1. Determinar razonadamente si el número λ 3 2 n

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1 SOLUCIONES DE LA 8ª OME Determir rzodmete si el úmero λ es irrciol r todo etero o egtivo SOLUCIÓN Suogmos que es r Etoces es múltilo de y es múltilo de ero o de co lo que o uede ser u cudrdo erfecto Suogmos que es imr Culquier cudrdo erfecto imr d resto l dividir etre 8 ; este resultdo se demuestr trivilmete escribiedo el cudrdo de culquier etero imr m e l form m ( m ) y observdo que bie m bie m de ser r Se tiee etoces que si es imr y fuer u cudrdo erfecto etoces drí resto l dividir etre 8 o equivletemete drí resto l dividir etre 8 co lo que serí múltilo de y r cotrdicció Luego r culquier etero ositivo o egtivo es u etero que o es u cudrdo erfecto or tto λ es siemre irrciol r culquier etero ositivo o egtivo Nótese tmbié que λ es siemre rel icluso cudo es u etero egtivo ues > ( ) 0 Hllr tods ls fucioes f : R R de vrible rel co vlores reles tles que ( x ) f ( y) f ( y f ( ) f ( x y f ( ) () r todo x y R SOLUCIÓN Suogmos rimermete que f ( 0) 0 Hciedo x 0 e () f ( y) 0 r todo y R Est fució stisfce l ecució fuciol dd () Se f ( 0) 0 Hciedo y 0 e () se obtiee ( x ) f (0) f ( f ( ) f ( r todo x R Clrmete esto imlic que f es iyectiv orque si f ( x ) f ( x ) etoces ( x ) f (0) f ( f ( x )) f ( x ) ( x ) f (0) f ( f ( x )) f ( x ) y or tto ( x ) x f (0) 0 y x x Poiedo or x e () f ( y f ()) f ( yf ()) r todo y R Al ser f iyectiv y f () yf () r todo y R E est iguldd si y 0 f ( ) Al ser iyectiv f ( ) ; or tto co x e y f () se lleg

2 f f () 0 Hemos de demostrr que f tiee u cero Se tl que f () f ( ) 0 Poiedo or y e () result f ( f ( ) f ( x f ( ) r todo x R Así or l iyectividd de f f ( x f ( r todo x R Como x f ( Sustituyedo est fució e () result que lo que roorcio dos úics solucioes de l ecució fuciol iicil f ( 0 y f ( x Se x y eteros tles que x < Disoemos de x cjs distits y x bols idétics Llmmos f ( l úmero de mers que y de distribuir ls x bols e ls x cjs Se úmero rimo ecotrr los eteros myores que r los que se verific que el úmero rimo es divisor de f ( r todo x { } SOLUCIÓN Clrmete f ( es el úmero de combicioes co reetició de x elemetos tomdos de x e x Es decir ( x ) ( f ( CR ( x x Vmos robr que los buscdos so todos los de l form co etero ositivo Se m l -rte del etero ositivo m es decir si m q (co q etero) m siedo etero Aor robremos el siguiete resultdo revio: Si m etoces ( m i) i r cd i { } E efecto si i etoces < y es obvio que ( m i) luego i m i) ( Recírocmete si ( m i) de ser < orque si o serí i Aor i orque m y ( m i) Es decir m i) i ( A cotiució robremos que si es rimo y u etero myor que Etoces divide r todo x { } si y sólo si co etero Si r todo x { } Poiedo se tiee: ( )( ) ( ) y or el resultdo revio cocluimos que l rte de es luego Recírocmete si r cd x { } ( )( x ) x ( x )

3 y de uevo or el resultdo revio l or ser x < rte de es x que es múltilo de Hllr todos los úmeros eteros ositivos y tles que ( ) SOLUCIÓN Pr l ecució se escribe 6 clrmete fls Luego Por l fórmul del biomio de Newto ( ) es múltilo de Teemos etoces dos csos lizr: Etoces divide 5 es decir divide 5 co lo que 5 y l ecució se covierte e clrmete fls Etoces divide ero como divide tmbié de dividir es decir divide co lo que Se comrueb fácilmete que r l ecució se covierte e 0 luego e 7 que es ciert si y sólo si 5 U sucesió ( ) se defie medite l recurreci 5 r Demostrr que todos los térmios de l sucesió so úmeros eteros y ecotrr u fórmul exlícit r SOLUCIÓN Observmos rtir de l defiició que y Restdo l segud ecució de l rimer result ( ) ( que es equivlete su vez ) Hciedo que se obtiee ( ) ( ) ( 5 ) ( ) ( 6 ) 5 ( 5 ) ( ) ( ) ) ( ) ( Multilicdo ls igulddes teriores y simlificdo térmios result

4 ( ) ( ) y teiedo e cuet que 5 y 0 result 6 De este modo es imedito que todos los térmios de l sucesió so eteros Pr ecotrr u formul exlícit de esymos co t co lo que obteemos rtir de l últim exresió que 6 t t t 0 t ( t 6t ) 0 Se tiee tres solucioes L rimer t 0 que o cumle co el eucido Ls otrs dos t ± combids lielmete sí lo rá Es decir l solució que buscmos es de l form λ ( ) µ ( ) λ µ R Pr determir ls costtes λ y µ utilizmos que y 5 y teemos λ ( ) µ ( ) λ ( ) µ ( ) 5 Resolviedo este sistem λ y µ co lo que ( ) ( ) 6 Se ABC u triágulo cutágulo ω su circufereci iscrit de cetro I Ω su circufereci circuscrit de cetro O y M el uto medio de l ltur AH dode H erteece l ldo BC L circufereci ω es tgete este ldo BC e el uto D L rect MD cort ω e u segudo uto P y l erediculr desde I MD cort BC e N Ls rects NR y NS so tgetes l circufereci Ω e R y S resectivmete Probr que los utos R P D y S está e u mism circufereci SOLUCIÓN Suogmos que b c Etoces el ie de l ltur H coicide co el uto de tgeci D luego DM es erediculr BC y N o está defiido Asumiremos etoces si érdid de geerlidd que b > c Se U el uto de l rect BC cuy oteci es l mism resecto de ω y Ω Clrmete y exctmete dos tgetes cd u de mbs circuferecis que s or U siedo D el uto de tgeci de u de ells co ω ; llmemos E l uto de tgeci co ω de l segud rect que s or U L distci de U los cutro utos de tgeci es l mism luego existe u circufereci de cetro U que s or los cutro utos es decir si demostrmos que U N el roblem quedrí resuelto Aor bie el eje rdicl de l circufereci descrit co cetro U y ω es clrmete l rect DE y l erediculr est rect or I es l meditriz de l cuerd DE luego s or U Bst etoces co demostrr que el uto W de l ltur AH cuy oteci es l mism resecto l circufereci de cetro U or D y or E y resecto ω es el uto medio de AH co lo que serí P E y N U Aor bie dic oteci es UD UW ID IW

5 Pero UW UH WH IW ( WH ID) HD co lo que l terior codició es equivlete HD UD UD WH ID UH HD UD( UD HD) WH ID y el roblem se reduce demostrr que est últim exresió es l mitd de l ltur Llmdo s l semierímetro de ABC teemos que BD s b CD s c BH c cos B y l estr U defiido como el uto sobre BC tl que su oteci es l mism resecto de ω y Ω y llmdo Σ l áre de ABC y usdo l fórmul de Heró r l mism teemos ( UD BD)( UD CD) UD Luego WH como querímos demostrr ( s b c cos B) ( b c)( s ) BD CD UD CD BD ( s b)( s c) b c s ( ( b c) b c b ) ( b c)( b c ) ( c b c b ) ( b c)( b c ) Σ ( b c)( s ) 5