CALCULO integral. sucesiones y series de funciones

Transcripción

1 DR. ANTONIO RIVERA FIGUEROA INVESTIGADOR DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EDUCATIVA CINVESTAV DEL IPN CALCULO itegrl. sucesioes series de fucioes PRIMERA EDICIÓN EBOOK MÉXICO, 04 GRUPO EDITORIAL PATRIA

2 ifo editorilptri.com.m Direcció editoril: Jvier Erique Cllejs Coordidor editoril: Estel Delfí Rmírez Supervisor de prepres: Gerrdo Brioes Gozález Diseño de portd: Ju Berrdo Rosdo Solís Fotogrfís: Thistocphoto Revisió técic: A Elizeth Grcí Herádez Istituto Politécico Nciol Cálculo itegrl. Sucesioes series de fucioes Derechos reservdos: 04, Atoio River Figuero 04, Grupo Editoril Ptri, S.A. de C.V. Recimieto 80, Coloi S Ju Tlihuc, Delegció Azcpotzlco, Código Postl 0400, Méico, D.F. Miemro de l Cámr Nciol de l Idustri Editoril Meic Registro úm. 43 ISBN eoo: Qued prohiid l reproducció o trsmisió totl o prcil del coteido de l presete or e culesquier forms, se electróics o mecáics, si el cosetimieto previo por escrito del editor. Impreso e Méico Prited i Méico Primer edició eoo: 04

3 Dedictori Dedico est or l memori de mi querid espos Glori de mi etrñle mdre Nchit. Tmié v mi dedictori mis hijos Glori, Krl Toño. A mis ietos Roi, Sd Toñito, co criño mi herm Sr.

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5 CONTENIDO Prólogo i Agrdecimietos iii Cpítulo Itegrl U refleió sore el cocepto de áre Áre del círculo Aproimcioes superiores e iferiores Sums superiores sums iferiores Sums de Riem Eisteci de l itegrl de u fució cotiu Itegrl como áre Propieddes ásics de l itegrl Teorem (lielidd de l itegrl) Teorem (ditividd de l itegrl) Aditividd geerlizd Itegrl de u fució cotiu por piezs Prolems ejercicios Cpítulo Teorem fudmetl del cálculo Itroducció Itegrl como fució del límite superior: itegrl idefiid Primer prte del teorem fudmetl Fucioes primitivs o tiderivds L itegrl idefiid f d Segud prte del teorem fudmetl Teorem fudmetl del cálculo Apliccioes del teorem fudmetl de cálculo t.9 L itegrl e dt Prolems ejercicios Cpítulo 3 Métodos de itegrció Itroducció Precisioes sore l itegrl idefiid f()d Itegrles imedits

6 vi Cálculo diferecil, fudmetos, pliccioes ots histórics 3.4 Cmio de vrile u' 3.5 Ls itegrles u d log u ( u' 5 ) u d rct u ( ) Itegrció por prtes L fórmul h()d 5 h() h ()d Itegrles de ls fucioes rco Itegrdo por prtes d L itegrl d ( ) 3. Itegrció de fucioes rcioles Cso ríces reles simples Cso ríces reles simples o múltiples Cso geerl, ríces reles o complejs simples o múltiples Sustitució trigoométric Itegrció de fucioes rcioles e se q cos q Itegrles idefiids o elemetles costrucció rtesl de itegrles idefiids Itegrles idefiids o elemetles Costrucció rtesl de itegrles idefiids Prolems ejercicios Cpítulo 4 Apliccioes de l itegrl Itroducció Cálculo de áres de regioes Áre del círculo Regió seoidl L guj de Buffo Volúmees de sólidos de revolució Volume de u esfer Volume de u coo Volume de u elipsoide de revolució Volume de u proloide de revolució Presió hidrostátic Prism recto co se rectgulr Arevdero cr circulr Arevdero de cr trigulr Arevdero de cr prólic Cetros de grvedd

7 Coteido vii 4.5. Cetroide de u coo recto de se circulr Cetroide de u hemisferio esférico Cetroide de u proloide Trjo relizdo pr deslojr el líquido de u recipiete Recipiete e form de prism recto co se rectgulr Recipiete cilídrico Recipiete cóico Prolems ejercicios Cpítulo 5 Sucesioes series de fucioes El cocepto de sucesió de fucioes Covergeci putul. Límite putul de u sucesió de fucioes Covergeci uiforme. Límite uiforme de u sucesió de fucioes U refleió sore l covergeci uiforme Covergeci uiforme cotiuidd Covergeci putul o uiforme Covergeci uiforme e itegrles Criterio de Cuch pr covergeci uiforme Covergeci uiforme derivds Series de fucioes Series de potecis U refleió sore el itervlo de covergeci Series de potecis de lgus fucioes elemetles El residuo del teorem de Tlor ( f ) 5.3. U refleió sore l serie de Tlor ( ) ! El límite lim ( )! Serie de Tlor de l fució epoecil f() 5 e Serie de Tlor de l fució se Serie de Tlor de l fució cos Serie de Tlor de l fució rct Serie de Tlor de l fució log ( ) Desrrollo e serie de fucioes de l fució Prolems ejercicios Apédice Ídice lfético

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9 PRÓLOGO Este teto es el segudo de u or de dos volúmees, el primero dedicdo l cálculo diferecil este l cálculo itegrl. Está dirigido estudites profesores de cálculo de fucioes de u vrile rel del ivel uiversitrio. Aquí se desrroll l teorí de l itegrl de Riem pr fucioes cotius o cotius por piezs tmié se iclue u mplio cpítulo sore sucesioes series de fucioes, sí como u pédice dedicdo l itegrl de Riem pr fucioes cotds o ecesrimete cotius. Los requisitos pr estudir este liro so u curso uiversitrio de cálculo diferecil teorí ásic sore sucesioes series de reles. Por supuesto, se requiere que el curso de cálculo diferecil h cuierto los teorems del vlor medio (Rolle, Lgrge Cuch) sí como los desrrollos poliomios de Tlor. Todos se ecuetr e el primero de los volúmees meciodos. El primer cpítulo de este volume está dedicdo l defiició de l itegrl de Riem pr fucioes cotius e u itervlo cerrdo cotdo [, ] l iterpretció de l itegrl de u fució como el áre de l regió jo l gráfic de l fució, cudo est es o egtiv. E este mismo cpítulo l defiició se etiede fucioes cotius por piezs, que so ls fucioes cotius e u itervlo cerrdo cotdo ecepto quizá por u úmero fiito de discotiuiddes e dode eiste los límites lterles. Tmié se euci demuestr ls priciples propieddes de l itegrl, como so, por ejemplo: lielidd, ditividd mootoí. L teorí de l itegrl de Riem pr fucioes cotds e geerl se preset e u mplio pédice. L rzó de herlo hecho sí es que l teorí de l itegrl de Riem pr fucioes cotds o ecesrimete cotius es u tto más complicd que l teorí pr fucioes cotius. L teorí de l itegrl pr fucioes cotius o cotius por piezs so de iterés pr u mplio púlico, mietrs que l teorí pr fucioes cotds e geerl so de iterés pr quiees está estudido u crrer de mtemátics. Pretedemos que este liro se de utilidd pr estudites profesores de ls diferetes crrers de igeierí ciecis, sí que decidimos presetr e el cuerpo pricipl de l or l teorí pr fucioes cotius desrrollr co todo detlle l teorí pr fucioes cotds e u pédice. El cpítulo está dedicdo l teorem fudmetl del cálculo pr fucioes cotius. Pr el cso de ls fucioes cotds e geerl, el teorem fudmetl se preset e el pédice. L difereci etre mos csos es de fodo. Pr fucioes cotius es mucho más simple que pr el cso de fucioes cotds o ecesrimete cotius. L prue pr fucioes cotius es mu simple es recomedle pr quiees se iici e el estudio de los fudmetos del cálculo. Al presetr mos cercmietos e u mism or, el lector tedrá l oportuidd de comprrlos precir los esfuerzos dicioles que h de hcerse pr trtr l itegrl de fucioes cotds o ecesrimete cotius. El desrrollo de l teorí de l itegrl pr fucioes cotds el teorem fudmetl pr este cso puede estudirse después de her teido l eperieci co l teorí el teorem fudmetl pr fucioes cotius. Históricmete, l teorí de l itegrl se desrrolló grdulmete, primero pr fucioes cotius posteriormete pr fucioes cotds si impoerles l codició de que fuese cotius. L teorí de l itegrl pr fucioes cotius fue estlecid por Cuch durte l segud tercer décds del siglo i, posteriormete hci l mitd de ese mismo siglo, l teorí de l itegrl pr fucioes cotds fue desrrolld por Riem. L teorí de Riem fue motivd por el surgimieto de u cocepto más geerl de fució del que dispoí Cuch.

10 Cálculo diferecil, fudmetos, pliccioes ots histórics Este cocepto más geerl de fució fue ddo por Dirichlet e 837, es el que podemos ecotrr ho e dí e csi todo liro de cálculo es el que cocie u fució como u regl de sigció que soci cd elemeto de u cojuto llmdo el domiio de l fució, u úico elemeto de u segudo cojuto llmdo el cotrdomiio. De l fórmul del teorem fudmetl f d 5 F F, dode F es u primitiv de f e el itervlo [, ], se desprede l importci de dispoer de métodos que permit hllr u primitiv de u fució dd. Estos so los llmdos métodos de itegrció, de los cules lguos de los más coocidos se preset e el cpítulo 3. Etre otros métodos, se preset el deomido método de itegrció por prtes, mismo que o puede fltr e igú liro de cálculo. Este método se ilustr co u mpli vriedd de csos. Tmié se preset el método de itegrció de fucioes rcioles medite l descomposició e frccioes prciles. Estmos seguros que el lector ecotrrá detlles cerc de este método que o hllrá e otros liros. Otro método de itegrció es el que se refiere ls itegrles de fucioes rcioles e ls fucioes seo coseo. E este cso se hce otr que el coocido cmio de vrile ut puede fllr e l oteció de primitivs. El cpítulo 4 está dedicdo ls pliccioes del cálculo itegrl. Eiste diverss situcioes e dode se plic l itegrl; etre ests destc el cálculo de áres de regioes e el plo, que por lo comú utilizmos pr motivr su defiició, uque tmié se plic l oteer volúmees áres de sólidos de revolució, que se geer l rotr u curv lrededor de u eje. Otr de sus pliccioes es l determició de logitudes de curvs. Algus que tmié so importtes se refiere l cálculo del trjo relizdo por u fuerz determició de cetroides, tto de cuerpos sólidos como de regioes e el plo. U curso de cálculo si ests pliccioes estrí icompleto. El cpítulo 5 está dedicdo ls sucesioes series de fucioes. Es u mplio cpítulo e dode se trt l covergeci putul l covergeci uiforme de sucesioes series de fucioes. Se muestr co diversos ejemplos l difereci etre mos coceptos de covergeci poiedo especil éfsis e los resultdos reltivos l cotiuidd, derivilidd e itegrilidd de los elemetos de u sucesió (o térmios de u serie) su límite. Tmié se dedic u secció ls series de potecis los desrrollos e series de potecis de fucioes importtes del cálculo. Tod l teorí se ilustr co umerosos ejemplos. Además de mostrr l utilidd práctic que tiee l itegrl trvés de los diversos ejemplos presetdos lo lrgo del liro de los desrrolldos e el cpítulo 4, pretedemos que el liro ude l estudite dquirir u formció sólid e mtemátics que pute hci u pesmieto lítico, crcterístico e idispesle pr todo cietífico o igeiero. Este ojetivo e d se cotrpoe co el ojetivo de que el estudite dquier destrezs lgorítmics, por ejemplo e l plicció de los métodos de itegrció. Tmié es coveiete que el estudite se ivolucre e el uso de ls computdors, ls cules hemos hecho refereci e diverss ocsioes. Es u fortu que vivmos e u époc e l que es reltivmete fácil dispoer de podeross computdors persoles, priciplmete ls portátiles. H u vriedd de progrms pr computdor cpces de relizr rpidísimos cálculos uméricos, etrordirios cálculos simólicos costruir hermoss gráfics. Deido tods ests culiddes, ls computdors icremet uestro potecil de descurimieto predizje, demás de que os permite ecotrr respuests preguts que e ocsioes os pltemos sore situcioes que, u co los recursos líticos de ls mtemátics, so difíciles de hllr. El liro ofrece muchs oportuiddes pr usr est tecologí electróic, de hecho l solució de csi culquier prolem de este

11 Prólogo i liro puede oteerse co l ud de l computdor; si emrgo, l tecologí dee utilizrse como último recurso o pr verificr los resultdos producidos por uestros coocimietos o dee usrse pr hllr u prot respuest, pues siempre será mejor pr desrrollr uestro itelecto tepoer l refleió l cció. Muchs veces lo itereste o es hllr l respuest sio el procedimieto pr hllrl. Atoio River Figuero

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13 Agrdecimietos Deseo grdecer l Cetro de Ivestigció de Estudios Avzdos del Istituto Politécico Nciol por el mplio poo que siempre me h riddo pr llevr co mis ivestigcioes l escritur de ors como l presete. Los resultdos de ests ivestigcioes h sumiistrdo mteril que se iclue lo lrgo del liro que espero lo hg más didáctico e el tem de los fudmetos del cálculo. Tmié grdezco mis lumos de vris geercioes del curso de cálculo que lo lrgo de vrios ños he ofrecido e l Escuel Superior de Físic Mtemátics del mismo Istituto. De mis lumos o solo me h hecho cosciete de ls dificultdes que se preset e el estudio de los fudmetos del cálculo sio tmié he predido ides de ellos me h hecho recoocer que ls ides del profesor o ecesrimete so mejores que l de sus discípulos. Grcis esos jóvees por sus eseñzs.

14 Itegrl CAPITULO

15 Cálculo itegrl. Sucesioes series de fucioes. U refleió sore el cocepto de áre E este cpítulo estudiremos uo de los coceptos más importtes del cálculo. Así, toc hor el turo l itegrl. El cocepto de itegrl tiee su géesis e el prolem de clculr áres de regioes; uque, vle l pe destcr que ese es solo su orige, pues el cocepto de itegrl evolucioó de tl mer que csi desde su iveció dquirió idetidd propi se hizo idepediete, sí que el cálculo de áres psó ser solo u de sus diverss útiles iterpretcioes. De culquier mer, coviee referiros l áre, e primer istci, pr estlecer ls primers ides sore el cocepto de itegrl. Apredimos clculr áres de regioes simples desde l educció primri. Ahor lo hremos pr regioes más complicds, sí, pr tl efecto, es coveiete que refleioemos sore ls dificultdes que etrñ el cálculo de áres de regioes e geerl. Pr medir el áre de u regió, l que llmremos l superficie e el plo, deemos prtir de u uidd de áre. Así, tods ls áres ls referiremos est uidd o frccioes de est. L uidd de áre l elegimos co se e uestro gusto, ecesiddes o de mer ritrri, pero u vez que se h elegido, qued fij durte todo el proceso o el desrrollo del prolem que estmos resolviedo. Elijmos pues, u uidd de áre, e este cso será el áre de u cudrdo: Además de defiir l uidd de áre, deeremos doptr u uidd de logitud, lo que os fcilitrá el cálculo de áres co se e ls medids uidimesioles de ls regioes. U uidd de logitud coveiete es el ldo del cudrdo doptdo como uidd de áre. Dd u regió, medir su áre sigific determir cuáts uiddes o frccioes de uidd ce e est. Ls regioes más fáciles de medir so los cudrdos cuos ldos mide u úmero etero de uiddes de logitud. Si el ldo de u cudrdo mide uiddes, dode es u etero, etoces el cudrdo mide uiddes de áre. Es igul de fácil medir el áre de u rectágulo cuos ldos mide, cd uo, u úmero etero de uiddes de logitud. Si los ldos de u rectágulo mide respectivmete m uiddes, etoces su áre es igul m uiddes de áre.

16 Itegrl 3 Si ls logitudes de los ldos del rectágulo o so úmeros eteros sio úmeros reles, supogmos, respectivmete, diremos que el áre del rectágulo es por defiició el úmero rel. Esto iclue, por supuesto, los cudrdos cus logitudes de los ldos so úmeros reles. A prtir de quí, podemos decir que teemos u primer geerlizció del cocepto de áre. Y o l coceimos como el úmero de uiddes de áre que ce e el cudrdo o e el rectágulo, sio que simplemete costitue el producto de los úmeros reles correspodietes ls logitudes de los ldos. A prtir del áre de u cudrdo, e geerl, de u rectágulo, vemos cómo podemos clculr el áre de figurs u poco más complicds. Por ejemplo, cosideremos u triágulo rectágulo. E este cso, completmos el triágulo u rectágulo Etoces, el áre del triágulo será l mitd del áre del rectágulo; de est form, el áre del triágulo rectágulo es. Hst hor semos cómo se clcul el áre de cudrdos, rectágulos triágulos rectágulos. Ahor, cosideremos u triágulo ritrrio de ldos, c. L ltur respecto de lgu de ls ses dividirá l triágulo e dos triágulos rectágulos, como se muestr e ls siguietes figurs. c h c s t E este cso, los triágulos rectágulos determidos por est ltur, cu logitud supoemos h, tiee áres hs ht, respectivmete. Etoces, el áre del triágulo origil será igul l sum de ests áres, es decir

17 4 Cálculo itegrl. Sucesioes series de fucioes hs ht h( s t) h. Est es l fórmul pr el áre de u triágulo: u medio de l se por l ltur. Auque e relidd, deerímos decir que el áre es igul u medio de culquier ldo del triágulo por l ltur correspodiete. Puede elegirse como se culquier ldo l ltur será l correspodiete este. Ahor, cosideremos culquier figur limitd por líes rects. Nos referimos figurs como poligoles o, mejor dicho, regioes limitds por poligoles. Ls siguietes figurs so poligoles: E este cso, pr clculr el áre procedemos dividir l figur e triágulos jeos, es decir triágulos cuo úico posile trslpe so sus ldos. El áre de l figur poligol es, etoces, l sum de ls áres de los triágulos que form l figur: Co este procedimieto podemos oteer tods ls fórmuls de ls áres de ls figurs poligoles clásics, como los trpecios los trpezoides. L ide cetrl de est técic pr clculr el áre de figurs poligoles es l trigulció. Culquier figur que se pued trigulr es susceptile de clculr su áre. Si emrgo, si l figur o puede trigulrse, el prolem se tor summete difícil, este es el cso del círculo.

18 Itegrl 5. Áre del círculo Ciertmete, desde uestro primer cercmieto l estudio de l mtemátic, predimos que el áre del círculo de rdio r es pr, pero est fórmul uc fue deducid. Quizá lo hicimos e uestros cursos de mtemátics de ivel chillerto, precismete e los de cálculo elemetl, pero tes de ellos, hímos ceptdo l fórmul si igú cuestiomieto. Ahor es el mometo pr que refleioemos sore cómo es que se otiee est fórmul pr que recoozcmos l dificultd que etrñ. El cálculo del áre del círculo v más llá de l ritmétic, demd coceptos más elordos que los epuestos pr figurs poligoles; sí pues, requiere del cocepto de límite. Pero, el cálculo del áre del círculo es u prolem prticulr de u prolemátic geerl, que precismete es lo que ordremos pr cierto tipo de regioes especiles del plo. U mer práctic de oteer u vlor proimdo del áre de u círculo es hciedo u cudrícul, t fi como deseemos o podmos, sore el plo dode tegmos diujdo el círculo. Podemos hcer este diujo e u ppel milimétrico elegir como uidd de áre el cetímetro cudrdo o el metro cudrdo. Después, deemos clculr el úmero de cudrdos que está coteidos e el círculo. L sum de ls áres de estos cudrdos es u proimció del áre del círculo e milímetros cudrdos, que después covertimos l uidd coveid de áre. Tmié es u proimció de est áre, l sum de ls áres de los cudrdos que está coteidos e el círculo más los cudrdos que o está coteidos e el círculo, tiee l meos u puto e comú co él (vése figurs). Etre más fi se l cudrícul, mejor será l proimció l áre que otegmos. Si solmete cosidermos los cudrdos iteriores, l proimció será u úmero meor que el áre del círculo, e este cso se dice que oteemos u proimció por defecto. Ahor ie, si cosidermos los cudrdos iteriores tmié los que o está coteidos e el círculo pero lo trslp, otedremos u proimció que será mor que el áre del círculo, e este cso oteemos u proimció por eceso. Co este procedimieto o podemos spirr más que proimcioes, si ie es cierto que result ues, o será más que eso: proimcioes, o el vlor ecto. El vlor ecto está ddo por u límite, uo que eiste e teorí pr el cso del círculo; uque es imposile epresrlo uméricmete, como os gustrí hcerlo, l meos sí lo podemos teer perfectmete defiido.

19 6 Cálculo itegrl. Sucesioes series de fucioes.. Aproimcioes superiores e iferiores Otr mer de proimros l áre del círculo de rdio r, es cosiderdo u semicírculo de rdio r, e u sistem de ejes crtesios, que es l gráfic de l fució f () 5 r. Dividmos el itervlo [r, r] sore el eje de ls sciss e u úmero de prtes igules, digmos. Est divisió determi putos e el itervlo [r, r]:,,,. Sore estos putos, levtmos líes verticles hst el semicírculo, co lo cul dividimos el semicírculo e frjs verticles. Co ecepció de ls frjs de los etremos, cd frj está limitd por dos segmetos rectos verticles, por u segmeto horizotl como se, e l prte superior, por u frgmeto del semicírculo. Podemos oteer u proimció l áre de cd u de ests frjs, tomdo el áre del rectágulo que tiee l mism se de l frj l ltur igul l meor de los ldos verticles. Asimismo, otr proimció l áre de l frj es el áre del rectágulo co l mism se de l frj l ltur igul l mor de los ldos verticles. A l primer de ls proimcioes l llmremos proimció iferior, mietrs que l segud l llmremos proimció superior. Sumdo ls proimcioes iferiores de cd u de ls frjs, es posile oteer u proimció l áre de l regió, l cul es meor que el áre de est. Por otr prte, si summos ls proimcioes superiores otedremos u proimció l áre de l regió que será mor que est últim.

20 Itegrl 7 r r r r r r Vmos relizr el álisis de los cálculos tes descritos, si emrgo provechremos pr llevrlos co pr u situció más geerl. E lo sucesivo supodremos,, cudo os refirmos l itervlo cerrdo [, ], por lo que est codició o se hrá eplícit. Se f u fució cotiu e u itervlo [, ]. Supogmos que est fució sólo tom vlores positivos, sí que su gráfic lucirá como l de l figur siguiete. f () Dividmos el itervlo [, ] e prtes igules. Est divisió determi putos e el iterior del itervlo, digmos que listdos de meor mor so,,,. Adicioemos est colecció de putos iteriores, los etremos del itervlo [, ]. Pr uiformr l otció, escrimos Co esto teemos u colecció de putos e [, ], que escritos de meor mor so 0,,,,,. L distci etre dos putos dcetes de est colecció es i i 5, (i 5,,..., ). Por ejemplo, pr i 5, pr i 5, 5 5. Cd puto i de est colecció puede represetrse co l fórmul i 5 i, (i 5 0,,,..., ). Estos putos determi suitervlos [ i, i ] de [, ] pr i 5,,...,.

21 8 Cálculo itegrl. Sucesioes series de fucioes Ddo que f es cotiu e cd uo de los suitervlos [ i, i ], l fució tom u vlor míimo e [ i, i ], l que llmremos m i, u vlor máimo, que deotremos por M i, esto es m i mí f M má f (i 5,,, ). i i i i i Pr cd suitervlo [ i, i ] cosideremos el rectágulo co se [ i, i ] ltur m i, tl rectágulo lo llmremos rectágulo iferior. Tmié cosideremos el rectágulo co es mism se pero co ltur M i, este lo llmremos rectágulo superior. Ls áres de los rectágulos iferior superior so, respectivmete s i 5 ( i i )m i 5 m i S i 5 ( i i )M i 5 M i f () f () il i il i Ahor, dicioemos ls áres de los rectágulos iferiores, co lo que oteemos s ( ) m i i i i i m i Est sum s() de áres de rectágulos depede de, úmero de prtes e ls que se h divido el itervlo [, ]. f () E l medid e l que se hg crecer el vlor de, esperrímos que s() se proimr lgú vlor límite, mismo que le sigrímos l áre de l regió compredid etre l gráfic de l fució, ls rects verticles 5, 5 el itervlo [, ].

22 Itegrl 9 f () Se esperrí el mismo vlor límite, si cosidermos l sum de ls áres de los rectágulos superiores S ( ) M i i i i i Mi, si hcemos crecer ilimitdmete f () L prue de que todo esto ocurre se s fudmetlmete e l cotiuidd de f. De hecho, el resultdo v más lejos. U primer geerlizció es que los putos i o ecesrimete tiee que ser equidisttes, es decir, o ecesrimete divide el itervlo [, ] e prtes igules. f () f () U geerlizció más, es que l ltur de los rectágulos o ecesrimete tiee que ser el vlor míimo o el vlor máimo de l fució e los itervlos [ i, i ], podemos elegir como ltur el vlor de l fució e u puto ritrrio t i [ i, i ], de mer que los rectágulos oteidos o se i iferiores i superiores.

23 0 Cálculo itegrl. Sucesioes series de fucioes Filmete, l costrucció ritmétic de ls sumtoris teriores sus propieddes de covergeci se plicrá tod fució cotiu o será ecesrio supoer que l fució es positiv. 5 f ().3 Sums superiores sums iferiores Bsdos e ls sumtoris tes descrits, estleceremos l defiició de itegrl, pero tes hgmos lgus covecioes sore otció termiologí. Defiició U prtició de u itervlo [, ], que deotmos por, es tod colecció fiit de putos [, ] ordedos de meor mor:. 0 E este cso, cd itervlo [ i, i ] recie el omre de suitervlo de l prtició. Osérvese que los etremos del itervlo so putos de l prtició, de hecho se h deotdo por De est mer, co frecueci escriiremos { 0 } e el etedido de que Se hor f u fució cotiu e u itervlo [, ] u prtició de [, ]. Pr cd i 5,,, ; se m i el vlor míimo de f e el suitervlo [ i, i ] se M i el vlor máimo de f e el mismo suitervlo, es decir m mí f M má f i i i i 5,,...,. i i Ddo que f es cotiu, estos vlores míimo máimo eiste e cd itervlo [ i, i ]; esto es, pr cd i 5,,, eiste u i v i putos de [ i, i ] tles que: m i 5 f(u i ) M i 5 f(v i ). Estos so los vlores míimo máimo, respectivmete, de f e el itervlo [ i, i ].

24 Itegrl E tto, si = { 0 } es u prtició de [, ], ls sums: ( i i ) i ( i i ) ( i ) i i s f, m f u S f, M f v i i i i i i i i recie el omre de sum iferior sum superior respectivmete, socids l prtició. E form más simple, tmié podemos escriir ests sums como: ( i i ) i ( i i ) ( i ) s f, m f u ( i i ) i ( i i ) ( i ). S f, M f v E este cso, vmos descriir los miemros de l derech como sumtoris sore l prtició. Ls sums s( ) S( ) depede de los putos 0 de l prtició cd u de ests es u proimció de lo que espermos se el áre de l regió jo l gráfic de l fució f:[, ] R. Ests sums será mejores proimcioes l áre e l medid e l que los putos dcetes de l prtició esté cercos uo l otro. E l siguiete defiició se precis ests ides. Defiició Si = { 0 } es u prtició del itervlo [, ], defiimos l mll de l prtició como el rel positivo: { } δ má i i i,,...,. Si teemos u sucesió de prticioes,, 3,, u fució cotiu f:[, ] R, tedremos defiids dos sucesioes de reles (s( )) (S( )) que depederá de l sucesió de prticioes ( ). Asocid l sucesió de prticioes ( ), tmié teemos u sucesió de mlls (( )) 5 ( ), que es u sucesió de reles positivos. Si ie los putos de cd prtició ( ) lim ( ) si l sucesió so ritrrios de [, ], espermos que eist los límites lim s S de mlls ( ) tiede cero cudo. E relidd, jo est codició, ls sucesioes de sums iferiores superiores siempre tedrá límite, será el mismo pr ms. E específico teemos el siguiete teorem, mismo que se prorá más delte. Teorem Se f:[, ] R u fució cotiu. ) Si,, 3, es u sucesió de prticioes de [, ] tl que l sucesió de mlls ( ) tiede cero, etoces eiste los límites siguietes: lim s lim i i mi lim S lim i i M i mos so igules. * * * ) Si,, 3,...,, 3,... so dos sucesioes de prticioes del itervlo [, ] tles que ls sucesioes de mlls correspodietes δ * ( δ ) tiede cero, etoces:

25 Cálculo itegrl. Sucesioes series de fucioes * * lim s 5 lim s lim S 5 lim S. ( ) ( ) E relidd proremos u resultdo más geerl, del cul el teorem terior costitue u cso prticulr. L geerlizció cosiste e que ls sums iferiores superiores será sustituids por sumtoris más geerles, llmds sums de Riem. Georg Friedrich Berhrd Riem (86 866).4 Sums de Riem E csos específicos, el cálculo del límite de l sucesió de sums iferiores: lim s lim m el de ls sums superiores: i i i lim S lim M i i i Riem ció e Breselez, u lde uicd e l regió de Hover, que e l ctulidd perteece Alemi. Tímido efermizo, murió de tuerculosis los 40 ños e Itli. L frágil slud de sus cico hermos l ml limetció costituero l cus pricipl de l muerte tempr de csi todos ellos de su mdre. Co el fi de covertirse e pstor udr su pdre, quie teí es profesió, Riem estudió teologí e l Uiversidd de Gotig. Después, se trsldó Berlí estudir mtemátics, dode fue lumo de otles mtemáticos como Jcoi Dirichlet. Posteriormete, regresó l Uiversidd de Gotig, e dode fue profesor de mtemátics. Hizo importtes cotriucioes l teorí de fucioes de vrile complej, geometrí diferecil teorí de úmeros. Alguos de los coceptos más otles e l mtemátic llev su omre, como l geometrí de Riem, l superficie de Riem l fució zet de Riem; est últim es de gr importci e el estudio de l teorí de úmeros. Otro cocepto que tmié llev su omre es l itegrl de Riem, l cul dio coocer e 854, los 8 ños, e u trjo sore represetció de fucioes medite series de Fourier. puede presetr lgu dificultd. E estos csos, podemos cudir sumtoris e dode los míimos, m i, los máimos, M i, se reemplz por el vlor de l fució e culquier puto de [ i, i ]. A cotiució defiimos ests sumtoris. Defiició Se = { 0 } u prtició de [, ]. Pr cd suitervlo [ i, i ] de l prtició elijmos u puto t i [ i, i ]. L sumtori: ( i i ) ( i ) i R f, f t l llmmos sum de Riem. Est sumtori recie su omre e hoor l ilustre mtemático lemá Berhrd Riem (86-866), quie relizó importtes cotriucioes l álisis mtemático. Así que l R e l otció de l sumtori hce lusió su omre. Ahor, te result clro que ls sums superior e iferior so csos prticulres de sums de Riem. U mejor otció pr l sum de Riem es: ( { }) i i i i R f,, t,..., t f t E est se hce eplícit su depedeci de los putos t, t,,t, mismos que teemos liertd de elegir e los suitervlos [ i, i ]. Si emrgo, co el propósito de teer u otció más simple cudo o dé lugr cofusió.

26 Itegrl 3 escriiremos R(f, ) e lugr de R(f,,{t, t,,t }); est últim result útil cudo cosideremos dos sums de Riem pr u mism prtició, por ejemplo: R(f,,{s, s,,s }) R(f,, {t, t,,t }). Pero, si cosidermos dos sums de Riem correspodietes dos prticioes diferetes, u sum pr cd prtició, será suficiete escriir R(f, ) R(f, ). Pr fucioes positivs, u sum de Riem es igul l sum de ls áres de rectágulos co se e los itervlos [ i, i ] l ltur de los vlores de l fució f(t i ), e putos t i que elegimos de mer ritrri e estos suitervlos. Ls lturs f(t i ) o ecesrimete so vlores míimos o máimos de l fució e los suitervlos [ i, i ], como se ilustr e l siguiete figur. f ().5 Eisteci de l itegrl de u fució cotiu Pr eucir pror el teorem tes prometido, primero proremos que pr tod sucesió de prticioes,, 3,... de [, ] tl que lim δ ( ) 5 0, culquier sucesió de sums de Riem: i i i i R f, f t es covergete. Después proremos que el límite o depede de l sucesió prticulr de prticioes,, 3,... i de l selecció de putos itermedios t i, esto lo formulmos e los dos siguietes lems, pr cus prues será importte l cotiuidd uiforme de f e [, ], mism que recordmos más delte. Que f se uiformemete cotiu e [, ] sigific que dd culquier 0, eiste 0 tl que f() f() siempre que, [, ] cumpl. Lem Se 0. Etoces, eiste 0 co l propiedd de que pr culquier pr de prticioes * de [, ] co * mlls ( ) ( * ) meores que se tiee: ( ) R f, R f, ε pr culesquier sums de Riem R(f, ) R(f, * ) socids ls prticioes *, respectivmete. Not Que ls sums de Riem R(f, ) R(f, * ) se culesquier sigific que los putos que se elige e los suitervlos de ls prticioes * so ritrrios; esto sigific que l desiguldd o depede de l elecció de estos putos.

27 4 Cálculo itegrl. Sucesioes series de fucioes Demostrció Pr l 0 dd, elijmos 0, que cumpl co l defiició de cotiuidd uiforme; es decir, siempre que se teg dos putos, [, ] que cumpl se tedrá f()f(). Ahor, supogmos: * { 0 N N } { 0 } dos prticioes de [, ] cus mlls so meores que. Etoces, teemos j j pr j5,, tmié i i pr i5,, N. Ahor, se dos sums de Riem: ( i )( i i ) i R f, * f t R f, f s j j j. j Pr culesquier ídices i, j se tiee t i [ i, i ] s j [ j, j ]. Como todo puto j de l prtició lo es de *, est últim prtició puede teer otros putos más, etoces e el iterior de cd itervlo [ j, j ] hrá, e geerl, putos i de *. Ahor, cosideremos culquier de los sumdos de l sum de Riem: ( j )( j j ) j R f, f s. Se este sumdo f(s j )( j j ) supogmos que pr el itervlo [ j, j ] se tiee:. j m m j Compremos f(s j )( j j ) co l sumtori correspodiete: ( f t f t ) ( ) ( ) m f t m f t l cul es prte de l sum de Riem: Primero, oservemos que: Etoces, teemos: N ( ) R f, * f ti i i i j j m i i. m i. m m j j j j m m ( j j ) f ( s j ) ( i i ) f ( ti ) ( m ) f ( s j ) ( i i ) f ( ti ) i i m m ( i i ) f ( s j ) ( i i ) f ( ti ) i j m ( i i ) i f ( s j ) f ( ti )

28 Itegrl 5 Por tto, ddo que j j tmié se tiee s j t i pr tod i5,, m, de dode teemos f(s j )f(t i ). Luego, teemos: m m j j j i i i i i i i m ε ( i i ) i ε ( m ) ε ( j j ). f s f t f ( s j ) f ( ti ) Si plicmos est desiguldd pr cd uo de los sumdos f(s j )( j j ) de l sum ( j )( j j ) j R f, f s, oteemos: N j j j ) i i i j i ( ) ( R f, R f, f s f t ε ( j j ) j ε. Esto prue el lem. Si todos los putos de u prtició so putos de otr *, se dice que * es u refimieto de que * es más fi que. E plrs simples, u refimieto de u prtició se otiee gregdo putos. Es evidete que si l mll de es meor que, l mll del refimieto * tmié es meor que. E estos térmios, el lem está formuldo pr todo pr de prticioes *, siedo * u refimieto de. E el siguiete lem comprmos dos sums de Riem socids dos prticioes o ecesrimete u refimieto de l otr. Lem Se 0. Etoces eiste 0 co l propiedd de que pr culquier pr de prticioes de [, ] co mlls ( ) ( ) meores que se tiee: ( ) R f, R f, ε pr culesquier sums de Riem R(f, ) R(f, ) socids ls prticioes, respectivmete. Demostrció Pr l 0 dd, se 0 l proporciod por el lem. Se prticioes de [, ] co mlls ( ) ( ) meores que. Se * l prtició que result de uir ms prticioes, es decir * 5. L prtició * es u refimieto de cd u de ests, que es u refimieto comú, sí que tmié su mll es meor que. Etoces, por el lem teemos que pr culesquier sums de Riem R(f, ) R(f, ) se tiee: R(f, ) R(f, * ) () R(f, ) R(f, * ) ()

29 6 Cálculo itegrl. Sucesioes series de fucioes Por tto: Es decir: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε R f, R f, R f, R f, * R f, * R f, R( f, ) R( f, * ) R f, * R f, ε. ( ) R f, R f, ε. Esto prue el lem. Ahor, estmos e posiilidd de pror el siguiete teorem, que es fudmetl pr poder etrr l tem de l itegrl de u fució cotiu. Teorem Se f:[, ] R u fució cotiu se,, 3,... culquier sucesió de prticioes de [, ] tl que l sucesió de mlls tiede cero, es decir lim δ ( ) 5 0. Etoces, culquier sucesió de sums de Riem socids ests prticioes: tiee límite; es decir, eiste: R f, f t i i i lim R f,. Demostrció Pr pror que culquier sucesió de sums de Riem tiee límite, plicremos el criterio de Cuch. Medite el uso del lem os será posile pror que l sucesió de reles: i i i R R f, f t stisfce l codició de Cuch. Se 0 se 0 l dd por el lem. Etoces, ddo que lim δ 5 0, eiste NN tl que ( ) pr todo turl N. Si m so mores que N, se tiee ( ) ( m ). Por tto, del lem se sigue que: ( ) m R f, R f, ε. Esto prue que l sucesió (R ) cumple l codició de Cuch; por tto, eiste: lim R f, ( ). Esto prue el teorem. Ahor proemos que el límite del teorem terior o depede de l sucesió de prticioes i de los putos t i que se elij e los suitervlos de ls prticioes. Teorem * * * Se,, 3,...,, 3,... dos sucesioes de prticioes de [, ] tles que ls respectivs sucesioes de mlls tiede cero, es decir, lim δ 5 0 * lim δ 50. Se: ( ) ( )

30 Itegrl 7 * R f, i i f ti R f, f s j j j * dos sucesioes de sums de Riem, socids respectivmete ls dos sucesioes de * prticioes. Etoces: * lim R f, 5 lim R f,. ( ) Demostrció Pr pror que mos límites so igules, proremos que el vlor soluto de su difereci es meor que culquier úmero positivo, es decir, proremos que siempre que se dé u úmero 0 se cumple l desiguldd: Así, tedremos: * lim R f, lim R f, ε. ( ) ( ) ε * 0 lim R f, lim R f, ( ) * pr todo úmero positivo. Pero esto solo es posile si lim R f, lim R f, 0. Procedmos pues co est prue. Se culquier úmero positivo defimos 0, medite l ε iguldd 5(), es decir defimos ε. Est l utilizremos pr plicr el lem. Tomemos l 0 del lem ; como lim δ 5 0 * * lim δ ( ) 50 eiste NN tl que si N se cumple ls dos desigulddes δ ( ), δ δ ( ), δ. Por tto, por el lem, se sigue que: Es decir: ( ) * R f, R f, ε. ( ) * R f, R f, ε. Tomdo límites, oteemos: O se: lim R f, R f, lim R f, R f, ( ) ( ) ε ( ) ( ) ε. lim R f, lim R f,. ( ) ( ) ε Lo cul es lo que deseámos pror. De esto se sigue que: lim R f, 5 lim R f,. ( ) Esto demuestr el teorem. Del teorem terior estlecemos el resultdo fil.

31 8 Cálculo itegrl. Sucesioes series de fucioes Teorem defiició Se f cotiu e el itervlo [, ]. Se,, 3,... u sucesió de prticioes del mismo itervlo tles que l sucesió de mlls correspodiete tiede cero. Etoces, tod sucesió de sums de Riem: R f, f t i i i socids est sucesió de prticioes tiee límite, el cul es idepediete de l sucesió de prticioes de los putos t i elegidos e los suitervlos de cd prtició. A este límite comú se le llm l itegrl de l fució f e el itervlo [, ] se le deot por f d lim R f,. ( ) f d, es decir E est simologí, l fució f se le llm itegrdo; l puto, límite iferior de l itegrl, l puto, límite superior. Del teorem terior se desprede que l itegrl de u fució puede clculrse medite el uso de sucesioes de sums iferiores o del uso de sucesioes de sums superiores; de hecho, puede usrse culesquier sucesió de sums de Riem, co tl de que l sucesió de mlls de ls prticioes tied cero. E form simple, podemos eucir este resultdo: Vitor Yovlevich Buovs ( ) Nció e Ucri murió e Rusi. Se doctoró e Prís trjdo co Cuch. Buovs hizo importtes cotriucioes l teorí de úmeros, por ejemplo es mplimete citdo e el fmoso liro de Dicso sore l histori de l teorí de úmeros. E el mudo occidetl o se le d crédito por el descurimieto de l fmos desiguldd de Cuch- Schwrz, l cul e otrs prtes del mudo cooce como desiguldd de Cuch-Buovs-Schwrz. Trjó e mecáic plicd, hidrostátic geometrí. Buovs quizá o es recorddo por su fmos desiguldd, sio por el premio que fue istituido co su omre que otorg l Acdemi de Ciecis de Petersurgo los utores de trjos mtemáticos soreslietes. Teorem Se f cotiu e el itervlo [, ]. Se,, 3,... culquier sucesió de prticioes de [, ] tles que l sucesió de mlls correspodiete tiede cero. Pr cd prtició elijmos u sum de Riem R(f, ). Etoces, eiste lim R f, ( ) demás lim R( f, ) 5 f d. Este teorem os dice que culquier sucesió de sums de Riem v igul de ie pr clculr l itegrl de u fució cotiu, deido que culquier sucesió de sums de Riem os coduce l itegrl de f sore [, ], co tl de que l sucesió de mlls tied cero. E prticulr, podemos tomr prticioes que resulte de dividir el itervlo e prtes igules tomr como ltur de los rectágulos los vlores de l fució e los etremos izquierdos de los suitervlos [ i, i ] o e los etremos derechos, es decir podemos tomr como ltur culquier de los vlores f( i ) o f( i ), como se epresó e el teorem eucido l iicio de l secció.3. Por ejemplo, teemos el siguiete teorem. Teorem Se f cotiu e el itervlo [, ]. Etoces: lim f f d.

32 Itegrl 9 Not sore termiologí Itegrl defiid E lguos liros de cálculo que eiste e l ctulidd, l itegrl de f sore el itervlo [, ], los utores suele llmrle itegrl defiid de f de. Nosotros preferimos llmrle simplemete itegrl o itegrl sore el itervlo [, ], si igú clifictivo. L rzó por l cul lguos utores le llm itegrl defiid se dee que tmié eiste el cocepto de itegrl idefiid, que estudimos e los dos cpítulos siguietes, sí que pr distiguir estos dos coceptos los utores cude los djetivos clifictivos defiid e idefiid, respectivmete. Por otr prte, cosidermos pertiete lertr l lector cerc del cocepto de itegrl idefiid e el setido e que suele ecotrrse e los liros de cálculo l meos dos cepcioes de este térmio. U cepció se refiere u fució F, cu derivd es l fució dd f; es decir, F es u itegrl idefiid e u itervlo si F'()5f() pr tod e el itervlo. Otr cepció es l que se refiere l fmili de tods ls fucioes F que stisfce F 5 f o solo u de ests fucioes, sí que e esos csos l itegrl idefiid es u fmili de fucioes o u fució prticulr. Asimismo, otr cepció de itegrl idefiid es l que estudimos e el siguiete cpítulo, dedicdo l teorem fudmetl del cálculo..6 Itegrl como áre Cudo l fució es o egtiv, l itegrl f d es por defiició el áre de l regió compredid etre l gráfic de f, ls rects verticles 5, 5 el eje de ls sciss. Precismete, uo de los ldos de est regió es el segmeto e el eje de ls sciss correspodiete l itervlo [, ]. f () f () d ( j )( j j ) j Cudo l fució f:[, ] R es o egtiv, cd sum de Riem R f, f s tmié es o egtiv; de hecho, ls sums de Riem so positivs si l fució o egtiv tom vlores positivos. U sum de Riem positiv se logr si tommos l meos u vlor f(s j ) positivo. Etoces l itegrl f d, que es el límite de sucesioes de sums de Riem, es mor o igul que cero. Esto es, si f() 0 pr tod [, ], etoces: R(f, ) 0 pr todo turl.

33 0 Cálculo itegrl. Sucesioes series de fucioes f d lim R f, 0. ( ) Se puede pror que si u fució cotiu f:[, ] R es o egtiv, st que e lgú puto tome u vlor positivo pr que l itegrl se positiv f d 0. Cudo l fució es o egtiv, l iterpretció geométric de cd sum de Riem es u sum de áres de rectágulos, l tiempo que cd sum de Riem es u proimció l áre de l regió compredid etre l gráfic de l fució, el eje de ls sciss ls rects verticles 5 5. Por est rzó decimos que l itegrl es el áre mism de es regió. f () f () d Por su prte, cudo l fució es egtiv o o positiv, ls sums de Riem so meores o igules que cero. Etoces, e este cso l itegrl es meor o igul que cero; es decir, si f() 0 pr tod [, ], etoces: R(f, ) 0 pr todo turl. f d lim R f, 0. ( ) Como e el cso terior, si f() 0 pr tod [, ] f es egtiv l meos e u puto de [, ], etoces l itegrl es egtiv: f d, 0. E este cso diremos que l itegrl es igul l áre co sigo de l regió compredid etre l gráfic de l fució el eje de ls sciss. f d

34 Itegrl Si l fució tom vlores positivos, egtivos cero, etoces l itegrl es l sum lgeric de ls áres co sigo de ls diferetes regioes que costitue l regió totl. Ls regioes que se ecuetr por jo del eje de ls sciss tiee áre co sigo egtivo, mietrs que ls que está por rri del mismo, tiee sigo positivo. Si l sum lgeric de ls áres es cero, etoces l itegrl f d es igul cero. Es importte recordr que l itegrl f d represet u áre solmete cudo f() 0 pr tod [, ]. f () Ejemplo Se [, ] u itervlo cerrdo. Como siempre, supoemos,. Se l fució idetidd f () 5, defiid e este itervlo. Clculemos l itegrl de f e [, ]. Dividmos el itervlo [, ] e prtes igules, dode es u etero positivo. Etoces, teemos l prtició : 0 5, 5, 5, 3 5 3,..., 5. L mll de esδ ( ) sí que ( ) 0. Se l sum de Riem De l coocid fórmul R( f, ) ( ) f ( ) i i i i i i = i i i i i ( ) i. i oteemos ( ) i, i

35 Cálculo itegrl. Sucesioes series de fucioes R f (, ) ( ) i i ( ( ) ) ( ) ( ) ( ). Por tto, De dode teemos lim R( f, ) lim( ) lim ( ) ( ) ( ). d. Ejemplo Cosideremos l fució f () 5, defiid e u itervlo [, ]. Se u turl dividmos [, ] e prtes igules. Etoces, teemos l prtició : 0 5, 5, 5, 3 5 3,..., 5. Pr simplificr mometáemete l otció, escrimos h 5. Se l sum de Riem Ddo que R( f, ) ( ) f ( ) i i i i h ( i ) h i ( ) i h ( i ) h ( i ) h h h( i ) h ( i ). i i i ( ) ( i ) j i j i i ( i ) j j ( ) ( ) 6

36 Itegrl 3 teemos ( R f h h ) ( (, ) h ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 6. Por tto, lim R( f, ) lim ( ) ( ) 3 ( ) 6 3 ( ( ) ) Al simplificr, filmete oteemos Por cosiguiete, oteemos 3 lim R( f, ) d. 3 3 Ejemplo 3 Cotiudo co l mism líe de ides de los ejemplos teriores, trtemos de hllr l itegrl d, dode es u etero positivo. Supogmos, e este cso, 0,,. Se u etero positivo dividmos el itervlo [, ] e prtes igules. Hgmos h 5 ; etoces, teemos l prtició

37 4 Cálculo itegrl. Sucesioes series de fucioes : 0 5, 5 h, 5 h, 3 5 3h,..., 5. Cosideremos l sum de Riem R( f, ) ( ) f ( ) i i i i i h( ih) i i. Pr clculr l itegrl deemos hllr el límite lim R( f, ), pr lo cul será ecesrio desrrollr l sumtori, como e los csos 5 5 de los ejemplos teriores. Si emrgo, el prolem se tor difícil pues e este cso deemos clculr l sums i,, i i= =, sí que procederemos de otr mer. Primero, elegiremos u sucesió de prticioes que costruiremos de mer diferete, sí que hor ests o cosistirá de putos equidisttes. Se r 5 o se r 5. Como 0,, teemos,., luego result r 5.. De esto se sigue que Se l prtició, r, r r, r r, r 3. r < r 5. : 0 5, 5 r, 5 r,..., 5 r, 5 r 5 5. i Pr cd turl, clculemos l mll δ( ) = má = ( i i ). Como i 5 r, pr i i 5 0,, teemos i i i i i r r r ( r ). Y ddo que r r, r r, teemos Recordemos que r i má( i i ) má r ( r ) r r i 5 i ; por tto, teemos má i r r r i i r r..etoces

38 Itegrl 5 δ r. r Así, como lim r 5 lim 5, teemos lim lim r δ ( ) 0. r Pr cd, cosideremos l sum de Riem R( f, ) ( ) f ( ) i i i i ( r r )( r i i i r i r r i r r r i i i) i i ( r ). r i i Aplicdo l fórmul pr l sum geométric, oteemos i R( f, ) ( ) r ( ) r i i ( ) r r r r r rr r r r r r ( r )r r. r i0 ( ) Ddo que r 5, l fórmul terior se escrie R( f, ) ( r ) r r ( r ) r r r r r. Usdo uevmete l fórmul pr l sum geométric, teemos

39 6 Cálculo itegrl. Sucesioes series de fucioes De dode podemos escriir r r r r r. R( f, ) r. r r r Recordemos que r 5 por tto. Etoces, ddo que lim r lim 5 ; por tto, tmié lim i r 5, lim R( f, ) lim ( ) lim ( ) ( ) r r r r r r r r lim r lim( r r r ). Esto prue que d ( ), dode se supoe 0,,. Au cudo l fórmul terior se h deducido pr el cso especil 0,,, e el siguiete cpítulo se prorá, de u mer mucho más simple, que l fórmul vle pr culesquier co,. Ejemplo 4 Clculemos l itegrl se d, dode so dos reles culesquier co,. Pr cd etero positivo, se l prtició de putos equidisttes : 0 5, 5 h, 5 h, 3 5 3h,..., 5 dode h 5. Cosideremos l sucesió de sums de Riem R( f, ) = ( ) f ( ) i i i i= = hse( + hi) i= = h se( + hi). i=

40 Itegrl 7 Etoces, teemos R( f, ) 5 h[se( h) se( h) se( 3h)... se( h)]. Pr trsformr est sumtori, recurriremos l idetidd trigoométric cos(a B) cos(a B) 5 se A se B. Multipliquemos dividmos por se h, co lo que teemos R( f, ) 5 h se h [ se( h) se h se( h) se h... se( h) se h ] R( f, ) h cos h cos 3 h se h cos 3 h cos 5 h... cos h cos h. Lo cul se simplific como R( f, ) h cos h cos h se h h cos h cos h h h se es decir, h h cos cos h R( f, ) 5 se h pues h 5 o se h 5. se E el cpítulo 5 del liro de Cálculo diferecil, promos que lim 5, por lo que teemos 0 se h lim h 5 0 h por tto, lim R( f, ) h lim cos h cos h h 0 h se 5 cos cos. Co esto oteemos

41 8 Cálculo itegrl. Sucesioes series de fucioes Ejemplo 5 se d 5 (cos se ). Se dej como ejercicio pr el lector, siguiedo u procedimieto como el del ejemplo terior, oteer l fórmul cos d 5 se se..7 Propieddes ásics de l itegrl Los siguietes teorems os fcilitrá el cálculo de itegrles..7. Teorem (lielidd de l itegrl) Se f g dos fucioes cotius e u itervlo [, ] u costte. Etoces ) ) ( f g)()d 5 f ()d g()d f ()d 5 f ()d A ests dos propieddes se les cooce como propieddes de lielidd de l itegrl. Demostrció Proemos el iciso ): Mostremos que pr lgu sucesió de prticioes ( ) de [, ] tl que δ ( ) 0 lgu sucesió de sums de Riem R( f g, ), se tiee lim R( f g, ) 5 f ()d g()d. Se u sucesió de prticioes de [, ] tl que δ ( ) 0. Se R( f, ) 5 ( i i ) f (t i ) u sucesió de sums de Riem pr f. Se R(g, ) 5 ( i i )g(t i ) l correspodiete sucesió de sums de Riem pr g, que es l socid l mism sucesió de prticioes los mismos putos t i de los suitervlos. Por el teorem terior, teemos lim R( f, ) 5 f ()d lim R(g, ) 5 g()d.