2.5 ESPACIO DE FUNCIONES Y TEORIA DE STURM-LIOUVILLE (2.5_AL_T_071, Revisión: )

Transcripción

1 .5 ESPACIO DE FUNCIONES Y TEORIA DE STURM-IOUVIE (.5_A_T_7, Revisió: 5--6).5. ESPACIO DE FUNCIONES. () Fucioes como vectores. Cosideremos ls fucioes cotius ( trozos) e el itervlo cerrdo etre y, i.e.: f () t cº, c, [ ] [ ] Not: Por defiició, e u itervlo cerrdo existe u máximo, mietrs que pr u itervlo ierto puede o her u máximo pero si hy u cot superior míim (e.g.: t c, ). [ ) Al igul que e ls seccioes teriores, podemos lizr si este tipo de fucioes puede formr u espcio vectoril. Vemos por ejemplo ls fucioes: Nótese que: xy, cº [,], x+ y cº, [ ] - sum es comuttiv y socitiv. - Existe l fució ( t) t + = t x = t, y = 3se Se puede demostrr tmié que l sum de dos fucioes cotius es u fució cotiu (lo cotrrio o es cierto: l sum cotiu o implic que los sumdos se cotiuos). Además, podemos ver que: - Existe l ivers ditiv de cd fució t ( t ) t + = - U fució cotiu multiplicd por u esclr sigue siedo cotiu; ls regls socids l multiplicció por esclres plic. ls fucioes f ( t) cº, form u espcio vectoril. [ ] () Producto itero pr el espcio. Pr ls -ds podemos defiir productos esclres de l form: ( ) xy, = Kξη, K > j j j j Pr fucioes, podemos utilizr u defiició similr: ξη j j x() t y() t dt 6

2 Defiimos etoces el producto esclr: ( ) x, y x( t) y( t) dt Nótese que este producto dee cumplir co ls propieddes del producto itero, i.e.: ( ) = ( ) i) x, y y, x ( + β ) = ( ) + β( ( ) > ( ) = = ii) x y, z x, z y, z iii) x, x, x, x x Podemos etoces tmié defiir l orm (logitud) de l fució (vector) de cuerdo : ) x ( xx, ) Ejemplo : Si =, =, x= 4t 3, y=t, etoces: ( 4 3) x = t dt = 7 3 y 4 t dt = = (, ) ( 4 3) xy = t tdt= t t = 3 ( 4 t 3 ) y 5 t so fucioes ortoormles (ON). 7 (c) Dimesioes del espcio cº [, ]. o Cosideremos ls fucioes, ( t ), ( t ),..., ( t ) c [, ] Escriiedo hor:. ( ) ( ) + t t =, e t, se puede ver que si t = =. Si derivmos y sustituimos t = = ; repitiedo esto podemos ver que = =... =. {,, ( ),..., t t ( t ) } es u cojuto de fucioes I. Puesto que este proceso se puede repetir pr culquier, podemos cocluir que l o c, es ifiit. Si emrgo, como veremos cotiució, existe dimesió de [ ] 7

3 lguos putos límites, i.e., lgus fucioes importtes qued fuer de este espcio vectoril. (d) Putos ímites. Cosideremos l secueci de Cuchy, dd por: t t x () t = t t Vemos que x () t cº [,] x (t) - / t, pues l secueci está compuest por fucioes cotius. Apretemete, cudo est secueci coverge l fució escló H(t) o fució o de Heviside, pero Ht () c,. Detro del espcio vectoril defiido, l secueci es etoces divergete. [ ] Pr que l secueci de Cuchy se covergete, se ecesit que el espcio coteg todos c, tiee gujeros y si le sus putos límites. Podemos pesr que el espcio [ ] ñdimos vectores pr tprlos, podemos teer etoces u espcio cerrdo. El espcio que se otiee l tpr los gujeros es el espcio cerrdo de ls fucioes cudrdo itegrles e el itervlo ierto (, ), i.e., (, ). Pr perteecer este espcio, ls fucioes dee cumplir co: Ejemplo : ( ) x() t, si xt () dt< xt () = t (,), pero xt () = (,) pues t dt = t El requisito del espcio (, ) es etoces que l mgitud de l fució (vector) se fiit. Este espcio es u espcio de Hilert (i.e., espcio cerrdo co producto itero y orm x = ( xx, ))..5. ESPACIO (, ): FUNCIONES BASE. Cosideremos el itervlo (-, ) e el espcio de ls fucioes cudrdo itegrles. Pr hcer expsioes e u espcio co dimesió ifiit, ecesitmos ses ortogoles pr o teer que ivertir u mtriz de dimesioes ifiits. Al igul que pr vectores, podemos utilizr el proceso de Grm-Schmidt co ls fucioes, t, t,... Defiimos l primer fució: φ () t Cosidermos: φ () t = + t 8

4 Buscmos que ( φ, φ ) = = ( + t) dt = =. Por lo tto, eligiedo ritrrimete = oteemos φ () t = t. Costruimos hor l fució φ = + t+ ct se ortogol φ () t y φ () t : ( φ3 φ) ( ) 3, = + t+ ct dt = + c= 3, = + t+ ct tdt = = = 3 ( φ3 φ) ( ), y elegimos ls costtes de tl mer que = c= 3, co = ritrrimete. fució es etoces φ 3 = 3t. Co este proceso geermos u se OG; pr oteer u se ON dividimos cd vector por su mgitud: (, ) dt φ = φ φ = = ϕ = (, ) tdt 3 φ = φ φ = = ϕ = t 3 ( ) ( ) 3 5, 3t dt t t ( 3t ) φ = φ φ = = + = + = ϕ = t + t 3 5 Etoces,, t, ( 3 t ),... es u se ON, mietrs que { ( ) 8, t, 3 t,... } es u se OG. Nótese que teemos u se pr (-, ) que está e u suespcio de, φ =, etoces teemos l se OG (-, ) ( c ( ) ). Si defiimos, por ejemplo, ( ) dd por: j 3t p() t =, p() t = t, p() t =,... que so los poliomios de egedre; e este cso teemos u ecució recursiv pr geerrlos: j+ j pj () t = tpj() t pj t j,,... + = j+ j+ () ( ) Hciedo = j+ oteemos: 9

5 ( ) ( ) ( ) p ( t) = tp ( t) p ( t) =,3,... Nótese que: p ( t) dt = ( =,,,... ) + os poliomios de egedre tmié so u se OG pr (-, ). Co ses ON (o ses OG) podemos hcer expsioes de fucioes. Cosideremos por ejemplo l fució x(t) expresd como u comició de ls fucioes se ON: () = ϕ k k Pr ecotrr los coeficietes tommos el producto itero: k xt x ϕm ϕ k k ϕm k ϕk, ϕm) (, ) =, = ( sum ifiit se colps pues (, ) ϕ ϕ = δ, deido que l se es ON. k m mk (, ) = ϕ ϕ = δ k k m k mk m = ( x, ϕ ) x( t) = ( x, ϕ ) ϕk m m k Nótese que u cojuto ifiito de fucioes o implic ecesrimete que tegmos u se, pues si ls ses que teemos le quitmos u vector, de tods forms teemos u úmero ifiito de fucioes, pero el cojuto y o es se pues ls otrs fucioes resttes (vectores) o os d l fució elimid..5.3 EXPANSIÓN DE FUNCIONES. Pr eteder l mecáic de l expsió de fucioes e térmios de fucioes se, podemos desrrollr el siguiete ejemplo. Ejemplo 3: Cosiderdo l se ON: ϕ ϕ t ϕ3 ( ) expsió de l fució x() t =, = 3, = 5 3 t,... hgmos u 8 = t e el itervlo [,]. (, ϕ ) x = t dt = t dt t dt + = + =

6 3 3 3 x, = t t dt = t dt t dt + = + = 3 3 Fució impr Fució pr ( ϕ ) x, = t 3t dt = t 3t dt = = = ( ϕ3 ) ( ) ( ) t ( 3 )... t = t + + t = 5 ( 3 t ) Cosideremos ls sums prciles de l eigeexpsió, i.e.: 5 3 = (, ϕk) ϕ so s s, s3 ( t ) s x k k = 5 = = = 3. 6 comprció gráfic etre l fució origil (x(t)) y ls diferetes sums prciles se muestr e l siguiete figur. Nótese que medid que se umet el úmero de térmios e l eige-expsió, ls sums prciles se semej más l fució. Otro detlle itereste es que el desrrollr l expsió e térmios de los poliomios de egedre rroj exctmete el mismo resultdo..75 x(t).5.5 s 3 s, s Cosideremos hor l fució: t, < t < yt () =, t =

7 Nótese que yt () (,), pues y () t dt <. Esto implic que se puede hcer u expsió co ls fucioes se ϕ. Si emrgo, los coeficietes so los mismos l cso terior y ls expsioes de x e y so igules. Cómo puede teer dos fucioes distits l mism expsió? Vemos ls fucioes como vectores: desde este puto de vist, podemos estlecer l distci etre dos fucioes como: d( x, y) x y = x( t) y( t) dt = Co esto oservmos que x e y so el mismo vector y, por lo tto, dee teer u mism expsió. oservció terior os llev etoces desrrollr dos coceptos de covergeci. Pr l fució: x() t = e () t e el itervlo t Se dice que existe covergeci putul si pr t [, ] Se dice existe covergeci e si Esto es equivlete j j xt () e() t, cudo j j fijo se cumple que: x jej() t cudo. xt () jej() t dt cudo. E el cotexto de represetció de fucioes e térmios de fucioes se, l covergeci putul es irrelevte. E el ejemplo terior teemos covergeci putul pr x(t), pero pr y(t) o hy covergeci putul e t=. E mos csos hy covergeci glol Otrs ses ortogoles. Otr se OG pr (,) es:, cos t, cos t,..., se t π π π, se π t,... Al igul que e los csos teriores, podemos expresr culquier fució x(t) detro del espcio e térmios de est se, i.e.: t t xt ( ) = jcos jπ + jse jπ j=

8 Pr oteer los coeficietes, evlumos el producto itero de l fució co ls fucioes se. Nótese que ls fucioes trigoométrics so ortogoles, y por lo tto, el úico producto itero que tiee u vlor diferete de cero es el producto etre u fució cosigo mism. Utilizdo ls idetiddes: podemos demostrr que: cosuse v= se( u+ v) se( u v) se use v= cos( u v) cos( u+ v) t t t x,se kπ = k se kπ,se k π t t t se kπ,se kπ = se kπ d = t Similrmete: t t t x,cos k π = k cos k,cos k π π = os coeficietes so etoces: kπt kπt k = x()cos t dt, k x()se t dt = ( ) ( ) Est expsió es l Serie de Fourier Trigoométric. Filmete, pr completr estos coceptos teemos el siguiete teorem. TEOREMA (CONTINUIDAD DE PRODUCTO INTERNO). Pr culquier vector ω e el espcio y si x x cudo, etoces ( x ω) ( x ω) esto es, el producto itero es cotiuo. Pr pror este teorem podemos usr l desiguldd de Schwrtz, i.e.:,,, ( x x, ω) x x ω Puesto que x x y ω <, etoces: ( x x, ω) = ( x, ω) ( x, ω) ( x, ω) ( x, ω ) 3

9 .5.4 SISTEMA DE STURM-IOUVIE. Recordemos los teorems sore operdores uto-djutos: I Si * =, λ s reles, e j pr λ distito so ortogoles. II E el cso de dimesió fiit los eigevectores form se. Qué ps e el espcio de fucioes? II tiee equivlete solmete e csos especiles. Cosiderdo el producto itero de l form: ω > e el itervlo [ ] co ( x) f, g = f( x) g( x) ω( x) dx, ( ) co codicioes de orde ( ), ( f, gω, so reles), el operdor: d d = p( x) + r( x) ω ( x) dx dx, y ( ) + βy =, γ y ( ) + δy ( ) =, es uto-djuto. El prolem de eigevlores socido este operdor, i.e., y = λ y y + λ y =, o equivletemete: {( ) } y + λy = py + ry + λy =, ω o ie, defiido juto co ls codicioes de orde como: es u sistem de Sturm-iouville. ( py ) + ry + λωy = (*) y ( ) + βy ( ) =, γ y ( ) + δy ( ) = TEOREMA. Si p( x) y ω ( x) so lítics y positivs ( p, ω > ) e x [, ] co y fiits, etoces ls eigefucioes del sistem de Stur-iouville (*) está complets e el. espcio ( ), Nots ) Complets sigific que form se. ) s fucioes c (, ) y form se pr. ( ), 3) El teorem implic que se puede hcer eigeexpsioes. 4

10 4) Vrios csos especiles del sistem de Sturm-iouville os llev cojutos. Alguos de los ejemplos más comues so ls completos (i.e. ses) pr ( ), series trigoométrics de Fourier, series de Fourier-Bessel, series de Fourier- egedre. Exmiemos el sistem de Sturm-iouville (S-) pr verificr que se uto-djuto: d d = p( x) + r( x), ( f, g) = f( x) g( x) ω( x) dx ω( x) dx dx ω { + } ( f, g ) = ( ) pf rf g ω dx = ( pf ) g dx + rfgdx Itegrdo por prtes () oteemos:, ω ( x) >. = ( ) = = + ( ) pf gdx pf g pf g dx pf g pfg pg fdx du = ( pf ) dx, v = g du = f dx, v = pg u = pf, dv= g dx u = f, dv = ( pg ) dx (, ) = + (( + ) f g pf g pfg f pg ) rg dx (, ) f g = pfg pfg + ( f, g) Codicioes de orde: [ ] [ ] CF = pf g pfg = p( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) p( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) Pr que el operdor se utodjuto, ecesitmos que CF =. Cosideremos p () p () p () p () : Si { } f () c g() c f() c g () c =, c=,, CF = f () cgc () = f() cg () c Si () () () c f c + βc f c = f c = β f (), c c β f () c gc () = c f () cg () c cg() c + βcg () c = El operdor es uto-djuto pr CF c c f( ) + β f ( ) = γ f( ) + δ f ( ) = Otrs CF simplificds si p( ) = p( ), p ( ) =, p ( ) =. 5

11 Ejemplo 4. Cosideremos el siguiete sistem de Sturm-iouville: d =, codicioes de froter y() = y( ) =. Este es u operdor uto-djuto. dx Este sistem puede escriirse tmié como: py + ry + λwy =, e este cso: p= w=, r = py + λwy=. El sistem tiee l ( ) form: d y + λ y = solucio: y = Ase λx+ β cos λx dx Aplicdo ls codicioes de froter otmos que: y() = β = y( x) = Ase λ x. Evludo l otr codició: A = Solució trivil y= y ( ) = Ase λ= o λ= π =,,,.. Solució trivil. =,, mism solució. ecució crcterístic del prolem de eigevlores es etoces: λ = π, =,,... De quí oteemos: π Eigevlores: λ = =,,... π x Eigevectores (eigefucioes): e = se =,,... Nótese que el operdor es uto-djuto y los eigevlores so reles. Además: πx mπx, m = se se = ( e e ) pr m, y ls eigefucioes so etoces ortogoles. Normlizdo ls fucioes oteemos:, se π x e se π x = = = ( e e ) so fucioes ON. 6

12 Puesto que ( x), p( x) ω so lític y positivs e [ ], y teemos u itervlo fiito, de cuerdo l teorem ls eigefucioes está complets. Por lo tto, ls fucioes oteids form se pr el espcio (, ). (Nótese tmié que π x ek = se k c (, )). Podemos etoces cocluir que: kπx kπx x (, ), x= se, y dems: x k se, pr k Cosideremos por ejemplo u expsió de l fució f ( x) =, x. kπ x f( x) = k se k = m k k x m x k x m x f( x),se π k se π,se π k se π π = =,se m m se π x m x m x,se π m se π = = m mπ x mπ x f( x),se f( x)se dx mπ x = = = f ( x)se mπx mπx se,se dx Pr l fució que queremos represetr los coeficietes so etoces: m m mπ x = cos cos = mπ mπ ( mπ ) 4, m =,3,5 mπ = ( cos mπ) = mπ, m =, 4,.. E térmios de ls eigefucioes, l fució qued expresd etoces como: 7

13 ( ) 4 kπ x 4 π x f( x) = se = se k =,3,5 kπ ( ) π Al igul que e ls represetcioes teriores, podemos hcer u comprció gráfic etre l eigeexpsió y l fució origil, i.e.: ( ) 4 π x = se ( ) π s s Nótese que f( x ) = i siquier cumple co l CF y() = y( ) = Además, se cumple que: ( ) ( ) N 4 π x se cudo N π ( ) ( ) π N 4 x se dx N π 8