CALCULO INTEGRAL TEMAS PORQUE ESTUDIAR. Escribir una cita aquí. Teorema fundamental del cálculo. Métodos de integración e integral indefinida.

Transcripción

1 CALCULO INTEGRAL PORQUE ESTUDIAR CALCULO INTEGRAL l itegrl defiid es l herrmiet pr clculr y defiir diverss mgitudes, como áres, volúmees, logitudes de tryectoris curvs, proiliddes, promedios, cosumo de eergí, pesos de diferetes ojetos, fuerzs del gu cotr ls compuert de u pres, por mecior lgus. TEMAS Teorem fudmetl del cálculo. Escriir u cit quí Métodos de itegrció e itegrl idefiid. Ju López Apliccioes de l itegrl. Series.

2 E este tem: Teorem Fudmetl del Cálculo, estudiremos ls sums de Riem, herrmiet útil pr relcior ls itegrles defiids co lgus pliccioes, TEMA 1 estleceremos l relció etre el cálculo itegrl y el cálculo diferecil plicremos los teorems y propieddes de l itegrl pr evlur itegrles defiids. Sutems Medició proximd de figurs morfs. Notció sumtori. Sums de Riem. Defiició de itegrl defiid. Teorem de existeci. Propieddes de l itegrl defiid. Sutems, cotiució Fució primitiv. Teorem del vlor itermedio. Teorem fudmetl del cálculo. Cálculo de itegrles defiids ásics. L itegrl, l igul que l derivd surge como u límite de ls fis proximcioes sucesivs l ctidd de iterés. L ide detrás de l itegrl es que podemos clculr tles ctiddes descompoiédols e prtes pequeñs y luego sumdo ls cotriucioes de cd prte. Coforme el úmero de prtes tiede ifiito, el límite d como resultdo u itegrl defiid.

3 Medició de áre de figurs morfs Por equipos, determie el áre proximd de ls dos figurs morfs presetds. Propog u cot superior y u iferior pr ms figurs. 2. Notció sumtori Sums fiits y l otció sigm Presetremos u otció coveiete pr l sum de u gr úmero de térmios. Después de defiir l otció y lgus de sus propieddes, veremos que ocurre cudo el úmero de térmios tiede ifiito. símolo de sumtori k ídice k iici e 1 vlor fil del ídice k = = !+ 1 + k es u fórmul pr el k-ésimo térmio

4 Expresr l sum térmio por térmio y oteer el vlor umérico = k 2 f (1)+ f (2)+ f (3)+!+ f (100) = f (k) k=4 k ( 1) k k k k +1 k 2 k 1 Expresr l sum e otció sigm Regls lgerics pr sums fiits ( ) + ( 2 1+1) + ( ) + ( 2 3+1) + ( ) 4 ( 2k +1) = k=0 = ( 2k 1) ( ) + ( 2 2 1) + ( 2 3 1) + ( 2 4 1) + ( 2 5 1) = = ( 2k + 7) = 2( 3)+ 7 k= 3 ( ) + ( 2( 2)+ 7) + ( 2( 1)+ 7) + ( ) + ( ) = Regl de l sum 2. Regl de difereci 3. Regl del múltiplo costte 4. Regl del vlor costte ( k + k ) = k + k ( k k ) = k k c k = c c = c k cuátos térmios tiee u sumtori?

5 Algus sums importtes Tre, ejercicios Thoms Los primeros eteros Los primeros eteros l cudrdo Los primeros eteros l cuo k = +1 2 ( ) k 2 = +1 ( )( 2 +1) 6 ( ) k 3 = Supogmos l fució y=1-x 2 e el itervlo [0,1]. Y dividmos el itervlo e segmetos del mismo tmño. 0 1 Δ x = 1 0 = 1 luego, clculemos l sum de los productos l fució evlud e cd puto (excepto el primero) por x L sum fué: f i 1 ( ) ( ) = Ahor vemos que ps cudo el úmero de suitervlos crece idefiidmete, lim

6 Tre pr mñ: Repetir el ejercicio, clculdo l sum de los productos l fució evlud e cd puto (excepto el último) por x Y comprr resultdos. Sums de Riem Se preset l ide de l sum de Riem, l cul suyce e l teorí de l itegrl defiid que se preset e el siguiete sutem. Sums de Riem - Iicimos co u fució f defiid e u itervlo cerrdo [,]. - L fució puede teer vlores tto positivos como egtivos e el itervlo. L itegrl defiid Se dice que u úmero J es l itegrl defiid de f e [,], dode J es el límite de ls sums de Riem f (c k ) Δ k si pr cd ε>0 existe u δ>0 tl que pr tod prtició P de [,] co P <δ y culquier elecció de c k se tiee que f (c k ) Δ k J < ε

7 L itegrl defiid E corto se tiee que si : J = lim P 0 f (c k ) Δ k L itegrl defiid Y decimos que cudo l codició de l defiició se cumple, ls sums de Riem de f e [,] coverge l itegrl defiid, y se escrie si importr l elecció que se hg de l prtició, l itegrl defiid existe J = f ( x )dx J = lim f (c k ) Δ k = f ( x )dx P 0 y f es itegrle e [,] El símolo de l itegrl defiid símolo de l itegrl límite superior límite iferior l fució es el itegrdo f ( x )dx x es l vrile de itegrció L vrile de itegrció El vlor de l itegrl defiid e u itervlo prticulr depede de l fució, y o de l letr que se elij pr represetr l vrile idepediete. f (x)dx f (t)dt f (u)du L vrile de itegrció es u vrile mud y represet úmeros reles e el itervlo [,]

8 Itegrilidd de fucioes Si u fució f es cotiu e el itervlo [,], o sí tiee lo más u úmero fiito de discotiuiddes de slto e el itervlo, etoces l itegrl defiid f (x)dx existe y f es itegrle e [,] Propieddes 1. Orde de itegrció: f (x)dx = f (x)dx 2. Itervlo de logitud cero: f (x)dx = 0 3. Múltiplo costte: c f (x)dx = c f (x)dx 4. Sum y difereci: ( f (x) ± g(x) )dx = f (x)dx ± g(x)dx Propieddes, cot. 5. Aditividd: 6. Desiguldd máx-mi: f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx c c 7. Domició: f (x) g(x) e [,] f (x)dx g(x)dx