x i es el áre del rectágulo cuy bse está e el itervlo [x i, x i ] y su ltur es f(c i ).

2 Sumdo todos estos productos obteemos S P = f(c i ) x i. i= L sum S p se deomi sum de Riem pr f e el itervlo [, b]. U cso prticulr de l sum de Riem pr f e [, b] es cosiderdo u prtició e subitervlos de l mism logitud x = b y como c i l extremo derecho del itervlo [x i, x i ]. E este cso l sum qued de l form S P = f i= ( + i b ) ( b Tod sum de Riem proxim el áre etre l gráfic de l fució f(x) y el eje x etre los vlores y b, l cul deotremos por A(R). Al reducir los vlores de x i l proximció es mejor. Así, si l prtició es e itervlos de igul tmño x = b, etoces A(R) = lim S P = lim ). f(c i ) x Ejemplo Hllr el áre cotd por l gráfic de l fució f(x) = 2x 2 y el eje X, e el itervlo [, 2]. Comezremos dibujdo el áre que queremos clculr. i= f(x) = 2x 2 2 El áre de l regió cubiert por lo rectágulos es l que debemos clculr. Podemos cosiderr u prticó de [, b] e itervlos igules de logitud x = b = 2 = 2 y podemos cosiderr como c i el extremo derecho de cd subitervlo [x i, x i ], luego c i = + i x = + i 2 = 2i. Así l sum de Riem de f(x) e [, 2] socid est prtició es S P = f(c i ) x = i= Como f(x) = 2x 2, etoces, f(c i ) = f( 2i ) = 8i2 2. Luego f i= ( ) 2i 2.

3 S P = 8i 2 i= = 6 Filmete el áre que desebmos clculr ser i= 2 i 2 = 6 ( + )(2 + ) 6 = 8 ( + )(2 + ). A(R) = lim S P ( 8 = lim ( + )(2 + ) ) = 8 lim ( + )(2 + ) = 8 ()(2) = 6.

4 L itegrl defiid Se f(x) u fució defiid e u itervlo [, b]. Decimos que u úmero J es l itegrl defiid de f e [, b] y que J es el límite de ls sums de Riem S P = i=i f(c i) x i si lim P f(c i ) x i = J. i=i Dode P es l myor logitud de los itervlos geerdos por l prtició P. Cudo l itegrl defiid de f e [, b] se J, lo deotremos de l siguiete form f(x)dx = J. Cudo cosidermos prticioes co subitervlos igules y cd uo de cho x = (b )/, podemos esccribir f(x)dx = lim i= f(c i ) x = J. Ejemplo 2 E el Ejemplo vimos que lim i= f(c i) x = 6/. Así l itegrl defiid de l fució f(x) = 2x 2 existe e [, 2] y es 6/. Luego f(x)dx = 2x 2 dx = 6. Ejemplo Represetr el Límite de l siguiete sum como u itegrl defiid. lim i= co u prtició e subitervlos igules de [, ]. ( 2 + i 2 ) /2, Comezmos clculdo l logitud de cd subitervlo x = b =. Ahor clculmos x i que lo cosiderremos como el extremo derecho de cd subitervlo, esto es i x i = + i x = + i =. Ahor, medite rreglos lgebricos, debemos obteer detro de l sum u expresió de l form f(x i ) x. Como coocemos x pero o f buscremos seprr x de l expresió.

5 lim i= ( 2 + i 2 ) /2 = lim i= = lim i= = lim i= = lim i= = lim i= = lim 2 + i 2 2 ( + i2 ) 2 + ( i )2 + ( i )2 + ( i i= )2 + ( i )2. () Como x = y x i = i, teemos que f(x) =. + x2 Luego podemos escribir lim i= ( 2 + i 2 ) /2 = dx. + x2 Ejemplo 4 Expresr como u itegrl defiid sobre el itervlo [, ] el siguiete límite Comezmos clculdo x. lim i= ( ) + i. x = =. Cosiderdo c i como el extremo derecho de cd subitervlo teemos que c i = + x = + =. Ahor trtmos de recoocer estos elemetos e el límite.

6 lim i= ( ) + i = lim = lim ( i= f i= + i ( i ) ). Así l fució ivolucrd es f(x) = +x, luego lim i= ( ) + i = + x dx. Cudo l itegrl defiid de u fució exist e u itervlo [, b] diremos que est fució es itegrble. Si f y g so fucioes itegrbles e el itervlo [, b], l itegrl defiid stisfce ls siguietes propieddes: ) 2) ) 4) pr culquier costte k. f(x)dx = b f(x)dx =. kf(x)dx = k (f(x) ± g(x))dx = f(x)dx. f(x)dx f(x)dx ± g(x)dx. 5) Si f lcz u vlor máximo M y u vlor míimo m e [, b], etoces 6) Si f(x) g(x) e [, b], etoces m(b ) f(x)dx f(x)dx M(b ). g(x)dx. Ejemplo 5 Y sbemos de los ejemplos y 2 que 2x2 dx = 6/, ocupdo l propiedd teemos que x 2 dx = 2 x2 dx = 2 2x 2 dx = 6 2 = 8.

7 Ejemplo 6 Cosideremos l fució costte f(x) = k e el itervlo [, b]. El máximo vlor lczdo por f e [, b] es k y el míimo vlor es k. Por l propiedd 5 teemos que Esto es, si k es costte, etoces k(b ) f(x)dx k(b ). kdx = k(b ). Ejemplo 7 Cosideremos l fució f(x) = x sobre el itervlo [, 2]. Por ls propieddes y 4 de l itegrl defiid y los ejemplos teriores, teemos que (x 2 + 2)dx = x 2 dx + = ( 8 ) + 2(2 ) = = 2. 2dx

8 Primer teorem fudmetl del cálculo Dd u fució f itegrble e el itervlo [, b] podemos defiir u uev fució F : [, b] R de l siguiete form f(t)dt pr todo x [, b]. Est fució es cotiu e [, b] y derivble e (, b) y su derivd es f(x), esto es Ejemplo 8 F (x) = d dx f(t)dt = f(x). Clculr dy dx si ) y = et l (t)dt, b) y = si x dt +rcsi t. E el cso (), ocupdo el primer teorem fudmetl del cálculo, teemos que Pr l prte (b) otemos que si etoces dy dx = d dx F (si (x)) = e t l (t)dt = e x l (x). si (x) dt + rcsi t, dt + rcsi t = y. Luego ocupdo el primer teorem fudmetl del cálculo y l regl de l cde, teemos que Por el teorem fudmetl del cálculo teemos que Así dy dx = d dx F (si(x)) = F (si(x))(si(x)). F (x) = + rcsi x. dy dx = F (si x)(si x) cos(x) = cos(x) = + rcsi (si(x)) + x.

9 Segudo teorem fudmetl del cálculo Se f u fució cotiu e [, b] y se F u fució tl que F (x) = f(x) pr todo x [, b]. Etoces / b f(x)dx = F (b) F (). Este teorem es importte, y que os dice que pr clculr l itegrl defiid de f e u itervlo [, b], solo ecesitmo determir u tiderivd de f, evlurl e los límites del itervlo y hcer l difereci. Ejemplo 9 U tiderivd pr l fució f(x) = 2x 2 es 2x, esto se puede verificr derivdo. Luego, por el segudo teorem fudmetl del cálculo, teemos que 2x 2 dx = 2 x/ 2 = 2 (2) 2 () = 6. Ejemplo Clculr l itegr (2x4 + 4x + )dx. Pr esto ocupremos el segudo teorem fudmetl del cálculo. Primero debemos clculr u tiderivd pr 2x 4 + 4x +, cosidermos 2 5 x5 + 2x 2 + x, luego (2x 4 + 4x + )dx = 2 / 5 x5 + 2x 2 + x = = 7 5. Sustitució e u itegrl defiid Si f es u fució cotiu e el itervlo [, b] y g : [α, β] to[, b] es u fució cotiu co derivd cotiu e [α, β] co α = g() y β = g(b), etoces f(t)dt = β α f(g(t))g (t)dt. El resultdo terior es útil pr clculr itegrles defiids. Vemos los siguietes ejemplos. Ejemplo Clculemos l siguiete itegrl defiid, x dx ( + x 2 ) 2.

10 Pr esto cosideremos z = + x 2, derivdo respecto x os qued dz = 2x dx, dems, si x = etoces z = + () 2 = 2 y si x = 2 etoces z = + (2) 2 = 5. Luego x dx ( + x 2 ) 2 = 2x dx 2 ( + x 2 ) 2 = 5 dz 2 2 z 2. L últim itegrl e termios de z es mucho ms secill de clculr medite el segudo teorem fudmetl del cálculo. Así 5 dz 2 2 z 2 = / [ 5 2z = ] = 2 2. x dx ( + x 2 ) 2 = 2. Ejemplo 2 Clculemos l siguiete itegrl defiid 9 (x 2)2 dx + (x 2). 2 Pr esto cosideremos z = x 2, derivdo obteemos z 2 dz = dx. Ahor, si x =, etoces z = y si x = 29 etoces z =. Reemplzdo e l itegrl os qued 9 Ahor trbjmos co l itegrl del ldo derecho. (x 2)2 dx + (x 2) = z 4 dz 2 + z 2 = z 4 dz + z 2. z 4 dz + z 2 = ( ) z 2 9 z 2 dz + [ z = z + 9 rct z ] / = [z 9z + 9 rct z ] / = 9 ( π ) ( π ) 6 Así = π. 9 (x 2)2 dx + (x 2) = π.

11 Ejercicios propuestos I.- Ecuetre u fórmul pr l sum de Riem de f(x) utilizdo u prtició e itervlos de igul logitud del itervlo [.b] y cosiderdo c i el extremo derecho del itervlo [x i, x i ]. Luego clcule el límite cudo pr clculr el áre bjo f(x) e el itervlo [, b]:. f(x) = x 2 + 2x + e el itevlo [, ]. 2. f(x) = x 4 e el itevlo [, ].. f(x) = 2 x e el itevlo [,, 4]. 4. f(x) = (x ) e el itevlo [, 6]. 5. f(x) = 2 x 2 x e el itevlo [, 2]. 6. f(x) = 4 x 2 e el itevlo [, 2]. 7. f(x) = 2 x x + e el itevlo [ 2, 2]. 8. f(x) = (x + ) 2 e el itevlo [, ]. 9. f(x) = 2x 2 + x 2 + e el itevlo [, ].. f(x) = x x 2 e el itevlo [, ].. f(x) = x 2 + 2x + e el itevlo [, ]. II.- Utilizdo sums de Riem, clculr ls siguietes itegrles defiids:. 4 (x2 + 4x + 5)dx 2. 5 (x )dx. 4 (x2 + x 6)dx 4. 2 (x + )dx 5. 5 (4x x 2 + )dx (2x 2x )dx 7. (x2 )dx 8. 2 (x + x 2 4x 2)dx III.- Exprese los siguietes límites como itegrles defiids sobre e itervlo [, ]:. lim e+ e e. 2. lim p +2 p p p+.. lim i= i 2 ( 2 i 2 ) 5.

12 4. lim i= l ( + i ). 5. lim i= si ( i ) +i. IV.- Resuelv los siguietes problems utilizdo el primer teorem fudmetl del cálculo:. Hllr f(x) sbiedo que f es cotiu pr todo x R y 2 f(t)dt = x 6 + x 4 + x Hllr dy dx. sbiedo que. Hllr F (x) sbiedo que 4. Hllr F (x) si 5. Hllr F (x) si 6. Hllr F (x) si 7. Hllr F (x) si 8. Hllr f(x) si 9. Hllr f(x) si y e t dt + 2 ( y 4 4 x 2 8 cos (t)dt = ) dt dy. + t + si (t) dt t 2 + l (t) + si (t). si (x) x 2 x 2 + t2 dt + 4 x dt rcsi (t). ( + t)dt. si( + t 2 )dt. f(t)dt = x + x f(x) tdt = x + x 2.. Hllr f(x) si f(x) V.- Hlle el vlor de ls siguietes itegrles defiids:. (x + )2 dx. t 2 dt = x + x

13 2. x2 dx.. (5x4 x 2 )dx. 4. x (x 2 +) dx (x2 4x + 2)dx x x+2 dx. x + x+ dx. 8. (2x2 + 4x + )dx. 9. x2 x dx... π/2 2. dx x 2 +4x+5. si (x) cos (x) dx 2 cos 2 (x)+b 2 si 2 (x). +x 2 x dx.. π x si(x) dx x2 + x 6 dx. 5. (x )(x ) dx x dx x 2 (2 x)(x 2 +) dx. 8. π cos (x) dx. 9. x + x dx. 2. x x dx x+ dx x+6 x 7 x 5 +7x x cos 2 (x) dx.