La integral de Riemann

Transcripción

1 Cpítulo 6 L itegrl de Riem Vmos dr u defiició precis de l itegrl de u fució defiid e u itervlo. Este tiee que ser u itervlo cerrdo y cotdo, es decir [,b] co < b R, y l defiició que dremos de itegrl solo se plic fucioes cotds, y o tods, sio ls fucioes que llmremos itegrbles. E el siguiete cpítulo veremos cómo, e u setido más mplio, podemos hblr de itegrles de fucioes o cotds o defiids e itervlos o cotdos. Seguimos básicmete el desrrollo que puede verse, etre otros muchos textos, e [ROSS, cp. VI, pág. 184 y sigs.] o e [BARTLE-SHERBERT, cp. 6, pág. 251 y sigs.]. Como complemeto puede cosultrse [GUZMÁN, cp. 12]. L evolució históric de l itegrl está muy bie cotd (sobre todo l portció de Newto y Leibiz) e [DURÁN]; de crácter más técico es el libro [GRATTAN-GUINNESS] Defiició (de Drboux) de l itegrl de Riem Defiició de itegrl Defiició U prtició de u itervlo [,b] es u cojuto fiito de putos de [,b] que icluye los extremos. U prtició P l represetmos ordedo sus putos de meor myor, comezdo e y termido e b: P = {x i } i= { = x < x 1 < x 2 <... < x 1 < x = b}. El cojuto de ls prticioes de [,b] lo idicmos co P([,b]). U prtició como l idicd divide el itervlo [,b] e subitervlos [x i 1,x i ], cd uo de logitud x i x i 1. Defiició (sums de Drboux). Se f u fució cotd defiid e [, b], y se P P([,b]), P { = x < x 1 < x 2 <... < x 1 < x = b}. Se, pr cd i = 1,...,, M i = sup{ f (x) : x [x i 1,x i ]}; m i = íf{ f (x) : x [x i 1,x i ]}. L sum iferior de f socid P se defie como y l sum superior de f socid P es S( f,p) = S( f,p) = i=1 i=1 m i (x i x i 1 ), M i (x i x i 1 ). 119

2 12 Cpítulo 6. L itegrl de Riem f (x) f (x) x 1 x 2... x 1 b Sum iferior socid u prtició x 1 x 2... x 1 b Sum superior socid u prtició Observció. Pr culquier P P([,b]) teemos que S( f,p) S( f,p), y que m i M i pr cd i. Tmbié, poiedo M = sup{ f (x) : x [,b]}, m = íf{ f (x) : x [,b]}, se deduce que m(b ) S( f,p) S( f,p) M(b ) culquier que se l prtició P (y por cosiguiete, tto el cojuto de ls sums superiores como el de ls sums iferiores está cotdos, superiormete por M(b ), iferiormete por m(b )). Not (relció etre l itegrl y l medid de áres). Supogmos que f es u fució o egtiv y cosideremos l regió que delimit su gráfic co ls rects y =, x = y x = b. Si el áre de dich regió es A, etoces S( f,p) A S( f,p), y que ls respectivs sums so ls áres que obteemos si cmbimos f e cd [x i 1,x i ) por m i o M i, y los hemos defiido de form que m i f M i (de hecho hemos tomdo los vlores más justdos que cumple dichs desigulddes). x 1 x 2... x 1 b Sum superior, áre y sum iferior E l figur, se represet e distito color l difereci etre l sum superior y el áre A y l difereci etre A y l sum iferior. Prece clro que si tommos u prtició suficietemete utrid de putos podemos coseguir que ests zos se muy pequeñs, de form que tto l sum superior como l iferior se rbitrrimete próxims l áre A.

3 6.1. Defiició (de Drboux) de l itegrl de Riem 121 Defiició Dd f cotd e [,b], se defie su itegrl iferior e [,b] como f = sup{s( f,p) : P P([,b])}, y su itegrl superior e [,b] como f = íf{s( f,p) : P P([,b])}. Notemos que, como cosecueci de l observció previ, l itegrl iferior y l superior so vlores reles perfectmete defiidos pr culquier fució cotd e u itervlo cerrdo y cotdo. No es difícil divir que l itegrl iferior es siempre meor o igul que l superior, pero l demostrció de este hecho es meos trivil de lo que prece simple vist. Pr probrlo, ecesitmos u estudio más detlldo de ls sums de Drboux, que pospoemos l prtdo siguiete. Defiició U fució f cotd e [,b] es itegrble-riem e [,b] (e el setido de Drboux), o simplemete itegrble, si se cumple que f = f. E tl cso, l vlor comú de dichs itegrles se le llm l itegrl (de Riem) de f e [,b], y se escribe f. A veces es cómodo escribir l itegrl como f (x)dx, expresdo l fució medite su vlor f (x) e l vrible x. E tl cso, es idiferete l letr empled: el mismo sigificdo tiee f (y)dy, el itervlo [,b]. f (z)dz, f (t)dt, etc.; todos estos símbolos represet l itegrl de l fució f e Ejemplo (itegrl de u fucio costte). Si f (x) = c pr todo x [,b] y P es l prtició trivil {,b} result que S( f,p) = c(b ) = S( f,p). Se comprueb fácilmete que lo mismo sucede pr culquier otr prtició, sí que l itegrl superior y l iferior coicide co c(b ). Es decir, cdx = c(b ). Ejemplo (itegrl de l fució idetidd). Si f (x) = x pr todo x [, b], su itegrl superior y su iferior coicide co 1 2 (b2 2 ). Es decir, xdx = 1 2 (b2 2 ). L comprobció de este resultdo prtir de l defiició de itegrl requiere más esfuerzo del que cbe supoer (vése e [BARTLE-SHERBERT, págs ] los cálculos pr =, b = 1). Ejemplo (itegrl de l fució cudrdo). Si f (x) = x 2 pr todo x [,b], su itegrl superior y su iferior coicide co 1 3 (b3 3 ). Es decir, x 2 dx = 1 3 (b3 3 ). L obteció de est fórmul es sorpredetemete complicd. Los detlles del cálculo puede verse e [ROSS, pág. 186] o [BARTLE-SHERBERT, pág. 258].

4 122 Cpítulo 6. L itegrl de Riem Este ejemplo y el terior poe de mifiesto l ecesidd de hllr procedimietos idirectos de cálculo que permit evlur cómodmete l meos itegrles de fucioes t secills como ests. Veremos lguos más delte. Ejemplo (u fució cotd que o es itegrble). Se f : [,1] R l dd por f (x) = 1 si x Q y f (x) = si x / Q (l fució de Dirichlet). Por l desidd de los rcioles y de los irrcioles, e culquier itervlo [x i 1,x i ], socido culquier prtició P, f tom los vlores y 1, luego result que S( f,p) = 1 y S( f,p) =. Por lo tto l itegrl iferior vle y l itegrl superior vle 1. L fució de Dirichlet o es itegrble-riem. Not ( l itegrl es el áre?). Dd u fució f cotd y o egtiv, y hemos visto que S( f,p) A S( f,p) pr cd prtició P, si A es el áre de l regió que limit l gráfic de f. Por tto A es u cot superior del cojuto de ls sums iferiores y u cot iferior del cojuto de ls sums superiores, y etoces f A f. (6.1) Si f es itegrble, los dos extremos de (6.1) coicide co f, sí que el áre A es igul l itegrl. Pero hy que señlr u mtiz importte: mietrs que l itegrl es u cocepto que hemos defiido f (x)dx L itegrl y el áre b rigurosmete, os hemos vlido de u oció ituitiv e igeu de l medid de áres Propieddes básics de ls sums de Drboux Lem Se f u fució cotd e u itervlo cerrdo y cotdo [,b]. Si P y Q so prticioes de [,b] y P Q (se dice e tl cso que Q es más fi que P), etoces S( f,p) S( f,q) S( f,q) S( f,p), y e cosecueci S( f,q) S( f,q) S( f,p) S( f,p).

5 6.1. Defiició (de Drboux) de l itegrl de Riem 123 Demostrció. Bst probrlo e el cso e que Q tiee u elemeto más que P; pr el cso geerl bst reiterr el rzomieto, ñdiedo e cd pso u puto uevo hst obteer Q. Poemos etoces Q = P {c}, co P { = x < x 1 < x 2 <... < x 1 < x = b} y Q = x <... < x k 1 < c < x k <... < x = b. Se trt de probr que S( f,p) S( f,q) y S( f,q) S( f,p). Se m i los ífimos correspodietes l prtició P y se α 1 = íf{ f (x) : x [x k 1,c]}, α 2 = íf{ f (x) : x [c,x k ]} (ver l figur). Etoces, m k α 1, m k α 2. Por lo tto, α 1 m k α 2 x k 1 c x k Difereci etre ls sums iferiores correspodietes P y Q S( f,q) S( f,p) = α 1 (c x k 1 ) + α 2 (x k c) m k (x k x k 1 ) m k (c x k 1 + x k c) m k (x k x k 1 ) =. Aálogmete, se M i los supremos correspodietes P y se β 1 = sup{ f (x) : x [x k 1,c]} y β 2 = sup{ f (x) : x [c,x k ]}. Etoces, M k β 1, M k β 2 y S( f,q) S( f,p) = β 1 (c x k 1 ) + β 2 (x k c) M k (x k x k 1 ). Lem Se f u fució cotd e u itervlo cerrdo y cotdo [,b]. Si P y Q so prticioes culesquier de [,b], etoces S( f,p) S( f,q). Demostrció. Por el lem 6.1.5, si tommos P Q P([,b]) etoces S( f,p) S( f,p Q) S( f,p Q) S( f,q); l primer desiguldd se d porque P P Q, y l tercer porque Q P Q.

6 124 Cpítulo 6. L itegrl de Riem x 1 x 2... x 1 b Sum iferior y sum superior pr prticioes distits Teorem Si f es u fució cotd e [,b], etoces su itegrl iferior es siempre meor o igul que su itegrl superior: f f Demostrció. Segú el lem 6.1.6, si Q es u prtició culquier de [,b], f = sup{s( f,p) : P P([,b])} S( f,q). Por lo tto, f íf{s( f,q) : Q P([,b])} = f Existeci de l itegrl: codició de Riem. Itegrbilidd de ls fucioes moótos y de ls fucioes cotius «Al bordr l itegrl de Riem uo se efret dos cuestioes. Primero, pr u fució cotd e u itervlo, se ecuetr l cuestió de l existeci de l itegrl. Segudo, cudo se sbe que existe l itegrl, surge etoces el problem de evlurl» ([BARTLE-SHERBERT, pág. 259]). Pr ver si u fució es itegrble, es preciso cosiderr tods ls sums de Drboux y clculr l itegrl superior e iferior? Por suerte, e el siguiete teorem vmos demostrr que o es ecesrio: bst probr que hy prticioes cuys sums de Drboux está suficietemete próxims. Este resultdo servirá demás pr deducir que ls fucioes cotius y ls moótos so itegrbles. Teorem (codició de itegrbilidd de Riem). U fució f cotd e [,b] es itegrble e dicho itervlo si y solo si pr cd ε > existe u prtició P = P ε de [,b] tl que S( f,p) S( f,p) < ε. Demostrció. Supogmos primero que f es itegrble. Como iferiores y el ífimo de ls sums superiores, pr ε > result que i f es el supremo de ls sums f ε/2 es cot superior

7 6.1. Defiició (de Drboux) de l itegrl de Riem 125 de ls primers i tles que f + ε/2 es cot iferior de ls seguds, sí que existe dos prticioes P 1 y P 2 f ε/2 < S( f,p 1 ), S( f,p 2 ) < f + ε/2. Si P = P 1 P 2 etoces S( f,p 1 ) S( f,p) y S( f,p) S( f,p 2 ), luego f ε/2 < S( f,p), S( f,p) < f + ε/2 y por tto S( f,p) S( f,p) < ε. Recíprocmete, si esto sí pr lgu P etoces f S( f,p) < S( f,p) + ε f + ε, luego f f < ε, y si esto es sí pr todo ε > etoces f f =. Defiició Dd u prtició P P([,b]), su orm P es el máximo de {x i x i 1 : i = 1,...,}. L orm de u prtició es l myor distci etre dos putos cosecutivos de l mism. Gráficmete, se trt de l chur máxim de los itervlos prciles [x i 1,x i ]; cotrol l holgur de l prtició, de modo que cuto meor se, más tupid es l prtició, sus putos está más próximos. Observció. Podemos tomr prticioes de orm rbitrrimete pequeñ: pr coseguir que l orm se meor que u δ > prefijdo, bst elegir u tl que h = b < δ y tomr P = {, + h, + 2h, + 3h,..., + h = b}. Teorem (itegrbilidd de ls fucioes moótos). Tod fució moóto e u itervlo [,b] es itegrble. Demostrció. Supogmos que f es u fució o decreciete e [, b]. Etoces f está cotd (iferiormete por f (), superiormete por f (b)). Dd P { = x < x 1 < x 2 <... < x 1 < x = b}, l mootoí dice que, pr cd i, Por lo tto, S( f,p) S( f,p) = M i sup{ f (x) : x [x i 1,x i ]} = f (x i ); m i íf{ f (x) : x [x i 1,x i ]} = f (x i 1 ). i=1 < P (M i m i )(x i x i 1 ) = i=1 i=1 ( f (x i ) f (x i 1 ))(x i x i 1 ) ( f (x i ) f (x i 1 )) = P ( f (b) f ()). Ahor, ddo ε > bst tomr u prtició P de modo que P ( f (b) f ()) < ε pr probr que se cumple l codició de itegrbilidd de Riem (teorem 6.1.8). Si f es o creciete l demostrció es álog.

8 126 Cpítulo 6. L itegrl de Riem x 1 x 2... x 1 b Sum superior y sum iferior pr u fució moóto Notemos que l ide esecil de l demostrció es que, grcis l mootoí de f, e cd subitervlo [x i 1,x i ] podemos cotrolr l oscilció de sus vlores (el tmño de M i m i ) trvés del tmño de l orm de l prtició. Est mism ide es dptble l cso de que f se cotiu, debido que f es etoces uiformemete cotiu. Teorem (itegrbilidd de ls fucioes cotius). Tod fució cotiu e u itervlo [,b] es itegrble. Demostrció. Se f cotiu e [,b]. Notemos que f es cotd por ser cotiu e el itervlo cerrdo y cotdo [,b], sí que tiee setido cosiderr su itegrbilidd. Además, el teorem de Heie dice que es uiformemete cotiu e [,b]. Ddo ε >, existe por tto u vlor δ > ε b tl que f (x) f (y) < pr culesquier x, y [,b] tles que x y < δ. Se P u prtició tl que P < δ, P { = x < x 1 < x 2 <... < x 1 < x = b}. Si M i y m i so los correspodietes supremos e ífimos e cd [x i 1,x i ], por el teorem de Weierstrss podemos elegir r i,s i e dicho itervlo co M i = f (r i ) y m i = f (s i ). Etoces r i s i x i x i 1 < δ, sí que f (r i ) f (s i ) < ε b, y S( f,p) S( f,p) = = i=1 i=1 < ε b M i (x i x i 1 ) i=1 (M i m i )(x i x i 1 ) = i=1 m i (x i x i 1 ) i=1 (x i x i 1 ) = ε (b ) = ε. b ( f (r i ) f (s i ))(x i x i 1 ) Por l codició de itegrbilidd de Riem (teorem 6.1.8), f es itegrble. Pero hy fucioes itegrbles que o so moótos i cotius. El siguiete resultdo proporcio ejemplos secillos. Proposició Se f : [,b] R u fució cotd. Si f es itegrble e cd itervlo [c,b], co < c < b, etoces es itegrble e [,b].

9 6.1. Defiició (de Drboux) de l itegrl de Riem 127 Demostrció. Se B > u cot de f e [,b]. Ddo ε >, tomemos c (,b) de mer que c < ε 4B. Como f es itegrble e [c,b], e virtud de l codició de Riem se puede ecotrr u prtició Pc b del itervlo [c,b] tl que S( f,pc b ) S( f,pc b ) < ε 2. Añdiedo el puto l prtició Pc b, obteemos u prtició P de [,b] pr l que S( f,p) S( f,p) = sup f ([,c]) (c ) + S( f,pc b ) íf f ([,c]) (c ) S( f,pc b ) B (c ) + S( f,pc b ) + B (c ) S( f,pc b ) < 2B (c ) + ε 2 < ε 2 + ε 2 = ε, y e cosecueci f es itegrble e [,b]. Ejemplo. L fució f : [,1] R defiid medite f () = 1 y f (x) = se 1 x si < x 1 es itegrble-riem e [, 1]. E efecto, clrmete está cotd y demás es itegrble e cd itervlo [c,1], co < c < 1, porque es cotiu e [c,1]. Este es u ejemplo itereste de u fució itegrble que o es cotiu i moóto. Cometrio: discotiuiddes de ls fucioes itegrbles-riem (codició de itegrbilidd de Lebesgue) Ls fucioes cotius so itegrbles, uque o tods ls fucioes itegrbles so cotius: vle de ejemplo ls fucioes moótos co discotiuiddes. Pero ls fucioes itegrbles o puede teer demsids discotiuiddes, segú demostró Lebesgue. Cocretmete: Teorem (codició de itegrbilidd de Lebesgue). U fució f cotd e [, b] es itegrble si y solo si pr cd ε > se puede ecotrr u sucesió (J ) de itervlos tl que: ) lím k=1 J k < ε, dode J k es l logitud del itervlo J k ; b) el cojuto de putos de [,b] e los que f es discotiu está coteido e J. Cudo se coozc l medid de Lebesgue, se verá que esto sigific que el cojuto de putos de discotiuidd de f es de medid ul. Los cojutos fiitos qued detro de est ctegorí; tmbié los cojutos umerbles, es decir, los cojutos ifiitos que puede escribirse e form de sucesió, como N, Z o Q Sums de Riem. Defiició de itegrbilidd de Riem: comprció co l de Drboux El cotrol de ls oscilcioes de f trvés de l orm de l prtició que hemos visto pr fucioes moótos o cotius puede llevrse cbo pr culquier fució itegrble: Teorem U fució f cotd e [,b] es itegrble si y solo si pr cd ε > existe u δ > tl que tod prtició P de [,b] co orm P < δ cumple que S( f,p) S( f,p) < ε.

10 128 Cpítulo 6. L itegrl de Riem Demostrció. Supogmos que f es itegrble. Fijdo ε >, se P P([,b]) tl que S( f,p ) S( f,p ) < ε 2, pogmos que P tiee putos y se K > tl que f (x) K pr todo x [,b]. Se P u prtició de [,b], P { = t < t 1 <... < t m 1 < t m = b}. y tomemos Q = P P. Como máximo, Q tiee 2 putos más que P, los de P \{,b}. Supogmos que fuese Q = P {c}, co t j 1 < c < t j. Etoces serí S( f,p) S( f,q) = M j (t j t j 1 ) α 1 (c t j 1 ) α 2 (t j c) dode M j, α 1 y α 2 so los supremos de los vlores de f e [t j 1,t j ], [t j 1,c] y [c,t j ] respectivmete. Como M j K, α 1 K, α 2 K y < t j t j 1 P, deducimos que S( f,p) S( f,q) K(t j t j 1 ) + K(c t j 1 ) + K(t j c) 2K P. Reiterdo lo terior (ñdiedo cd vez u puto hst obteer Q) es fácil ver que e geerl teemos S( f,p) S( f,q) 2( 2)K P < 2K P, y álogmete se ve que S( f,q) S( f,p) < 2K P. Tmbié teemos que S( f,q) S( f,q) < ε/2, porque Q es más fi que P. Por lo tto, ε S( f,p) < S( f,q) + 2K P < S( f,q) + ε/2 + 2K P < S( f,p) + ε/2 + 4K P. Ahor bst tomr δ = 8K y si P < δ, etoces S( f,p) S( f,p) < ε. El recíproco es cosecueci direct de l codició de itegrbilidd de Riem (teorem 6.1.8). Defiició Dd u prtició P { = x < x 1 < x 2 <... < x 1 < x = b} y u fució f defiid e [,b], pr cd elecció de vlores s i [x i 1,x i ] se dice que S = i=1 f (s i )(x i x i 1 ) es u sum de Riem de f socid P. Provisiolmete, decimos que f es R-itegrble o itegrble segú l defiició de Riem e [,b] si existe u úmero rel R tl que, ddo ε > rbitrrio, se puede ecotrr u δ > de mer que S R < ε pr culquier sum de Riem S de f socid u prtició P de orm P < δ. Cudo esto suced, decimos que R es l R-itegrl de f e [,b], y poemos (provisiolmete) R R = f.

11 6.1. Defiició (de Drboux) de l itegrl de Riem 129 Observció. Ddo que m i f (s i ) M i pr cd i, culquier sum de Riem socid P de u fució cotd f cumple que S( f,p) S S( f,p). El resultdo siguiete prueb que l itegrl segú l defiició de Drboux y l itegrl segú l defiició de Riem so igules. Teorem U fució cotd e u itervlo [, b] es itegrble segú l defiició de Riem si y solo si es itegrble segú l defiició de Drboux, y e ese cso ls dos itegrles coicide. Demostrció. Se f itegrble co l defiició de Drboux y se ε >. Por el teorem , existe δ tl que S( f,p) S( f,p) < ε siempre que P < δ; si S es u sum de Riem socid P etoces S( f,p) S S( f,p), y como tmbié S( f,p) f S( f,p) cocluimos que l distci etre S y f es meor que ε. Es decir, culquier sum de Riem S socid u prtició P P([, b]) co P < δ cumple que b S f < ε. Por lo tto, f es itegrble e [,b] segú l defiició de Riem, co itegrl igul Pr probr el recíproco, supogmos que f es itegrble segú l defiició de Riem e [, b], co itegrl R. Ddo ε >, si δ es como e l defiició y P { = x < x 1 < x 2 <... < x 1 < x = b}, P < δ, podemos tomr s i [x i 1,x i ] de mer que f (s i ) > M i ε (1 i ). L correspodiete sum de Riem S verific simultáemete Etoces, y como ε es rbitrrio, S S( f,p) ε(b ), S R < ε. f S( f,p) S + ε(b ) < R + ε + ε(b ), f R. De mer álog se prueb que f R, por lo cul f = f = R, f es itegrble e el setido de Drboux y f = R. Corolrio Se f u fució itegrble e [,b], (P ) u sucesió de prticioes de [,b] tl que lím P =. Si pr cd se cosider u sum de Riem S correspodiete l prtició P y l fució f, etoces líms = f. 1 Ejemplo. Pr tod fució f itegrble e [,1], lím k=1 f ( ) k 1 = f. f.

12 13 Cpítulo 6. L itegrl de Riem 6.2. Propieddes básics de l itegrl de Riem Opercioes co fucioes itegrbles Empezremos probdo l lielidd de l itegrl. Pr ello os coviee observr tes lo siguiete: Lem Se A u cojuto cotdo y o vcío de úmeros reles. Etoces: ) sup( A) = ífa; íf( A) = supa. b) Pr todo α > se cumple que sup(αa) = α sup A, íf(αa) = α íf A. c) supa ífa = sup{ x y : x,y A}. Demostrció. ) Si y = ífa y x A result que x y, luego y es cot superior de A, y por tto sup( A) ífa. Si s = sup( A), ddo x A teemos que x s, es decir que s x, luego s es u cot iferior de A y etoces sup( A) ífa, o se ífa sup( A). Y teemos que sup( A) = ífa, y etoces supa = sup( ( A)) = íf( A), luego íf( A) = supa. b) Si s = supa, ddo x A teemos que αx αs, luego αs es u cot superior de αa; por tto sup(αa) α supa. Por l mism rzó teemos que supa = sup 1 α αa 1 α sup(αa), y etoces α supa sup(αa). Por tto sup(αa) = α supa. Y de ) se deduce que α ífa = α sup( A) = sup( αa) = íf(αa). c) Recordemos que, ddos dos cojutos cotdos A y B, sup(a + B) = supa + supb. Notemos que el cojuto { x y : x,y A} es l itersecció co [,+ ) de {x y : x,y A} = A + ( A), luego su supremo es igul l de este y, por ), sup(a + ( A)) = sup A + sup( A) = sup A íf A. Teorem Se f y g fucioes itegrbles e [,b] y se α u úmero rel. Etoces ) α f es itegrble y b) f + g es itegrble y (α f ) = α ( f + g) = f. f + g. Demostrció. ) Notemos primero que f es cotd, y etoces α f tmbié lo es. Si α = el resultdo es imedito. Si α >, pr cd prtició P de [,b] se obtiee, usdo l prte b) del lem 6.2.1, que S(α f,p) = αs( f,p) y S(α f,p) = αs( f,p). Por l mism rzó, se deduce que luego α f es itegrble y (α f ) = α α f = α α f = α f. f = α f = α Pr ver que f es itegrble (α = 1) utilizmos l prte ) del lem: result que, pr culquier P, S( f,p) = S( f,p) y S( f,p) = S( f,p), luego f, f, ( f ) = f = f, ( f ) = f = f.

13 6.2. Propieddes básics de l itegrl de Riem 131 Por último, si α es culquier vlor egtivo lo reducimos los csos teriores: α f = α f es itegrble, co itegrl igul ( α f ) = α f = α f. b) Notemos primero que f +g está cotd, porque f y g lo está. Ddo A [,b], pr cd t A teemos que f (t) + g(t) sup{ f (x) : x A} + sup{g(x) : x A}, luego y álogmete sup{ f (t) + g(t) : t A} sup{ f (t) : t A} + sup{g(t) : t A} íf{ f (t) : t A} + íf{g(t) : t A} íf{ f (t) + g(t) : t A}. Cudo tommos como A los subitervlos [x i 1,x i ] que defie u prtició P P([,b]), se sigue que S( f + g,p) S( f,p) + S(g,P), S( f,p) + S(g,P) S( f + g,p). Ddo ε >, podemos tomr dos prticioes P 1 y P 2 tles que S( f,p 1 ) S( f,p 1 ) < ε/2 y S(g,P 2 ) S(g,P 2 ) < ε/2. Si P = P 1 P 2, tmbié S( f,p) S( f,p) < ε/2 y S(g,P) S(g,P) < ε/2, y de quí se deduce que S( f + g,p) S( f + g,p) < ε. Por l codició de itegrbilidd de Riem (teorem 6.1.8), f + g es itegrble. Además teemos que f + g ε = f ε/2 + S( f + g,p) S( f,p) + S(g,P) < = f + g + ε. g ε/2 < S( f,p) + S(g,P) ( f + g) S( f + g,p) f + ε/2 + g + ε/2 Es decir, pr culquier ε > result que f + g ε < ( f + g) < f + g + ε, y etoces ( f + g) = f + g. Not. El teorem dice que el cojuto R([,b]) formdo por tods ls fucioes itegrbles e [,b] es u espcio vectoril, y que l plicció R([,b]) R dd por f f es liel. El siguiete resultdo expres l mootoí de l itegrl co respecto l itegrdo: Teorem Se f y g fucioes itegrbles e [,b] tles que f (x) g(x) pr cd x [,b]. Etoces f g.

14 132 Cpítulo 6. L itegrl de Riem Demostrció. Si f g teemos que g f, y es imedito comprobr que S(g f,p) pr culquier prtició P del itervlo [,b]. Como demás g f es itegrble, se deduce que S(g f,p) (g f ) = g f. Not. E prticulr, si h es itegrble e [,b] y h, etoces h. Auque o es t secillo de demostrr, tmbié se cumple l mootoí estrict: si h es itegrble e [,b] y h(x) > pr todo x [,b], etoces h >. Como cosecueci, si dos fucioes f y g so itegrbles y se cumple que f (x) < g(x) e todo x [,b], podemos segurr que f < g. Teorem Si f es itegrble e [,b], etoces f es itegrble e [,b] y f f. Demostrció. Como f es itegrble, está cotd. Y por lo tto, l fució f tmbié está cotd. Dd u prtició teemos que dode, usdo l prte (c) del lem, P { = x < x 1 < x 2 <... < x 1 < x = b} P([,b]) S( f,p) S( f,p) = S( f,p) S( f,p) = i=1 i=1 (M i m i )(x i x i 1 ), (M i m i)(x i x i 1 ), M i m i = sup{ f (t) : t [x i 1,x i ]} íf{ f (t) : t [x i 1,x i ]} = sup{ f (t) f (s) : s,t [x i 1,x i ]} pr cd i. Aálogmete, M i m i = sup{ f (t) f (s) : s,t [x i 1,x i ]}. Como pr cd t y s l desiguldd trigulr ivers dice que f (t) f (s) f (t) f (s), result que M i m i M i m i pr cd i, y por tto que S( f,p) S( f,p) S( f,p) S( f,p) pr tod P. Por l codició de itegrbilidd de Riem result que si f itegrble tmbié lo es f. Ahor, como f f y f f, por los teorems y teemos que f f y b ( f ) = f f, luego f { } = máx f, f f. E cierto setido, este resultdo puede verse como u geerlizció de l desiguldd trigulr, cmbido sums por itegrles. Proto iremos comprobdo que es t útil como l propi desiguldd trigulr.

15 6.2. Propieddes básics de l itegrl de Riem 133 Corolrio Se f y g dos fucioes itegrbles e [,b]. Etoces ls fucioes máx( f,g), mí( f,g) so tmbié itegrbles e [,b]. Demostrció. Bst teer e cuet que máx{ f (x),g(x)} = 1 [ ] f (x) + g(x) + f (x) g(x), 2 mí{ f (x),g(x)} = 1 [ ] f (x) + g(x) f (x) g(x). 2 Teorem Se f y g fucioes itegrbles e [,b]. Etoces: ) f 2 es itegrble e [,b]; b) l fució producto f g es itegrble e [,b]. Demostrció. ) f está cotd, sí que existe K > tl que f (x) < K pr todo x [,b]. Etoces f (x) 2 K 2 pr todo x, luego f 2 tmbié está cotd. Ddo ε >, se P P(I) tl que S( f,p) S( f,p) < ε 2K. Si P { = x < x 1 < x 2 <... < x 1 < x = b}, etoces, como e el teorem 6.2.4, result que S( f,p) S( f,p) = i=1 r i(x i x i 1 ), dode r i = sup{ f (t) f (s) : s,t [x i 1,x i ]}, y álogmete S( f 2,P) S( f 2,P) = i r i (x i x i 1 ), dode Como pr cd s y t teemos que r i = sup{ f 2 (t) f 2 (s) : s,t [x i 1,x i ]}. f 2 (t) f 2 (s) = f (t) + f (s) f (t) f (s) ( f (t) + f (s) ) f (t) f (s) 2K f (t) f (s), result que r i 2Kr i pr cd i, y por tto que S( f 2,P) S( f 2,P) 2K ( S( f,p) S( f,p) ) < ε, y sí vemos que f 2 es itegrble, por l codició de itegrbilidd de Riem. b) Por el prtdo ), so itegrbles tto f 2 como g 2 y ( f + g) 2 (y que f + g es itegrble). Pero y sí vemos que f g es itegrble. f g = 1 2( ( f + g) 2 f 2 g 2), Observció. Los teorems y o dmite recíproco: u fució f puede ser o itegrble pese que f y f f = f 2 sí lo se. Como ejemplo podemos tomr, e I = [,1], l fució dd por f (x) = 1 si x Q y f (x) = 1 si x / Q, de form que f 2 = f = Itegrció e subitervlos Teorem Se f u fució defiid e u itervlo cerrdo y cotdo [,b]. Ddo c [,b], so equivletes: ) f es itegrble e [,b]; b) f es itegrble e [,c] y e [c,b].

16 134 Cpítulo 6. L itegrl de Riem Además, cudo f es itegrble e [,b] se tiee: c c) f = f + f. c Demostrció. b) = ) Como f es itegrble e [,c] y e [c,b], e prticulr f está cotd e [,c] y e [c,b]: e cosecueci, f está cotd e [,b]. Además, usdo l codició de Riem, l itegrbilidd de f grtiz que pr todo ε > existe u prtició P c de [,c] y u prtició P b c de [c,b] tles que S( f,p c ) S( f,p c ) < ε 2, S( f,pb c ) S( f,p b c ) < ε 2. Cosiderdo hor l prtició P b de [,b] obteid l tomr todos los putos de P c y los de P b c, se sigue directmete plicdo l defiició que luego S( f,p b ) = S( f,p c ) + S( f,p b c ), S( f,p b ) = S( f,p c ) + S( f,p b c ), f S( f,p b ) = S( f,p c ) + S( f,pc b ) < S( f,p c ) + ε 2 + S( f,pb c ) + ε c 2 f + ε 2 + f + ε 2. Es decir, c f < f + f + ε c pr culquier ε >. De quí se obtiee que c Aálogmete, c f f + f. c Es decir, f S( f,p b ) = S( f,p c ) + S( f,pc b ) > S( f,p c ) ε 2 + S( f,pb c ) ε c 2 f ε 2 + f ε 2. pr culquier ε >. De hí se deduce que Como f f, result lo que os dice que f es itegrble e [,b], co c f > f + f ε c c f f + f. c c f = f = f + f, c c f = f + f. c c

17 6.2. Propieddes básics de l itegrl de Riem 135 ) = b) Si f es itegrble e [,b], pr cd ε > existirá u prtició Q b del itervlo [,b] tl que S( f,q b ) S( f,q b ) < ε. Se P b l prtició de [,b] obteid l ñdir Q b el puto c (si es que o figur y e Q b ), y descompogmos P b e seds prticioes P c y Pc b de [,c] y de [c,b], respectivmete. Se tiee S( f,p c ) S( f,p c ) + S( f,p b c ) S( f,p b c ) = S( f,p b ) S( f,p b ) S( f,q b ) S( f,q b ) < ε, y como S( f,p c ) S( f,p c ) y S( f,p b c ) S( f,p b c ) so o egtivos, cd uo de ellos será meor o igul que su sum, por lo que S( f,p c ) S( f,p c ) < ε, S( f,p b c ) S( f,p b c ) < ε, y por cosiguiete f es itegrble e [,c] y e [c,b]. Corolrio Se f : [,b] R cotd, y se = c < c 1 < c 2 <... < c = b. Se cumple que f es itegrble e [,b] si y solo si lo es e [c i 1,c i ] pr cd i = 1,...,, y e tl cso f = i=1 ci c i 1 f. Demostrció. Aplicr iducció sobre y el teorem El siguiete resultdo permite mplir ligermete l oció de itegrl y dr ejemplos dicioles de fucioes itegrbles. Lem Se f y g dos fucioes defiids e u itervlo cerrdo y cotdo [,b] que coicide excepto posiblemete e y b, es decir, tles que f (x) = g(x) pr todo x (,b). Etoces f es itegrble e [,b] si y solo si lo es g. Si so itegrbles, f = g. Demostrció. Bst probr que l fució h = f g es u fució itegrble e [, b] co itegrl ul. Ahor bie: h se ul e (,b), por lo que pr cd prtició P {t = < t 1 < < t 1 < t = b} será S(h,P) = máx{h(),} (t 1 ) + máx{h(b),} (b t 1 ), S(h,P) = mí{h(),} (t 1 ) + mí{h(b),} (b t 1 ). Ddo ε >, tomemos B > máx{ h(), h(b) } y P ε de mer que Result t 1 < ε 2B, h S(h,P ε ) < B ε 2B + B ε 2B = ε, b t 1 < ε 2B. h S(h,P ε ) > B ε 2B B ε 2B = ε, luego h h. Por lo tto, h = h =, es decir, h es itegrble e [,b] co itegrl ul.

18 136 Cpítulo 6. L itegrl de Riem Corolrio Se g u fució itegrble e [,b], y se f u fució igul g excepto e u cojuto fiito de putos de [,b]. Etoces f es itegrble, y f = g. Demostrció. Por iducció sobre el úmero de putos, co yud del lem. Defiició U fució f : [,b] R se dice cotiu trozos si existe u prtició = t < t 1 < t 2 <... < t 1 < t = b tl que f es cotiu e cd itervlo (t i 1,t i ) y existe y so reles los límites lterles e cd t i. U fució f : [,b] R se dice moóto trozos si existe u prtició = t < t 1 < t 2 <... < t 1 < t = b tl que f es moóto (de culquier clse) e cd itervlo (t i 1,t i ). Por ejemplo, l fució de l figur o es cotiu i moóto, pero sí cotiu trozos y moóto trozos. Fució cotiu trozos y moóto trozos b Teorem Si f es u fució cotiu trozos o u fució cotd y moóto trozos e [,b], etoces f es itegrble e [,b]. Demostrció. Si f es cotiu trozos y t i so como e l defiició, pr cd i existe u extesió cotiu (y por tto itegrble) de f (ti 1,t i ) l itervlo [t i 1,t i ]. Est extesió es itegrble e el itervlo [t i 1,t i ], por ser cotiu, y coicide co f e (t i 1,t i ), luego f es itegrble e [t i 1,t i ], por el lem Por el corolrio 6.2.8, result que f es itegrble e [,b]. Si f es moóto trozos y cotd y t i so como e l defiició, etoces existe y so reles los límites lterles e cd t i. L demostrció sigue de mer álog l de fucioes cotius trozos. No obstte, hy fucioes que so itegrbles e u itervlo [,b] y o so cotius trozos i moótos trozos. U ejemplo es l fució defiid e [,1] medite { 1, si x =, f (x) = se 1 x, si < x 1, que vimos que er itegrble e [,1].

19 6.2. Propieddes básics de l itegrl de Riem Teorems de l medi (o del vlor medio) del cálculo itegrl Teorem Se f u fució itegrble e el itervlo cerrdo y cotdo [,b] y se m, M tles que pr todo x [,b] se cumpl Etoces el úmero m f (x) M. 1 b f, b deomido promedio itegrl de f e [,b], está e [m,m], es decir m 1 f M. b Demostrció. Puesto que m f M, por l mootoí de l itegrl y como b >, podemos dividir pr obteer m(b ) = m f M = M(b ), m 1 f M. b Cudo f es cotiu e [,b], su promedio itegrl está e el rgo de vlores de f : Corolrio (teorem de l medi del cálculo itegrl). Se f u fució cotiu (y por tto itegrble) e el itervlo cerrdo y cotdo [,b]. Existe etoces l meos u puto x [,b] tl que 1 b f = f (x ). b Demostrció. Por el teorem de Weierstrss el cojuto { f (x) : x [,b]} tiee míimo y máximo, los que llmmos m y M respectivmete. Se cumple sí que Es decir, m(b ) = m f M = M(b ). m 1 f M. b Por el teorem de Drboux (o de los vlores itermedios), existe x [,b] e el que f tom dicho vlor etre m y M, y sí f (x ) = 1 b f. Ejemplo. Se 1 < < b. Pr cd x [,b], 1 x + x x + 1 x x = = x 1 x 1 1 Por lo tto, 1 1 x + x b x x dx (6.2) 1

20 138 Cpítulo 6. L itegrl de Riem E lgus ocsioes, o es ecesrio clculr el vlor excto de u itegrl, sio que bst co estimcioes proximds. Por ejemplo, de (6.2) se deduce que +1 x + x lím + x dx = 1. x El corolrio puede mirrse como u lectur ivers del teorem del vlor medio del cálculo diferecil. De hecho, otr demostrció del corolrio cosiste e plicr el teorem del vlor medio l fució F : [,b] R dd por F(x) = x f, que es derivble y cuy derivd es F (x) = f (x) (segú probremos e el siguiete prtdo). Teorem Se f u fució itegrble e el itervlo cerrdo y cotdo [,b], se g u fució o egtiv, itegrble e el itervlo cerrdo y cotdo [,b] y se m, M tles que pr todo x [,b] se cumple m f (x) M. Etoces existe µ [m, M] tl que f g = µ g (el úmero µ es u especie de promedio poderdo de f respecto l desidd de ms g). Demostrció. Puesto que g, se verific mg f g Mg. Tods ests fucioes so itegrbles, luego podemos poer m g f g M g. Si g =, culquier µ [m,m] cumple l iguldd del eucido. Si g, etoces g >, y bst tomr como µ el cociete etre f g y g. Corolrio Se f u fució cotiu (y por tto itegrble) e el itervlo cerrdo y cotdo [,b] y se g u fució o egtiv, itegrble e [,b]. Existe etoces l meos u puto x [,b] tl que f g = f (x ) g. Demostrció. L fució f tiee máximo y míimo bsolutos sobre [,b], por el teorem de Weierstrss. Si el máximo y el míimo se lcz e c y d, respectivmete, podemos plicr el teorem co m = f (c) y M = f (d). Por el teorem de Drboux, hy l meos u puto x [,b] tl que f (x ) = µ, dode µ es el vlor del teorem Proposició (segudo teorem de l medi del cálculo itegrl). Se f y g fucioes itegrbles e u itervlo cerrdo y cotdo [,b]. ) Si g y es o creciete, existe x [,b] tl que x f g = g() f.

21 6.3. Teorems fudmetles del cálculo itegrl 139 b) Si g y es o decreciete, existe x [,b] tl que c) Si g es moóto, existe x [,b] tl que Demostrció. Ver [GARAY-CUADRA-ALFARO, pág. 212]. f g = g(b) f. x x f g = g() f + g(b) f. x 6.3. Teorems fudmetles del cálculo itegrl Regl de Brrow (primer teorem fudmetl del cálculo itegrl) Teorem (regl de Brrow). Se f u fució itegrble e u itervlo [,b] y supogmos que existe otr fució g cotiu e [,b], derivble e (,b) y tl que g (x) = f (x) pr todo x (,b). Etoces, f = g(b) g(). Demostrció. Se P u prtició culquier de [,b], Segú el teorem del vlor medio, P { = x < x 1 < x 2 <... < x 1 < x = b}. g(b) g() = g(x ) g(x ) = = i=1 dode c i (x i 1,x i ) pr cd i. Puesto que se deduce que i=1 g (c i )(x i x i 1 ) = (g(x i ) g(x i 1 )) i=1 f (c i )(x i x i 1 ), íf{ f (t) : t [x i 1,x i ]} f (c i ) sup{ f (t) : t [x i 1,x i ]}, S( f,p) g(b) g() S( f,p). Como esto es cierto pr culquier prtició P, tomdo supremos e ífimos result que f g(b) g() f. Pero sbemos que f es itegrble, sí que f = f = f. Por lo tto, f = g(b) g().

22 14 Cpítulo 6. L itegrl de Riem L regl de Brrow os dice cómo clculr l itegrl de u fució f itegrble etre y b: si g es cotiu e [,b] y es u primitiv de f e (,b), etoces f (x)dx = g(b) g(). L difereci g(b) g() suele escribirse como g(x) x=b x= f (x)dx = g(x). Es decir: x=b. x= Ejemplo. L fució rc se es cotiu, luego itegrble, e el itervlo [, 1]. Clculdo por prtes u primitiv, ecotrmos l fució xrcsex + 1 x 2, cotiu e [,1] y derivble clrmete e el itervlo [,1), co derivd rcsex e ese itervlo; meos clro es lo que sucede e el puto 1, pero segú el teorem o ecesitmos sberlo pr grtizr que 1 [ ] [ ] rcsexdx = 1 rcse rcse = π 2 1. Si plicmos l regl de Brrow pr clculr u itegrl, puede ser coveiete utilizr los resultdos empledos e el cálculo de primitivs, como el teorem de itegrció por prtes que cbmos de citr o el teorem de cmbio de vrible. Ambos tiee su versió pr itegrles. Vemos primero l de itegrció por prtes: Teorem (itegrció por prtes). Si u y v so fucioes cotius e [, b] derivbles e (,b) y sus derivds u y v so itegrbles e [,b], etoces uv = u(b)v(b) u()v() u v. Demostrció. Notemos que u v y uv so itegrbles porque lo so u,v (ests por hipótesis) y tmbié u y v (porque so cotius). Etoces tmbié es itegrble (uv) = u v + uv, y por l regl de Brrow uv + u v = (uv) = u(b)v(b) u()v(), de dode obteemos l fórmul del eucido. Observció. Este resultdo o se puede utilizr e el ejemplo terior; por qué? Ejemplo. Vemos que, pr culesquier m y eteros o egtivos, 1 x m (1 x) dx = m!! (m + + 1)!. Probémoslo por iducció sobre. Primero vemos que l fórmul es válid pr = y culquier m, usdo l regl de Brrow: 1 x m dx = xm+1 x=1 m + 1 = 1 x= m + 1 = m!! (m + + 1)!.

23 6.3. Teorems fudmetles del cálculo itegrl 141 Ahor, si N y supoemos que l fórmul es ciert pr 1 y culquier m, itegrdo por prtes cocluimos que lo es pr y culquier m: pr ello tommos u(x) = (1 x) y v(x) = x m+1 /(m+1), co lo que 1 que por hipótesis de iducció es 1 x m (1 x) dx = u(x)v (x)dx = u(x)v(x) x=1 1 u (x)v(x)dx x= = 1 x m+1 (1 x) 1 dx, m + 1 m + 1 (m + 1)!( 1)! ( (m + 1) + ( 1) + 1 )! = m!! (m + + 1)!. Corolrio (fórmul de Tylor co resto itegrl). Se I u itervlo, c u puto de I, f u fució defiid e I, N. Supogmos que f es derivble e I hst el orde y que f () es cotiu e I. Etoces pr cd x I es f (x) = f (c) + f (c)(x c) + f (c) 2 (x c)2 + + f ( 1) (c) (x c) 1 ( 1)! 1 x + (x t) 1 f () (t)dt. ( 1)! c Demostrció. Bst itegrr por prtes reiterdmete (ver [BARTLE-SHERBERT, teor , pág. 281]). 1 x (x t) 1 f () (t)dt ( 1)! c Cotiuidd y derivbilidd de u itegrl co extremo de itegrció vrible El teorem (regl de Brrow) viee decir que l itegrr l derivd de f recupermos f (y que f (x) = f () + x f ). Pr que podmos decir del todo que itegrr y derivr so procesos iversos, l pregut turl serí: podemos decir que derivdo u fució dd por l itegrl de f recupermos f? Es tto como decir: podemos expresr u primitiv de f medite itegrles de f? L respuest es firmtiv, como vmos comprobr. Coveio. Si > b y f es itegrble e [b,], escribimos Si = b, escribimos f =. f = f. b Notemos que, co este coveio, l regl de Brrow vle tmbié pr itegrles f co b. Además, l relció etre ls itegrles de f y de f es e geerl f f

24 142 Cpítulo 6. L itegrl de Riem (si < b el térmio de l derech es f, como hst hor). E cuto l mootoí, otemos que si f g so fucioes itegrbles podemos segurr que f y que si > b est desiguldd es b f b g. Por último, si ls itegrles tiee setido etoces c f + f = f c culquier que se el orde etre,b y c. Teorem (teorem fudmetl del cálculo itegrl (segudo)). Se f u fució itegrble e [, b]. Defimos F : [, b] R medite Etoces: ) F es cotiu e [,b]; F(x) = x g, b) si f es cotiu e lgú x [,b], etoces F es derivble e x y f. F (x ) = f (x ). Demostrció. ) L fució f es itegrble, sí que está cotd; se K > tl que f (x) K pr todo x [,b]. Vemos que pr cd x,y [,b], F(x) F(y) K x y. Si x = y, o hy d que probr. Si o, podemos supoer que x > y, por ejemplo. Etoces, F(x) F(y) = x y f (t)dt x f (t)dt = x f (t)dt f (t) dt K x y, como querímos probr. Ahor, ddo ε >, teemos: pr cd x,y [,b] co x y < ε/k, se cumple que F(x) F(y) < ε. Es decir, l fució F es cotiu e [,b] (de hecho hemos probdo que es uiformemete cotiu). b) Supogmos que f es cotiu e lgú x [,b]. Se trt de probr que y y Tto si h > como si h <, F(x + h) F(x ) lím = f (x ). h h luego x +h x x +h F(x + h) F(x ) = f (t)dt f (t)dt = f (t)dt, x F(x + h) F(x ) h Etoces, f (x ) = 1 h x +h x F(x + h) F(x ) h f (t)dt 1 h x +h x f (x ) = 1 h x +h x f (x )dt = 1 h x +h x [ f (t) f (x )]dt. [ f (t) f (x )]dt.

25 6.3. Teorems fudmetles del cálculo itegrl 143 Se ε >. Como f es cotiu e x, existe lgú δ > tl que f (t) f (x ) < ε, si t x < δ. Se hor h < δ. Si h >, etoces F(x + h) F(x ) f (x ) h = 1 x +h h [ f (t) f (x )]dt 1 x +h ε dt = ε; h x y si h <, F(x + h) F(x ) h E resume, f (x ) = 1 h si h < δ. Hemos probdo que, e efecto, x x x +h F(x + h) F(x ) h [ f (t) f (x )]dt 1 h f (x ) ε, F(x + h) F(x ) lím = f (x ). h h Relmete, se cumple u resultdo más geerl: x x +h ε dt = ε. Teorem Se f u fució defiid e u itervlo o trivil I culquier, que se itegrble e culquier itervlo cerrdo y cotdo coteido e I. Fijdo u puto I, defimos F : I R medite x F(x) = f. Etoces: ) F está bie defiid y es cotiu e todo I; b) e cd puto x I dode f se cotiu, F es derivble y F (x ) = f (x ). Demostrció. Pr putos l derech de, bst plicr el teorem l fució F(x) = x f, x [,b], pr lgú b I, b >. Y pr los putos l izquierd de, bst cosiderr l fució G(x) = x b f, x [b,], pr lgú b I, b < y teer e cuet que F(x) = G(x) G(). Corolrio Tod fució f cotiu e u itervlo o trivil I culquier dmite u primitiv e dicho itervlo. Demostrció. Bst observr que, por ser cotiu, f es itegrble e cd itervlo cerrdo y cotdo coteido e I, y si fijmos u puto I y cosidermos l fució F : I R dd por por el teorem result que F = f e I. F(x) = x f,

26 144 Cpítulo 6. L itegrl de Riem Aplicció. Podemos costruir l fució logrítmic como l primitiv de l fució 1/x que se ul pr x = 1 (ver Apédice). Corolrio Se f u fució defiid e u itervlo o trivil I culquier, itegrble e culquier itervlo cerrdo y cotdo coteido e I y se α : J I derivble e x J. Ddo I, se G: J R l fució dd por α(x) G(x) = f. Si f es cotiu e α(x ), etoces G es derivble e x, co Demostrció. Si defiimos F e J como F(x) = G (x ) = α (x ) f ( α(x ) ). x f, x J, etoces G = F α, y por l regl de l cde (teorem 5.1.5) y el teorem fudmetl del cálculo itegrl (teorem 6.3.4), result que Ejemplo. Se F : [,+ ) R dd por F(x) = G (x ) = α (x )F ( α(x ) ) = α (x ) f ( α(x ) ). 2x x e t2 dt. Nos propoemos hllr sus extremos reltivos y bsolutos y sus putos de iflexió. No podemos expresr u primitiv de e t2 como combició de fucioes elemetles, y etoces o podemos plicr l regl de Brrow (teorem 6.3.1) pr clculr l itegrl y obteer otr expresió de F. Pero sí que podemos obteer u expresió mejble de l derivd de F, grcis l teorem fudmetl del cálculo itegrl (teorem 6.3.4) y l corolrio 6.3.7, que podemos plicr porque e t2 es cotiu y 2x es derivble. Como F(x) = 2x e t2 dt x e t2 dt, result que pr culquier x, F (x) = 2e 4x2 e x2 = e x2 (2e 3x2 1) = e x2 (e log2 3x2 1). Vemos que F tiee el mismo sigo que log2 3x 2, luego es positiv e [, (log2)/3) y egtiv e ( (log2)/3,+ ). Por tto F es creciete e [, (log2)/3] y decreciete e [ (log2)/3,+ ), y lcz su máximo bsoluto e (log2)/3. Su míimo bsoluto lo tiee e, y que F() = y, pr culquier x >, F(x) es positiv por ser l itegrl de u fució positiv e el itervlo o trivil [x,2x]. De l expresió de F obteemos que F (x) = 16xe 4x2 ( 1 8 e3x2 1) = 16xe 4x2 (e 3x2 3log2 1), de dode su sigo es el de x 2 log2, y deducimos que F es cócv e [, log2] y covex e [ log2,+ ). Teemos u úico puto de iflexió e log2. Es fácil ver, demás, que el límite de F e + es. Bst cotr el vlor de F usdo l mootoí de l itegrl: como e t2 es decreciete e [,+ ), pr todo t e el itervlo [x,2x] se cumple que e t2 e x2, y etoces 2x 2x F(x) = e t2 dt e x2 dt = xe x2. x x Por l regl de L Hospitl vemos que lím x x + e x2 =, luego tmbié lím F(x) =. x +

27 6.3. Teorems fudmetles del cálculo itegrl 145 Teorem (cmbio de vrible). Se u u fució derivble e u itervlo bierto J tl que u es cotiu y se I u itervlo bierto tl que u(j) I. Si f es cotiu e I, etoces f u es cotiu e J y u(b) f (u(x))u (x)dx = f (t) dt (6.3) u() pr culesquier, b J. Demostrció. Se F u primitiv de f e I. Etoces (F u) = ( f u)u, y como f y ( f u)u so itegrbles e itervlos cerrdos y cotdos (porque so cotius), por l regl de Brrow result que u(b) f = F(u(b)) F(u()) = (F u)(b) (F u)() = ( f u)u. u() Ejemplo. Clculemos el vlor de Poemos x 2 dx. 4 x 2 3 dx = 2 1 (x/2) 2 3 dx = (x/2) dx (hcemos el cmbio de vrible t = x/2 segú l fórmul (6.3), de izquierd derech) 3/2 = 4 1 t 2 dt 3/2 (hor hcemos el cmbio de vrible t = sey segú l fórmul (6.3), de derech izquierd) π/3 = π/3 = 4 π/3 1 se 2 ycosydy = π/3 π/3 π/3 π/3 4 cosy cosydy = π/3 2(1 + cos2y)dy = (2y + se2y) y=π/3 = 4π y= π/ cos 2 ydy Ejemplo (itegrles de fucioes pres e impres). Si f es pr e itegrble e [,], etoces f = 2 f. Esto se puede demostrr prtir de l defiició de itegrl o medite l codició de itegrbilidd de Riem (teorem 6.1.8). El sigificdo geométrico es clro, ddo que l gráfic de f es simétric respecto de x =. E el cso prticulr de que f se cotiu, est propiedd se puede demostrr de mer más secill co u cmbio de vrible, y que f = f + f y Aálogmete, si f es impr etoces f (x)dx t= x = f ( t)dt = f ( t)dt = f (t)dt. f =.

28 146 Cpítulo 6. L itegrl de Riem 6.4. Apédice: costrucció de ls fucioes logrítmic y expoecil Y hemos usdo ls propieddes de l fució logrítmic e ejemplos y ejercicios. Ahor dispoemos de ls herrmiets ecesris pr poder costruirl, probdo co todo rigor su existeci y sus propieddes básics. Recordemos que ls potecis de expoete rciol se defie e R + = (,+ ) de l siguiete mer: x = x x x ( veces) si N, y x 1/ es l fució ivers. Ddo m otro úmero turl, x m/ = (x 1/ ) m, y por último x = 1 y x = 1/x. Result que l derivd de l fució dd por x es x 1, de mer que u primitiv de x e R + 1 es +1 x+1, pero esto solo vle si 1. Como x 1 = 1/x es cotiu e R +, podemos usr el teorem fudmetl del cálculo itegrl (teorem 6.3.4) pr defiir u primitiv e este cso ( = 1), l dd por x c (1/t)dt, culquier que se c >. Elegimos c = 1, y l fució que result cumple todos los requisitos que buscmos pr el logritmo eperio. Proposició L fució L : (, + ) R dd por x 1 L(x) = 1 t dt está bie defiid, es estrictmete creciete (luego iyectiv) y supryectiv. Es simismo derivble e todos los putos de su domiio y pr cd x (,+ ) e prticulr, es cócv e su domiio. L (x) = 1 x ; y = 1 x 1 x L(x) es el áre de l figur Demostrció. L fució f : (,+ ) R dd por f (t) = 1 t es cotiu, luego L está bie defiid, es derivble e cd x (,+ ) y su derivd es l fució L (x) = f (x) = 1 x. Puesto que L = f es estrictmete positiv, L es estrictmete creciete. Como es cotiu (porque es derivble), su imge L ( (,+ ) ) es u itervlo, y pr ver que este itervlo es todo R bstrá probr que l fució L o está cotd superior i iferiormete. Ahor bie: ddos > y N, el cmbio de vrible t = u permite escribir L( 1 ) = 1 t dt = u u du = du = L(). 1 u Tomdo > 1, como L() > L(1) =, se deduce que L o está cotd superiormete; tomdo < < 1, como L() < L(1) =, se deduce que L o está cotd iferiormete.

29 6.4. Apédice: costrucció de ls fucioes logrítmic y expoecil 147 Co est iformció es suficiete pr comprobr que su gráfic tiee l form que y coocemos (complétese el estudio de l fució de l mer hbitul). E cuto l propiedd esecil del logritmo de trsformr productos e sums, teemos: Proposició Pr culesquier x, y (, + ), l fució L cumple L(xy) = L(x) + L(y). Demostrció. Utilizdo el cmbio de vrible t = u/x, xy 1 x L(xy) L(x) = 1 t dt 1 xy 1 t dt = 1 y x t dt = x du y 1 u x = du 1 u = L(y). Observció. Tmbié puede drse otr demostrció usdo solo el vlor de l derivd: fijdo rbitrrimete y >, se f y l fució dd por f y (x) = L(xy). Etoces f y(x) = y L (xy) = y 1 xy = 1 x = L (x) pr todo x, luego f y (x) = L(x) +C, pr ciert costte C, e todo x >. Si tommos x = 1 vemos que C = L(y). Observció. L sucesió ( ) es covergete, y deotdo su límite por e, result L(e) = 1. E efecto: [( L ) ] ( = L ) = L( ) L(1) L (1) = 1 1/ 1 = 1; l ( fució ivers de L es cotiu, porque L es estrictmete creciete y cotiu, sí que l sucesió ) tiee límite y ( [( = L ) 1 L ) ] L 1 (1). Es fácil, igulmete, obteer ls equivlecis coocids y el desrrollo de Tylor-Mcluri pr L(1 + x). Lo dejmos como ejercicio pr el lector. Por último, l fució ivers L 1 : R (,+ ), tiee tods ls propieddes dmitids pr l fució e x, de modo que teemos quí u mer de itroducir rigurosmete l fució expoecil. Defiició Se llm fució expoecil l fució exp : R R defiid por exp(x) = L 1 (x). Así pues, exp(x) = y si y solo si L(y) = x; e prticulr, exp() = 1 y exp(1) = e. Suele escribirse e x e lugr de exp(x). Proposició ) L fució expoecil es derivble (idefiidmete) y su derivd es ell mism: pr cd x R, exp (x) = exp(x). b) e = 1. c) Pr cd x R, d) Ddos x, y R, e x+y = e x e y. 1 e x = e x y, e prticulr, e x. e) Ddos N y x R, e x es el producto de fctores igules e x : e x = e x e x.

30 148 Cpítulo 6. L itegrl de Riem f) Pr cd x R, e x >. g) L fució expoecil es estrictmete creciete y covex. E prticulr, es iyectiv. h) Se tiee lím x + ex = +, lím x ex =. E cosecueci, el cojuto imge de l fució expoecil es (,+ ). Demostrció. ) Como L es derivble e iyectiv e el itervlo (,+ ), su ivers exp es derivble, segú el teorem de derivció de l fució ivers. Además, exp (x) = 1 L (exp(x)) = 1 = exp(x), x R. 1/exp(x) Es decir, l derivd de l fució exp es ell mism, luego result idefiidmete derivble (igul tods sus derivds sucesivs). b) Obvio. c) Se f : x R f (x) = e x e x R. Derivdo de cuerdo co ), f (x) = e x e x e x e x =, luego f tom costtemete el vlor f () = 1. d) Fijdo y, se f : x R f (x) = ex+y e x R. Teiedo e cuet ), f (x) = ex+y e x e x+y e x (e x ) 2 =, luego f tom costtemete el vlor f () = e y. e) Se prueb por iducció sobre utilizdo d). f) e x = ( e x/2) 2 y ex. g) L derivd primer y l derivd segud de l fució expoecil (que so igules l fució expoecil) so estrictmete positivs. h) Puesto que l fució expoecil es estrictmete creciete, e = e 1 > e = 1, luego líme = +. De uevo por l mootoí de l fució expoecil, esto bst pr probr que lím x + ex = +. Filmete, 1 lím x ex = lím y + e y = lím y + e y =. Del teorem de Drboux (o de los vlores itermedios) se sigue que el cojuto imge de l fució expoecil es todo el itervlo (,+ ). E est demostrció se observ que tods ls propieddes básics de l fució expoecil se deduce relmete de ) y b), que e este setido puede ser cosiderds sus propieddes fudmetles.

31 6.5. Apédice: cálculo de áres, logitudes y volúmees Apédice: cálculo de áres, logitudes y volúmees Auque o vmos defiir co rigor qué es u curv pl, meudo viee dd como l gráfic de u fució f : I R, dode I es u itervlo y se pide que f se cotiu, o cotiu trozos, o derivble... Est form de represetr u curv pl se llm explícit. Por ejemplo, l gráfic de l fució y = x 2 es u prábol. Tmbié puede veir defiids e form prmétric, es decir, como putos de l form (x(t),y(t)), dode x : I R, y : I R so dos fucioes e I es u itervlo. Por ejemplo, l circufereci co cetro e el orige de coordeds y rdio 1 se puede expresr e form prmétric como x = cost, t [,2π] y = set, Otr mer de describir u curv pl es e coordeds polres: si represetmos por ρ el rdio y por θ u rgumeto de u puto del plo, los putos que cumple ρ = 1 so l circufereci co cetro e el orige de coordeds y rdio 1. L ecució ρ = θ es l de u espirl. E geerl, u curv e coordeds polres es u relció ρ = ϕ(θ). U curv e form explícit (y = f (x)) se puede expresr siempre e form prmétric: x = t, y = f (t). U curv e form polr (ρ = ϕ(θ)) tmbié se puede expresr siempre e form prmétric: x = ϕ(θ)cosθ, y = ϕ(θ)seθ. E cmbio, o tod curv e form prmétric se puede expresr e form explícit i e form polr. Y o tod curv e form explícit se puede poer e form polr i vicevers. A cotiució recogemos, si demostrció, diverss fórmuls que permite clculr l logitud de u curv pl y el áre de u superficie o el volume de u cuerpo socidos curvs pls. E cd cso se supoe que ls fucioes que prece so cotius trozos, o derivbles trozos, segú hg flt pr que ls itegrles esté bie defiids. Áre de u figur pl y = f (x) y = f (x) b El áre de l figur es f (x)dx, si f (x) pr todo x [,b] b El áre de l figur es f (x) dx

32 15 Cpítulo 6. L itegrl de Riem y = f (x) y = g(x) b El áre de l figur es f (x) g(x) dx (x(t ),y(t )) = (x(t 1 ),y(t 1 )) β ρ = ρ(θ) α El áre de l figur es t 1 t y(t)x (t)dt, si l curv es cerrd El áre de l figur es 1 β 2 α ρ(θ)2 dθ Logitud de u curv pl y = f (x) (x(t 1 ),y(t 1 )) b (x(t ),y(t )) L logitud de l curv es 1 + f (x) 2 dx L logitud de l curv es t 1 t x (t) 2 + y (t) 2 dt

33 6.5. Apédice: cálculo de áres, logitudes y volúmees 151 β ρ = ρ(θ) α El áre de l figur es β α ρ(θ) 2 + ρ (θ) 2 dθ Volume de u cuerpo de revolució y = f (x) y = f (x) b b El volume del cuerpo geerdo l girr l figur lrededor del eje x es π f (x)2 dx El volume del cuerpo geerdo l girr l figur lrededor del eje x es 2πx f (x) dx, si,b ρ = ρ(θ) (x(t 1 ),y(t 1 )) (x(t ),y(t )) β α El volume del cuerpo geerdo l girr l figur lrededor del eje x es t 1 t πy(t) 2 x (t)dt, si y(t) pr todo t [t,t 1 ] El volume del cuerpo geerdo l girr l figur lrededor del eje x es β α 2π 3 ρ(θ)3 seθ dθ, si α β π Volume de u cuerpo de seccioes coocids